Trigonometrikus egyenletek

a) A halmazok vizsgálata az egyes függvények esetén:

• $f(x) = \sin x$: Nem szigorúan monoton növekedő (így nem M), nem konvex $\mathbb{R}$-en (így nem K), viszont alulról korlátos, minimuma $-1$ (így eleme A-nak). $\implies$ Csak $A$.
• $g(x) = \frac{1}{x}$: Nem M, nem K (a negatív félegyenesen konkáv), és nem korlátos alulról (nem A). $\implies$ Kívül esik mind a 3 halmazon.
• $h(x) = 2^x$: Szigorúan növekszik (M), konvex (K), és alulról korlátos (A). $\implies$ A három halmaz metszetébe (M $\cap$ K $\cap$ A) kerül.
• $i(x) = \sqrt{x}$: Növekszik (M), alulról korlátos (A), viszont konkáv (nem K). $\implies$ M $\cap$ A (kivéve K).

---

b) A feladat egy olyan konvex ($K$) és alulról korlátos ($A$) függvényt keres, amely viszont nem szigorúan monoton növekedő (nincs az $M$-ben). Ilyen lehet például az alap parabola: $j(x) = x^2$.

---

c) A függvény egy felfelé nyíló parabola, melynek csúcspontja adja a minimumot. A teljes négyzetté alakítás módszerével:

$$ y = (x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3 $$

Tehát az együtthatók az összehasonlítás alapján: $b = -4$ és $c = 3$.

(Ugyanez deriválással is könnyen kiadódik: $(x^2+bx+c)' = 2x+b$, mely az $x=2$-ben nulla $\implies 4+b=0 \implies b=-4$. A függvényérték pedig: $2^2 - 4\cdot 2 + c = -1 \implies c = 3$.)

---

d) A megadott határozott integrált kiértékeljük a Newton-Leibniz formula alapján:

$$ \int_0^p \sin x \, dx = \Big[-\cos x\Big]_0^p = (-\cos p) - (-\cos 0) = -\cos p + 1 $$

A feladat szerint ez az érték $\frac{1}{2}$-del egyenlő:

$$ -\cos p + 1 = \frac{1}{2} \implies \cos p = \frac{1}{2} $$

A $[0; 2\pi]$ intervallumon ennek a trigonometrikus egyenletnek két megoldása van: $p_1 = \frac{\pi}{3}$ és $p_2 = \frac{5\pi}{3}$.

a) Az abszolútérték miatt két esetet kell megvizsgálnunk.

1. eset: \( 2 \sin^2 x + 7 \sin x + 1 = 5 \implies 2 \sin^2 x + 7 \sin x - 4 = 0 \)
Az egyenlet \( \sin x \)-ben másodfokú, a megoldóképlettel a gyökei: \( \sin x = 0,5 \) és \( \sin x = -4 \). Mivel \( -1 \le \sin x \le 1 \), a \(-4\) nem ad megoldást.
A \( \sin x = 0,5 \) megoldásai: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{vagy} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$

2. eset: \( 2 \sin^2 x + 7 \sin x + 1 = -5 \implies 2 \sin^2 x + 7 \sin x + 6 = 0 \)
Az egyenlet gyökei \( \sin x = -1,5 \) és \( \sin x = -2 \). Egyik sem esik a \( [-1; 1] \) intervallumba, így ebből az ágból nem kapunk új megoldást.

b) A \( [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}] \) intervallumon az \( f(x) = \sin x \) függvény pozitív, így a keresett síkidom területe egyszerűen a határozott integrállal számolható: $$ T = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} $$ A Newton-Leibniz szabállyal behelyettesítve: $$ T = \left( -\cos \frac{5\pi}{6} \right) - \left( -\cos \frac{\pi}{6} \right) = \left( -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\sqrt{3}} \approx 1,73 $$

a) Az értelmezési tartomány: \( x > 0 \). A logaritmus azonosságát alkalmazva:

$$ \log_3(x(x + 2)) = 1 $$

A logaritmus definíciója alapján:

$$ x(x + 2) = 3^1 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei \( x = -3 \) és \( x = 1 \). A \( -3 \) nem eleme az értelmezési tartománynak, így az egyetlen helyes megoldás az \( x = 1 \).

