Számtani Sorozatok

a) Jelöljük a három egymást követő tag közül a középsőt $a$-val. Ekkor a tagok: $a-6$, $a$, $a+6$.
A három tag átlaga: $\frac{(a-6) + a + (a+6)}{3} = a$.
A szórás a tagok átlagtól vett eltéréseinek négyzetes közepe: $$ \sigma = \sqrt{\frac{(-6)^2 + 0^2 + 6^2}{3}} = \sqrt{\frac{72}{3}} = \sqrt{24} = \mathbf{2\sqrt{6}} $$ Az állítást igazoltuk.

b) A feladat szövege alapján megoldandó egyenlet: $|S_n| = n$.
A számtani sorozat összegképletét felírva: $$ \left| \frac{2 \cdot 2 + (n-1)(-0,2)}{2} \cdot n \right| = n $$ Mivel $n > 0$, leoszthatunk $n$-nel. Két esetet vizsgálunk aszerint, hogy az összeg pozitív vagy negatív.

1. eset: $S_n = n$ $$ \frac{4 - 0,2(n-1)}{2} = 1 \implies 4 - 0,2n + 0,2 = 2 \implies 0,2n = 2,2 \implies \mathbf{n = 11} $$

2. eset: $S_n = -n$ $$ \frac{4 - 0,2(n-1)}{2} = -1 \implies 4 - 0,2n + 0,2 = -2 \implies 0,2n = 6,2 \implies \mathbf{n = 31} $$

Mindkét kapott érték lehetséges (ellenőrzéskor $S_{11} = 11$ és $S_{31} = -31$ valóban teljesül).

c) Jelölje a két keresett számot $a$ és $b$ ($a, b > 0$).
A számtani középből: $\frac{a+b}{2} = 5 \implies a+b = 10 \implies b = 10 - a$.
A harmonikus középből: $\frac{2ab}{a+b} = 4,8$.
Behelyettesítve az összeget: $$ \frac{2ab}{10} = 4,8 \implies 2ab = 48 \implies ab = 24 $$ Az egyenletrendszer megoldásához írjuk fel: $a(10-a) = 24 \implies a^2 - 10a + 24 = 0$.
A másodfokú egyenlet gyökei $a = 4$ (ekkor $b=6$) és $a = 6$ (ekkor $b=4$). Tehát a két szám a 4 és a 6.
Ezek négyzetes közepe: $$ K_N = \sqrt{\frac{4^2 + 6^2}{2}} = \sqrt{\frac{16+36}{2}} = \sqrt{26} \approx \mathbf{5,1} $$

a) Jelölje a cipők novemberi árát forintban $x$, $y$ és $z$, ahol $x \le y \le z$. A feladat szövege alapján a következő háromismeretlenes egyenletrendszert írhatjuk fel:

$$ \begin{cases} x + y + z = 45\,000 \\ 0,5x + 0,8y + z = 37\,000 \\ 1,3x + y + z = 48\,000 \end{cases} $$

A harmadik egyenletből kivonva az elsőt:

$$ 0,3x = 3\,000 \implies x = 10\,000 $$

Helyettesítsük vissza az $x = 10\,000$ értéket az első és második egyenletbe:

$$ \begin{cases} 10\,000 + y + z = 45\,000 \implies y + z = 35\,000 \\ 5\,000 + 0,8y + z = 37\,000 \implies 0,8y + z = 32\,000 \end{cases} $$

Vonjuk ki az első (módosított) egyenletből a másodikat:

$$ 0,2y = 3\,000 \implies y = 15\,000 $$

A hiányzó harmadik cipő ára ekkor $z = 35\,000 - 15\,000 = 20\,000$.

Tehát a három cipő novemberi ára 10 000 Ft, 15 000 Ft és 20 000 Ft volt.

---

b) Jelölje a számtani sorozat differenciáját $d$. Ekkor az első három szám felírható a következőképpen: $3$, $3 + d$, $3 + 2d$. A negyedik szám a feladat szerint $25$.

A feltétel alapján az utolsó három szám, azaz a $(3 + d)$, a $(3 + 2d)$ és a $25$ egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A mértani közép tulajdonsága miatt a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédos tag szorzatával:

$$ (3 + 2d)^2 = (3 + d) \cdot 25 $$

Bontsuk fel a zárójeleket:

$$ 9 + 12d + 4d^2 = 75 + 25d $$

Rendezzük az egyenletet nullára:

$$ 4d^2 - 13d - 66 = 0 $$

A másodfokú megoldóképlettel megkapjuk a differenciákat:

$$ d_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot (-66)}}{8} = \frac{13 \pm \sqrt{1225}}{8} = \frac{13 \pm 35}{8} $$

Ebből $d_1 = 6$ és $d_2 = -2,75$.

• Ha $d = 6$, akkor a hiányzó két szám a $3 + 6 = \mathbf{9}$ és a $3 + 12 = \mathbf{15}$. (A sorozat: 3, 9, 15, 25. Ez megfelel a feltételeknek, hiszen a 9, 15, 25 mértani sorozat hányadosa $\frac{5}{3}$.)
• Ha $d = -2,75$, akkor a két hiányzó szám a $3 - 2,75 = \mathbf{0,25}$ és a $3 - 5,5 = \mathbf{-2,5}$. (A sorozat: 3, 0,25, -2,5, 25. Az utolsó három tag mértani sorozat, melynek hányadosa $-10$.)

Tehát a keresett két szám a 9 és 15, vagy a 0,25 és -2,5.

a) A felülések száma egy számtani sorozatot alkot, melynek differenciája \( d = 5 \). A két hét 14 nap, tehát az első 14 tag összege \( S_{14} = 1001 \). A számtani sorozat összegképlete: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n $$ Behelyettesítve az adatokat: $$ 1001 = \frac{2a_1 + 13 \cdot 5}{2} \cdot 14 $$ $$ 1001 = 7(2a_1 + 65) \implies 143 = 2a_1 + 65 \implies 2a_1 = 78 \implies \mathbf{a_1 = 39} $$ A legutolsó (14.) napi felülések száma: $$ a_{14} = a_1 + 13d = 39 + 13 \cdot 5 = 39 + 65 = \mathbf{104} $$ Az első napon 39, az utolsó napon 104 felülést végzett Domi.

