Vektorok

a) Teljes négyzetté alakítással felírjuk a kör normálalakját: $$ (x - 2)^2 - 4 + (y - 6)^2 - 36 = 13 $$ $$ (x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 53 $$ A kör középpontja \( K(2; 6) \), a sugara pedig \( r = \sqrt{53} \).

b) A húrtrapéz átlói egymásra merőlegesek, és párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, mivel az \( A \) és \( C \) pontok \( x \) koordinátája azonos (4), a \( B \) és \( D \) pontok \( y \) koordinátája pedig azonos (4).
Az átlók hossza: $$ AC = 13 - (-1) = 14 \quad \text{és} \quad BD = 9 - (-5) = 14 $$ A trapéz területe az átlók szorzatának a fele: \( T = \frac{14 \cdot 14}{2} = 98 \).
Az alapok hosszát a pontok távolságával kapjuk meg: $$ AB = \sqrt{(-5 - 4)^2 + (4 - 13)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-9)^2} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} $$ $$ CD = \sqrt{(9 - 4)^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$ A trapéz magasságát (\( m \)) a területképletből határozzuk meg: $$ T = \frac{AB + CD}{2} \cdot m \implies 98 = \frac{9\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2} \cdot m = 7\sqrt{2} \cdot m \implies \mathbf{m = \frac{98}{7\sqrt{2}} = 7\sqrt{2}} $$ A szögekhez húzzunk magasságot az egyik felső csúcsból! A magasság talppontja lemetsz a hosszabbik alapból egy szakaszt, melynek hossza \( \frac{AB - CD}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \). A derékszögű háromszögben a magasság (\( 7\sqrt{2} \)) és ez a befogó (\( 2\sqrt{2} \)) tangenssel adja a hajlásszöget: $$ \tan \alpha = \frac{7\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 3,5 \implies \mathbf{\alpha \approx 74,05^\circ} $$ A húrtrapéz másik szöge, mivel kiegészítő szög: \( 180^\circ - 74,05^\circ = \) 105,95°.

c) Olyan \( (x,y) \) egész számpárokat keresünk, melyekre \( x^2 + y^2 = 53 \).
Mivel 53 csak egyféleképpen bontható fel két négyzetszám összegére (a negatívokat és sorrendet még figyelmen kívül hagyva): \( 53 = 4 + 49 = 2^2 + 7^2 \).
Ebből a megoldások a \( \pm 2 \) és \( \pm 7 \) kombinációiból adódnak:
(2; 7), (2; -7), (-2; 7), (-2; -7), (7; 2), (7; -2), (-7; 2), (-7; -2).
Összesen 8 ilyen pont található a körvonalon.

a) Az \( AB \) oldal felezőpontja \( F(41; 0) \). Mivel a háromszög szimmetrikus, az \( AFC \) háromszög derékszögű. $$ \text{tg } \alpha = \frac{CF}{AF} = \frac{71}{41} $$ Ebből \( \alpha \approx 59,995^\circ \). Mivel a háromszög egyenlőszárú, \( \beta = \alpha \approx 59,995^\circ \).
A csúcsszög: \( \gamma = 180^\circ - 2\alpha \approx 60,010^\circ \).
A háromszög szögei kerekítve: \( 59,995^\circ \), \( 59,995^\circ \) és \( 60,010^\circ \). (Tehát Gézának nincs igaza, a háromszög nem szabályos.)