b) A \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) azonosság felhasználásával helyettesítsük a koszinusz négyzetét:

$$ 4\sin^2 x - 16(1 - \sin^2 x) = -1 $$

$$ 4\sin^2 x - 16 + 16\sin^2 x = -1 \implies 20\sin^2 x = 15 $$

$$ \sin^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{vagy} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

A megoldások:

\( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) vagy \( x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \), ahol \( k \in \mathbb{Z} \).

a) A \( \cos x = 0 \) nem lehet megoldás, hiszen ekkor \( \sin x \) is 0 lenne, ami a \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) azonosság miatt lehetetlen. Így oszthatunk \( \cos^2 x \)-szel: $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 3 \implies \tan^2 x = 3 $$ Gyökvonás után két esetet kapunk: $$ \tan x = \sqrt{3} \quad \text{vagy} \quad \tan x = -\sqrt{3} $$ A tangensfüggvény tulajdonságai alapján a megoldások: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{vagy} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$

b) Az egyenlet értelmezési tartománya a logaritmusok argumentumainak pozitivitása miatt: \( x + 8 > 0 \), \( x - 2 > 0 \) és \( x + 4 > 0 \). Ezek közül a legszigorúbb feltétel: \( x > 2 \).
A logaritmus azonosságait (összeg, különbség) alkalmazva: $$ \log_3 \frac{(x + 8)(x - 2)}{x + 4} = 1 $$ A logaritmusfüggvény definíciója és szigorú monotonitása miatt: $$ \frac{x^2 - 2x + 8x - 16}{x + 4} = 3^1 \implies \frac{x^2 + 6x - 16}{x + 4} = 3 $$ Szorozzuk meg mindkét oldalt a (pozitív) \( x + 4 \)-gyel: $$ x^2 + 6x - 16 = 3x + 12 \implies x^2 + 3x - 28 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei a megoldóképlettel vagy szorzattá alakítással (\( (x+7)(x-4)=0 \)): \( x_1 = 4 \) és \( x_2 = -7 \).
Az \( x = -7 \) nem eleme az értelmezési tartománynak. Az egyetlen helyes megoldás: \( x = 4 \).

a) Mivel \( 9^x = (3^x)^2 \), ezért az egyenlet \( 3^x \)-ben másodfokú: $$ 9 \cdot (3^x)^2 + 15 \cdot 3^x - 6 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldásai \( 3^x \)-re: \( 3^x = -2 \) vagy \( 3^x = \frac{1}{3} \).

Az első eset nem lehetséges, mert \( 3^x > 0 \).
A második esetből: \( 3^x = 3^{-1} \implies \mathbf{x = -1} \).

b) Az egyenletet rendezve: $$ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Ebből két ág adódik (\( k \in \mathbb{Z} \)): $$ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{vagy} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi $$ Kifejezve \( x \)-et mindkét ágon: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{4} + k \cdot \pi} \quad \text{vagy} \quad \mathbf{x = \frac{7\pi}{12} + k \cdot \pi} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

a) A második egyenlet bal oldalát átalakítva: $$ \frac{\lg x + \lg y}{2} = \frac{\lg(xy)}{2} = \lg \sqrt{xy} $$ Az egyenlet tehát így írható fel: $$ \lg \sqrt{xy} = \lg \frac{x+y}{2} $$ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ebből következik, hogy a két argumentum megegyezik: $$ \sqrt{xy} = \frac{x+y}{2} $$ A pozitív számokra vonatkozó számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \( x = y \). Mivel az első egyenletből tudjuk, hogy \( x + y = 0,2 \), így kapjuk: $$ \mathbf{x = y = 0,1} $$ Ellenőrzés: bal oldal \( \frac{\lg 0,1 + \lg 0,1}{2} = -1 \), jobb oldal \( \lg \frac{0,2}{2} = \lg 0,1 = -1 \).