b) Jelölje Dalma sebességét az első körben \( v \) (km/h). A második körben sebessége \( v - 3,5 \). A kör hossza 5,25 km. A teljes táv \( 2 \cdot 5,25 = 10,5 \) km. A teljes átlagsebesség felírható az összes út osztva az összes idővel képlettel: $$ \frac{10,5}{t_1 + t_2} = 12 \implies t_{\text{össz}} = \frac{10,5}{12} = 0,875 \text{ óra} $$ Az egyes idők felírása az út/sebesség aránnyal: $$ t_1 = \frac{5,25}{v}, \quad t_2 = \frac{5,25}{v - 3,5} $$ A kettő összege adja a teljes időt: $$ \frac{5,25}{v} + \frac{5,25}{v - 3,5} = 0,875 $$ Osszuk le mindkét oldalt 0,875-tel (észrevéve, hogy \( 5,25 / 0,875 = 6 \)): $$ \frac{6}{v} + \frac{6}{v - 3,5} = 1 $$ Beszorozva a nevezőkkel: $$ 6(v - 3,5) + 6v = v(v - 3,5) \implies 12v - 21 = v^2 - 3,5v $$ Rendezzük az egyenletet: $$ v^2 - 15,5v + 21 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( v_1 = 14 \) és \( v_2 = 1,5 \).
Mivel a második kör sebessége \( v - 3,5 \) pozitív kell, hogy legyen, a \( 1,5 \) nem megoldás. Így \( v = 14 \).
Tehát az első körben az átlagsebesség 14 km/h, a második körben 10,5 km/h volt.

c) A helyes sorrend a közepek közötti egyenlőtlenség (harmonikus \(<\) mértani \(<\) számtani) alapján:
„Két különböző pozitív valós szám mértani közepe mindig nagyobb, mint a harmonikus közepe, de kisebb, mint a számtani közepe.”

a) A számtani sorozat első 20 tagjának összegképletét alkalmazva:

$$ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = 1115 $$

$$ \frac{a_1 + 108}{2} \cdot 20 = 1115 \implies 10(a_1 + 108) = 1115 \implies a_1 + 108 = 111{,}5 $$

Így a sorozat első tagja: \( a_1 = 3{,}5 \).

Mivel \( a_{20} = a_1 + 19d \), a sorozat differenciája:

$$ d = \frac{108 - 3{,}5}{19} = \mathbf{5{,}5} $$

b) A mértani sorozat tagjai \( 3^1, 3^2, 3^3, \dots \), így az első \( n \) tag szorzata:

$$ P_n = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot \dots \cdot 3^n = 3^{1+2+\dots+n} $$

A feltétel szerint ez egyenlő \( 3^{435} \)-tel. Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kitevők egyenlőek:

$$ 1 + 2 + \dots + n = 435 \implies \frac{n(n+1)}{2} = 435 $$

$$ n^2 + n - 870 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei \( n = 29 \) és \( n = -30 \). Mivel \( n \) csak pozitív egész lehet, a megoldás: \( n = 29 \).

a) A számtani sorozat összegképletét használva: $$ S_n = \frac{2 \cdot 5 + 3(n - 1)}{2} \cdot n = 4900 $$ Rendezve az egyenletet: $$ 3n^2 + 7n - 9800 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( n_1 = 56 \) és \( n_2 = -\frac{175}{3} \approx -58,3 \). Mivel \( n \)-nek pozitív egésznek kell lennie, a megoldás: \( n = 56 \).

b) Jelölje a mértani sorozat első tagját \( a \), hányadosát \( q \). Az egyenletrendszer: $$ \begin{cases} a + aq = 6 \\ aq^2 + aq^3 = 96 \end{cases} $$ A második egyenlet átalakítva: \( q^2(a + aq) = 96 \).
Ezt elosztva az első egyenlettel megkapjuk, hogy: $$ q^2 = 16 \implies q = 4 \quad \text{vagy} \quad q = -4 $$ Visszahelyettesítve az első egyenletbe: Ha \( q = 4 \), akkor \( a(1+4) = 6 \implies \mathbf{a = \frac{6}{5} = 1,2} \).
Ha \( q = -4 \), akkor \( a(1-4) = 6 \implies \mathbf{a = -2} \).

a) A sorozat első öt tagja: $a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 10, a_5 = 15$.
Az átlaguk: $\overline{x} = \frac{1 + 3 + 6 + 10 + 15}{5} = \frac{35}{5} = \mathbf{7}$.
A szórás kiszámításához vegyük az átlagtól vett eltérések négyzetes közepét: $$ \sigma = \sqrt{\frac{(1-7)^2 + (3-7)^2 + (6-7)^2 + (10-7)^2 + (15-7)^2}{5}} $$ $$ \sigma = \sqrt{\frac{36 + 16 + 1 + 9 + 64}{5}} = \sqrt{\frac{126}{5}} = \sqrt{25,2} \approx \mathbf{5,02} $$

b) Írjuk fel a $(b_n)$ sorozat általános tagját a binomiális együtthatók kifejtésével: $$ b_n = \frac{\binom{n+2}{2}}{\binom{n+1}{2}} = \frac{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}{\frac{(n+1)n}{2}} $$ Egyszerűsítve az egyenletet: $$ b_n = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n} $$ Mivel $n \to \infty$ esetén $\frac{2}{n} \to 0$, ezért a $(b_n)$ sorozat határértéke 1.

c) Ismert a számtani sorozat összegképlete: $S_k = \frac{2c_1 + (k-1)d}{2} k$.
A feladat alapján két egyenletet írhatunk fel: $$ S_n = \frac{2c_1 + (n-1) \cdot 0,25}{2} n = 100 $$ $$ S_{2n} = \frac{2c_1 + (2n-1) \cdot 0,25}{2} 2n = 300 $$ Az első egyenletet 2-vel megszorozva: $(2c_1 + 0,25n - 0,25)n = 200 \implies 2c_1n + 0,25n^2 - 0,25n = 200$.
A második egyenlet is átrendezhető, és egyszerűsítve $n$-nel: $(2c_1 + 0,5n - 0,25)n = 150 \dots$ helyett inkább osszuk el a másodikat $n$-nel és vonjuk ki belőle az elsőt $n$-nel elosztva:
Egy elegánsabb mód, ha észrevesszük, hogy a második $n$ tag összege ($S_{2n} - S_n = 200$) éppen az első $n$ tag összegénél $n^2 d$-vel nagyobb, mert minden tag pontosan $n \cdot d$-vel nagyobb a neki megfelelő korábbinál. $$ (S_{2n} - S_n) - S_n = n^2 \cdot d $$ $$ 200 - 100 = n^2 \cdot 0,25 \implies 100 = 0,25 n^2 \implies n^2 = 400 $$ Mivel $n$ pozitív egész szám, így $\mathbf{n = 20}$.

