Százalékszámítás

a) 1957-től 2026-ig eltelt pontosan $t = 2026 - 1957 = 69$ év.

A kísérlet során felszabadult stroncium-90-ből ennyi maradt meg a környezetben:

b) Az exponenciális csökkenés miatt elegendő a változást csupán 1 évre megvizsgálni. Egy év elteltével a stroncium tömegének aránya a kezdeti értékhez képest:

Ez azt jelenti, hogy az anyag 97,6%-a marad meg 1 év elteltével. A csökkenés mértéke tehát $100\% - 97,6\% = \mathbf{2,4\%}$-os évenként.

c) Jelölje $t$ a stroncium-90 környezetbe kerülésétől 2026-ig eltelt évek számát. Ekkor:

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 50-nel:

A kitevő meghatározásához vegyük mindkét oldal logaritmusát (akár 0,5-ös alapút, akár tízeset):

Körülbelül 17 év telt el a kibocsátás óta, ez alapján a stroncium-90 ($2026 - 17 =) $ 2009-ben kerülhetett a környezetbe.

a) Jelölje a cipők novemberi árát forintban $x$, $y$ és $z$, ahol $x \le y \le z$. A feladat szövege alapján a következő háromismeretlenes egyenletrendszert írhatjuk fel:

A harmadik egyenletből kivonva az elsőt:

Helyettesítsük vissza az $x = 10\,000$ értéket az első és második egyenletbe:

Vonjuk ki az első (módosított) egyenletből a másodikat:

A hiányzó harmadik cipő ára ekkor $z = 35\,000 - 15\,000 = 20\,000$.

Tehát a három cipő novemberi ára 10 000 Ft, 15 000 Ft és 20 000 Ft volt.

b) Jelölje a számtani sorozat differenciáját $d$. Ekkor az első három szám felírható a következőképpen: $3$, $3 + d$, $3 + 2d$. A negyedik szám a feladat szerint $25$.

A feltétel alapján az utolsó három szám, azaz a $(3 + d)$, a $(3 + 2d)$ és a $25$ egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A mértani közép tulajdonsága miatt a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédos tag szorzatával:

Bontsuk fel a zárójeleket:

Rendezzük az egyenletet nullára:

A másodfokú megoldóképlettel megkapjuk a differenciákat:

Ebből $d_1 = 6$ és $d_2 = -2,75$.

• Ha $d = 6$, akkor a hiányzó két szám a $3 + 6 = \mathbf{9}$ és a $3 + 12 = \mathbf{15}$. (A sorozat: 3, 9, 15, 25. Ez megfelel a feltételeknek, hiszen a 9, 15, 25 mértani sorozat hányadosa $\frac{5}{3}$.)
• Ha $d = -2,75$, akkor a két hiányzó szám a $3 - 2,75 = \mathbf{0,25}$ és a $3 - 5,5 = \mathbf{-2,5}$. (A sorozat: 3, 0,25, -2,5, 25. Az utolsó három tag mértani sorozat, melynek hányadosa $-10$.)

Tehát a keresett két szám a 9 és 15, vagy a 0,25 és -2,5.

a) Jelölje a fiúk számát az iskolában $n$. Ekkor a lányok száma $510 - n$. A kitűnők számára felírható összefüggések a következők:

Helyettesítsük be a $p$ értékét a lányok egyenletébe:

Szorozzuk meg mindkét oldalt $n$-nel, és végezzük el a beszorzást:

Nullára rendezve kapjuk a következő másodfokú egyenletet:

Oszthatjuk 3-mal, így: $n^2 + 590n - 221\,000 = 0$. Ennek a másodfokú egyenletnek a pozitív gyöke $n = 260$.

Tehát az iskolában a fiúk száma 260, a lányok száma pedig 250.

b) Klasszikus valószínűségi modellel dolgozunk. Az összes lehetőség arra, hogy 33 kitűnő tanulóból kiválasztunk hármat (sorrendre való tekintet nélkül): $\binom{33}{3} = 5456$.

A kedvező esetek száma (amikor 13 fiúból 1-et, és 20 lányból 2-t választunk): $\binom{13}{1} \cdot \binom{20}{2} = 13 \cdot 190 = 2470$.

A keresett valószínűség:

c) A sodrófadiagram (box-plot) elkészítéséhez 5 adatra van szükség: a minimumra, az alsó kvartilisre ($Q_1$), a mediánra, a felső kvartilisre ($Q_3$) és a maximumra.

• Mivel vannak kitűnő tanulók (5,0-es átlaggal), a maximum = 5,0.
• A terjedelmet (maximum - minimum) ismerjük (2,4), így a minimum = 5,0 - 2,4 = 2,6.
• A további adatok a feladat szövegéből adottak: $Q_1$ = 3,3; medián = 4,0; $Q_3$ = 4,6.

a) A test szimmetrikus, így kétféle testátlója van. Az egyik a \( 6 \times 8 \times 2 \) téglatest testátlójával, a másik a \( 6 \times 8 \times 5 \) téglatest testátlójával egyezik meg.
A rövidebb testátló: \( \sqrt{6^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{104} \approx \mathbf{10{,}2 \text{ cm}} \).
A hosszabb testátló: \( \sqrt{6^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx \mathbf{11{,}2 \text{ cm}} \).

b) A teljes \( 15 \times 16 \)-os téglalap területe \( 240 \text{ cm}^2 \).
A test hálójának területe az 5 lap összegéből áll: az alaplap (\( 6 \cdot 8 = 48 \)), a két téglalap (\( 6 \cdot 2 = 12 \) és \( 6 \cdot 5 = 30 \)), valamint a két derékszögű trapéz (\( 2 \cdot \frac{5+2}{2} \cdot 8 = 56 \)).
A háló területe \( 48 + 12 + 30 + 56 = 146 \text{ cm}^2 \).
A keletkező hulladék területe \( 240 - 146 = 94 \text{ cm}^2 \), ami a teljes lap \( \frac{94}{240} \cdot 100 \approx \) \( 39{,}2\% \)-a.

c) Legyen a belső téglalap szélessége \( x \), magassága pedig \( \frac{50}{x} \).
Ekkor a teljes kartonlap oldalai \( x + 4 \) és \( \frac{50}{x} + 8 \) hosszúak. A teljes terület:

$$ T(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 50 + 8x + \frac{200}{x} + 32 = 82 + 8x + \frac{200}{x} $$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva a két pozitív, \( x \)-től függő tagra:

$$ 8x + \frac{200}{x} \ge 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80 $$

Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a két tag egyenlő: \( 8x = \frac{200}{x} \implies 8x^2 = 200 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 \).
Tehát a belső téglalap optimális méretei 5 cm és 10 cm, így a kartonlap oldalainak hossza \( 5+4 = \) 9 cm, illetve \( 10+8 = \) 18 cm.

a) Húzzuk be a négyszög \( AC \) átlóját, ami két háromszögre bontja a területet. Az \( ABC \) háromszögre írjuk fel a koszinusztételt: $$ AC^2 = 126^2 + 65^2 - 2 \cdot 126 \cdot 65 \cdot \cos 122,5^\circ \approx 15876 + 4225 - 16380 \cdot (-0,5373) $$ $$ AC^2 \approx 28900 \implies AC \approx 170 \text{ m} $$ Az \( ADC \) háromszög derékszögű (mivel \( D \)-nél a szög \( 90^\circ \)). A Pitagorasz-tételből az \( AD \) oldal hossza: $$ AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} \approx \sqrt{170^2 - 80^2} = \sqrt{28900 - 6400} = \sqrt{22500} = 150 \text{ m} $$ A teljes legelő területe a két háromszög területének összege: $$ T = T_{ABC} + T_{ADC} = \frac{126 \cdot 65 \cdot \sin 122,5^\circ}{2} + \frac{150 \cdot 80}{2} $$ $$ T \approx 3454 + 6000 = 9454 \text{ m}^2 $$ A meghirdetett terület \( 0,9 \text{ ha} = 9000 \text{ m}^2 \). Az arány: $$ \frac{9454}{9000} \approx 1,0504 $$ Tehát a valódi terület kb. 5%-kal nagyobb a meghirdetettnél.

b) A megdöntött vályúban maradt víztömeg alakja egy olyan háromoldalú gúla, amelynek az alaplapja az eredeti hasáb 38 cm oldalú szabályos háromszög alakú alaplapja, a gúla magassága pedig megegyezik a hasáb 72 cm-es hosszával. A szabályos háromszög területe: $$ T_{alap} = \frac{38^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 625,3 \text{ cm}^2 $$ A gúla térfogata: $$ V = \frac{1}{3} \cdot T_{alap} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 625,3 \cdot 72 \approx 15006 \text{ cm}^3 $$ Mivel \( 1 \text{ liter} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \), a víz térfogata nagyjából 15,006 liter, ami kerekítve 15 liter, és ezzel az állítást igazoltuk.

c) A visszafektetett vályúban a víz egy azonos (72 cm) hosszúságú egyenes hasáb alakot vesz fel, melynek alaplapja egy az eredetihez hasonló szabályos háromszög (csúcsával lefelé). Mivel az eredeti 72 cm hosszú hasáb (vályú) térfogata a gúla térfogatának éppen háromszorosa, a benne lévő 15 liter víz a teljes térfogat pontosan egyharmadát tölti ki. A vízoszlop alaplapjának területe tehát pontosan a harmada az eredeti 38 cm-es szabályos háromszög területének (\( T_{viz} = \frac{1}{3} T_{alap} \)). Hasonló síkidomok esetén a területek aránya a hasonlósági arány négyzete, így a magasságok (és oldalak) aránya: $$ \lambda = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Az eredeti szabályos háromszög teljes magassága: $$ m_{teljes} = \frac{38 \cdot \sqrt{3}}{2} = 19\sqrt{3} \text{ cm} $$ A víz magassága a vályúban: $$ m_{viz} = m_{teljes} \cdot \lambda = 19\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{19 \text{ cm}} $$

a) A lakók közül \( 50 \cdot 0,38 = 19 \) nő, és \( 50 - 19 = 31 \) férfi. A szemüvegesek száma \( 50 \cdot 0,32 = 16 \), így a nem szemüvegesek száma \( 50 - 16 = 34 \).
A nem szemüveges férfiak száma legfeljebb 31 lehet (ha egyetlen férfi sem szemüveges).
A férfiak és a nem szemüvegesek számának összege \( 31 + 34 = 65 \), de mivel csak 50 lakó van, legalább \( 65 - 50 = 15 \) embert mindkét halmazban megszámoltunk. Tehát a nem szemüveges férfiak száma legalább 15.

b) Jelölje a füvesített derékszögű háromszöget \( ADC \), ahol a derékszög \( D \)-nél van, az oldalak \( DA = 10 \) m, \( DC = 15 \) m. Az öntöző a \( D \) pontban van, és \( r = 10 \) m sugarú körcikket öntöz.
A füvesített rész teljes területe: \( T_{f\ddot{u}ves} = \frac{10 \cdot 15}{2} = 75 \text{ m}^2 \).
Az átló (az \( AC \) szakasz) metszi az öntözött körcikket egy \( M \) pontban. Mivel \( DM = DA = 10 \) m, a \( DAM \) háromszög egyenlő szárú.
A derékszögű háromszög \( C \) csúcsnál lévő szöge: \( \text{tg} \alpha = \frac{15}{10} \implies \alpha \approx 56,3^\circ \).
Így a \( DAM \) háromszög harmadik szöge az öntözőnél: \( \beta = 180^\circ - 2\alpha \approx 67,4^\circ \).
A \( DAM \) háromszög területe: \( T_{DAM} = \frac{10 \cdot 10 \cdot \sin(67,4^\circ)}{2} \approx 46,2 \text{ m}^2 \).
Az ezen felüli öntözött körcikk (az \( MDC \) részen) középponti szöge \( \gamma = 90^\circ - \beta \approx 22,6^\circ \). Ennek területe: \( T_{cikk} = \frac{22,6^\circ}{360^\circ} \cdot 10^2\pi \approx 19,7 \text{ m}^2 \).
Az öntözött füves rész összesen \( 46,2 + 19,7 = 65,9 \text{ m}^2 \).
A locsolásból kimaradó terület: \( 75 - 65,9 = \mathbf{9,1 \text{ m}^2} \).

a) Az \( AB \) oldal felezőpontja \( F(41; 0) \). Mivel a háromszög szimmetrikus, az \( AFC \) háromszög derékszögű. $$ \text{tg } \alpha = \frac{CF}{AF} = \frac{71}{41} $$ Ebből \( \alpha \approx 59,995^\circ \). Mivel a háromszög egyenlőszárú, \( \beta = \alpha \approx 59,995^\circ \).
A csúcsszög: \( \gamma = 180^\circ - 2\alpha \approx 60,010^\circ \).
A háromszög szögei kerekítve: \( 59,995^\circ \), \( 59,995^\circ \) és \( 60,010^\circ \). (Tehát Gézának nincs igaza, a háromszög nem szabályos.)