b) Alkalmazzuk a \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) azonosságot: $$ 2(1 - \cos^2 x) - \cos x = 2 \implies 2 - 2\cos^2 x - \cos x = 2 $$ Rendezve: $$ -2\cos^2 x - \cos x = 0 \implies \cos x(2\cos x + 1) = 0 $$ Ebből két eset adódik: \( \cos x = 0 \) vagy \( \cos x = -0,5 \).
A \( [-\pi; \pi] \) intervallumon:
- Ha \( \cos x = 0 \), akkor \( x = -\frac{\pi}{2} \) vagy \( x = \frac{\pi}{2} \).
- Ha \( \cos x = -0,5 \), akkor \( x = -\frac{2\pi}{3} \) vagy \( x = \frac{2\pi}{3} \).
Ezek a gyökök kiadják a megoldást, melyek ellenőrizve is megfelelnek az eredeti egyenletnek.

a) Alkalmazzuk a \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) helyettesítést:

$$ \sin x - (1 - \sin^2 x) = -1 $$ $$ \sin^2 x + \sin x = 0 $$

Szorzattá alakítva: \( \sin x \cdot (\sin x + 1) = 0 \).

A két lehetséges eset:

• \( \sin x = 0 \), amiből \( \mathbf{x = k \cdot \pi} \), ahol \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( \sin x = -1 \), amiből \( \mathbf{x = \frac{3\pi}{2} + l \cdot 2\pi} \), ahol \( l \in \mathbb{Z} \).

b) Az abszolútérték miatt két esetet vizsgálunk meg.

1. eset: Ha \( x \ge 0 \), akkor \( |x| = x \).

Ekkor az egyenlet: \( |x - x| = 2x + 1 \implies 0 = 2x + 1 \implies x = -\frac{1}{2} \).

Mivel feltettük, hogy \( x \ge 0 \), ez nem megoldás.

2. eset: Ha \( x < 0 \), akkor \( |x| = -x \).

Ekkor az egyenlet: \( |x - (-x)| = 2x + 1 \implies |2x| = 2x + 1 \).

Mivel \( x < 0 \), ezért \( 2x < 0 \), így \( |2x| = -2x \).

Az egyenlet: \( -2x = 2x + 1 \implies -4x = 1 \implies \mathbf{x = -\frac{1}{4}} \).

Ellenőrzés: bal oldal \( | -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} | = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \). Jobb oldal: \( 2(-\frac{1}{4}) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). A megoldás helyes.

a) Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítjuk át: $$ 2 \sin x - 2 \sin^2 x = 1 - \sin^2 x $$ Nullára rendezve kapjuk a másodfokú egyenletet: $$ \sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0 \implies (\sin x - 1)^2 = 0 $$ Ebből adódik, hogy \( \sin x = 1 \).
A megoldás: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \text{ahol } k \in \mathbb{Z}} $$

b) A logaritmusfüggvény értelmezése miatt kikötjük, hogy \( x > 0 \).
Mivel \( 25^{\lg x} = (5^{\lg x})^2 \), az egyenletet \( 5^{\lg x} \)-re nézve másodfokú egyenletként írhatjuk fel: $$ (5^{\lg x})^2 - 4 \cdot 5^{\lg x} - 5 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldásai: \( 5^{\lg x} = -1 \) és \( 5^{\lg x} = 5 \).
Mivel az exponenciális függvény értéke pozitív (\( 5^{\lg x} > 0 \)), ezért az \( 5^{\lg x} = -1 \) nem lehetséges.
Ha \( 5^{\lg x} = 5 \), akkor \( \lg x = 1 \), amiből adódik, hogy: $$ \mathbf{x = 10} $$ Ez valóban megoldása az egyenletnek (behelyettesítéssel ellenőrizhető).

a) Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: $$ 2x^3 - 5x^2 - 3x = x(2x^2 - 5x - 3) = 0 $$ Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ebből azonnal adódik, hogy \( x_1 = 0 \). A többi gyököt a másodfokú egyenletből kapjuk: $$ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \implies x_{2,3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4} $$ Így \( x_2 = 3 \) és \( x_3 = -\frac{1}{2} \). A szorzat alakból látható, hogy a megadott három szám valóban gyöke az egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két valós gyöke lehet, ezért a kiemelt \( x = 0 \) gyökkel együtt összesen pontosan ez a három gyöke van az egyenletnek.