a) A számtani sorozat tulajdonsága alapján a három szomszédos tag közül a középső a két szélső számtani közepe: $$ a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{26}{2} = 13 $$ Ugyanígy a harmadik tag a második és a negyedik közepe: $$ a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{130}{2} = 65 $$ A sorozat differenciája: \( d = a_3 - a_2 = 65 - 13 = 52 \).
Az ötödik tag: \( a_5 = a_3 + 2d = 65 + 104 = \mathbf{169} \).

b) A mértani sorozat feltételeit felírva az első tagra (\( b_1 \)) és a kvóciensre (\( q \)): $$ b_1 + b_1 q^2 = 26 \implies b_1(1 + q^2) = 26 $$ $$ b_1 q + b_1 q^3 = 130 \implies b_1 q(1 + q^2) = 130 $$ A második egyenletet elosztva az elsővel kapjuk a kvócienst: $$ q = \frac{130}{26} = 5 $$ Visszahelyettesítve \( q \)-t az első egyenletbe: $$ b_1(1 + 25) = 26 \implies b_1 = 1 $$ A sorozat ötödik tagja: \( b_5 = b_1 q^4 = 1 \cdot 5^4 = \mathbf{625} \).

a) Indirekt bizonyításként tegyük fel, hogy létezik ilyen $n \ge 3$ egész szám. Egy mértani sorozat tulajdonsága szerint a szomszédos elemekre igaz: $$ \binom{n}{1} \cdot \binom{n}{3} = \left( \binom{n}{2} \right)^2 $$ Kifejtve a binomiális együtthatókat: $$ n \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 $$ $$ \frac{n^2(n-1)(n-2)}{6} = \frac{n^2(n-1)^2}{4} $$ Mivel $n \ge 3$, oszthatunk $n^2(n-1)$-gyel: $$ \frac{n-2}{6} = \frac{n-1}{4} $$ Keresztbe szorzás után kapjuk: $$ 4n - 8 = 6n - 6 \Rightarrow 2n = -2 \Rightarrow n = -1 $$ Ez ellentmond a kezdeti feltételnek ($n \ge 3$). Így valóban nincs a feltételnek megfelelő szám.

b) A számtani sorozat egymást követő tagjaira fennáll, hogy a két szélső tag összege a középső kétszerese: $$ \binom{n}{4} + \binom{n}{6} = 2\binom{n}{5} $$ Kifejtve a képleteket ($n \ge 6$): $$ \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!} = 2 \frac{n!}{5!(n-5)!} $$ Osszuk el mindkét oldalt $\frac{n!}{6!(n-4)!}$-sal (azaz szorozzuk a tört reciprokával): $$ \frac{6 \cdot 5}{1} + \frac{1}{(n-4)(n-5)} = \frac{2 \cdot 6}{n-4} $$ Szorozzuk be az egyenletet a közös nevezővel, ami $(n-4)(n-5)$: $$ 30(n-4)(n-5) + 1 = 12(n-5) \dots \text{Várj, ez bonyolultabb.} $$ Egy elegánsabb és hibamentesebb egyszerűsítés, ha $n!$-sal osztunk, majd azonos nevezőre hozzuk: $$ \frac{1}{4!(n-4)!} + \frac{1}{6!(n-6)!} = \frac{2}{5!(n-5)!} $$ Szorozzuk mindkét oldalt $6!(n-4)!$-sal: $$ \frac{6!}{4!} + \frac{(n-4)!}{(n-6)!} = \frac{2 \cdot 6!}{5!} \cdot \frac{(n-4)!}{(n-5)!} $$ $$ 30 + (n-4)(n-5) = 12(n-4) $$ A műveleteket elvégezve és rendezve: $$ n^2 - 9n + 20 + 30 = 12n - 48 \Rightarrow n^2 - 21n + 98 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldásai az $n = 7$ és $n = 14$. Ellenőrizve mindkettő megfelelő valós (és $n > 5$) egész szám.

a) A 42 prímtényezős felbontása: \( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \).
Azokat az 1000-nél kisebb (1-től 999-ig) pozitív egész számokat keressük, melyek nem oszthatók sem 2-vel, sem 3-mal, sem 7-tel.
A szita-formulát (vagy logikai szita-formulát) alkalmazzuk:

• 2-vel osztható szám 499 darab van,
• 3-mal osztható 333 darab,
• 7-tel osztható 142 darab;
• 2-vel és 3-mal (azaz 6-tal) osztható szám 166 darab,
• 2-vel és 7-tel (azaz 14-gyel) osztható szám 71 darab,
• 3-mal és 7-tel (azaz 21-gyel) osztható szám 47 darab;
• végül 2-vel, 3-mal és 7-tel (azaz 42-vel) osztható szám 23 darab van.

A megadott tulajdonsággal rendelkező számok száma (a komplementer eseményen keresztül): $$ 999 - (499 + 333 + 142) + (166 + 71 + 47) - 23 = \mathbf{286} $$

b) Az \( n \)-edik L alakú sávban a számok összege: $$ L_n = n + 2n + 3n + \dots + (n - 1)n + n \cdot n + (n - 1)n + \dots + 2n + n $$ $$ L_n = 2 \cdot (n + 2n + \dots + (n - 1)n) + n^2 $$ Emeljünk ki \( n \)-et: $$ L_n = 2n \cdot (1 + 2 + \dots + (n - 1)) + n^2 $$ A számtani sorozat összegképletét alkalmazva: $$ L_n = 2n \cdot \frac{(n - 1)n}{2} + n^2 = n^2(n - 1) + n^2 = n^3 - n^2 + n^2 = \mathbf{n^3} $$

c) A b) feladatrész alapján az első \( n \) pozitív köbszám összege megegyezik az első \( n \) darab L alakú sávban lévő számok összegével: $$ K_n = L_1 + L_2 + \dots + L_n $$ Ez pedig nem más, mint a szorzótábla bal felső \( n \times n \)-es részében lévő összes szám összege.
Ezt az összeget azonban soronként is kiszámíthatjuk, amivel egy sokkal elegánsabb formát kapunk: $$ (1 + 2 + \dots + n) + 2 \cdot (1 + 2 + \dots + n) + \dots + n \cdot (1 + 2 + \dots + n) $$ A közös \( (1 + 2 + \dots + n) \) tényezőt kiemelve: $$ = (1 + 2 + \dots + n) \cdot (1 + 2 + \dots + n) = (1 + 2 + \dots + n)^2 $$ Mivel a számtani sorozat összegképlete szerint \( 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \), így adódik a bizonyítandó állítás: $$ K_n = \mathbf{\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2} $$ Ezzel az állítást igazoltuk.