b) Az oldalak hossza: $$ AB = 82 $$ $$ AC = \sqrt{41^2 + 71^2} = \sqrt{1681 + 5041} = \sqrt{6722} $$ A keresett arány: $$ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6722}}{82} \approx \mathbf{0,9999} $$

c) A csonkakúp magassága Pitagorasz-tétellel számítható a metszetből: $$ m = \sqrt{a^2 - (R - r)^2} = \sqrt{10^2 - (14 - 8)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \text{ cm.} $$ A csonkakúp pontos térfogata: $$ V_{cs} = \frac{\pi \cdot m}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi \cdot 8}{3}(14^2 + 14 \cdot 8 + 8^2) = \frac{8\pi}{3}(196 + 112 + 64) = 992\pi \text{ cm}^3 $$ A közelítő henger sugara: \( r_h = \frac{14 + 8}{2} = 11 \text{ cm} \).
A henger térfogata: $$ V_h = \pi \cdot 11^2 \cdot 8 = 968\pi \text{ cm}^3 $$ A relatív hiba kiszámítása: $$ \frac{V_h - V_{cs}}{V_{cs}} = \frac{968\pi - 992\pi}{992\pi} = \frac{-24}{992} \approx -0,0242 $$ A közelítés relatív hibája -2,4%.

a) Elegáns megközelítés: A cserével a csomag értéke \(140\,400 - 131\,400 = 9000\) Ft-tal nőne. Minden egyes 4800 Ft-os részvény 6600 Ft-osra való cseréje pontosan \(6600 - 4800 = 1800\) Ft többletet hoz.
Tehát a lecserélt részvények száma: \( \frac{9000}{1800} = 5 \) darab.
Ez az 5 darab a 4800 Ft-os részvényeink harmada, így összesen \( 5 \cdot 3 = \mathbf{15} \) darab 4800 Ft-os részvényünk van.
A 6600 Ft-os részvények számát az egyenletből kapjuk: $$ 131\,400 - 15 \cdot 4800 = 131\,400 - 72\,000 = 59\,400 \implies \frac{59\,400}{6600} = \mathbf{9} \text{ darab}. $$

b) Jelölje \(n\) a hónapok számát. Keressük azt a legkisebb \(n\)-t, amelyre felírható: $$ 450\,000 \cdot 1,013^n > 500\,000 \cdot 1,01^n $$ Rendezzük egy oldalra az \(n\)-es tagokat: $$ \left( \frac{1,013}{1,01} \right)^n > \frac{500\,000}{450\,000} \implies \left(\frac{1,013}{1,01}\right)^n > \frac{10}{9} $$ Az alap nagyobb 1-nél, így a logaritmusfüggvény szigorúan növekedő: $$ n \cdot \lg\left(\frac{1,013}{1,01}\right) > \lg\left(\frac{10}{9}\right) $$ $$ n > \frac{\lg(1,111)}{\lg(1,00297)} \approx 35,5 $$ Mivel egész hónapokat vizsgálunk, a 36. hónap végén lesz először több pénz a második befektetésben.

a) A 240 cm széles raktérben az első (legalsó) sorban $240 / 24 = 10$ darab farönk fér el. A második sor farönkjei a hézagokba illeszkednek, itt tehát csak 9 rönk kap helyet. A rönkök sorai felváltva adnak 10 és 9 darabot.
Két sor magasságkülönbségét a farönkök középpontjait összekötő, 24 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög magassága adja: $$ h = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20,78 \text{ cm} $$ Ha összesen \(k\) sort tudunk elhelyezni, akkor a rakomány teljes magassága: $$ M(k) = 24 + (k-1) \cdot 12\sqrt{3} $$ Mivel a raktér 200 cm magas, ezt az egyenlőtlenséget kell megoldanunk: $$ 24 + (k-1) \cdot 12\sqrt{3} \le 200 \implies (k-1) \cdot 20,78 \le 176 \implies k \le 9,47 $$ Tehát maximum 9 sor fér be. Ebből 5 sor 10 farönkből (páratlan sorok), és 4 sor 9 farönkből (páros sorok) áll.
Az összes farönk száma: \( 5 \cdot 10 + 4 \cdot 9 = 50 + 36 = \mathbf{86} \) darab.

b) A teljes raktér térfogata $V_{\text{raktér}} = 2,4 \cdot 2 \cdot 7 = 33,6\text{ m}^3$.
Egyetlen farönk térfogata a henger képlete szerint (\(r = 0,12\text{ m}\), \(h = 7\text{ m}\)): $$ V_1 = 0,12^2 \pi \cdot 7 \approx 0,3167 \text{ m}^3 $$ A 86 rönk együttes térfogata $V_{fa} = 86 \cdot 0,3167 \approx 27,2\text{ m}^3$.
A kitöltött rész aránya $\frac{27,2}{33,6} \approx 0,81$, tehát a térfogat 81%-át töltik ki.
A raktér 19%-a marad üresen.

c) A binomiális eloszlást alkalmazzuk, ahol $n=50$ és a selejtes fa (szúrágta) valószínűsége $p=0,04$. A kérdés az, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a selejtesek száma legfeljebb 1, tehát $k=0$ vagy $k=1$.
$$ P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \binom{50}{0} \cdot 0,04^0 \cdot 0,96^{50} + \binom{50}{1} \cdot 0,04^1 \cdot 0,96^{49} $$ Kiszámolva a tagokat: $$ 0,96^{50} \approx 0,130 $$ $$ 50 \cdot 0,04 \cdot 0,96^{49} \approx 0,271 $$ Ezek összege adja a keresett valószínűséget: \( 0,130 + 0,271 = 0,401 \).

a) Az első asztalra érkezés után 0,84 m magasra pattan vissza a labda, majd ugyanekkora távolságot tesz meg a második leérkezésig lefelé. Az első és második érkezés között megtett út hossza tehát $2 \cdot 0,84 = 1,68$ méter.
Az egymás után következő érkezések között megtett utak hossza egy mértani sorozatot alkot, melynek első tagja $a_1 = 1,68$, hányadosa pedig $q = 0,84$.
Az első és 15. asztalra érkezés között pontosan 14 ilyen pattanási szakasz van, tehát a sorozat első 14 tagjának összegét keressük: $$ S_{14} = a_1 \frac{q^{14} - 1}{q - 1} = 1,68 \frac{0,84^{14} - 1}{0,84 - 1} \approx \mathbf{9,59 \text{ méter}} $$

b) Jelölje a labdák számát $x$. Az állítás szerint felírható két egész számokra (ahol $k, m \in \mathbb{N}$): $$ x = 6k + 2 \quad \text{és} \quad x = 15m + 1 $$ A két egyenletből következik, hogy: $$ 6k + 2 = 15m + 1 \implies 1 = 15m - 6k \implies 1 = 3(5m - 2k) $$ A jobb oldal láthatóan osztható 3-mal, a bal oldal (az 1) viszont nem, ami ellentmondás. András állítása tehát valóban hamis.

c) A labdák sugara $r = 20$ mm. A doboz alaplapja felbontható a három kör középpontja által alkotott 40 mm oldalú szabályos háromszögre, e köré illesztett három $40 \times 20$ mm-es téglalapra, valamint három $120^\circ$-os körcikkre (amelyek együtt épp egy teljes kört adnak ki).
Az alapterület így: $$ T_{\text{alap}} = \frac{40^2 \cdot \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot (40 \cdot 20) + 20^2 \pi \approx 692,8 + 2400 + 1256,6 = 4349,4 \text{ mm}^2 $$ A doboz magassága egyenlő a labda átmérőjével ($40$ mm), így térfogata: $$ V_{\text{doboz}} = 4349,4 \cdot 40 = 173\,976 \text{ mm}^3 $$ A három labda együttes térfogata: $$ V_{\text{labdák}} = 3 \cdot \frac{4\pi}{3} r^3 = 4\pi \cdot 20^3 \approx 100\,531 \text{ mm}^3 $$ A kitöltöttség aránya: $$ \frac{100\,531}{173\,976} \approx 0,578 $$ Tehát a labdák a doboz térfogatának körülbelül 58%-át töltik ki.

a) A \( t = 5 \) helyettesítést alkalmazva: $$ B(5) = \frac{1\,500\,000}{1 + \left( \frac{1\,500\,000}{1000} - 1 \right) \cdot 0,75^5} = \frac{1\,500\,000}{1 + 1499 \cdot 0,75^5} \approx \mathbf{4205} $$ A modell szerint kb. 4205 betegre lehet számítani 5 nap múlva.

b) A város lakosságának 10%-a \( 150\,000 \) fő. Az egyenlet a keresett \( t \) napra: $$ 150\,000 = \frac{1\,500\,000}{1 + 1499 \cdot 0,75^t} $$ A megfelelő egyszerűsítések elvégzése után: $$ 1 + 1499 \cdot 0,75^t = 10 \implies 1499 \cdot 0,75^t = 9 \implies 0,75^t = \frac{9}{1499} $$ Mindkét oldal logaritmusát véve kapjuk: $$ t = \log_{0,75} \left( \frac{9}{1499} \right) \approx \mathbf{17,78} $$ Körülbelül 18 nap múlva éri el a fertőzöttek száma a 10%-ot.

c) A sorozat vizsgálata:
1. Korlátosság: Mivel \( L, K > 0 \) és \( 0,75^n > 0 \), a tört számlálója és nevezője is pozitív, azaz \( b_n > 0 \). Mivel a nevező (\( 1 + K \cdot 0,75^n \)) szigorúan nagyobb 1-nél, a tört értéke biztosan kisebb \( L \)-nél. Így a sorozat alulról (0) és felülről ($L$) is korlátos.
2. Monotonitás: A \( 0,75^n \) sorozat (0 és 1 közötti hányadosú mértani sorozat lévén) szigorúan monoton csökkenő. Emiatt a nevező \( 1 + K \cdot 0,75^n \) is szigorúan monoton csökkenő pozitív érték. Ha egy pozitív állandót szigorúan csökkenő pozitív értékkel osztunk, a hányados szigorúan monoton növekvő lesz.
3. Határérték: Tudjuk, hogy \( \lim_{n \to \infty} 0,75^n = 0 \). Ennek felhasználásával a sorozat határértéke: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{L}{1 + K \cdot 0,75^n} = \frac{L}{1 + K \cdot 0} = \mathbf{L} $$

a) A tető alapterülete (a vízszintes vetület területe) $T_{\text{tető}} = 7 \cdot 4 = 28 \text{ m}^2$.
A tetőre lehulló csapadék elméleti térfogata $V = 28 \cdot 0,015 = 0,42 \text{ m}^3$.
Ennek 95%-a kerül a hordókba, azaz $0,42 \cdot 0,95 = 0,399 \text{ m}^3$. Mivel a négy hordóban a víz egyenletesen oszlik el, egy hordóba $\frac{0,399}{4} = 0,09975 \text{ m}^3$ víz kerül.
Egy hordó alapterülete a $d = 40$ cm ($r = 0,2$ m) adatok alapján $T_{\text{hordó}} = 0,2^2 \cdot \pi \approx 0,1257 \text{ m}^2$.
A víz magassága a hordókban: $$ h = \frac{V_{\text{víz}}}{T_{\text{hordó}}} = \frac{0,09975}{0,1257} \approx \mathbf{0,79 \text{ m (79 cm)}} $$

b) Az épület tetőjének összes lapja $30^\circ$-os dőlésszögű a vízszinteshez képest. Ebben az esetben egy lap területe meghatározható a vízszintes vetületének területéből és a hajlásszögéből kiindulva. Ha a tető teljes alapja 28 m$^2$, akkor a felülete: $$ T_{\text{tető}} = \frac{T_{\text{alap}}}{\cos 30^\circ} = \frac{28}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{56}{\sqrt{3}} \approx 32,33 \text{ m}^2 $$ Erre a felületre $32,33 \cdot 30 = 969,9 \approx 970$ darab épen felhasznált cserép kell.
Mivel a megvásárolt mennyiség 8%-a hulladék lesz (tehát a $92\%$-a hasznosul), ezért az összesen megvásárolandó cserepek számát úgy kapjuk, hogy a 970-et elosztjuk a 0,92-es arányszámmal: $$ \text{Vásárolt cserepek száma} = \frac{970}{0,92} \approx \mathbf{1055 \text{ db}} $$

a) Legyen az elfogyasztott ételek nettó ára $x$ Ft, az italoké pedig $y$ Ft. A helyes, illetve a hibás adózási struktúrával felírhatjuk a következőt: $$ 1,04x + 1,3y = 7670 \quad \text{(Helyes számla)} $$ $$ 1,3x + 1,04y = 8710 \quad \text{(Hibás számla)} $$ Összeadva a két egyenletet: $$ 2,34(x + y) = 16\,380 \implies x + y = 7000 $$ Kivonva a helyes egyenletet a hibásból: $$ 0,26(x - y) = 1040 \implies x - y = 4000 $$ Ezt az új, letisztult egyenletrendszert megoldva a két egyenlet összegzésével: $$ 2x = 11\,000 \implies x = 5500 $$ Ebből visszahelyettesítve $y = 1500$.
A feladat a helyes bruttó árakra kérdezett rá, így felszorozzuk őket az eredeti adókulccsal: Helyes bruttó étel: $5500 \cdot 1,04 = \mathbf{5720 \text{ Ft}}$.
Helyes bruttó ital: $1500 \cdot 1,3 = \mathbf{1950 \text{ Ft}}$.