b) Legyen \( y = \cos x \). Ekkor az a) feladat egyenletét kapjuk: $$ 2y^3 - 5y^2 - 3y = 0 $$ Melynek gyökei az a) rész alapján \( y_1 = 0 \), \( y_2 = -\frac{1}{2} \) és \( y_3 = 3 \). Mivel \( -1 \le \cos x \le 1 \), a \( \cos x = 3 \) egyenletnek nincs valós megoldása. A \( \cos x = 0 \) egyenlet megoldásai: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$ A \( \cos x = -\frac{1}{2} \) egyenlet megoldásai: $$ \mathbf{x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi \quad (m \in \mathbb{Z})} $$

c) Az exponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. Emiatt bármely valós \( x \) esetén: $$ 2 \cdot 8^x > 0, \quad 7 \cdot 4^x > 0, \quad \text{és} \quad 3 \cdot 2^x > 0 $$ Az egyenlet bal oldalán álló összeg így három pozitív szám összegeként maga is szigorúan pozitív. Tehát az összeg sosem lehet nulla, az egyenletnek valóban nincs valós gyöke.

Az első egyenletben azonos alapú logaritmusra áttérve: $$ \log_x y + \frac{1}{\log_x y} = 2 $$ Mivel egy (pozitív) számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor 2, ha a szám 1, ezért \( \log_x y = 1 \), azaz \( x = y \).

Behelyettesítve az \( x = y \) eredményt a második egyenletbe: $$ \sin(5x) + \sin(5x) = 1 \implies 2\sin(5x) = 1 \implies \sin(5x) = \frac{1}{2} $$

Az egyenlet megoldásai: $$ 5x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{vagy} \quad 5x = \frac{5\pi}{6} + 2l\pi \quad (k, l \in \mathbb{N}) $$ Itt figyelembe vettük, hogy \( x > 0 \), így a paraméterek nem lehetnek negatívak.

A megoldások így: $$ x_1 = y_1 = \frac{\pi}{30} + \frac{2}{5}k\pi \quad (k \in \mathbb{N}) $$ $$ x_2 = y_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{5}l\pi \quad (l \in \mathbb{N}) $$ A kapott értékek (melyek egyike sem 1) kielégítik az eredeti egyenleteket.

Az első egyenletből, felhasználva, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha legalább az egyik szorzótényezője 0, adódnak a következő esetek:

a) eset: \( \sin x = 0 \)
Az \( x \in [0; 2\pi] \) intervallumban három \( x \) érték tesz eleget ennek az egyenletnek: $$ x_1 = 0; \quad x_2 = \pi; \quad x_3 = 2\pi $$ A \( \sin x = 0 \) feltételt behelyettesítve a második egyenletbe: $$ \sin^2 y = \frac{1}{4} $$ Ebből \( \sin y = \frac{1}{2} \) vagy \( \sin y = -\frac{1}{2} \).
Az első egyenletnek az intervallumon két \( y \) érték felel meg: \( y = \frac{\pi}{6} \) és \( y = \frac{5\pi}{6} \).
A második egyenletnek szintén két \( y \) érték felel meg: \( y = \frac{7\pi}{6} \) és \( y = \frac{11\pi}{6} \).
Így összesen négy \( y \) érték tesz eleget az egyenletrendszernek ebben az ágban.
Ebben az esetben összesen \( 3 \cdot 4 = \mathbf{12} \) darab \( (x; y) \) rendezett számpár megoldás van.

b) eset: \( \cos y = 0 \)
Az \( y \in [0; 2\pi] \) intervallumban két \( y \) érték tesz eleget ennek: $$ y_5 = \frac{\pi}{2}; \quad y_6 = \frac{3\pi}{2} $$ Ha \( \cos y = 0 \), akkor \( \sin^2 y = 1 \). Amit behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk: $$ \sin x + 1 = \frac{1}{4} \implies \sin x = -\frac{3}{4} $$ Ez a \( [0; 2\pi] \) intervallumban két \( x \) értékre teljesül (\( x_1 \approx 3,9897 \) és \( x_2 \approx 5,4351 \)).
Ebben az esetben \( 2 \cdot 2 = \mathbf{4} \) rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek.