a) Ha a sorozat első tagja \( a \), akkor a mértani sorozat összegképlete szerint: $$ a \cdot \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^5 - 1}{\frac{1}{4} - 1} = 852,5 $$ Kiszámolva a hatványt és a nevezőt: $$ a \cdot \frac{\frac{1}{1024} - 1}{-\frac{3}{4}} = a \cdot \frac{-\frac{1023}{1024}}{-\frac{3}{4}} = a \cdot \frac{341}{256} = 852,5 $$ Ebből a sorozat első tagja: $$ a = \frac{852,5 \cdot 256}{341} = \mathbf{640} $$

b) Jelölje a sorozat első tagját \( a \), a differenciáját \( d \). Ekkor az első öt tag összege a számtani sorozat összegképletével: $$ S_5 = \frac{2a + 4d}{2} \cdot 5 = 852,5 \implies 5a + 10d = 852,5 $$ Az első tíz tag összege: $$ S_{10} = \frac{2a + 9d}{2} \cdot 10 = 2330 \implies 10a + 45d = 2330 $$ Az első egyenletből kifejezzük \( a \)-t: $$ a = \frac{852,5 - 10d}{5} = 170,5 - 2d $$ Ezt beírjuk a második egyenletbe: $$ 10 \cdot (170,5 - 2d) + 45d = 2330 $$ $$ 1705 - 20d + 45d = 2330 $$ $$ 25d = 625 \implies \mathbf{d = 25} $$ Visszahelyettesítve \( a \)-t is megkapjuk: $$ a = 170,5 - 2 \cdot 25 = \mathbf{120,5} $$

a) A legnagyobb szög a leghosszabb, 11 cm-es oldallal szemben van. A koszinusztételt felírva erre a szögre: $$ \cos \alpha = \frac{7^2 + 9^2 - 11^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 121}{126} = \frac{9}{126} \approx 0,0714 $$ Mivel \( \cos \alpha > 0 \), a legnagyobb szög \( \alpha \approx 85,9^\circ < 90^\circ \), tehát a háromszög valóban hegyesszögű.

b) Jelölje a háromszög oldalainak hosszát \( a - d \), \( a \) és \( a + d \) (\( 0 < d < a \)). A derékszögű háromszögre a Pitagorasz-tétel alapján: $$ (a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2 $$ A négyzetre emeléseket elvégezve és rendezve: $$ a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2 \implies a^2 = 4ad $$ Mivel az oldalhossz \( a \neq 0 \), oszthatunk vele: \( a = 4d \). A háromszög oldalai tehát \( 3d \), \( 4d \) és \( 5d \), így az oldalak aránya valóban \( 3 : 4 : 5 \).

c) A derékszögű háromszög befogói \( 3d \) és \( 4d \), így területe felírható: $$ T = \frac{3d \cdot 4d}{2} = 121,5 \implies 6d^2 = 121,5 \implies d^2 = 20,25 \implies \mathbf{d = 4,5} $$ A háromszög oldalainak hossza: \( 3 \cdot 4,5 = \mathbf{13,5 \text{ cm}} \), \( 4 \cdot 4,5 = \mathbf{18 \text{ cm}} \) és \( 5 \cdot 4,5 = \mathbf{22,5 \text{ cm}} \).

a) Dóri az összes figura \( \frac{2}{7} \) részét készítette, ez \( 70 \cdot \frac{2}{7} = 20 \) darab. A maradék 50 figurát Blanka és Csenge egyenlő arányban készítette, tehát mindketten 25-25 darabot.
Az összes lehetséges kiválasztások száma 70-ből 2 figura esetén: \( \binom{70}{2} = 2415 \).
Kedvező esetek száma (amikor mindkét figurát ugyanaz a személy hajtogatta): $$ \binom{25}{2} + \binom{25}{2} + \binom{20}{2} = 300 + 300 + 190 = 790 $$ A keresett valószínűség: $$ P = \frac{790}{2415} = \mathbf{\frac{158}{483}} \approx 0,327 $$

b) A karácsonyfa-figurák mennyisége személyenként: - Blanka: \( 25 \cdot 0,4 = 10 \) darab - Csenge: \( 25 \cdot 0,6 = 15 \) darab - Dóri: \( 20 \cdot 0,3 = 6 \) darab Az összes karácsonyfa-figura száma \( 10 + 15 + 6 = 31 \) darab. Mivel Blanka édesanyja biztosan karácsonyfát választott, az eseménytér erre a 31 darabra korlátozódik, amiből a kedvező kimenetel Blanka 10 darab figurája. A feltételes valószínűség: $$ P = \mathbf{\frac{10}{31}} \approx 0,323 $$

c) A függődísz érintőnégyszög, így a Pitot-tétel szerint a szemközti oldalak összege egyenlő, tehát a kerület fele. A szemközti oldalak összege így \( \frac{80}{2} = 40 \) cm.
A négy oldal hosszát egy szigorúan monoton számtani sorozattal írhatjuk le (mivel azonos is lehetne a differencia 0-val, de az nyilván nem megoldás az egyik 23 cm-es oldallal). Legyenek az oldalak a nagyság szerint rendezve: \( a \), \( a+d \), \( a+2d \), \( a+3d \).
Az érintőnégyszögre igaz, hogy a legkisebb és legnagyobb oldal összege megegyezik a két középső oldal összegével (\( a + (a+3d) = (a+d) + (a+2d) \)), mindkettő \( 2a + 3d \). Így felírhatjuk a \( 2a + 3d = 40 \) egyenletet. Tudjuk, hogy az egyik oldal 23 cm hosszú. Ezt kétféleképpen vehetjük fel: 1. eset: A 23 cm-es oldal a "szélén" van a sorozatban (pl. a 4. elem, azaz a leghosszabb): $$ a + 3d = 23 \implies 2(23 - 3d) + 3d = 40 \implies 46 - 3d = 40 \implies 3d = 6 \implies d = 2 $$ A sorozat tagjai: \( a = 17 \). Az oldalak: 17, 19, 21, 23. 2. eset: A 23 cm-es oldal "középen" van a sorozatban (pl. a 3. elem): $$ a + 2d = 23 \implies a = 23 - 2d \implies 2(23 - 2d) + 3d = 40 \implies 46 - d = 40 \implies d = 6 $$ A sorozat tagjai: \( a = 11 \). Az oldalak: 11, 17, 23, 29. Mindkét sorozat érvényes konvex négyszöget alkothat, a másik három oldal hossza tehát **17 cm, 19 cm, 21 cm** vagy **11 cm, 17 cm, 29 cm** lehet.