b) A táblázat alapján egy vendég átlagos költsége az étterem számára a várható érték képletével számítható ki: $$ \text{Átlagköltség} = 1000 \cdot 0,1 + 1900 \cdot 0,2 + 2800 \cdot 0,25 + 3600 \cdot 0,3 + 4400 \cdot 0,1 + 5200 \cdot 0,05 = 2960 \text{ Ft} $$ Mivel minden vendég $3900 \text{ Ft}$-ot fizet, az étterem egy vendégen elérhető átlagos haszna $3900 - 2960 = 940 \text{ Ft}$.
1000 vendég esetén a várható haszon $1000 \cdot 940 = \mathbf{940\,000 \text{ Ft}}$.

c) A két vendég esetén akkor van az étteremnek vesztesége, ha a költségük együttesen meghaladja a két vendég által befizetett bruttó $2 \cdot 3900 = 7800 \text{ Ft}$-ot.
Listázzuk és összegezzük azokat a független (kombinált) eseményeket (a sorrendet is figyelembe véve), melyek költsége $ > 7800 \text{ Ft}$:

• $5200 + 5200$: \quad $0,05 \cdot 0,05 = 0,0025$
• $5200 + 4400$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,05 \cdot 0,10 = 0,010$
• $5200 + 3600$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,05 \cdot 0,30 = 0,030$
• $5200 + 2800$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,05 \cdot 0,25 = 0,025$
• $4400 + 4400$: \quad $0,10 \cdot 0,10 = 0,010$
• $4400 + 3600$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,10 \cdot 0,30 = 0,060$

a) Mivel 400 Ft az 500 és a 300 számtani közepe (\( \frac{500+300}{2} = 400 \)), a lineáris kapcsolat miatt az eladott mennyiség százaléka is a kettő közepe lesz: \( \frac{50 + 70}{2} = 60\% \). Tehát a 200 kg-nak a 60%-a fogy el, ami \( 200 \cdot 0,6 = 120 \text{ kg} \). A bevétel: \( 120 \text{ kg} \cdot 400 \text{ Ft/kg} = \mathbf{48\,000 \text{ Ft}} \).

b) Ha lineáris kapcsolat van, akkor az \( y = mx + b \) egyenlet érvényes. A 200 kg fele 100 kg, 70%-a pedig 140 kg. A szöveg alapján kapjuk az egyenletrendszert: $$ 100 = 500m + b $$ $$ 140 = 300m + b $$ A két egyenletet kivonva egymásból: \( -40 = 200m \implies m = -\frac{1}{5} \). Visszahelyettesítve: \( 100 = 500 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) + b \implies 100 = -100 + b \implies b = 200 \). Tehát valóban \( y = -\frac{1}{5}x + 200 \).

c) A napközbeni bevétel függvénye az eladási ártól függően: \( x \cdot y = x \cdot \left(-\frac{1}{5}x + 200\right) \). A megmaradt mennyiség: \( 200 - y = 200 - \left(-\frac{1}{5}x + 200\right) = \frac{1}{5}x \). A feldolgozótól kapott bevétel: \( 80 \cdot \left(\frac{1}{5}x\right) = 16x \). Az összes bevétel: $$ B(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 200x + 16x = -\frac{1}{5}x^2 + 216x $$ Ez egy lefelé nyíló parabola, melynek maximuma a tengelypontban van: $$ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{216}{2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{216}{0,4} = \mathbf{540 \text{ Ft/kg}} $$ Ekkor a maximális bevétel: \( B(540) = 58\,320 \text{ Ft} \).

a) Az állítás hamis. Egy \( n \) csúcsú fagráf éleinek száma mindig \( n-1 \).
Jelölje \( G_1 \) csúcsainak számát \( n \). Ekkor \( G_1 \) éleinek száma \( n-1 \). A feladat feltétele szerint \( G_2 \) csúcsainak száma \( 2n \), ami miatt a \( G_2 \) éleinek száma (fagráf lévén) \( 2n - 1 \). Ugyanakkor az állítás megköveteli, hogy \( G_2 \) éleinek száma a \( G_1 \) élei számának a kétszerese is legyen: \( 2(n-1) = 2n - 2 \). Mivel a \( 2n - 1 = 2n - 2 \) egyenlet ellentmondás, így ilyen fagráfok nem léteznek.

b) A 6 cég közötti összes üzletkötések száma megegyezik egy 6 csúcsú teljes gráf éleinek számával: \( \binom{6}{2} = 15 \).
Ebből 4 üzletkötést \( \binom{15}{4} = 1365 \)-féleképpen választhatunk ki.
A legalább egyet ellenőriznek típusú kérdéseknél érdemes a komplementer eseményt vizsgálni: sem az A, sem a B cég egyetlen üzletkötését sem ellenőrzik. Ekkor csak a C, D, E, F cégek egymás közti üzletkötéseiből választanak. A 4 maradék cég között az üzletkötések száma \( \binom{4}{2} = 6 \). A hatból a 4 ellenőrzött üzletet \( \binom{6}{4} = 15 \)-féleképpen választhatják ki.
A komplementer esemény valószínűsége \( \frac{15}{1365} = \frac{1}{91} \). A keresett esemény valószínűsége így: $$ P = 1 - \frac{1}{91} = \mathbf{\frac{90}{91}} \approx 0,989 $$

c) Helyezzük koordináta-rendszerbe a tartóláncot leíró parabolát úgy, hogy a tengelypontja az origóban (\( U(0; 0) \)) legyen. Ekkor a \( P \) pont \( x \)-koordinátája a feléből \( 100 \), így a \( Q \) pont \( Q(100; 16) \). A parabola egyenlete \( y = a x^2 \) alakú. A \( Q \) pont behelyettesítésével: $$ 16 = a \cdot 100^2 \implies a = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625} \implies y = \frac{x^2}{625} $$ A \( PS \) szakasz \( 50 \) m hosszú, tehát az \( S \) pont \( x \)-koordinátája \( 100 - 50 = 50 \). A \( PQRS \) terület megegyezik a görbe alatti területtel az \( [50; 100] \) intervallumon, amit határozott integrállal számolhatunk ki: $$ T = \int_{50}^{100} \frac{x^2}{625} \, dx = \left[ \frac{x^3}{1875} \right]_{50}^{100} = \frac{1000000 - 125000}{1875} = \frac{875000}{1875} \approx 466,67 \text{ m}^2 $$ Mivel 8% veszteséggel számol a tervező, a megrendelt vászon csupán 92%-a lesz a fedésre képes tiszta felület. A szükséges megrendelt terület így: $$ T_{\text{rendelt}} = \frac{466,67}{0,92} \approx \mathbf{507 \text{ m}^2} $$ (Az 508 m² is teljesen elfogadható kerekítés.)

a) 10 parkolóőr esetén a bliccelők aránya a kezdeti 25%-ról \( 10 \cdot 0,5\% = 5\% \)-kal csökken, tehát 20% lesz.
A szabályosan fizető autósok aránya \( 80\% \). A tőlük beszedett parkolási díj bevétele: $$ 15\,000 \cdot 0,80 \cdot 10 = 12\,000 \cdot 10 = 120\,000 \text{ garas} $$ A 10 parkolóőr egy nap alatt \( 10 \cdot 200 = 2000 \) autót ellenőriz. Ezeknek a 20%-a bliccelő, tehát \( 2000 \cdot 0,2 = 400 \) büntetést osztanak ki. A büntetésből származó bevétel: $$ 400 \cdot 150 = 60\,000 \text{ garas} $$ A 10 parkolóőr napi költsége: $$ 10 \cdot 330 = 3300 \text{ garas} $$ A város nettó napi bevétele: $$ 120\,000 + 60\,000 - 3300 = \mathbf{176\,700 \text{ garas}} $$

b) Legyen \( n \) a parkolóőrök száma. A bliccelők aránya ekkor \( p(n) = 0,25 - 0,005n \).
A fizető autósok aránya \( 1 - p(n) = 0,75 + 0,005n \). Tőlük származó bevétel: $$ 10 \cdot 15\,000 \cdot (0,75 + 0,005n) = 112\,500 + 750n $$ Az ellenőrzött autók száma \( 200n \). Az itt elkapott bliccelők száma \( 200n \cdot (0,25 - 0,005n) = 50n - n^2 \). A tőlük származó bírságbevétel: $$ 150 \cdot (50n - n^2) = 7\,500n - 150n^2 $$ A napi költség \( 330n \). A város nettó bevételfüggvénye: $$ B(n) = (112\,500 + 750n) + (7\,500n - 150n^2) - 330n $$ Összevonva a megfelelő tagokat: $$ B(n) = -150n^2 + 7920n + 112\,500 $$ Ez a másodfokú függvény (mivel a főegyütthatója negatív) lefelé nyitott parabola, így a maximumát a csúcspontban veszi fel: $$ n_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7920}{2 \cdot (-150)} = \frac{7920}{300} = 26,4 $$ Mivel \( n \)-nek egésznek kell lennie, a parabolán a legmagasabb pont az \( n = 26 \)-hoz vagy az \( n = 27 \)-hez tartozik. Mivel a 26 közelebb van a 26,4-es szimmetriatengelyhez, az adja a nagyobb függvényértéket.
(Kiszámítva is igazolható: \( B(26) = 217\,020 \), míg \( B(27) = 216\,990 \)).
Tehát a város **26 parkolóőr** alkalmazása esetén érheti el a maximális napi nettó bevételt.

a) A kör középpontja a téglalap átlóinak felezőpontja: \( K(15; 24) \).
A kör sugara a középpont és az egyik csúcs távolsága: $$ KA = \sqrt{15^2 + 24^2} = \sqrt{801} \approx 28,3 $$ A kör egyenlete így: \( (x - 15)^2 + (y - 24)^2 = 801 \).

b) A díszteret alkotó kör egyenletét teljes négyzetté alakítva: $$ (x - 18)^2 + (y - 24)^2 = 81 \, (= 9^2) $$ A kör sugara \( r = 9 \) egység, területe \( T_{\text{dísztér}} = 9^2 \pi \approx 254,5 \) területegység.
A park területe \( T_{\text{park}} = 30 \cdot 48 = 1440 \) területegység.
A dísztér területe a park területének $$ \frac{81\pi}{1440} \cdot 100 \approx \mathbf{17,7\%}\text{-a.} $$

c) A sétaút átmegy a \( C(30; 48) \) és a \( P(18; 24) \) pontokon. Az irányvektora \( \mathbf{v} = (30 - 18; 48 - 24) = (12; 24) \). Ebből a normálvektora \( \mathbf{n}(2; -1) \) egyszerűsítve.
Az egyenes egyenlete: \( \mathbf{2x - y = 12} \).
A park területét ott hagyja el, ahol az \( y = 0 \) tengelyt (az \( AB \) oldalt) metszi. Behelyettesítve: \( 2x - 0 = 12 \implies x = 6 \). Tehát az \( M(6; 0) \) pontban.
A sétaút parkon belüli szakaszának (\( CM \)) hossza: $$ CM = \sqrt{(30 - 6)^2 + (48 - 0)^2} = \sqrt{24^2 + 48^2} = \sqrt{2880} \approx 53,7 \text{ egység.} $$ Mivel 1 egység 10 méternek felel meg, a valódi hossz: 537 méter.

a) Ha a kapacitás \( 0,06\% \)-kal csökken, akkor minden ciklus után az előző érték \( 100\% - 0,06\% = 99,94\% \)-ára (vagyis \( 0,9994 \)-szeresére) változik.
350 teljes töltés után a kapacitás szorzója: $$ 0,9994^{350} \approx 0,8105 $$ Tehát az eredeti érték \( 81,05\% \)-a marad meg, a csökkenés pedig körülbelül \( 19\% \)-os.