Az a) és b) esetben egymástól különböző számpárokat kaptunk, így összesen \( 12 + 4 = \mathbf{16} \) darab rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek.

a) Behelyettesítve a \( t = \frac{5\pi}{6} \) (azaz \( 150^\circ \)) értéket:

$$ \mathbf{a} = \left( \cos \frac{5\pi}{6} ; \sin \frac{5\pi}{6} \right) = \mathbf{\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)} $$ $$ \mathbf{b} = \left( \sin^2 \frac{5\pi}{6} ; \cos^2 \frac{5\pi}{6} \right) = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 ; \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right) = \mathbf{\left( \frac{1}{4} ; \frac{3}{4} \right)} $$

b) A két vektor hajlásszögét (\( \alpha \)) a skaláris szorzatból határozhatjuk meg: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \alpha \).

A skaláris szorzat: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 - \sqrt{3}}{8} \).
A vektorok hossza: \( |\mathbf{a}| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1 \).
\( |\mathbf{b}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \).

$$ \cos \alpha = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \approx 0,2005 $$

Ebből a hajlásszög: \( \alpha \approx 78,43^\circ \). Kerekítve a keresett szög \( 78^\circ \).

c) A két vektor akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk nulla:

$$ \cos t \cdot \sin^2 t + \sin t \cdot \cos^2 t = 0 $$

Kiemelve a közös tényezőt:

$$ \sin t \cdot \cos t \cdot (\sin t + \cos t) = 0 $$

Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:

• \( \sin t = 0 \implies \mathbf{t = k\pi} \quad (k \in \mathbb{Z}) \)
• \( \cos t = 0 \implies \mathbf{t = \frac{\pi}{2} + n\pi} \quad (n \in \mathbb{Z}) \)
• \( \sin t + \cos t = 0 \implies \tan t = -1 \implies \mathbf{t = \frac{3\pi}{4} + m\pi} \quad (m \in \mathbb{Z}) \)

a) A tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevezője nem nulla.
A számláló gyökei: \( 2x^2 + x - 10 = 0 \implies x_1 = 2 \text{ és } x_2 = -2,5 \).
A nevező nem lehet nulla: \( 2^{x-1} - 2 \neq 0 \implies x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2 \).
Így az \( x=2 \) hamis gyök, az egyetlen valós megoldás az \( x = -2,5 \).

b) Az értelmezési tartomány: \( x+16 \ge 0 \) és \( x-9 \ge 0 \implies x \ge 9 \).
A \( [9; +\infty[ \) halmazon a bal oldali függvény (mint szigorúan monoton növekvő függvények összege) szigorúan monoton növekvő. Minimumértékét az \( x=9 \) helyen veszi fel, ami éppen \( \sqrt{25} + 0 = 5 \). Emiatt az egyetlen megoldás az \( x = 9 \).

c) Vizsgáljuk meg a logaritmusok értelmezési tartományát!
Az első feltétel: \( x^2 + x - 6 > 0 \implies x < -3 \text{ vagy } x > 2 \).
A második feltétel: \( 1 - x^2 > 0 \implies -1 < x < 1 \).
A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása.

d) A bal oldali kifejezés (\( \sin x - 1 \)) értéke legfeljebb 0, míg a jobb oldali (négyzetgyökös) kifejezés értéke csak nemnegatív lehet. Az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha mindkét oldal pontosan 0.
Bal oldal: \( \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \). Ha \( \sin x = 1 \), akkor \( \cos x = 0 \).
Ekkor a jobb oldal argumentuma: \( \cos^2 x - 1,5\cos x = 0 - 0 = 0 \). De a logaritmus 0-ra nincs értelmezve! Így az egyenlet nem értelmezhető ott, ahol egyenlőség lehetne, tehát nincs megoldása.

