Mértani Sorozatok

a) Az exponenciális egyenletet alakítsuk át úgy, hogy a $3^x$ kifejezés szerepeljen benne:

$$ 9 \cdot (3^x)^2 + \frac{78}{3} \cdot 3^x - 3 = 0 $$ $$ 9 \cdot (3^x)^2 + 26 \cdot 3^x - 3 = 0 $$

Vezessünk be új ismeretlent: $y = 3^x$ ($y > 0$). A másodfokú egyenlet:

$$ 9y^2 + 26y - 3 = 0 $$

A megoldóképletből a gyökök $y = \frac{1}{9}$ és $y = -3$. Mivel az exponenciális függvény értékkészlete pozitív, a $-3$ nem ad megoldást.

Tehát $3^x = \frac{1}{9} \implies \mathbf{x = -2}$.

b) Jelölje $q$ a mértani sorozat hányadosát. Felírható, hogy:

$$ b_5 = b_2 \cdot q^3 \implies 162 = 48 \cdot q^3 \implies q^3 = \frac{162}{48} = 3,375 $$

Ebből $q = 1,5$. Határozzuk meg a sorozat első tagját is:

$$ b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{48}{1,5} = 32 $$

Az $n$-edik tagra vonatkozó egyenlőtlenség:

$$ 32 \cdot 1,5^{n-1} > 10\,000\,000 $$ $$ 1,5^{n-1} > 312\,500 $$

Mivel az exponenciális és logaritmus függvények szigorúan monoton nőnek, vehetjük mindkét oldal logaritmusát:

$$ (n-1) \lg 1,5 > \lg 312\,500 \implies n-1 > \frac{\lg 312\,500}{\lg 1,5} \approx 31,2 $$

Amiből adódik, hogy $n > 32,2$. Mivel $n$ egész szám, ezért a keresett index: $\mathbf{n \ge 33}$.

a) Jelölje a cipők novemberi árát forintban $x$, $y$ és $z$, ahol $x \le y \le z$. A feladat szövege alapján a következő háromismeretlenes egyenletrendszert írhatjuk fel:

$$ \begin{cases} x + y + z = 45\,000 \\ 0,5x + 0,8y + z = 37\,000 \\ 1,3x + y + z = 48\,000 \end{cases} $$

A harmadik egyenletből kivonva az elsőt:

$$ 0,3x = 3\,000 \implies x = 10\,000 $$

Helyettesítsük vissza az $x = 10\,000$ értéket az első és második egyenletbe:

$$ \begin{cases} 10\,000 + y + z = 45\,000 \implies y + z = 35\,000 \\ 5\,000 + 0,8y + z = 37\,000 \implies 0,8y + z = 32\,000 \end{cases} $$

Vonjuk ki az első (módosított) egyenletből a másodikat:

$$ 0,2y = 3\,000 \implies y = 15\,000 $$

A hiányzó harmadik cipő ára ekkor $z = 35\,000 - 15\,000 = 20\,000$.

Tehát a három cipő novemberi ára 10 000 Ft, 15 000 Ft és 20 000 Ft volt.

---

b) Jelölje a számtani sorozat differenciáját $d$. Ekkor az első három szám felírható a következőképpen: $3$, $3 + d$, $3 + 2d$. A negyedik szám a feladat szerint $25$.

A feltétel alapján az utolsó három szám, azaz a $(3 + d)$, a $(3 + 2d)$ és a $25$ egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A mértani közép tulajdonsága miatt a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédos tag szorzatával:

$$ (3 + 2d)^2 = (3 + d) \cdot 25 $$

Bontsuk fel a zárójeleket:

$$ 9 + 12d + 4d^2 = 75 + 25d $$

Rendezzük az egyenletet nullára:

$$ 4d^2 - 13d - 66 = 0 $$

A másodfokú megoldóképlettel megkapjuk a differenciákat:

$$ d_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot (-66)}}{8} = \frac{13 \pm \sqrt{1225}}{8} = \frac{13 \pm 35}{8} $$

Ebből $d_1 = 6$ és $d_2 = -2,75$.