b) Az oldalak hossza: $$ AB = 82 $$ $$ AC = \sqrt{41^2 + 71^2} = \sqrt{1681 + 5041} = \sqrt{6722} $$ A keresett arány: $$ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6722}}{82} \approx \mathbf{0,9999} $$

c) A csonkakúp magassága Pitagorasz-tétellel számítható a metszetből: $$ m = \sqrt{a^2 - (R - r)^2} = \sqrt{10^2 - (14 - 8)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \text{ cm.} $$ A csonkakúp pontos térfogata: $$ V_{cs} = \frac{\pi \cdot m}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi \cdot 8}{3}(14^2 + 14 \cdot 8 + 8^2) = \frac{8\pi}{3}(196 + 112 + 64) = 992\pi \text{ cm}^3 $$ A közelítő henger sugara: \( r_h = \frac{14 + 8}{2} = 11 \text{ cm} \).
A henger térfogata: $$ V_h = \pi \cdot 11^2 \cdot 8 = 968\pi \text{ cm}^3 $$ A relatív hiba kiszámítása: $$ \frac{V_h - V_{cs}}{V_{cs}} = \frac{968\pi - 992\pi}{992\pi} = \frac{-24}{992} \approx -0,0242 $$ A közelítés relatív hibája -2,4%.

a) A négyszög 4 csúcsát úgy kell kiválasztani a 9 pont közül, hogy mind a 3 oldalra jusson legalább 1 csúcs. Így valamelyik oldalon 2 csúcs lesz, a másik kettőn pedig 1-1.
Kiválaszthatjuk 3-féleképpen, hogy melyik oldal adja a 2 csúcsot. Az ezen az oldalon lévő 3 pontból $\binom{3}{2} = 3$-féleképpen jelölhetünk ki kettőt.
A másik két oldal mindegyikéről 3-3-féleképpen választhatjuk ki a négyszög harmadik és negyedik csúcsát.
Összesen tehát: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = \mathbf{81}$ megfelelő négyszög van.

b) A feladat szimmetriája alapján az $XYZ$ háromszög szintén szabályos, és az $ABX, BCY, CAZ$ háromszögek egybevágóak. Határozzuk meg a belső háromszög területét ezen tulajdonságok segítségével.
Az $ABP$ háromszögben $AB = 4$, $BP = 1$, és a köztük lévő szög $60^\circ$. A koszinusztétel alapján: $$ AP = \sqrt{4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13} $$ Jelölje $\alpha$ a $BAP$ szöget. A szinusz-tételből adódik a szinusza, de ki is számolhatjuk az egybevágóságokból az oldalak metszéspontjaival létrejövő arányokat. Mivel a felosztás aránya az élek körül mindenhol megegyezik, belátható, hogy az $AP$ szakasz a felosztási pontok által $AX : XZ : ZP = 12 : 8 : 1$ arányban (vagy más hasonló származtatással $AZ : ZX : XP = 4 : 8 : 1$ arányban) oszlik meg.
Az elegánsabb megoldás az $ABX$ háromszög alapján lehetséges. $\angle AXB = 120^\circ$ a forgásszimmetriából. Ekkor a szinusztétellel: $$ AX = \frac{4 \cdot \sin(60^\circ - \alpha)}{\sin 120^\circ} = \frac{12}{\sqrt{13}} \quad \text{és} \quad BX = \frac{4 \cdot \sin \alpha}{\sin 120^\circ} = \frac{4}{\sqrt{13}} $$ Szimmetria okokból $AZ = BX = \frac{4}{\sqrt{13}}$, amiből a keresett $ZX$ oldal hossza adódik: $$ ZX = AX - AZ = \frac{12}{\sqrt{13}} - \frac{4}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}} $$ A szabályos $XYZ$ háromszög területe így: $$ T = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot ZX^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{64}{13} = \mathbf{\frac{16\sqrt{3}}{13}} \approx 2,13 $$