a) A 99 az 50. páratlan szám (\( 2k - 1 = 99 \implies k = 50 \)).
Az oszlopok elemeinek száma sorban 1, 2, 3, 4, stb. Az első 9 oszlopban összesen \( 1 + 2 + \dots + 9 = 45 \) szám található.
Az 50. páratlan szám tehát a következő, azaz a 10. oszlopban helyezkedik el. Ezen belül a \( 50 - 45 = 5 \). helyen áll. Tehát a 10. oszlop 5. helyén.

b) Az első 2016 oszlopban összesen \( \frac{2016 \cdot 2017}{2} = 2\,033\,136 \) darab szám van.
A 2017. oszlop legelső eleme a következő, azaz a 2 033 137. páratlan szám. Ennek az értéke: $$ 2 \cdot 2\,033\,137 - 1 = \mathbf{4\,066\,273} $$

c) Ismert tény, hogy az első \( K \) darab pozitív páratlan szám összege \( K^2 \).
Az első \( n \) oszlopban lévő számok darabszáma egy számtani sorozat összegeként: \( K_n = \frac{n(n+1)}{2} \).
Az első \( n \) oszlopban álló összes szám összege így: \( K_n^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \).
Hasonlóan, az első \( n-1 \) oszlopban lévő számok összege: \( K_{n-1}^2 = \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 \).
Az \( n \)-edik oszlopban álló számok összege e két érték különbsége, mivel a számok folyamatosan nőnek: $$ S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n^2(n-1)^2}{4} $$ A kifejezést \( \frac{n^2}{4} \)-et kiemelve rendezhetjük: $$ S_n = \frac{n^2}{4} \left[ (n+1)^2 - (n-1)^2 \right] = \frac{n^2}{4} \left[ (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) \right] = \frac{n^2}{4} \cdot 4n = \mathbf{n^3} $$ Ezzel az állítást elegánsan igazoltuk minden pozitív egész \( n \)-re.

a) A számtani sorozat tagjai \( 5k + 4 \) alakúak (\( k \in \mathbb{N} \)). Az ezer alatti tagok száma a megoldandó egyenlőtlenségből adódik: $$ 5k + 4 < 1000 \implies 5k \le 995 \implies k \le 199 $$ Mivel \( k \) nullától indul a \( 4 \)-es taggal, összesen 200 ilyen tag van (vagy egyenletes leosztással: a legnagyobb \( a_{200} = 4 + 199 \cdot 5 = 999 \)).
A mértani sorozat tagjai \( 3 \cdot 2^{n-1} \) alakúak. A megfelelő tagok: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768. Ez 9 darab tag.
A kedvező esetek összegzésekor le kell vonnunk a közös tagokat, különben duplán számolnánk őket. A számtani sorozat elemei pontosan azok a számok, melyek utolsó számjegye 4 vagy 9 (mivel 5-tel osztva 4 a maradék).
A mértani sorozat kilenc eleme közül a 24 és a 384 végződik 4-re, 9-re egy sem. Így 2 közös tag van.
A kedvező számok darabszáma: \( 200 + 9 - 2 = 207 \).
Az ezer alatti pozitív egészek száma 999. A keresett valószínűség: $$ P = \frac{207}{999} $$ A törtet 9-cel egyszerűsítve megkapjuk a relatív prím alakot: $$ \mathbf{P = \frac{23}{111}} $$

b) Legyen a három teljes gráf csúcsainak száma elegánsan \( n-d \), \( n \) és \( n+d \), ahol \( d \) pozitív egész szám (mivel a sorozat növekvő).
Egy \( k \) csúcsú teljes gráf éleinek száma \( \frac{k(k-1)}{2} \). Az élek száma rendre: $$ E_1 = \frac{(n-d)(n-d-1)}{2}, \quad E_2 = \frac{n(n-1)}{2}, \quad E_3 = \frac{(n+d)(n+d-1)}{2} $$ Indirekt módon tegyük fel, hogy ezek is számtani sorozatot alkotnak, azaz \( E_1 + E_3 = 2E_2 \).
Behelyettesítve és 2-vel felszorozva az egyenletet: $$ (n-d)(n-d-1) + (n+d)(n+d-1) = 2n(n-1) $$ Bontsuk fel a zárójeleket: $$ (n^2 - 2nd + d^2 - n + d) + (n^2 + 2nd + d^2 - n - d) = 2n^2 - 2n $$ Vonjuk össze az azonos tagokat a bal oldalon: $$ 2n^2 + 2d^2 - 2n = 2n^2 - 2n $$ Mindkét oldalból kivonva \( (2n^2 - 2n) \)-t adódik: $$ 2d^2 = 0 \implies d = 0 $$ Ez azonban ellentmondás, hiszen a kiindulási feltétel szerint a sorozat szigorúan növekvő, tehát \( d > 0 \).
Az indirekt feltevésünk hibás volt, így igazoltuk, hogy a gráf éleinek száma nem alkothat számtani sorozatot.

a) Legyen a számtani sorozat első tagja \(a\). Ekkor a 3. tag \(a + 2 \cdot 1,6 = a + 3,2\), a 7. tag pedig \(a + 6 \cdot 1,6 = a + 9,6\).
A mértani sorozat tulajdonsága alapján a középső elem négyzete megegyezik a két szomszéd szorzatával: $$ (a + 3,2)^2 = a \cdot (a + 9,6) $$ $$ a^2 + 6,4a + 10,24 = a^2 + 9,6a $$ Rendezve az egyenletet: $$ 3,2a = 10,24 \implies a = 3,2 $$ A keresett három szám tehát: 3,2; 6,4; 12,8. (A kvóciens \(q = 2\)).