b) Keresünk egy \( n \) ciklusszámot, amelyre a kapacitás a felére csökken: $$ 0,9994^n = 0,5 $$ Logaritmust alkalmazva: $$ n = \log_{0,9994} 0,5 \approx 1155 \text{ ciklus.} $$ Mivel évente 200 töltési ciklust végeznek, az ehhez szükséges idő: $$ t = \frac{1155}{200} = 5,775 $$ A felezési idő tehát körülbelül 5,8 év.

c) A vevő 3 akkumulátort vásárol a 25-ből, ami összesen \( \binom{25}{3} = 2300 \)-féleképpen lehetséges. A "legfeljebb egy" azt jelenti, hogy 0 vagy 1 akkumulátor kapacitása kisebb 70%-nál (ezekből összesen 10 db van, a maradék 15 db kapacitása 70% fölötti).
- Pontosan 0 db 70% alatti kiválasztása: \( \binom{15}{3} = 455 \) lehetőség.
- Pontosan 1 db 70% alatti kiválasztása: \( \binom{10}{1} \cdot \binom{15}{2} = 10 \cdot 105 = 1050 \) lehetőség.
A keresett valószínűség a megfelelő esetek és az összes eset hányadosa: $$ P = \frac{455 + 1050}{2300} = \frac{1505}{2300} \approx \mathbf{0,654} $$

a) Annak a valószínűsége, hogy legalább egy nyer, a komplementer eseménnyel könnyen kiszámolható (egyik sem nyer): $$ P(\text{legalább egy}) = 1 - P(\text{egyik sem}) = 1 - 0,8^5 = 1 - 0,32768 \approx \mathbf{0,672} $$

b) Az I. eseménynél az első öt csokiból pontosan 2 nyer, és a 2 új csoki egyike sem nyer. A binomiális eloszlás alapján: $$ P(\text{I}) = \binom{5}{2} \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^3 \cdot 0,8^2 = 10 \cdot 0,04 \cdot 0,512 \cdot 0,64 \approx \mathbf{0,131} $$ A II. eseménynél az első öt csokiból pontosan 1 nyer, a nyeremény (6.) csoki szintén nyer, a rá kapott (7.) csoki viszont már nem nyer: $$ P(\text{II}) = \binom{5}{1} \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 5 \cdot 0,2 \cdot 0,4096 \cdot 0,16 \approx \mathbf{0,066} $$ Látható, hogy az I. esemény valószínűsége nagyobb.

c) A csokiszelet térfogata 20%-kal nőtt, így az új térfogat az eredeti 1,2-szerese. Mivel a testek hasonlóak, a térfogatok aránya a hasonlósági arány köbével egyezik meg. A hasonlóság aránya tehát: $$ \lambda = \sqrt[3]{1,2} \approx 1,06266 $$ Ha az eredeti szelet hossza \( x \) centiméter, akkor a megnövelté \( x + 1 \). Felírható a képlet: $$ 1,06266x \approx x + 1 \implies 0,06266x \approx 1 \implies x \approx 15,96 $$ A kerekített válasz: az eredeti csokiszelet hossza 16 cm.

a) Az egyszerűség kedvéért dm-ben számolunk: \( 200 \text{ liter} = 200 \text{ dm}^3 \), \( h = 8 \text{ dm} \).
A térfogatképletből (\( V = r^2\pi h \)) kifejezve a sugarat: $$ r^2\pi \cdot 8 = 200 \implies r^2 = \frac{25}{\pi} \implies r \approx 2,82 \text{ dm} $$ A felül nyitott hordó felszíne az alapkörből és a palástból áll: $$ A = r^2\pi + 2r\pi h = 25 + 2\pi \cdot 2,82 \cdot 8 \approx 166,7 \text{ dm}^2 $$ A 12% hulladék azt jelenti, hogy az \( x \) szükséges fémlemez 88%-át használjuk fel hasznos részként: $$ x \cdot 0,88 = 166,7 \implies x \approx \mathbf{190 \text{ dm}^2} $$

b) Fejezzük ki a magasságot a sugarat használva (\( m = \frac{200}{r^2\pi} \)), majd írjuk fel a felszínfüggvényt: $$ A(r) = r^2\pi + 2r\pi \left(\frac{200}{r^2\pi}\right) = r^2\pi + \frac{400}{r} $$ Az extrémum keresését elegánsan, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel oldjuk meg, szétbontva a hiperbolikus tagot: $$ A(r) = r^2\pi + \frac{200}{r} + \frac{200}{r} \ge 3 \sqrt[3]{r^2\pi \cdot \frac{200}{r} \cdot \frac{200}{r}} = 3\sqrt[3]{40000\pi} $$ A kifejezés akkor veszi fel a minimumát, ha a tagok megegyeznek: $$ r^2\pi = \frac{200}{r} \implies r^3 = \frac{200}{\pi} \implies \mathbf{r \approx 3,99 \text{ dm}} $$ Visszahelyettesítve a magasság képletébe: $$ m = \frac{200}{\left(\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}\right)^2 \pi} = \sqrt[3]{\frac{200}{\pi}} \implies \mathbf{m \approx 3,99 \text{ dm}} $$ Látható, hogy az optimális hordó sugara és magassága megegyezik.

a) Az első árcsökkentés szorzója \( \left(1 - \frac{p}{100}\right) \), a másodiké pedig \( \left(1 - \frac{p+4,5}{100}\right) \). A végleges szorzó 18,6%-os csökkenést ír le, tehát \( 1 - 0,186 = 0,814 \). $$ \left(1 - \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{p+4,5}{100}\right) = 0,814 $$ Célszerű bevezetni az elegánsabb \( q = 1 - \frac{p}{100} \) változót. Ezzel a formázás lényegesen megtisztul: $$ q(q - 0,045) = 0,814 \implies q^2 - 0,045q - 0,814 = 0 $$ A másodfokú egyenlet pozitív gyöke \( q = 0,925 \).
Visszatérve \( p \)-re: \( 1 - \frac{p}{100} = 0,925 \implies p = 7,5 \).
Tehát az első csökkentés 7,5%-os, míg a második (\( 7,5 + 4,5 \)) 12%-os volt.

b) A feladat egy klasszikus urnamodell skatulyaelvvel fűszerezve. Mivel mindössze 3 különböző színű kesztyűpár van a rendszerben, 4 húzás után kötelezően biztosítva van az egyezés. Ebből azonnal adódik, hogy az elméleti maximum lépésszám határolt: $$ P(1) = 0, \quad P(5) = 0, \quad P(6) = 0 $$ Elemezzük a releváns \( P(k) \) kimeneteleket:
- \( P(2) \): A második kihúzott kesztyűnek egyeznie kell az első húzás színével. (Maradt 5 kesztyű, melyből pontosan 1 megfelelő.) $$ P(2) = \frac{1}{5} $$ - \( P(3) \): A második kihúzott kesztyű eltér az elsőtől, de a harmadik egyezik valamelyik korábbival. (Az első két húzott különböző színét a maradék 4 kesztyűből 2 párja elégíti ki.) $$ P(3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5} $$ - \( P(4) \): Az első három húzás biztosan mind különböző színű, a negyedik pedig kötelezően megegyezik valamelyikkel. $$ P(4) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{2}{5} $$

a) A henger magassága \( m = 8 \) dm, alapkörének sugara \( r = 2,5 \) dm.
A térfogat: $$ V = r^2\pi \cdot m = 2,5^2 \cdot \pi \cdot 8 = 50\pi \approx \mathbf{157 \text{ liter}} \text{ (dm}^3\text{)} $$ A felszín: $$ A = 2r\pi(r + m) = 2 \cdot 2,5 \cdot \pi \cdot (2,5 + 8) = 52,5\pi \approx \mathbf{165 \text{ dm}^2} $$

b) Mivel a henger vízszintes helyzetű, a feltöltött rész és a teljes térfogat aránya megegyezik a hordó alapkörén értelmezett vizes körszelet és a teljes kör területének arányával.
A kör sugara \( 25 \) cm, a vízszint \( 40 \) cm-en van. A vízszint a kör középpontjától \( 40 - 25 = 15 \) cm távolságra metszi a kört a "felső" félkörben.
A felső, üres részhez tartozó körcikk fél-középponti szögét (\( \alpha \)) egy derékszögű háromszögből számíthatjuk ki, ahol az átfogó a sugár (\( 25 \)), a szomszédos befogó a távolság (\( 15 \)): $$ \cos\alpha = \frac{15}{25} = 0,6 $$ Ebből \( \alpha \approx 53,13^\circ \). A felső körcikk teljes középponti szöge \( 2\alpha \approx 106,26^\circ \), a vizes (nagyobbik) körcikk középponti szöge így \( 360^\circ - 2\alpha \approx 253,7^\circ \).
A nagyobbik körcikket egy egyenlő szárú háromszöggel kell kiegészíteni a körszelet megkapásához. A háromszög alapja a vízszint szélessége, magassága 1,5 dm. Pitagorasz-tétellel az alap (dm-ben): $$ 2 \cdot \sqrt{2,5^2 - 1,5^2} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ dm} $$ A háromszög területe: $$ T_1 = \frac{4 \cdot 1,5}{2} = 3 \text{ dm}^2 $$ A vizes körcikk területe: $$ T_2 = \frac{360^\circ - 2\alpha}{360^\circ} \cdot 2,5^2\pi \approx 13,84 \text{ dm}^2 $$ A teljes vizes keresztmetszet (körszelet) területe: \( T_{viz} = T_1 + T_2 \approx 16,84 \text{ dm}^2 \).
A teljes kör területe \( T = 2,5^2\pi \approx 19,63 \text{ dm}^2 \).
A keresett százalékos arány: $$ \frac{16,84}{19,63} \cdot 100 \approx \mathbf{86\%} $$

a) Az „egyharmados” előírás teljesüléséhez a napi 16 vonat közül legalább 6-nak pontosan (0 perc késéssel) kell indulnia (\( 16/3 = 5,33 \)).
A táblázatban szereplő 14 vonat közül eddig 5 indult pontosan (0 perces késéssel). Tehát az utolsó két vonat közül legalább az egyiknek pontosan kell indulnia (késése 0 perc).
Legyen a másik vonat késése \( x \) perc. A késések átlaga nem haladhatja meg a 3 percet: $$ \frac{0 \cdot 6 + 1 + 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2 + 6 + 7 + 8 + x}{16} \le 3 $$ $$ \frac{43 + x}{16} \le 3 \implies 43 + x \le 48 \implies x \le 5 $$ Meg kell még vizsgálnunk a medián feltételét. A lehetséges (egész) értékek közül \( x = 4 \) és \( x = 5 \) esetén a 16 adat sorrendbe rendezve: $$ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 4, 4, 4 \text{ (vagy } 5\text{)}, 5, 5, 6, 7, 8 $$ A 16 elemű sokaság mediánja a 8. és a 9. adat átlaga, ami mindkét esetben \( \frac{3+4}{2} = 3,5 \), ami nagyobb 3-nál. Így \( x = 4 \) vagy \( x = 5 \) nem lehetséges.
Ha a másik vonat legfeljebb 3 percet késik (\( x \le 3 \)), akkor a 8. adat legfeljebb 3, a 9. adat 3, és ezek átlaga valóban nem haladja meg a 3-at. Így a keresett válasz: 3 perc.

b) A szöveg alapján felírhatjuk a következő másodfokú egyenletet: $$ (209 + p) \left( 1 - \frac{p}{100} \right) = 189 $$ Beszorozva 100-zal: $$ (209 + p)(100 - p) = 18900 $$ $$ 20900 - 209p + 100p - p^2 = 18900 $$ Átrendezve: $$ p^2 + 109p - 2000 = 0 $$ Az egyenlet megoldóképlettel kapott gyökei: \( p_1 = 16 \) és \( p_2 = -125 \).
Mivel a feltétel szerint \( p > 0 \), a negatív gyököt elvetjük. Tehát \( p = 16 \).

a) Jelölje a három kategóriában eladott jegyek számát \( a \), \( b \) és \( c \). A szöveg szerint: $$ a + b + c = 200 \text{ és } c = \frac{2}{3}(a + b) $$ Behelyettesítve \( c \)-t: $$ (a + b) + \frac{2}{3}(a + b) = 200 \implies \frac{5}{3}(a + b) = 200 \implies a + b = 120 $$ Ebből a III. kategóriás jegyek száma: \( c = 80 \).
Tudjuk, hogy az I. és II. kategóriás jegyek aránya \( 9 : 11 \), tehát: $$ a = 9k \text{ és } b = 11k \implies 20k = 120 \implies k = 6 $$ Ennek alapján:
I. kategóriás jegy: \( 9 \cdot 6 = \mathbf{54} \) darab,
II. kategóriás jegy: \( 11 \cdot 6 = \mathbf{66} \) darab,
III. kategóriás jegy: 80 darab.