• Ha $d = 6$, akkor a hiányzó két szám a $3 + 6 = \mathbf{9}$ és a $3 + 12 = \mathbf{15}$. (A sorozat: 3, 9, 15, 25. Ez megfelel a feltételeknek, hiszen a 9, 15, 25 mértani sorozat hányadosa $\frac{5}{3}$.)
• Ha $d = -2,75$, akkor a két hiányzó szám a $3 - 2,75 = \mathbf{0,25}$ és a $3 - 5,5 = \mathbf{-2,5}$. (A sorozat: 3, 0,25, -2,5, 25. Az utolsó három tag mértani sorozat, melynek hányadosa $-10$.)

Tehát a keresett két szám a 9 és 15, vagy a 0,25 és -2,5.

a) Az egyenlőtlenségbe beírva a sorozat \( n \)-edik tagját és az abszolútértéket felbontva kapjuk: $$ \left| 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n \right| = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2^{1-n} $$ $$ 2^{1-n} < 10^{-7} \implies 2^{n-1} > 10^7 $$ Mindkét oldal 10-es alapú (vagy 2-es alapú) logaritmusát véve, és tudva, hogy a függvény szigorúan monoton növekvő: $$ (n-1) \cdot \lg 2 > 7 \implies n - 1 > \frac{7}{\lg 2} \approx 23,25 $$ $$ n > 24,25 $$ A legkisebb megfelelő pozitív egész érték az \( n = 25 \).

b) A sorozat első tagja (\( n = 1 \)): \( a_1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = -1 \).
A sorozat kvóciense (hányadosa): \( q = -\frac{1}{2} \).
Az első 10 tag összegét a mértani sorozat összegképletével számítjuk ki: $$ S_{10} = a_1 \frac{q^{10} - 1}{q - 1} = (-1) \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{10} - 1}{-\frac{1}{2} - 1} $$ Kiszámolva a hatványt és egyszerűsítve: $$ S_{10} = (-1) \frac{\frac{1}{1024} - 1}{-\frac{3}{2}} = (-1) \frac{-\frac{1023}{1024}}{-\frac{3}{2}} = - \left( \frac{1023}{1024} \cdot \frac{2}{3} \right) = \mathbf{-\frac{341}{512}} $$

c) Vegyük észre, hogy a \( \{b_n\} \) sorozat felírható a következőképpen: \( b_n = a_n + 2 \). Helyettesítsük be ezt a bizonyítandó algebrai kifejezésbe: $$ 2b_{n+2} - b_{n+1} - b_n = 2(a_{n+2} + 2) - (a_{n+1} + 2) - (a_n + 2) $$ A konstansokat összevonva (\( 4 - 2 - 2 = 0 \)), azok kiesnek: $$ = 2a_{n+2} - a_{n+1} - a_n $$ Mivel \( a_n \) egy \( q = -\frac{1}{2} \) kvóciensű mértani sorozat, \( a_{n+1} = a_n \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \) és \( a_{n+2} = a_n \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = a_n \cdot \frac{1}{4} \).
Ezeket behelyettesítve és az \( a_n \) közös tényezőt kiemelve: $$ = a_n \left( 2 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 \right) = a_n \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 \right) = a_n \cdot 0 = \mathbf{0} $$ Az átalakítások ekvivalensek voltak, így az eredeti állítást beláttuk minden pozitív egész \( n \)-re.

a) A számtani sorozat első 20 tagjának összegképletét alkalmazva:

$$ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = 1115 $$

$$ \frac{a_1 + 108}{2} \cdot 20 = 1115 \implies 10(a_1 + 108) = 1115 \implies a_1 + 108 = 111{,}5 $$

Így a sorozat első tagja: \( a_1 = 3{,}5 \).