a) Az $ABC$ háromszögben felírva a koszinusztételt az $AC$ szakaszra: $$ AC^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(70^\circ) \implies AC \approx 21,86 $$ A húrnégyszög egyik alaptulajdonsága, hogy a szemközti szögeinek összege $180^\circ$. Mivel a $\angle B = 70^\circ$, ezért $\angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Az $ACD$ háromszög szögeinek ismeretében ($\angle D = 110^\circ$, $\angle CAD = 50^\circ$) az $\angle ACD = 180^\circ - (110^\circ + 50^\circ) = 20^\circ$. Szinusztétellel kifejezve az oldalt: $$ \frac{CD}{\sin(50^\circ)} = \frac{21,86}{\sin(110^\circ)} \implies CD \approx \mathbf{17,82} $$ A húrnégyszög teljes területét a két felosztott háromszög területeinek összegéből kapjuk: $$ T = T_{ABC} + T_{ACD} = \frac{20 \cdot 18 \cdot \sin(70^\circ)}{2} + \frac{21,86 \cdot 17,82 \cdot \sin(20^\circ)}{2} \approx 169,1 + 66,6 = \mathbf{235,7} $$

b) Ha $H(-1,8; 0)$, a vektorok komponensei (a pontok koordinátáinak különbségei): $$ \vec{PH} = (-1,8 - (-2); 0 - 0) = (0,2; 0) $$ $$ \vec{RH} = (-1,8 - 0; 0 - 5) = (-1,8; -5) $$ A két vektor skaláris szorzata: $$ \vec{PH} \cdot \vec{RH} = 0,2 \cdot (-1,8) + 0 \cdot (-5) = \mathbf{-0,36} $$

c) Legyen a $H$ pont az $(x; 0)$ koordinátákkal megadva, ahol $-2 \le x \le 6$ (a szakasz feltétele). A vektorok általánosan felírva: $$ \vec{PH} = (x + 2; 0) $$ $$ \vec{RH} = (x; -5) $$ Az $f(x)$ függvényünk ezek skaláris szorzata lesz: $$ f(x) = \vec{PH} \cdot \vec{RH} = (x + 2)x + 0 \cdot (-5) = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 $$ A függvény egy felfelé nyitott parabola, melynek csúcspontja az $x = -1$ helyen van. Ezen a ponton a függvény felveszi minimumát, azaz a minimális szorzat a $H_{min}(-1; 0)$ ponthoz tartozik.
Mivel az értelmezési tartomány a $[-2; 6]$ zárt intervallum, a maximális értéket a csúcsponttól legmesszebbre lévő végpontnál, tehát $x = 6$-nál veszi fel, amely a $H_{max}(6; 0)$ ponthoz tartozik.

a) Az \( \vec{EF} \) egyenes merőleges az \( AEHD \) síkra (mert merőleges az \( EA \) és az \( EH \) élekre). Ezért az \( EF \) egyenes merőleges a sík minden egyenesére, beleértve az \( AH \) egyenest is. Mivel merőlegesek egymásra, a skaláris szorzatuk: $$ \vec{EF} \cdot \vec{AH} = \mathbf{0} $$

b) Vegyünk egy síkmetszetet, amely tartalmazza a kúp tengelyét és a négyzet alapátlóját. Ekkor hasonló háromszögeket kapunk. A belső kisebb kúp (amelyet a felső lap metsz ki) magassága: \( 45 - 15 = 30 \). A hasonlóság aránya a teljes kúp és a felső rész kúpja között: \( \frac{45}{30} = 1,5 \). A felső lap (mely a kúp palástjához ér) egy 8x8-as négyzet, melynek köré írt körének sugara: \( r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5,66 \). A teljes kúp alapköre sugarát \( R \)-rel jelölve, a hasonlóság miatt: $$ R = 1,5 \cdot 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \approx 8,49 $$ A kúp alkotója (\( a \)) Pitagorasz-tétellel számolható: $$ a = \sqrt{R^2 + M^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 45^2} = \sqrt{72 + 2025} = \sqrt{2097} \approx 45,79 $$ A felszín a kör és a palást területeiből áll (\( A = R^2\pi + R\pi a \)): $$ A = (6\sqrt{2})^2 \pi + 6\sqrt{2} \cdot \pi \cdot \sqrt{2097} \approx 226,19 + 1220,7 \approx \mathbf{1446,9 \text{ területegység}} $$