b) A 12 méteres átmérőjű bástya sugara \( r = 6 \) méter. A téglalap méretei kifejezhetők az \( \alpha \) szöggel trigonometriai függvények segítségével:
A téglalap magassága: \( 6\sin\alpha \)
A téglalap szélességének a fele (a középponttól a széléig tartó távolság az átmérőn): \( 6\cos\alpha \)
A teljes szélesség tehát \( 12\cos\alpha \).
A téglalap (színpad) területe egyváltozós függvényként: $$ T(\alpha) = (12\cos\alpha) \cdot (6\sin\alpha) = 72 \sin\alpha \cos\alpha $$ A kétszeres szög szinuszának azonosságát (\( 2\sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha) \)) felhasználva a terület: $$ T(\alpha) = 36\sin(2\alpha) $$ Mivel \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), a szinuszfüggvény maximuma 1, ezt a maximumot a függvény akkor veszi fel, ha \( 2\alpha = 90^\circ \) (vagyis \( \frac{\pi}{2} \)).
Ez alapján a keresett szög: \( \alpha = 45^\circ \).
A legnagyobb terület pedig: \( 36 \cdot 1 = \mathbf{36 \text{ m}^2} \).

a) A mért tömegek között nincs 490 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül.
Az 5 kg-tól (500 dkg-tól) való abszolút eltérések rendre (dkg-ban): \(6, 9, 7, 12, 8, 17, 7, 12\).
Az eltérések átlaga: $$ \frac{78}{8} = 9,75 \text{ dkg} $$ Mivel \(9,75 \le 10\), így az árusítást engedélyezik.

b) A mért adatok átlaga: $$ \bar{x} = \frac{4032}{8} = \mathbf{504 \text{ dkg}} $$ A szórás kiszámítása: $$ \sigma = \sqrt{\frac{2 \cdot 13^2 + 2 \cdot 11^2 + 2 \cdot 8^2 + 4^2 + 2^2}{8}} = \sqrt{\frac{728}{8}} = \sqrt{91} \approx \mathbf{9,54 \text{ dkg}} $$

c) A III. osztályú eper aránya az összesből: $$ 1 - \left( \frac{7}{20} + \frac{3}{8} \right) = \frac{11}{40} $$ Az összes eper együttes tömege: $$ 33 : \frac{11}{40} = 120 \text{ kg} $$ Ebből I. osztályú: \(120 \cdot 0,35 = 42\) kg, II. osztályú: \(120 - 33 - 42 = 45\) kg.
Az eredetileg tervezett árakkal számolva a bevétel: $$ 42 \cdot 800 + 45 \cdot 650 + 33 \cdot 450 = 77\,700 \text{ Ft} $$ Ennek a 85%-a lesz az új bevétel: $$ 77\,700 \cdot 0,85 = 66\,045 \text{ Ft} $$ Az akciós egységár: $$ \frac{66\,045}{120} = 550,375 \text{ Ft/kg} $$ Kerekítve az akciós egységár 550 Ft/kg legyen.

a) Óránként 4, egy nap alatt tehát \( 24 \cdot 4 = 96 \) alkalommal történik meg a 2%-os növekedés. Az olajfolt területe 15 perc alatt 1,02-szorosára nő, tehát egy nap múlva: $$ 400 \cdot 1,02^{96} \approx \mathbf{2677 \text{ m}^2} \text{ lett.} $$

b) A naponta eltávolított olajfoltterületek (\( \text{m}^2 \)-ben mérve) egy olyan számtani sorozat szomszédos tagjai, amelynek első tagja 130, az első 31 tagjának összege pedig \( 12\,400 \).
A napi növekedés legyen \( d \) (\( \text{m}^2 \)). Ekkor a számtani sorozat összegképlete alapján: $$ S_{31} = \frac{2a_1 + 30d}{2} \cdot 31 $$ $$ 12\,400 = \frac{260 + 30d}{2} \cdot 31 $$ Ebből megoldva: $$ d = \mathbf{18 \text{ m}^2} $$ A napi növekedés tehát \( 18 \text{ m}^2 \) volt.

a) Az \( y = 4 - x^2 \) egyenletű parabola a \((-2; 0)\), illetve a \((2; 0)\) pontban metszi az abszcisszatengelyt.
A parabolaszelet területe (határozott integrállal): $$ T_p = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \cdot \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 $$ $$ T_p = 2 \cdot \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{32}{3} $$ A kör egyenletét teljes négyzetté alakítva: $$ x^2 + (y - 1,3)^2 = 1,3^2 $$ Ebből a kör sugara \( 1,3 \), területe pedig: $$ T_k = 1,3^2 \pi = 1,69\pi \approx 5,31 $$ A kör és a parabolaszelet területének aránya: $$ \frac{1,69\pi}{\frac{32}{3}} \approx 0,4977 $$ A kör területe a parabolaszelet területének tehát 50%-a.

b) A résztvevők száma összesen 18. A lejátszott mérkőzések száma: $$ \binom{18}{2} = 153 $$ Mivel a Piros Iskola kétszer annyit nyert, a Zöld Iskola teniszezőinek összesen \( \frac{1}{3} \cdot 153 = 51 \) megnyert mérkőzése volt.
Ennek a 8 zöld tanulónak az egymás közötti mérkőzései mindig a 8 tanuló valamelyikének győzelmével végződtek, ez \( \binom{8}{2} = 28 \) győzelmet jelent házon belül.
A Zöld Iskola tanulói az 51 győztes mérkőzésük közül tehát a Piros Iskola tanulói ellen \( 51 - 28 = \mathbf{23} \)-at nyertek meg.

a) Az átló hossza cm-ben: \( 40 \text{ col} = 40 \cdot 2,54 = 101,6 \text{ cm} \).

Jelölje a képernyő oldalainak hosszát cm-ben \( 16x \) és \( 9x \) (\( x > 0 \)). A Pitagorasz-tétel szerint:

$$ (16x)^2 + (9x)^2 = 101,6^2 $$ $$ 256x^2 + 81x^2 = 10322,56 $$ $$ 337x^2 = 10322,56 \implies x \approx 5,535 \text{ cm} $$

A képernyő oldalainak hossza tehát: \( 16x \approx \mathbf{88,6 \text{ cm}} \) és \( 9x \approx \mathbf{49,8 \text{ cm}} \).

b) Mivel mindkét képernyő 16:9-es oldalarányú, ezért a két képernyő (mint téglalap) hasonló.

Az első képernyő területe a második területének \( 1 + 0,69 = 1,69 \)-szerese. A hasonló síkidomok területének aránya a hasonlósági arányszám (\( \lambda \)) négyzete:

$$ \lambda^2 = 1,69 \implies \lambda = \sqrt{1,69} = 1,3 $$

A hasonlósági arány megadja a megfelelő hosszúságok (így az átlók) arányát is. Az első képernyő átlója 1,3-szorosa a másodikénak, azaz 30%-kal nagyobb.

a) Az átlag 120, a 7 adat összege így \( 7 \cdot 120 = 840 \).

A medián 120, és két üzletnek is 120 a bevétele. Mivel a módusz (a leggyakoribb elem) egyetlen szám, és ez 100, ezért a 100-nak legalább háromszor kell szerepelnie (hiszen a 120 már kétszer szerepel). Mivel a medián (a sorbarendezett adatok közül a 4.) 120, a 100 pontosan háromszor szerepelhet.

A legnagyobb elem 160. Tehát az eddigi adatok növekvő sorrendben: 100, 100, 100, 120, 120, \( x \), 160.

Kiszámoljuk a hiányzó \( x \) elemet:

$$ 100 + 100 + 100 + 120 + 120 + x + 160 = 840 $$ $$ 700 + x = 840 \implies x = 140 $$

A hét adat tehát: 100, 100, 100, 120, 120, 140, 160. A szórás kiszámítása:

$$ \sigma = \sqrt{ \frac{3 \cdot (100-120)^2 + 2 \cdot (120-120)^2 + (140-120)^2 + (160-120)^2}{7} } $$ $$ \sigma = \sqrt{ \frac{3 \cdot 400 + 0 + 400 + 1600}{7} } = \sqrt{ \frac{3200}{7} } \approx \mathbf{21,4 \text{ millió Ft}} $$

b) A normál eladási ár az árbevétel alapja. Ha az eladott árukat akció nélkül adták volna el, akkor a 9 millió Ft-os akciós bevétel (ami az 50%-os kedvezmény miatt keletkezett) kétszerese, azaz 18 millió Ft lett volna.

A rendes eladási ár árengedmény nélkül összesen:

$$ (54 - 9) + 18 = 45 + 18 = 63 \text{ millió Ft} $$

A 80%-os haszonkulcs azt jelenti, hogy a rendes eladási ár a beszerzési érték 1,8-szorosa. Tehát az eladott áruk összes beszerzési értéke:

$$ \frac{63}{1,8} = 35 \text{ millió Ft} $$

Az árnyereség (bevétel mínusz beszerzési érték):

$$ 54 - 35 = \mathbf{19 \text{ millió Ft}} $$

c) A megmaradt zakók száma méretenként: S-ből 0 db, M-ből 1 db (4-3), L-ből 2 db (4-2) és XL-ből 4 db (4-0). Ez összesen 7 darab zakó.

Az azonos méretűeket nem különböztetjük meg, így egy ismétléses permutációs feladattal állunk szemben:

$$ P_{7}^{1, 2, 4} = \frac{7!}{1! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \mathbf{105} \text{ féle sorrend} $$

a) Ha a bolti eladásokból származó idei árbevétel \( b \) (Ft), akkor az internetes eladásokból származó árbevétel jelenleg \( 0,7b \) (Ft). (\( b > 0 \)).
Ha a bevételek egyenlősége \( x \) év múlva következik be, akkor felírhatjuk a következő egyenletet: $$ 1,04^x \cdot 0,7b = 0,98^x \cdot b $$ Amiből a pozitív \( b \)-vel való osztás után kapjuk: $$ 1,04^x \cdot 0,7 = 0,98^x $$ Rendezve a kifejezést: $$ 0,7 = \left(\frac{0,98}{1,04}\right)^x \approx 0,9423^x $$ Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát véve (vagy \( 0,9423 \)-as alapút): $$ x = \frac{\lg 0,7}{\lg 0,98 - \lg 1,04} \approx 6 $$ A két forrásból származó árbevétel tehát kb. 6 év múlva lesz egyenlő.

b) Annak a valószínűsége, hogy egy vevő reklamál \( p = \frac{1}{80} \), annak pedig, hogy nem reklamál \( q = \frac{79}{80} \).
Binomiális eloszlást alkalmazva, \( P(\text{legfeljebb 2 reklamál}) = P(0) + P(1) + P(2) \): $$ = \binom{100}{0}\left(\frac{79}{80}\right)^{100} + \binom{100}{1}\left(\frac{1}{80}\right)^1\left(\frac{79}{80}\right)^{99} + \binom{100}{2}\left(\frac{1}{80}\right)^2\left(\frac{79}{80}\right)^{98} $$ $$ \approx 0,2843 + 0,3598 + 0,2255 \approx \mathbf{0,87} $$ A valószínűség tehát körülbelül \( 87\% \).

a) Az egyes játékosok sikeres dobásainak száma rendre a kísérletek és a százalékok szorzatából adódik (kerekítve, ha szükséges, de itt mind pontos egész): 1, 0, 6, 2, 3, 2 és 8.
A csapat dobási kísérleteinek száma összesen a mérkőzésen 50, a sikeres dobások száma pedig \( 1+0+6+2+3+2+8 = 22 \) volt.
A csapat dobószázaléka így: \( \frac{22}{50} = \mathbf{44\%} \).

b) Jelölje \( x \) a csapat tagjainak számát a csatlakozás előtt, az átlagmagasságot pedig \( y \) cm (\( x \in \mathbb{N}, y > 0 \)).
Az első játékos belépése előtt az összeg \( xy \) volt. Az új játékossal felírható az egyenlet: $$ \frac{xy + 195}{x + 1} = y + 0,5 $$ Hasonló gondolatmenettel a második játékos belépését követően: $$ \frac{xy + 195 + 202}{x + 2} = y + 1,5 $$ Rendezzük a két egyenletet: $$ xy + 195 = xy + 0,5x + y + 0,5 \implies 0,5x + y = 194,5 $$ $$ xy + 397 = xy + 1,5x + 2y + 3 \implies 1,5x + 2y = 394 $$ A kapott egyenletrendszert megoldva: az elsőből \( y = 194,5 - 0,5x \). Ezt a másodikba behelyettesítve: $$ 1,5x + 2(194,5 - 0,5x) = 394 \implies 1,5x + 389 - x = 394 \implies 0,5x = 5 \implies \mathbf{x = 10} $$ Visszahelyettesítve: \( y = 194,5 - 5 = \mathbf{189,5} \).
A csapat tagjainak száma tehát eredetileg 10 volt, átlagos magasságuk pedig 189,5 cm.