Mivel \( a_{20} = a_1 + 19d \), a sorozat differenciája:

$$ d = \frac{108 - 3{,}5}{19} = \mathbf{5{,}5} $$

b) A mértani sorozat tagjai \( 3^1, 3^2, 3^3, \dots \), így az első \( n \) tag szorzata:

$$ P_n = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot \dots \cdot 3^n = 3^{1+2+\dots+n} $$

A feltétel szerint ez egyenlő \( 3^{435} \)-tel. Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kitevők egyenlőek:

$$ 1 + 2 + \dots + n = 435 \implies \frac{n(n+1)}{2} = 435 $$

$$ n^2 + n - 870 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei \( n = 29 \) és \( n = -30 \). Mivel \( n \) csak pozitív egész lehet, a megoldás: \( n = 29 \).

a) Számítsuk ki a kért függvényértékeket: $$ f(-2) = 3^{-(-2)} = 3^2 = 9 $$ A 9 pozitív egész szám, tehát a Természetes számok (\( \mathbb{N} \)) halmazába kerül. $$ f(0,5) = 3^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Mivel a \( \sqrt{3} \) irracionális, a hányados is az, így a Valós, de nem racionális számok (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)) halmazába írjuk. $$ f(5) = 3^{-5} = \frac{1}{243} $$ Ez a szám két egész szám hányadosa (tört), de nem egész, ezért a Racionális, de nem egész számok (\( \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \)) halmazába, a legnagyobb belső téglalapba kerül.

b) Az \( A = \frac{1}{9} \), \( B = \frac{1}{2187} \) és \( C = 3^{-12} \) számok mind racionálisak. Mivel racionális számok összege racionális, az \( A \), \( B \) és \( C \) csúcsok között minden él be van húzva (ez 3 él). A \( D = 1 - \sqrt{2} \) irracionális szám. Az \( E \) szám értékét gyöktelenítéssel egyszerűsítjük: $$ E = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1 $$ Ez szintén irracionális. Ha egy racionális számhoz (\( A, B, C \)) egy irracionális számot (\( D, E \)) adunk, az eredmény irracionális, így közöttük nincs él. Nézzük meg a két irracionális szám összegét: $$ D + E = (1 - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1) = 2 $$ Mivel a 2 racionális szám, a \( D \) és \( E \) csúcs között is be van húzva az él. A gráfnak tehát 4 éle van.

c) A megadott egyenlőtlenséget írjuk fel a \( g(x) = 3^{-x} \) függvény alakjában: $$ 3^{-n} - 3^{-(n+1)} > 10^{-6} $$ Kiemelve a kisebb hatványt: $$ 3^{-(n+1)} \cdot (3^1 - 1) > 10^{-6} $$ $$ 2 \cdot 3^{-(n+1)} > 10^{-6} \implies 3^{n+1} < 2 \cdot 10^6 $$ A két oldal 10-es alapú logaritmusát véve (a logaritmus szigorúan monoton nő): $$ (n+1) \cdot \log_{10} 3 < \log_{10} (2 \cdot 10^6) \approx 6,301 $$ $$ n+1 < \frac{6,301}{0,477} \approx 13,2 \implies n < 12,2 $$ A legnagyobb megfelelő pozitív egész szám \( n = 12 \). A téglalapok egységnyi (1) szélesek, a k-adik téglalap magassága \( g(k) = 3^{-k} \), így a területe is \( 3^{-k} \). Az első 12 téglalap területének összege egy mértani sorozat első 12 tagjának összege (\( a_1 = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{1}{3} \)): $$ S_{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{12}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 3^{-12}}{\frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - 3^{-12}\right) \approx 0,5} $$

a) A számtani sorozat összegképletét használva: $$ S_n = \frac{2 \cdot 5 + 3(n - 1)}{2} \cdot n = 4900 $$ Rendezve az egyenletet: $$ 3n^2 + 7n - 9800 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( n_1 = 56 \) és \( n_2 = -\frac{175}{3} \approx -58,3 \). Mivel \( n \)-nek pozitív egésznek kell lennie, a megoldás: \( n = 56 \).