b) Az állítás hamis.
Ellenpélda: Tekintsük az \(a_n = \frac{1}{n}\) sorozatot. Ez a sorozat konvergens (a 0-hoz tart), viszont az értékkészlete végtelen sok különböző elemből áll (\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\)).

c) A megfordított állítás: Ha az \(\{a_n\}\) sorozat értékkészlete véges számhalmaz, akkor az \(\{a_n\}\) számsorozat konvergens.
A megfordított állítás hamis.
Ellenpélda: Tekintsük az \(a_n = (-1)^n\) sorozatot. Ennek értékkészlete véges, mindössze két elemből áll (\(\{-1; 1\}\)), a sorozat azonban divergens, nincs határértéke.

a) Óránként 4, egy nap alatt tehát \( 24 \cdot 4 = 96 \) alkalommal történik meg a 2%-os növekedés. Az olajfolt területe 15 perc alatt 1,02-szorosára nő, tehát egy nap múlva: $$ 400 \cdot 1,02^{96} \approx \mathbf{2677 \text{ m}^2} \text{ lett.} $$

b) A naponta eltávolított olajfoltterületek (\( \text{m}^2 \)-ben mérve) egy olyan számtani sorozat szomszédos tagjai, amelynek első tagja 130, az első 31 tagjának összege pedig \( 12\,400 \).
A napi növekedés legyen \( d \) (\( \text{m}^2 \)). Ekkor a számtani sorozat összegképlete alapján: $$ S_{31} = \frac{2a_1 + 30d}{2} \cdot 31 $$ $$ 12\,400 = \frac{260 + 30d}{2} \cdot 31 $$ Ebből megoldva: $$ d = \mathbf{18 \text{ m}^2} $$ A napi növekedés tehát \( 18 \text{ m}^2 \) volt.

a) Jelölje a számtani sorozat első három tagját \( a_2 - d \), \( a_2 \) és \( a_2 + d \), ahol \( d \) a differencia. A sorozat ismert tulajdonsága miatt az első három tag átlaga éppen a középső tag, azaz \( a_2 \).

A szórásnégyzet az átlagtól vett eltérések négyzetének átlaga: $$ \sigma^2 = \frac{((a_2 - d) - a_2)^2 + (a_2 - a_2)^2 + ((a_2 + d) - a_2)^2}{3} = 6 $$ $$ \frac{(-d)^2 + 0^2 + d^2}{3} = 6 \implies \frac{2d^2}{3} = 6 \implies 2d^2 = 18 \implies d^2 = 9 $$ Mivel a sorozat növekvő, a differencia pozitív, így \( \mathbf{d = 3} \). Ezt kellett igazolnunk.

b) Fejezzük ki a rokonok életkorát Barbara életkorának (\( x \)) függvényében:

• Barbara: \( x \) éves
• Cili: \( x + 3 \) éves
• Dezső: \( x - 6 \) éves
• Edit: Cili kora + 9 = \( (x + 3) + 9 = x + 12 \) éves

Dezső, Barbara és Edit életkora (\( x - 6 \), \( x \), \( x + 12 \)) egy mértani sorozat három egymást követő tagja, így a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédjának szorzatával: $$ x^2 = (x - 6)(x + 12) $$ $$ x^2 = x^2 + 6x - 72 \implies 0 = 6x - 72 \implies x = 12 $$ Barbara tehát 12 éves, Cili pedig \( 12 + 3 = 15 \) éves. András, Barbara és Cili életkora egy számtani sorozat három szomszédos tagja. Mivel Barbara 12, Cili 15 éves, a differencia 3. András kora így \( 12 - 3 = 9 \).
András tehát 9 éves.

c) A feladatot komplementer eseménnyel érdemes megoldani: az összes lehetséges sorrendből kivonjuk azokat, amikor a három lány egymás mellett ül.

Hatan a hat egymás melletti székre \( 6! = 720 \)-féleképpen ülhetnek le. Ha a három lány egymás mellett ül, tekintsük őket egyetlen "egységnek". Ekkor ez az egység és a három fiú \( 4! = 24 \)-féleképpen helyezhető el a székeken. Egy-egy ilyen elrendezésen belül a három lány \( 3! = 6 \)-féle sorrendben ülhet. A nem megfelelő (három lány egymás mellett van) elhelyezkedések száma tehát \( 4! \cdot 3! = 24 \cdot 6 = 144 \).

A megfelelő elhelyezkedések száma: $$ 720 - 144 = \mathbf{576} $$

a) Ha $d$ a számtani sorozat differenciája, akkor a háromszög oldalhosszai: $4$, $4 + d$, és $4 + 2d$, ahol $d > 0$.
Mivel a háromszög derékszögű, a leghosszabb oldal ($4+2d$) az átfogó, így felírhatjuk a Pitagorasz-tételt: $$ 4^2 + (4 + d)^2 = (4 + 2d)^2 $$ A négyzetre emeléseket elvégezve és az egyenletet rendezve: $$ 16 + 16 + 8d + d^2 = 16 + 16d + 4d^2 $$ $$ 3d^2 + 8d - 16 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei a megoldóképlet alapján: $d_1 = \frac{4}{3}$ és $d_2 = -4$.
A negatív gyök ($d>0$ miatt) nem ad megoldást, így a háromszög másik két oldala: $4 + \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{16}{3}}$ és $4 + 2\cdot\frac{4}{3} = \mathbf{\frac{20}{3}}$ egység hosszúak.

b) Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy a háromszögnek van 60º-os szöge.
Mivel az oldalak hossza a megadott számtani sorozat miatt páronként különböző ($d > 0$, mert a háromszög nem szabályos), a szögek is különbözőek. Háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.
Mivel a belső szögek összege 180°, ha a három szög különböző, akkor nem lehet a 60° sem a legkisebb (akkor az összeg $>180°$), sem a legnagyobb (akkor az összeg $<180°$). Így a 60°-os szög csak a középső szög lehet, amely a középső hosszúságú, $4+d$ oldallal van szemben.