a) A 17 gramm 18 karátos ékszer aranytartalma: $$ 17 \cdot \frac{18}{24} = 12,75 \text{ g} $$ Ha \( x \) gramm a 14 karátos ékszer tömege, annak aranytartalma \( x \cdot \frac{14}{24} \). Ezt egyenlővé téve: $$ x \cdot \frac{14}{24} = 12,75 \implies x \approx 21,86 $$ Így a két gyűrű együttes tömege legfeljebb 21,9 gramm lehet.

b) A két gyűrű együttes térfogata: $$ V = \frac{m}{\rho} = \frac{16}{15} \approx 1,0667 \text{ cm}^3 = 1066,7 \text{ mm}^3 $$ Egy gyűrű térfogata két henger térfogatának különbsége. Jelölje \( x \) a keresett szélességet (magasságot).
Az első gyűrű belső sugara \( 8,5 \) mm, külső sugara \( 8,5 + 1,5 = 10 \) mm. Ennek térfogata: $$ V_1 = (10^2 \pi \cdot x) - (8,5^2 \pi \cdot x) \approx 87,2x \text{ (mm}^3\text{)} $$ A második gyűrű belső sugara \( 9,9 \) mm, külső sugara \( 9,9 + 1,6 = 11,5 \) mm. Ennek térfogata: $$ V_2 = (11,5^2 \pi \cdot x) - (9,9^2 \pi \cdot x) \approx 107,6x \text{ (mm}^3\text{)} $$ A kettő összege adja a teljes térfogatot: $$ V_1 + V_2 = 1066,7 \implies 87,2x + 107,6x = 1066,7 $$ $$ 194,8x = 1066,7 \implies x \approx 5,48 \text{ mm} $$ A gyűrűk szélessége tehát kerekítve 5,5 mm.

a) Kamatszámítás az első évben:
A napi kamatláb: \( \frac{8}{365}\% \).
A március 1-jén felvett 40 000 Ft hitel december 31-ig \( 365 - 31 - 28 = 306 \) napig kamatozik (figyelembe véve a hónapok hosszát).
Az október 1-jén felvett újabb 40 000 Ft hitel december 31-ig \( 31 + 30 + 31 = 92 \) napig kamatozik.
Az első hitel kamata: $$ 40\,000 \cdot \frac{8}{365 \cdot 100} \cdot 306 \approx 2683 \text{ Ft} $$ A második hitel kamata: $$ 40\,000 \cdot \frac{8}{365 \cdot 100} \cdot 92 \approx 807 \text{ Ft} $$ Összesen a bank \( 2683 + 807 = 3490 \text{ Ft} \) kamatot tőkésít.

b) Törlesztőrészlet kiszámítása:
Legyen \( x \) az éves törlesztőrészlet. A tőke minden évben növekszik a 8%-os kamattal (\( 1,08 \)-as szorzó), amiből levonódik az \( x \) befizetés.
A 10 év után a fennmaradó tartozás képlete egyenletté felírva: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,08^{10} - x \cdot 1,08^9 - x \cdot 1,08^8 - \dots - x = 0 $$ Kiemelve \( x \)-et a tagokból, egy 10 tagú mértani sorozatot ismerhetünk fel a zárójelben: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,08^{10} - x \cdot (1,08^9 + 1,08^8 + \dots + 1) = 0 $$ A mértani sorozat összegképlete alapján: $$ S_{10} = \frac{1,08^{10} - 1}{1,08 - 1} \approx 14,487 $$ Ebből kifejezve \( x \)-et: $$ x = \frac{1\,000\,000 \cdot 1,08^{10}}{S_{10}} \approx \frac{2\,158\,925}{14,487} \approx 149\,025 \text{ Ft} $$ A kerekítés szabályai szerint megadva: \( 149\,000 \text{ Ft} \) volt az éves törlesztőrészlet.

a) A 150 000 Ft megfelel $\frac{150000}{190} \approx 789,5$ dollárnak.

Ez az összeg a New York-i átlagfizetés 23,6%-a, amely alapján a New York-i átlagfizetés: $$ \frac{789,5}{0,236} \approx \mathbf{3345 \text{ } \$} $$

b) Ha a termék egységára $e$ $/kg, akkor a 100 kg termékért $100e$ dollárt kell fizetni New York-ban.

Ez egyben a New York-i átlagkereset is. A termék egységára Budapesten $0,709e$ $/kg, az átlagkereset pedig $0,236 \cdot 100e$ dollár, ami $23,6e$ dollár.

Ennyi pénzért Budapesten $$ \frac{23,6e}{0,709e} \approx 33,29 $$ azaz $\approx 33,3 \text{ kg}$ terméket lehet vásárolni.

a) Pakisztán lakosságszáma az előrejelzés alapján 147 millióról 357 millióra nő 62 év (1988-tól 2050-ig) alatt. Ha az évi növekedés \( p \) százalékos, akkor: $$ 357 = 147 \cdot \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^{62} $$ Ebből kifejezve \( p \)-t: $$ p = 100 \cdot \left( \sqrt[62]{\frac{357}{147}} - 1 \right) \approx 1,44\% $$ A vizsgált növekedési időszak 1988-tól 2020-ig 32 év, így a feltételezés alapján 2020-ban Pakisztán lakossága: $$ 147 \cdot 1,0144^{32} \approx \mathbf{232} \text{ (millió fő)} $$

b) Mindkét oszlopban 6 ország szerepel: Kína, India, Egyesült Államok, Indonézia, Pakisztán, Brazília.
Az átlag (millió főben) 1988-ban: $$ \frac{1255 + 976 + 274 + 207 + 165 + 147}{6} = 504 $$ Az átlag 2050-ben: $$ \frac{1533 + 1517 + 357 + 348 + 318 + 243}{6} \approx 719,33 $$ Az átlagos népességszám növekedése közelítőleg 215,33 millió fő.
A minta 6 elemű, ezért a medián a rendezett adatsokaság két középső elemének átlaga.
A medián 1988-ban: \( \frac{274 + 207}{2} = 240,5 \)
A medián 2050-ben: \( \frac{357 + 348}{2} = 352,5 \)
A medián növekedése 112 millió fő.

a) A fekvő palack keresztmetszete egy 4 cm sugarú kör. Mivel a 2 cm átmérőjű nyitott nyílás szimmetrikus, annak legalsó pontja a középponttól \( 1 \text{ cm} \)-re van lefelé. A folyadékszint tehát éppen ezen a vonalon helyezkedik el, a folyadék keresztmetszete egy körszeletet alkot.
Ha felrajzoljuk a kör sugarait a folyadékszint határpontjaihoz, egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek magassága a folyadékszintig 1 cm. A fél középponti szöget \( \beta \)-val jelölve: $$ \cos \beta = \frac{1}{4} \implies \beta \approx 75,52^\circ $$ A folyadékszelvény területe a teljes körcikk és a háromszög területének különbsége: $$ T_{\text{körcikk}} = \frac{2\beta}{360^\circ} \cdot 4^2 \pi \approx 21,09 \text{ cm}^2 $$ $$ T_{\text{háromszög}} = \frac{4^2 \sin(2\beta)}{2} \approx 3,87 \text{ cm}^2 $$ $$ T_{\text{körszelet}} = 21,09 - 3,87 = 17,22 \text{ cm}^2 $$ A palackban lévő folyadék térfogata a henger magasságával szorozva: $$ V = 17,22 \cdot 30 = 516,6 \text{ cm}^3 \approx \mathbf{5,2 \text{ dl}} $$

b) A térfogatcsökkenés feltétele szerint a végső térfogat az eredetinek 19,5%-a. Felírhatjuk az egyenletet: $$ \left( 1 - \frac{2p}{100} \right) \left( 1 - \frac{p}{100} \right) = 0,195 $$ Rendezve: $$ \frac{100 - 2p}{100} \cdot \frac{100 - p}{100} = 0,195 \implies (100 - 2p)(100 - p) = 1950 $$ $$ 10000 - 300p + 2p^2 = 1950 \implies 2p^2 - 300p + 8050 = 0 \implies p^2 - 150p + 4025 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( p_1 = 35 \) és \( p_2 = 115 \).
Mivel a térfogat 2p százalékkal csökken az elején, \( 2p \le 100 \) miatt a \( p = 115 \) nem megoldása a feladatnak.
Tehát \( p = 35 \).

Jelölje \( f \) a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban \( 640 - f \).
A rendszeresen sportolók száma 640-nek az 55%-a: \( 0,55 \cdot 640 = 352 \) fő.

A rendszeresen sportolók aránya a teljes tagságban \( 0,55 \). Ennek a \( \frac{11}{8} \)-ed része a felnőttek közötti arány, vagyis az egyenlet szerint a rendszeresen sportoló felnőttek aránya: $$ 0,55 \cdot \frac{8}{11} = 0,4 $$

A rendszeresen sportolók aránya a diákok között ennek az arányszámnak a kétszerese, vagyis \( 0,8 \).
A rendszeresen sportoló felnőttek száma: \( 0,4 \cdot f \).
A rendszeresen sportoló diákok száma: \( 0,8 \cdot (640 - f) \).

A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: $$ 0,4f + 0,8 \cdot (640 - f) = 352 $$ $$ 0,4f + 512 - 0,8f = 352 $$ $$ 160 = 0,4f \implies \mathbf{f = 400} $$

Tehát \( 640 - f = 240 \).
A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 240.

a) Halmazok segítségével felírva, jelölje \( x \) azoknak a számát, akiknek nincs német vizsgája. Ekkor \( 10580 - x \) főnek van német vizsgája.
A feltételek szerint:
- Nincs angolja a német nélküliek 70%-ának: \( 0,7x \)
- Nincs angolja a némettel rendelkezők 30%-ának: \( 0,3(10580 - x) \)
Az angol vizsgával nem rendelkezők száma összesen: \( 0,7x + 0,3(10580 - x) = 3174 + 0,4x \).
A harmadik feltétel azt mondja, hogy ezen hallgatók 60%-ának németje sincs (ez pont az a \( 0,7x \) csoport, akiknek egyik sincs): $$ 0,6(3174 + 0,4x) = 0,7x \implies 1904,4 + 0,24x = 0,7x $$ $$ 1904,4 = 0,46x \implies x = 4140 $$ Német vizsgája van: \( 10580 - 4140 = \mathbf{6440} \) főnek.
Angol vizsgája nincs: \( 3174 + 0,4 \cdot 4140 = 4830 \) főnek. Angol vizsgája van: \( 10580 - 4830 = \mathbf{5750} \) főnek.

b) Azoknak a száma, akik mindkét vizsgával rendelkeznek, megegyezik a németesek mínusz a németesek közül azok, akiknek nincs angolja (30%). Tehát a németesek 70%-a: $$ 6440 \cdot 0,7 = 4508 \text{ fő.} $$ Százalékosan a teljes hallgatósághoz viszonyítva: $$ \frac{4508}{10580} \cdot 100 = \mathbf{42,6\%} $$

a) Érdemes az 1. kiszerelést választani kiindulópontnak. Legyen az 1. kiszerelés ára \( x \), tömege \( 0,8y \). (Mivel ez 20%-kal kevesebb a 2.-nál). - A 2. kiszerelés tömege ekkor \( y \), ára 25%-kal több az 1.-nél, azaz \( 1,25x \). - A 3. kiszerelés ára: mivel az 1. 50%-kal drágább nála, \( x = 1,5 \cdot \text{Ár}_3 \), így az ára \( \frac{x}{1,5} = \frac{2}{3}x \). A tömege: a 2. 50%-kal több, tehát \( y = 1,5 \cdot \text{Tömeg}_3 \), amiből a tömeg \( \frac{y}{1,5} = \frac{2}{3}y \). Nézzük az egységárakat (\( \text{Ár} / \text{Tömeg} \)): - 1. egységár: \( \frac{x}{0,8y} = \mathbf{1,25 \frac{x}{y}} \) - 2. egységár: \( \frac{1,25x}{y} = \mathbf{1,25 \frac{x}{y}} \) - 3. egységár: \( \frac{\frac{2}{3}x}{\frac{2}{3}y} = \mathbf{1 \frac{x}{y}} \) Tehát egyértelmű, hogy a harmadik kiszerelés egységára a legalacsonyabb.

b) Ha a legolcsóbb (a harmadik) kiszerelés egységára 600 Ft, akkor \( \frac{x}{y} = 600 \). A másik kettő egységára ennek 125%-a, azaz \( 1,25 \cdot 600 = 750 \) Ft. A három kiszerelés átlagos egységára (amely a 4. dobozon is szerepel): $$ \frac{600 + 750 + 750}{3} = \frac{2100}{3} = \mathbf{700 \text{ Ft}} $$

a) Az összeöntött 25 liter keverékben a tömény ecet mennyisége literben:

$$ 12 \cdot 0,1 + 8 \cdot 0,15 + 5 \cdot 0,2 = 1,2 + 1,2 + 1 = 3,4 \text{ liter} $$

A keverék százalékos összetétele: \( \frac{3,4}{25} = 0,136 \), azaz 13,6%-os ecetet kapnánk.

b) Ha a palackban a tömény ecet mennyisége \( a \), a tiszta vízé \( b \) liter, a kalkulált alapár: \( 30 + 500a + 10b \) Ft. A fogyasztói ár ennek 120%-a (\( 1,2 \)-szerese).