A \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) azonosság felhasználásával a megoldandó egyenlet:

$$ 1 - 2\sin^2 x + 4\sin^2 x - 5\sin x - 4 = 0 $$ $$ 2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 $$

A \( \sin x \)-re kapott másodfokú egyenlet megoldásai a megoldóképlet alapján:

$$ \sin x = -\frac{1}{2} \quad \text{és} \quad \sin x = 3 $$

A \( \sin x = 3 \) egyenletnek nincs megoldása, hiszen a \( \sin x \) függvény maximális értéke 1.

A \( \sin x = -\frac{1}{2} \) egyenlet megoldásai:

$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{ahol } k \in \mathbb{Z} $$

vagy

$$ x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi, \quad \text{ahol } n \in \mathbb{Z} $$

A kapott számok megoldásai az eredeti egyenletnek is.

A logaritmus értelmezési tartománya miatt \( x \) és \( y \) 1-től különböző pozitív számok lehetnek (\( x, y > 0 \), \( x, y \neq 1 \)).

Alakítsuk át az első egyenlet bal oldalát a logaritmus azonosságainak felhasználásával: $$ \log_x(x^2) + \log_x(y^3) + \log_y(x^3) + \log_y(y) = 9 $$ $$ 2 + 3\log_x y + 3\log_y x + 1 = 9 $$ $$ 3(\log_x y + \log_y x) = 6 $$ $$ \log_x y + \log_y x = 2 $$ Tudjuk, hogy \( \log_x y \) és \( \log_y x \) egymás reciprokai, és összegük pontosan 2. Mivel \( A + \frac{1}{A} = 2 \) egyetlen megoldása az \( A = 1 \), így: $$ \log_x y = 1 \implies \mathbf{x = y} $$

Helyettesítsük ezt be a második egyenletbe: $$ \cos(x + x) + \cos(x - x) = 0 $$ $$ \cos(2x) + \cos(0) = 0 $$ $$ \cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -1 $$ Ennek megoldása: $$ 2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Vegyük figyelembe az \( x > 0 \) és \( x \neq 1 \) feltételeket. Mivel \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \), ez és minden ehhez adott \( \pi \) többszörös (ahol \( k \ge 0 \)) megfelel. Így a megoldás: $$ \mathbf{x = y = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{N})} $$

Vegyük észre, hogy a gyökök alatt teljes négyzetek állnak (a 12,25 pedig a \( 3,5^2 \)): $$ \sqrt{(\sin x - 2)^2} + \sqrt{(\sin x + 2)^2} = \sqrt{(\sin x + 3,5)^2} $$

A négyzetgyökvonás elvégzése után abszolútértéket kapunk: $$ |\sin x - 2| + |\sin x + 2| = |\sin x + 3,5| $$

Mivel a valós számok halmazán \( -1 \le \sin x \le 1 \), vizsgáljuk meg az abszolútértékeken belüli kifejezések előjelét:

• \( \sin x - 2 < 0 \) minden \( x \)-re, ezért \( |\sin x - 2| = -(\sin x - 2) = 2 - \sin x \).
• \( \sin x + 2 > 0 \) minden \( x \)-re, ezért \( |\sin x + 2| = \sin x + 2 \).
• \( \sin x + 3,5 > 0 \) minden \( x \)-re, ezért \( |\sin x + 3,5| = \sin x + 3,5 \).

Így az abszolútérték-jelek elhagyásával az egyenlet a következőképpen alakul: $$ 2 - \sin x + \sin x + 2 = \sin x + 3,5 $$ Összevonva a bal oldalt: $$ 4 = \sin x + 3,5 \implies \sin x = 0,5 $$

Ennek a trigonometrikus alap-egyenletnek a megoldásai a valós számok halmazán: $$ \mathbf{x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi} \quad \text{vagy} \quad \mathbf{x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi} \quad \mathbf{(k \in \mathbb{Z})} $$