Írjuk fel a koszinusztételt a középső oldalra: $$ (4 + d)^2 = 4^2 + (4 + 2d)^2 - 2 \cdot 4 \cdot (4 + 2d) \cdot \cos 60^\circ $$ Mivel $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, az egyenlet a következőképpen egyszerűsödik: $$ 16 + 8d + d^2 = 16 + (16 + 16d + 4d^2) - 4 \cdot (4 + 2d) $$ $$ 16 + 8d + d^2 = 32 + 16d + 4d^2 - 16 - 8d $$ $$ 16 + 8d + d^2 = 16 + 8d + 4d^2 $$ Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy $3d^2 = 0$, azaz $d = 0$.

Ez viszont ellentmond annak a feltételnek, hogy a háromszög nem szabályos ($d > 0$). Az eredeti feltételezésünk tehát hamis, azaz a háromszögnek valóban nincs 60º-os szöge.

A havi zsebpénzek értékei (forintban számolva) egy számtani sorozat tagjai, ahol a differencia \( d = 50 \), az \( n \)-edik tag \( a_n = 1850 \), és az első \( n \) tag összege \( S_n = 35100 \).

A számtani sorozat \( n \)-edik tagjára felírható: $$ 1850 = a_1 + (n - 1) \cdot 50 \implies a_1 = 1900 - 50n $$

Az összegképletet alkalmazva: $$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \implies 35100 = \frac{1900 - 50n + 1850}{2} \cdot n $$ Rendezve a kapott egyenletet: $$ 70200 = (3750 - 50n)n \implies 50n^2 - 3750n + 70200 = 0 \implies n^2 - 75n + 1404 = 0 $$

A másodfokú egyenlet megoldásai \( n = 36 \) vagy \( n = 39 \).
Ha \( n = 39 \) lenne, akkor \( a_1 = 1900 - 50 \cdot 39 = -50 \) (ami lehetetlen, mert a zsebpénz nem lehet negatív).
Így \( n = 36 \), ekkor az induló összeg: \( a_1 = 1900 - 50 \cdot 36 = 100 \).

Kinga induló zsebpénze 100 Ft volt, és a 10. születésnapja óta 35 hónap telt el (vagyis a 36. hónapban járt).

a) Felírva a sorozatok hatodik elemeit kapjuk a kvócienst (\( q \)) és a differenciát (\( d \)):

Mértani: \( a_6 = a_1 q^5 \implies 1 \cdot q^5 = -1 \implies q = -1 \).
Számtani: \( b_6 = b_1 + 5d \implies 1 + 5d = -1 \implies d = -\frac{2}{5} \).

A mértani sorozat első öt eleme: 1; -1; 1; -1; 1.
A számtani sorozat első öt eleme: 1; \(\frac{3}{5}\); \(\frac{1}{5}\); \(-\frac{1}{5}\); \(-\frac{3}{5}\).

b) Vizsgáljuk meg a sorozatok összegeit az a) rész alapján:

A táblázatból rögtön látszik, hogy az összegek egyenlőek \( n = 1, n = 5 \) és \( n = 6 \) esetén. De vajon van-e további megoldás?

A számtani sorozat tagjai csökkennek, a hatodik tag már negatív, így az összeg \( n \ge 6 \) után szigorúan monoton csökken és mindig \( < 0 \) lesz. A mértani sorozat összege viszont felváltva csak 1 vagy 0 lehet. Mivel a számtani sorozat összege a továbbiakban már negatív, így az sosem egyezhet meg a mértani sorozat 0 vagy 1 értékű összegével.

Tehát a megoldások: \( n = 1 \), \( n = 5 \) és \( n = 6 \).

Jelöljük a mértani sorozat első három tagját: \( a, aq, aq^2 \).
Tudjuk, hogy: $$ (1) \quad a + aq + aq^2 = 26 $$

A számtani sorozat tagjai: \( a+1, \quad aq+6, \quad aq^2+3 \).
A számtani sorozat tulajdonsága (a középső tag a két szélső számtani közepe) miatt: $$ 2(aq + 6) = (a + 1) + (aq^2 + 3) $$ $$ (2) \quad 2aq + 12 = a + aq^2 + 4 \implies a - 2aq + aq^2 = 8 $$

Vonjuk ki az (1)-es egyenletből a (2)-es átrendezett alakját: $$ (a + aq + aq^2) - (a - 2aq + aq^2) = 26 - 8 $$ $$ 3aq = 18 \implies aq = 6 \implies a = \frac{6}{q} $$

Helyettesítsük ezt vissza az (1) egyenletbe: $$ \frac{6}{q} + 6 + 6q = 26 $$ $$ \frac{6}{q} - 20 + 6q = 0 $$ Szorozzuk be az egyenletet \( q \)-val és osszunk 2-vel: $$ 3q^2 - 10q + 3 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: \( q_1 = \frac{1}{3} \) és \( q_2 = 3 \).

1. eset: Ha \( q = \frac{1}{3} \), akkor \( a = 18 \).
A mértani sorozat tagjai: 18, 6, 2.
A számtani sorozat tagjai: 19, 12, 5.

2. eset: Ha \( q = 3 \), akkor \( a = 2 \).
A mértani sorozat tagjai: 2, 6, 18.
A számtani sorozat tagjai: 3, 12, 21.

Mindkét eset megfelel a feladat feltételeinek.

Használjuk a feladat által megadott összefüggéseket a sorozat tagjainak felírására!
1. rekurzív képlet: \( a_n = a_{n-1} + 12a_{n-2} \)
2. számtani sorozat feltétele: a középső tag kétszerese egyenlő a szomszédok összegével: $$ 2a_2 = a_1 + (a_3 - 9a_1) $$

Az 1. feltétel alapján \( a_3 = a_2 + 12a_1 \). Ezt helyettesítsük be a számtani sorozat feltételébe: $$ 2a_2 = a_1 + a_2 + 12a_1 - 9a_1 $$ Összevonva a kifejezéseket, kifejezzük \( a_2 \)-t: $$ 2a_2 = a_2 + 4a_1 \implies a_2 = 4a_1 $$

A sorozat első öt tagját most mind ki tudjuk fejezni kizárólag az \( a_1 \) függvényében:
\( a_1 = a_1 \)
\( a_2 = 4a_1 \)
\( a_3 = a_2 + 12a_1 = 4a_1 + 12a_1 = 16a_1 \)
\( a_4 = a_3 + 12a_2 = 16a_1 + 12(4a_1) = 64a_1 \)
\( a_5 = a_4 + 12a_3 = 64a_1 + 12(16a_1) = 256a_1 \)