c) Jelölje a háromszög másik befogóját \( b \), az átfogóját \( c \). Mivel mindkettő pozitív egész szám, a Pitagorasz-tétel: $$ 15^2 + b^2 = c^2 \implies c^2 - b^2 = 225 $$ Alkalmazzuk a szorzattá alakítást: $$ (c - b)(c + b) = 225 $$ A 225-öt kell felbontani két pozitív egész szám szorzatára. Mivel \( c \) és \( b \) pozitívok, \( c + b > c - b > 0 \). A 225 szorzópárjai: 1. \( 1 \cdot 225 \implies c-b=1, c+b=225 \implies c = 113, b = 112 \) 2. \( 3 \cdot 75 \implies c-b=3, c+b=75 \implies c = 39, b = 36 \) 3. \( 5 \cdot 45 \implies c-b=5, c+b=45 \implies c = 25, b = 20 \) 4. \( 9 \cdot 25 \implies c-b=9, c+b=25 \implies c = 17, b = 8 \) Mivel minden egyenletrendszer megoldása egész számot ad, összesen 4 megfelelő derékszögű háromszög van.

a) Az egyenletet először osszuk el 5-tel: $$ x^2 + y^2 - 2,8x + 4,4y - 2,2 = 0 $$ Teljes négyzetté alakítással: $$ (x - 1,4)^2 - 1,96 + (y + 2,2)^2 - 4,84 - 2,2 = 0 $$ $$ (x - 1,4)^2 + (y + 2,2)^2 = 9 $$ A kör középpontja \( (1,4; -2,2) \), sugara pedig 3 egység.

b) A \( \vec{KA} \) vektor lesz a keresett egyenes normálvektora: $$ \vec{KA} = (-4 - (-5); 14 - 7) = (1; 7) $$ Az egyenes áthalad az \( A(-4; 14) \) ponton, egyenlete tehát: $$ 1 \cdot x + 7 \cdot y = 1 \cdot (-4) + 7 \cdot 14 $$ $$ \mathbf{x + 7y = 94} $$

c) A húr szakaszának hossza meghatározható Pitagorasz-tétel segítségével, hiszen a \( KA \) szakasz merőleges a húrra, így felezi azt. A húr és a középpont távolsága éppen a \( KA \) szakasz hossza: $$ d = KA = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50} $$ A kör sugara \( r = 10 \). A húr fele (\( h \)) felírható a következőképpen: $$ h^2 + d^2 = r^2 \implies h^2 = 100 - 50 = 50 \implies h = \sqrt{50} $$ A húr teljes hossza \( 2h = 2\sqrt{50} \approx \mathbf{14,14 \text{ egység}} \).

d) A \( k \) kör egyenlete \( (x+5)^2 + (y-7)^2 = 100 \).
Mivel a középpont rácspont, a körvonalon lévő rácspontok keresése azonos a \( 100 \) két négyzetszám összegére történő felbontásával: \( a^2 + b^2 = 100 \).
A lehetséges felbontások: $$ 100 = 0^2 + 10^2 \text{ és } 100 = 6^2 + 8^2 $$ A megfelelő \( a, b \) értékek és előjeleik adják az összes lehetséges eltérést a középponttól:
- Ha \( \{a,b\} = \{0, \pm 10\} \), ebből 4 pont adódik (2 az x-tengely mentén, 2 az y-tengely mentén).
- Ha \( a = \pm 6, b = \pm 8 \), ebből 4 pont adódik.
- Ha \( a = \pm 8, b = \pm 6 \), ebből ismét 4 pont adódik.
Összesen \( 4 + 4 + 4 = \) 12 rácspont található a körvonalon.

a) Elegánsan vektorok segítségével dolgozunk. A \( B \)-nél lévő szöget a \( \vec{BA} \) és \( \vec{BC} \) vektorok zárják be.