• 10%-os ecet esetén: \( 1,2 \cdot (30 + 500 \cdot 0,1 + 10 \cdot 0,9) = 1,2 \cdot (30 + 50 + 9) = 1,2 \cdot 89 = \mathbf{107 \text{ Ft}} \).
• 15%-os ecet esetén: \( 1,2 \cdot (30 + 500 \cdot 0,15 + 10 \cdot 0,85) = 1,2 \cdot (30 + 75 + 8,5) = 1,2 \cdot 113,5 \approx \mathbf{136 \text{ Ft}} \).
• 20%-os ecet esetén: \( 1,2 \cdot (30 + 500 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,8) = 1,2 \cdot (30 + 100 + 8) = 1,2 \cdot 138 \approx \mathbf{166 \text{ Ft}} \).

c) Jelölje a keresett mennyiségeket egy-egy ismeretlen (kereskedelmi árrés most nincs az árakban feladat szerint): palack ára \( p \), tömény ecet \( t \), víz \( v \). Felírható a három egyenlet:

Ha a (2) egyenletből kivonjuk az (1)-est, kapjuk: \( 0,05t - 0,05v = 6 \).
Ha a (3) egyenletből kivonjuk a (2)-est, szintén ezt kapjuk: \( 0,05t - 0,05v = 6 \).

Mivel a három egyenlet nem független egymástól (lineárisan összefüggőek), az ismeretlenek egyértelmű értéke nem határozható meg belőlük.

a) Jelölje \( a_n \) az \( n \)-edik napon leúszott hosszat.
\( a_1 = 10000 \cdot 1,1 = 11000 \).
\( a_2 = a_1 \cdot 0,9 = 11000 \cdot 0,9 = 9900 \).
Látható, hogy két nap alatt a távolság mindig \( 1,1 \cdot 0,9 = 0,99 \)-szeresére változik.
A 6. napi táv megkapható így: $$ a_6 = a_2 \cdot 0,99^2 = 9900 \cdot 0,9801 \approx \mathbf{9703 \text{ méter}} $$

b) A páratlan és a páros sorszámú napokon leúszott hosszak egy-egy mértani sorozatot alkotnak, mindkettő kvóciense 0,99 és 10 tagból állnak.
Páratlan napok összege (\( a_1 = 11000 \)): $$ S_{\text{páratlan}} = 11000 \frac{1 - 0,99^{10}}{1 - 0,99} \approx 105 179,7 $$ Páros napok összege (\( a_2 = 9900 \)): $$ S_{\text{páros}} = 9900 \frac{1 - 0,99^{10}}{1 - 0,99} \approx 94 661,7 $$ Az összesen leúszott távolság a kettő összege: kb. 199 841 méter.

c) A 20 napból két szomszédos nap 19-féleképpen választható ki (összes eset).
Vizsgáljuk a szomszédos napi összegeket (\( b_n = a_n + a_{n+1} \)):

• 1. és 2. nap: 11000 + 9900 = 20900
• 2. és 3. nap: 9900 + 10890 = 20790
• ... a sorozat szigorúan monoton csökken, mert a kétnapi teljesítmény is \( 0,99 \)-es szorzóval zsugorodik.

Jelölje a B program által egy mosogatás alatt felhasznált elektromos energia árát \( x \), a felhasznált víz árát pedig \( y \) (Ft-ban).

Ekkor a B program költsége: \( x + y + 40 = 140 \).

Az A program költsége a feltételek alapján (\( 1,2x \) az energia, \( 0,9y \) a víz):
\( 1,2x + 0,9y + 40 = 151 \).

A következő kétismeretlenes egyenletrendszert kapjuk:

• \( (1) \quad x + y = 100 \)
• \( (2) \quad 1,2x + 0,9y = 111 \)

Az (1) egyenletből \( y = 100 - x \), ezt behelyettesítve a (2)-be:

$$ 1,2x + 0,9(100 - x) = 111 $$

$$ 0,3x + 90 = 111 \implies 0,3x = 21 \implies x = 70 \text{ Ft} $$

Ebből \( y = 100 - 70 = 30 \text{ Ft} \).

A C program költségeinek kiszámítása a B programhoz képesti megadott arányok alapján történik. Ha a C program energia ára \( E_C \) és víz ára \( V_C \), akkor:

• Az energia: \( x = 0,7 \cdot E_C \implies 70 = 0,7 \cdot E_C \implies E_C = 100 \text{ Ft} \)
• A víz: \( y = 1,25 \cdot V_C \implies 30 = 1,25 \cdot V_C \implies V_C = 24 \text{ Ft} \)

A mosogatószer árát is figyelembe véve, a C programmal egy mosogatás teljes ára: \( 100 + 24 + 40 = \) 164 Ft.

a) A feltételekből következik, hogy összesen 18 alkalommal történik befizetés (a születést követő év az 1., és a 18. életév betöltésének évében van az utolsó). A kamatláb 8%, azaz a szorzótényező 1,08.
Az utolsó, 18. befizetés még pontosan egy évig kamatozik, mire a gyermek felveheti. A felhalmozott összeg egy mértani sorozat összegeként írható fel:

$$ S = 100\,000 \cdot 1,08^{18} + 100\,000 \cdot 1,08^{17} + \dots + 100\,000 \cdot 1,08 $$

A mértani sorozat összegképlete alapján (ahol \( a_1 = 100\,000 \cdot 1,08 \), \( q = 1,08 \), \( n = 18 \)): $$ S = 100\,000 \cdot 1,08 \cdot \frac{1,08^{18} - 1}{1,08 - 1} $$ Kiszámolva az értéket: $$ S \approx 108\,000 \cdot \frac{2,9960 - 1}{0,08} \approx \mathbf{4\,044\,626 \text{ Ft}} $$

b) Jelölje a számlán lévő teljes összeget \( c = 4\,044\,626 \) Ft, az évente felvehető egyforma összeget pedig \( y \). A kamat itt már csak 5% (szorzó: 1,05).
Évről évre a számla egyenlege a felvétel után kamatozik:
Az 1. felvétel után maradt pénz: \( c - y \)
A 2. felvétel után: \( (c - y) \cdot 1,05 - y = c \cdot 1,05 - y \cdot 1,05 - y \)
Végigvezetve a logikát a 6. felvételig (amikor a számla kiürül): $$ c \cdot 1,05^5 - y \cdot 1,05^5 - y \cdot 1,05^4 - \dots - y \cdot 1,05 - y = 0 $$ Ebből \( y \)-t kiemelve egy újabb mértani sorozatot ismerhetünk fel: $$ c \cdot 1,05^5 = y(1,05^5 + 1,05^4 + \dots + 1) $$ A zárójeles kifejezést összegezve: $$ y \cdot \frac{1,05^6 - 1}{1,05 - 1} = c \cdot 1,05^5 $$ Ebből az annuitás \( y \) értéke kifejezve: $$ y = c \cdot \frac{1,05^5}{\frac{1,05^6 - 1}{1,05 - 1}} = 4\,044\,626 \cdot \frac{1,27628}{\frac{1,34009 - 1}{0,05}} $$ Kiszámítva és kerekítve az eredmény: 758 916 Ft.

a) Jelöljük a lányok nevének kezdőbetűjével az egyes lányok által megtalált hibák halmazát. A szöveg alapján az elemszámok:
\( |A| = 24 \), \( |B| = 30 \), \( |R| = 30 \)
\( |A \cap B| = 12 \), \( |A \cap R| = 8 \), \( |B \cap R| = 11 \), és \( |A \cap B \cap R| = 5 \).

A három lány által megtalált hibák száma az \( A \cup B \cup R \) halmaz elemszáma. A logikai szita formulát alkalmazva: $$ |A \cup B \cup R| = |A| + |B| + |R| - |A \cap B| - |A \cap R| - |B \cap R| + |A \cap B \cap R| $$ $$ |A \cup B \cup R| = 24 + 30 + 30 - 12 - 8 - 11 + 5 = \mathbf{58} $$ A három lány összesen 58 hibát észlelt.

b) Azokat a hibákat vették észre legalább ketten, amelyek pontosan két, vagy pontosan három halmaz metszetében vannak. Ezen hibák száma: $$ |A \cap B| + |A \cap R| + |B \cap R| - 2 \cdot |A \cap B \cap R| $$ $$ 12 + 8 + 11 - 2 \cdot 5 = 21 $$ A keresett százalék tehát: \( \frac{21}{58} \cdot 100 \approx \mathbf{36,2\%} \).

A telek öntözött területének nagyságát megkapjuk, ha a locsoló (mint középpont) körüli körgyűrű területéből kivonjuk a telek határa (amely 3 m-re van a középponttól) által lemetszett körszelet területét.

A teljes körgyűrű területe: $$ T_{\text{gyűrű}} = (4^2 - 0,5^2)\pi \approx 49,5 \text{ m}^2 $$

A locsolófej egy 4 m sugarú kört ír le, de a telek széle a középponttól 3 m távolságra egy húrt metsz ki ebből a körből. A kör középpontjából a húr végpontjaiba húzott sugarak és a középpontból a húrra bocsátott merőleges egy derékszögű háromszöget határoz meg. Ha a fél középponti szöget \( \alpha \)-val jelöljük: $$ \cos \alpha = \frac{3}{4} = 0,75 \implies \alpha \approx 41,4^\circ $$

A \( 2\alpha \approx 82,8^\circ \) középponti szögű körcikk területe: $$ T_{\text{körcikk}} = \frac{82,8^\circ}{360^\circ} \cdot 4^2 \cdot \pi \approx 11,6 \text{ m}^2 $$ A körcikket alkotó egyenlő szárú háromszög területe: $$ T_{\text{háromszög}} = \frac{4^2 \cdot \sin 82,8^\circ}{2} \approx 7,9 \text{ m}^2 $$ A körszelet területe tehát a kettő különbsége: $$ T_{\text{körszelet}} \approx 11,6 - 7,9 = 3,7 \text{ m}^2 $$

A telek öntözött területe így: $$ T_{\text{öntözött}} \approx 49,5 - 3,7 = \mathbf{45,8 \text{ m}^2} $$ A telek teljes területe \( 68 \cdot 30 = 2040 \text{ m}^2 \).
Az öntözött rész százalékos aránya: $$ \frac{45,8}{2040} \approx 0,022 $$ Ez a telek területének kb. 2,2 %-a.

a) Kéthavonta 1,7%-kal lesz több pénze, ami hat hónap alatt három ciklust jelent. A kamatos kamat képlete alapján: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,017^3 \approx 1\,000\,000 \cdot 1,051872 = \mathbf{1\,051\,872 \text{ Ft}} $$

b) A megadott árfolyamon az eredeti összeg euróban: $$ \frac{1\,000\,000}{252} \approx 3968,25 \text{ EUR} $$ Ez az összeg hat hónap alatt, havi tőkésítés mellett hatszor kamatozik: $$ 3968,25 \cdot 1,0025^6 \approx 3968,25 \cdot 1,015094 \approx \mathbf{4028,15 \text{ EUR}} $$

c) Legyen 1 euró ára félév múlva \( x \) Ft. A második választás akkor kedvezőbb, ha az euróban lévő összeg forintban kifejezve meghaladja az első esetben kapott összeget: $$ 4028,15 \cdot x > 1\,051\,872 $$ $$ x > \frac{1\,051\,872}{4028,15} \approx 261,13 \text{ Ft} $$ A változás aránya az eredeti 252 forintos árfolyamhoz képest: $$ \frac{261,13}{252} \approx 1,03623 $$ Tehát legalább kb. 3,63 %-kal kellene nőnie a forint/euró árfolyamnak ahhoz, hogy a második ajánlat megérje.