Tudjuk, hogy az első öt tag összege 682: $$ a_1 + 4a_1 + 16a_1 + 64a_1 + 256a_1 = 682 $$ $$ 341a_1 = 682 \implies a_1 = 2 $$

Észrevehetjük, hogy ez valójában egy \( q = 4 \) hányadosú mértani sorozat (hiszen az arány mindenütt négyszeres: 2, 8, 32, 128, 512).
A sorozat hatodik tagja számítható a rekurzív képlettel is, vagy a mértani sorozat tulajdonságából közvetlenül: $$ a_6 = a_5 + 12a_4 = 512 + 12(128) = 512 + 1536 = \mathbf{2048} $$ Vagy rövidebben: \( a_6 = a_5 \cdot 4 = 512 \cdot 4 = \mathbf{2048} \).

a) Írjuk fel a mértani sorozat első néhány tagjának 11-es maradékát! A következő maradékot mindig úgy kapjuk, hogy az előzőt beszorozzuk 3-mal, és vesszük a 11-es maradékot.
A sorozat maradékai: 5; 4; 1; 3; 9; 5; ...
Látható, hogy a maradékok ciklikusan ismétlődnek, és a periódus hossza 5. Egy cikluson belül pontosan egyszer fordul elő az 1-es maradék.
Az első 110 tagban pontosan \( 110 / 5 = 22 \) teljes ciklus van.
Így a kedvező esetek száma 22, az összes eset száma 110. A keresett valószínűség: $$ P = \frac{22}{110} = \mathbf{\frac{1}{5}} = 0,2 $$

b) Hasonlóan, a számtani sorozatnál a következő maradékot úgy kapjuk, hogy 3-at adunk az előzőhöz (és 11-es maradékot veszünk).
A maradékok: 5; 8; 0; 3; 6; 9; 1; 4; 7; 10; 2; 5; ...
Itt a ciklus hossza 11 (mivel a 3 relatív prím a 11-hez, minden lehetséges maradékot pontosan egyszer érint egy cikluson belül).
A 11 hosszú cikluson belül pontosan egyszer van 1-es maradék. A 110 tag pontosan \( 110 / 11 = 10 \) ilyen ciklust alkot.
Így a kedvező esetek száma 10. A valószínűség: $$ P = \frac{10}{110} = \mathbf{\frac{1}{11}} $$

a) A csoportokban lévő számok számát megadó sorozat a pozitív egészek sorozata: 1, 2, 3, 4, ..., n.
A 99-edik csoport végéig beírt számok darabszáma (ami megegyezik az utolsó leírt számmal): $$ 1 + 2 + 3 + \dots + 99 = \frac{(1 + 99) \cdot 99}{2} = 4950 $$ Tehát a 100-adik csoport első eleme az ezután következő szám, azaz a 4951.

b) Ha az 1851 az \((n + 1)\)-edik csoportban van, akkor az első \( n \) csoport összes elemének száma kisebb 1851-nél, de az \((n+1)\) csoport elemeinek száma már nagyobb vagy egyenlő vele: $$ \frac{n(n + 1)}{2} < 1851 \le \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} $$ Az első egyenlőtlenséget megoldva: $$ n^2 + n < 3702 \implies n^2 + n - 3702 < 0 $$ Mivel \( \sqrt{3702} \approx 60,8 \), vizsgáljuk meg az \( n = 60 \) esetet: $$ \frac{60 \cdot 61}{2} = 1830 $$ Mivel \( 1830 < 1851 \), és a következő halmaz \( 61 \) elemet tartalmaz (így az utolsó eleme \( 1830 + 61 = 1891 \)), az 1851 a 61-edik csoportban van.
A 61-edik csoport első eleme \( 1831 \). Hogy megtudjuk, hányadik elem az 1851, kivonjuk az előző csoportok utolsó elemét a számunkból: $$ 1851 - 1830 = 21 $$ Tehát az 1851 a 61-edik csoport 21-edik eleme.

a) Az évente félretett összegek egy számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja \( a_1 = 5000 \), differenciája \( d = 1000 \).
1996-tól 2004-ig összesen \( n = 9 \) alkalommal tett pénzt a perselybe a nagypapa. A sorozat első 9 elemének összegét kell kiszámítanunk: $$ S_9 = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 5000 + 8 \cdot 1000}{2} \cdot 9 = \frac{18000}{2} \cdot 9 = 9000 \cdot 9 = \mathbf{81 000 \text{ Ft}} $$

b) A bankszámlán lévő pénz növekedését egy mértani sorozattal (kamatos kamattal) írhatjuk le, melynek kezdőtőkéje \( t_0 = 60000 \) Ft, a kamattényező \( q = 1,04 \). Azt keressük, hány év (\( n \)) múlva éri el a 100 000 Ft-ot: $$ 60000 \cdot 1,04^n \ge 100000 $$ Osztunk 60 000-rel: $$ 1,04^n \ge \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $$ Mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve: $$ n \cdot \lg 1,04 \ge \lg \left(\frac{5}{3}\right) $$ $$ n \ge \frac{\lg(5/3)}{\lg 1,04} \approx 13,024 $$ Mivel a kamatjóváírás csak évente egyszer, év végén történik, a \( n \)-nek egésznek kell lennie. Ezért legalább 14 évet kell várnia Péternek.

Ha a számtani sorozat második tagja \( a_2 \) és differenciája \( d \), akkor a tagok felírhatók így: \( a_2 - d \), \( a_2 \), \( a_2 + d \).
Az összeg: \( (a_2 - d) + a_2 + (a_2 + d) = 60 \), ahonnan \( a_2 = 20 \).

A mértani sorozat első három tagja a feladat szerint:
\( 20 - d + 64 = 84 - d \), \( 20 \), és \( 20 + d \).

A mértani sorozat tulajdonsága alapján a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédos tag szorzatával:
$$ (84 - d)(20 + d) = 20^2 $$ $$ 1680 + 84d - 20d - d^2 = 400 $$ Rendezve a másodfokú egyenletet: $$ d^2 - 64d - 1280 = 0 $$

A megoldóképlettel kapott gyökök: \( d_1 = -16 \) és \( d_2 = 80 \).
Mivel a számtani sorozat növekedő, ezért \( d > 0 \), így \( d = -16 \) nem megoldás. Marad a \( d = 80 \).

A számtani sorozat első három tagja: -60; 20; 100.
A mértani sorozat első három tagja (az elsőhöz 64-et adva): 4; 20; 100.