A vektorok koordinátái:

$$ \vec{BA} = (-16 - 2; 10 - 4) = (-18; 6) $$ $$ \vec{BC} = (10 - 2; 2 - 4) = (8; -2) $$

A vektorok hosszai:

$$ |\vec{BA}| = \sqrt{(-18)^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} $$ $$ |\vec{BC}| = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} $$

A két vektor skaláris szorzata:

$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-18) \cdot 8 + 6 \cdot (-2) = -144 - 12 = -156 $$

A hajlásszögük koszinusza:

$$ \cos \beta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-156}{\sqrt{360} \cdot \sqrt{68}} \approx -0,9971 $$

Ebből a belső szög: \( \mathbf{\beta \approx 175,6^\circ} \).

b) A \( K \) pont a háromszög köré írható körének középpontja, ami az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Felírjuk két oldal felezőmerőlegesének egyenletét.

Az \( AB \) oldal felezőmerőlegese:
Felezőpontja: \( F_{AB} = \left(\frac{-16+2}{2}; \frac{10+4}{2}\right) = (-7; 7) \).
Normálvektora az \( \vec{AB} = (18; -6) \) vektor. Ezt egyszerűsíthetjük 6-tal: \( \vec{n}_{AB} = (3; -1) \).
Az egyenes egyenlete: \( 3x - y = 3(-7) - 7 \implies 3x - y = -28 \).

A \( BC \) oldal felezőmerőlegese:
Felezőpontja: \( F_{BC} = \left(\frac{2+10}{2}; \frac{4+2}{2}\right) = (6; 3) \).
Normálvektora a \( \vec{BC} = (8; -2) \) vektor. Ezt egyszerűsíthetjük 2-vel: \( \vec{n}_{BC} = (4; -1) \).
Az egyenes egyenlete: \( 4x - y = 4(6) - 3 \implies 4x - y = 21 \).

A két egyenletből álló egyenletrendszer megoldása:

1) \( y = 3x + 28 \)
2) \( 4x - (3x + 28) = 21 \implies x - 28 = 21 \implies \mathbf{x = 49} \)

Visszahelyettesítve \( y \)-ba: \( y = 3(49) + 28 = 147 + 28 = \mathbf{175} \).

A \( K \) pont koordinátái tehát: \( K(49; 175) \).

A háromszög \( B \) csúcsánál lévő szögét a \( \vec{BA} \) és a \( \vec{BC} \) vektorok zárják be. Számoljuk ki a vektorok koordinátáit és azok hosszát! $$ \vec{BA} = (2 - 7; 1 - (-4)) = (-5; 5) $$ Hossza: \( |\vec{BA}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).

A másik irányvektor: $$ \vec{BC} = (11 - 7; p - (-4)) = (4; p + 4) $$ Hossza: \( |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (p + 4)^2} = \sqrt{16 + (p + 4)^2} \).

A két vektor skaláris szorzata koordinátákkal kiszámolva: $$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = -5 \cdot 4 + 5(p + 4) = -20 + 5p + 20 = 5p $$

A skaláris szorzatot a definíciója segítségével is felírhatjuk: $$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 60^\circ $$ Behelyettesítve az ismert adatokat és a \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) értéket: $$ 5p = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{16 + (p + 4)^2} \cdot \frac{1}{2} $$

Mivel a szorzat jobb oldala biztosan pozitív számot ad, ezért következik, hogy \( p > 0 \). Osztjuk mindkét oldalt 5-tel, majd az egyenletet négyzetre emeljük: $$ p^2 = \frac{2}{4} \cdot (16 + p^2 + 8p + 16) $$ $$ p^2 = \frac{1}{2} (p^2 + 8p + 32) $$ Beszorozva 2-vel és átrendezve: $$ 2p^2 = p^2 + 8p + 32 \implies p^2 - 8p - 32 = 0 $$

A másodfokú egyenlet megoldóképletével: $$ p_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (-32)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{192}}{2} $$ Egyszerűsítve az alakot: $$ p_{1,2} = \frac{8 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 4\sqrt{3} $$