a) Számoljunk cm-ben. A magasság \( m = 200 \), a sugarak \( R = 6 \) és \( r = 4 \).
A közelítő henger alapkörének sugara a két sugár számtani közepe: \( \frac{6+4}{2} = 5 \text{ cm} \).
A közelítő térfogat: $$ V_{\text{közelítő}} = 5^2 \cdot \pi \cdot 200 = 5000\pi \approx 15\,708 \text{ cm}^3 $$ A csonkakúp pontos térfogata a térfogatképlettel: $$ V_{\text{pontos}} = \frac{200\pi}{3} (6^2 + 6 \cdot 4 + 4^2) = \frac{200\pi}{3} \cdot 76 = \frac{15200\pi}{3} \approx 15\,917 \text{ cm}^3 $$ Az eltérés mértéke: \( \frac{15200\pi}{3} - 5000\pi = \frac{200\pi}{3} \approx 209 \text{ cm}^3 \).
A relatív hiba a pontos értékhez viszonyítva: $$ \frac{\frac{200\pi}{3}}{\frac{15200\pi}{3}} = \frac{200}{15200} \approx 0,013 $$ A közelítő számítással kapott térfogat tehát kb. 1,3 %-kal tér el a pontos térfogattól.

b) Legyen a csonkakúp alapköreinek sugara \( R \) és \( r \), magassága \( m \) (mind pozitív). Azt állítjuk, hogy a közelítő henger térfogata nem haladja meg a pontos térfogatot: $$ m\pi \left(\frac{R+r}{2}\right)^2 \le \frac{m\pi}{3} (R^2 + Rr + r^2) $$ Mivel \( m\pi > 0 \), eloszthatjuk vele az egyenlőtlenséget, majd a törtek eltüntetése végett szorozzunk 12-vel: $$ 3(R+r)^2 \le 4(R^2 + Rr + r^2) $$ A bal oldalt kibontva és az egészet rendezve: $$ 3R^2 + 6Rr + 3r^2 \le 4R^2 + 4Rr + 4r^2 $$ $$ 0 \le R^2 - 2Rr + r^2 $$ $$ 0 \le (R - r)^2 $$ Mivel egy valós szám négyzete mindig nemnegatív, az egyenlőtlenség minden \( R, r \) esetén igaz. (Egyenlőség csak \( R=r \), azaz henger esetén teljesül.) A lépések ekvivalensek voltak, így az eredeti állítást igazoltuk.

c) A függvény deriválható, vizsgáljuk meg az első deriváltját a hányados deriválási szabályával: $$ f'(x) = 25 \cdot \frac{2(x-1)(x^2+x+1) - (x-1)^2(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} $$ A számlálóból kiemelve a közös \( (x-1) \) tényezőt: $$ f'(x) = 25 \cdot \frac{(x-1) \left[ 2(x^2+x+1) - (x-1)(2x+1) \right]}{(x^2+x+1)^2} $$ $$ f'(x) = 25 \cdot \frac{(x-1) \left[ 2x^2+2x+2 - (2x^2-x-1) \right]}{(x^2+x+1)^2} $$ $$ f'(x) = 25 \cdot \frac{(x-1)(3x+3)}{(x^2+x+1)^2} = 75 \cdot \frac{x^2-1}{(x^2+x+1)^2} $$ Szélsőérték ott lehetne, ahol a derivált nulla, vagyis ahol a számláló nulla. Ebből \( x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \) adódna. Az értelmezési tartományon (\( x > 1 \)) azonban az \( f'(x) = 0 \) egyenletnek nincs megoldása, így a függvénynek nincs szélsőértéke.

a) \( 10\text{ kg} \) leszedett szilvából kimagozás után \( 9,5\text{ kg} \) szilva lesz. A \( 9,5\text{ kg} \) kimagozott szilvában a szárazanyag-tartalom 10%, ami \( 0,95\text{ kg} \).
A víz elvonása (aszalás) során a szárazanyag tömege nem változik. Az aszalt szilvában 5% a víz, így a fennmaradó 95% a szárazanyag.
Tudjuk, hogy a keresett \( x \) tömeg 95%-a éppen a \( 0,95\text{ kg} \)-os szárazanyag: $$ 0,95 \cdot x = 0,95\text{ kg} \implies \mathbf{x = 1\text{ kg}} $$ Tehát valóban \( 1\text{ kg} \) aszalt szilva állítható elő.

b) Legyen Kovács úr teljes termése \( x\text{ kg} \).
A termés egyik fele (\( \frac{x}{2}\text{ kg} \)) nyersen lett eladva 120 Ft-os kilónkénti áron.
A termés másik feléből (\( \frac{x}{2}\text{ kg} \)) aszalt szilvát készített. Mivel 10 kg nyersből lesz 1 kg aszalt, az aszalt szilva mennyisége \( \frac{x}{20}\text{ kg} \). Ezt 1400 Ft-ért adta el kilónként.
Az egyenlet a bevételekre: $$ 120 \cdot \frac{x}{2} + 1400 \cdot \frac{x}{20} = 286\,000 $$ $$ 60x + 70x = 286\,000 \implies 130x = 286\,000 \implies \mathbf{x = 2200} $$ Kovács úr szilvatermése 2200 kg volt.

c) Kiszámítjuk az egyes fajtákból eladott mennyiségeket a szögek arányában (a teljes kör 360°).
A: \( \frac{150^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{5}{12} \cdot 720 = 300\text{ kg} \)
B: \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{1}{4} \cdot 720 = 180\text{ kg} \)
C: \( \frac{18^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{1}{20} \cdot 720 = 36\text{ kg} \)
D: \( \frac{102^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{17}{60} \cdot 720 = 204\text{ kg} \)
Az átlagárat súlyozott számtani középpel számoljuk ki: $$ \frac{300 \cdot 120 + 180 \cdot 200 + 36 \cdot 230 + 204 \cdot 260}{720} = \frac{36\,000 + 36\,000 + 8\,280 + 53\,040}{720} $$ $$ = \frac{133\,320}{720} = 185,166... $$ Az átlagár kerekítve 185 Ft/kg volt.

a) - Csúcsok száma: A 8 kockacsúcs helyett minden csúcsnál 3-3 új csúcs keletkezik, így \( 8 \cdot 3 = \mathbf{24} \) csúcsa van.
- Élek száma: A kocka 12 élének középső része megmarad, és a levágásoknál 8 darab háromszög keletkezik, ami újabb \( 8 \cdot 3 = 24 \) élt jelent. Összesen \( 12 + 24 = \mathbf{36} \) éle van.
- Lapok száma: A kocka 6 lapja nyolcszöggé alakul, a levágott csúcsoknál pedig 8 darab új háromszöglap keletkezik. Összesen \( 6 + 8 = \mathbf{14} \) lapja van.

b) A talapzat felszínét kiszámíthatjuk, ha a 6 darab nyolcszög területéhez hozzáadjuk a 8 darab szabályos háromszög területét.
Az eredeti kocka éle 12 dm, a negyedelő pontig tartó levágott szakaszok hossza \( 12 / 4 = 3 \) dm.
A nyolcszög területe egyenlő a 12 dm oldalú négyzet területével, amiből kivonjuk a sarkoknál lévő 4 darab, 3 dm befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög területét: $$ T_{\text{nyolcszög}} = 12^2 - 4 \cdot \frac{3 \cdot 3}{2} = 144 - 18 = 126 \text{ dm}^2 $$ A levágott szabályos háromszögek oldala a derékszögű háromszög átfogója: \( a = 3\sqrt{2} \). A szabályos háromszög területe: $$ T_{\text{háromszög}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ dm}^2 $$ A teljes felszín: $$ A = 6 \cdot T_{\text{nyolcszög}} + 8 \cdot T_{\text{háromszög}} = 6 \cdot 126 + 8 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = \mathbf{756 + 36\sqrt{3} \approx 818,35 \text{ dm}^2} $$

c) Legyen \( m \) egy darab ajándéktárgy megrendelt tömege. Az összes tömeg így \( 20m \). A feladat adatai táblázatba rendezve:

A teljes tömegre felírható egyenlet (ahol \( x \) a gránátok megrendelttől való eltérését mutatja szorzóként): $$ 3 \cdot 0,99m + 6 \cdot 0,995m + 7 \cdot 1,015m + 4 \cdot xm = 20m $$ Mindkét oldalt \( m \)-mel osztva és elvégezve a műveleteket: $$ 2,97 + 5,97 + 7,105 + 4x = 20 $$ $$ 16,045 + 4x = 20 \implies 4x = 3,955 \implies x = 0,98875 $$ Ez azt jelenti, hogy a gránátok tömege a megrendeltnek a 98,875%-a, tehát 1,125%-kal kisebb annál.

a) A tyúkok számát 4%-kal csökkentve: $$ 10 000 \cdot 0,96 = 9 600 \text{ tyúk} $$ Az eredeti 1 tojóra jutó átlagos tojástermelés: $$ \frac{2,20 \cdot 10^6}{10 000} = 220 \text{ tojás/tyúk} $$ Ezt 8%-kal növelve: $$ 220 \cdot 1,08 = 237,6 \text{ tojás/tyúk} $$ Tehát az évi termelés az új körülmények között: $$ 9 600 \cdot 237,6 = \mathbf{2 280 960 \text{ darab tojás}} $$ (ami kb. 2,28 millió darab).

b) A keresett százalékot \( p \)-vel jelölve (\( p < 30 \)), a tyúkok számának p %-os csökkenését az \( (1 - \frac{p}{100}) \) szorzó írja le. Az egy tyúkra jutó termelés \( 2p \) %-os növekedését az \( (1 + \frac{2p}{100}) \) szorzó írja le.
A teljes termelés az egyedszám és az egyedenkénti hozam szorzata. A feladat szerint a teljes termelés 8%-kal nő, azaz az eredetinek 1,08-szorosa lesz: $$ 10 000 \left(1 - \frac{p}{100}\right) \cdot \frac{2,20 \cdot 10^6}{10 000} \left(1 + \frac{2p}{100}\right) = 2,20 \cdot 10^6 \cdot 1,08 $$ A konstans \( 2,20 \cdot 10^6 \) értékkel leosztva a tiszta százalékos szorzókra kapunk egyenletet: $$ \left(1 - \frac{p}{100}\right) \left(1 + \frac{2p}{100}\right) = 1,08 $$ Az egyenlet mindkét oldalát 10 000-rel szorozva (azaz a zárójeleket 100-zal): $$ (100 - p)(100 + 2p) = 10 800 $$ Bontsuk fel a zárójeleket: $$ 10 000 + 200p - 100p - 2p^2 = 10 800 $$ Rendezve az egyenletet másodfokú alakra: $$ 2p^2 - 100p + 800 = 0 $$ Egyszerűsítve 2-vel: $$ p^2 - 50p + 400 = 0 $$ Ennek az egyenletnek a gyökei \( p_1 = 40 \) és \( p_2 = 10 \).
Mivel a feltétel szerint \( p < 30 \), így csak a \( \mathbf{10} \) lehet a megoldás.
Tehát 10%-kal kellett csökkenteni a tyúkok számát.

a) A szöveges feltételek alapján az értékeket kiszámoljuk:
Munkaképes lakosság száma 2004-ben: \( 8500 \cdot 1,003 = \mathbf{8526} \).
Munkanélküliek száma (az arány azonos): \( 8526 \cdot \frac{595}{8500} = 8526 \cdot 0,07 \approx \mathbf{597} \).
Szolgáltatásban dolgozók: \( 5015 \cdot 1,02 \approx \mathbf{5115} \).
A mezőgazdaságban dolgozók létszáma kivonással adódik az összes létszámból: \( 8526 - 597 - 1926 - 5115 = \mathbf{888} \).

b) A kördiagramhoz a foglalkoztatottak összesített száma 2003-ban: \( 8500 - 595 = 7905 \) (ezer fő).
Ebből számoljuk az ágazatok középponti szögeit:
Mezőgazdaság: \( \frac{1020}{7905} \cdot 360^\circ \approx 46^\circ \) (kb. 13%)
Ipar: \( \frac{1870}{7905} \cdot 360^\circ \approx 85^\circ \) (kb. 24%)
Szolgáltatás: \( \frac{5015}{7905} \cdot 360^\circ \approx 228^\circ \) (kb. 63%)

c) A mezőgazdaságban dolgozók számának aránya 2004 és 2003 között: \( \frac{888}{1020} \approx 0,87 \).
Ez tehát \( 1 - 0,87 = 0,13 \) értékű csökkenést jelent, ami körülbelül 13%-os.