Mivel megállapítottuk, hogy \( p > 0 \), a kivonást tartalmazó gyök kiesik. Az egyetlen helyes megoldás a \( p = 4 + 4\sqrt{3} \).

a) Behelyettesítve a \( t = \frac{5\pi}{6} \) (azaz \( 150^\circ \)) értéket:

$$ \mathbf{a} = \left( \cos \frac{5\pi}{6} ; \sin \frac{5\pi}{6} \right) = \mathbf{\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)} $$ $$ \mathbf{b} = \left( \sin^2 \frac{5\pi}{6} ; \cos^2 \frac{5\pi}{6} \right) = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 ; \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right) = \mathbf{\left( \frac{1}{4} ; \frac{3}{4} \right)} $$

b) A két vektor hajlásszögét (\( \alpha \)) a skaláris szorzatból határozhatjuk meg: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \alpha \).

A skaláris szorzat: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 - \sqrt{3}}{8} \).
A vektorok hossza: \( |\mathbf{a}| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1 \).
\( |\mathbf{b}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \).

$$ \cos \alpha = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \approx 0,2005 $$

Ebből a hajlásszög: \( \alpha \approx 78,43^\circ \). Kerekítve a keresett szög \( 78^\circ \).

c) A két vektor akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk nulla:

$$ \cos t \cdot \sin^2 t + \sin t \cdot \cos^2 t = 0 $$

Kiemelve a közös tényezőt:

$$ \sin t \cdot \cos t \cdot (\sin t + \cos t) = 0 $$

Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:

• \( \sin t = 0 \implies \mathbf{t = k\pi} \quad (k \in \mathbb{Z}) \)
• \( \cos t = 0 \implies \mathbf{t = \frac{\pi}{2} + n\pi} \quad (n \in \mathbb{Z}) \)
• \( \sin t + \cos t = 0 \implies \tan t = -1 \implies \mathbf{t = \frac{3\pi}{4} + m\pi} \quad (m \in \mathbb{Z}) \)

a) Az A állítás hamis.
Ugyanis van a négyszögnek derékszöge. Például az \( SRQ\sphericalangle \), mert felírva a megfelelő vektorokat:
\( \overrightarrow{RQ} = (1 - (-6); 3 - 2) = (7; 1) \)
\( \overrightarrow{RS} = (-5 - (-6); -5 - 2) = (1; -7) \)
A két vektor skaláris szorzata: \( \overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RS} = 7 \cdot 1 + 1 \cdot (-7) = 0 \). Így a négyszög \( R \)-nél lévő szöge derékszög.

b) A B állítás igaz.
A \( PQRS \) négyszögben az \( R \) csúccsal szemközti \( P \) csúcsnál lévő szög is derékszög, ugyanis:
\( \overrightarrow{PQ} = (1 - 3; 3 - (-1)) = (-2; 4) \)
\( \overrightarrow{PS} = (-5 - 3; -5 - (-1)) = (-8; -4) \)
Ezek skaláris szorzata: \( \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS} = (-2)(-8) + 4(-4) = 16 - 16 = 0 \).
Így a négyszög két szemközti szögének összege \( 180^\circ \) (a húrnégyszög-tétel megfordítása miatt), tehát a négyszög valóban húrnégyszög.

c) A C állítás igaz.
Ha lenne a négyszögnek szimmetriacentruma, akkor a \( PQRS \) négyszög paralelogramma lenne. Ehhez például az kellene, hogy az \( \overrightarrow{RQ}(7; 1) \) és a \( \overrightarrow{PS}(-8; -4) \) vektorok ellentett vektorok legyenek.
Ez csakis úgy teljesülne, ha az egyik oldalvektor koordinátái a másik vektor koordinátáinak \( -1 \)-szeresei lennének. Ez viszont láthatóan nem teljesül, így nincs szimmetriacentruma.

a) A logaritmus azonosságainak felhasználásával a \( B \) pont koordinátái felírhatók összegként, illetve különbségként:
\( \lg ab = \lg a + \lg b \) és \( \lg \frac{b}{a} = \lg b - \lg a \).
Így \( B(\lg a + \lg b; \lg b - \lg a) \).
Bizonyítandó tehát, hogy: $$ \lg a + \lg b > \lg a \quad \text{és} \quad \lg b - \lg a > \lg b $$ Rendezés után kapjuk, hogy \( \lg b > 0 \) és \( -\lg a > 0 \implies \lg a < 0 \).
A feltételek szerint \( 0 < a < 1 \), illetve \( 1 < b \), és a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan növő a pozitív számok halmazán valamint \( \lg 1 = 0 \), tehát mindkét egyenlőtlenség igaz.

b) Fejezzük ki a különbségvektort: $$ \vec{OA} - \vec{OB} = (\lg a - (\lg a + \lg b); \lg b - (\lg b - \lg a)) = (-\lg b; \lg a) $$ Két vektor merőlegességét a skaláris szorzatukkal bizonyíthatjuk. Ha a szorzat nulla, merőlegesek. $$ \vec{OA} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \lg a \cdot (-\lg b) + \lg b \cdot \lg a = -\lg a \lg b + \lg a \lg b = \mathbf{0} $$ Tehát a két vektor merőleges egymásra.

c) (A rövidebb, elegánsabb megoldás skaláris szorzattal)
Az \( \vec{OA} \) vektor hossza: \( |\vec{OA}| = \sqrt{\lg^2 a + \lg^2 b} \).
Az \( \vec{OB} \) vektor hossza: $$ |\vec{OB}| = \sqrt{(\lg a + \lg b)^2 + (\lg b - \lg a)^2} = \sqrt{2(\lg^2 a + \lg^2 b)} = \sqrt{2} \cdot |\vec{OA}| $$ A két vektor skaláris szorzata közvetlenül is kiszámítható: $$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = \lg a \cdot (\lg a + \lg b) + \lg b \cdot (\lg b - \lg a) = \lg^2 a + \lg a \lg b + \lg^2 b - \lg a \lg b = \lg^2 a + \lg^2 b $$ Másrészt a skaláris szorzat definíciója alapján: $$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos \alpha = |\vec{OA}| \cdot (\sqrt{2} \cdot |\vec{OA}|) \cdot \cos \alpha = \sqrt{2} (\lg^2 a + \lg^2 b) \cos \alpha $$ A két egyenletet egyenlővé téve: $$ \lg^2 a + \lg^2 b = \sqrt{2} (\lg^2 a + \lg^2 b) \cos \alpha \implies \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Mivel \( \alpha \) hegyesszög, így a két vektor hajlásszöge 45°.

d) Helyettesítsük be az \( a = \frac{1}{10} \) értéket (\( \lg \frac{1}{10} = -1 \)).
Ekkor az \( A \) pont koordinátái: \( A(-1; \lg b) \).
A logaritmus függvény tulajdonságai miatt, mivel \( b > 1 \), \( \lg b > 0 \) (és bármilyen pozitív értéket felvehet). Ezért az \( A \) pontok halmaza egy nyílt végpontú félegyenes: az \( \mathbf{x = -1} \) egyenletű egyenesnek az \( y > 0 \) feltételt kielégítő része.

A \( B \) pont koordinátái a korábban levezetettek alapján: $$ B(-1 + \lg b; \lg b - (-1)) = (\lg b - 1; \lg b + 1) $$ Mivel a második koordináta (\( \lg b + 1 \)) mindig 2-vel nagyobb az első koordinátánál (\( \lg b - 1 \)), a \( B \) pontok halmaza illeszkedik az \( y = x + 2 \) egyenesre.
Tudjuk, hogy \( \lg b > 0 \), így az \( x \) koordináta \( \lg b - 1 > -1 \).
Tehát a \( B \) pontok halmaza az \( y = x + 2 \) egyenletű egyenesnek azon félegyenes része, amelyre \( x > -1 \).