b) Jelölje a mértani sorozat első tagját \( a \), hányadosát \( q \). Az egyenletrendszer: $$ \begin{cases} a + aq = 6 \\ aq^2 + aq^3 = 96 \end{cases} $$ A második egyenlet átalakítva: \( q^2(a + aq) = 96 \).
Ezt elosztva az első egyenlettel megkapjuk, hogy: $$ q^2 = 16 \implies q = 4 \quad \text{vagy} \quad q = -4 $$ Visszahelyettesítve az első egyenletbe: Ha \( q = 4 \), akkor \( a(1+4) = 6 \implies \mathbf{a = \frac{6}{5} = 1,2} \).
Ha \( q = -4 \), akkor \( a(1-4) = 6 \implies \mathbf{a = -2} \).

a) Az első asztalra érkezés után 0,84 m magasra pattan vissza a labda, majd ugyanekkora távolságot tesz meg a második leérkezésig lefelé. Az első és második érkezés között megtett út hossza tehát $2 \cdot 0,84 = 1,68$ méter.
Az egymás után következő érkezések között megtett utak hossza egy mértani sorozatot alkot, melynek első tagja $a_1 = 1,68$, hányadosa pedig $q = 0,84$.
Az első és 15. asztalra érkezés között pontosan 14 ilyen pattanási szakasz van, tehát a sorozat első 14 tagjának összegét keressük: $$ S_{14} = a_1 \frac{q^{14} - 1}{q - 1} = 1,68 \frac{0,84^{14} - 1}{0,84 - 1} \approx \mathbf{9,59 \text{ méter}} $$

b) Jelölje a labdák számát $x$. Az állítás szerint felírható két egész számokra (ahol $k, m \in \mathbb{N}$): $$ x = 6k + 2 \quad \text{és} \quad x = 15m + 1 $$ A két egyenletből következik, hogy: $$ 6k + 2 = 15m + 1 \implies 1 = 15m - 6k \implies 1 = 3(5m - 2k) $$ A jobb oldal láthatóan osztható 3-mal, a bal oldal (az 1) viszont nem, ami ellentmondás. András állítása tehát valóban hamis.

c) A labdák sugara $r = 20$ mm. A doboz alaplapja felbontható a három kör középpontja által alkotott 40 mm oldalú szabályos háromszögre, e köré illesztett három $40 \times 20$ mm-es téglalapra, valamint három $120^\circ$-os körcikkre (amelyek együtt épp egy teljes kört adnak ki).
Az alapterület így: $$ T_{\text{alap}} = \frac{40^2 \cdot \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot (40 \cdot 20) + 20^2 \pi \approx 692,8 + 2400 + 1256,6 = 4349,4 \text{ mm}^2 $$ A doboz magassága egyenlő a labda átmérőjével ($40$ mm), így térfogata: $$ V_{\text{doboz}} = 4349,4 \cdot 40 = 173\,976 \text{ mm}^3 $$ A három labda együttes térfogata: $$ V_{\text{labdák}} = 3 \cdot \frac{4\pi}{3} r^3 = 4\pi \cdot 20^3 \approx 100\,531 \text{ mm}^3 $$ A kitöltöttség aránya: $$ \frac{100\,531}{173\,976} \approx 0,578 $$ Tehát a labdák a doboz térfogatának körülbelül 58%-át töltik ki.

a) A számtani sorozat tulajdonsága alapján a három szomszédos tag közül a középső a két szélső számtani közepe: $$ a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{26}{2} = 13 $$ Ugyanígy a harmadik tag a második és a negyedik közepe: $$ a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{130}{2} = 65 $$ A sorozat differenciája: \( d = a_3 - a_2 = 65 - 13 = 52 \).
Az ötödik tag: \( a_5 = a_3 + 2d = 65 + 104 = \mathbf{169} \).

b) A mértani sorozat feltételeit felírva az első tagra (\( b_1 \)) és a kvóciensre (\( q \)): $$ b_1 + b_1 q^2 = 26 \implies b_1(1 + q^2) = 26 $$ $$ b_1 q + b_1 q^3 = 130 \implies b_1 q(1 + q^2) = 130 $$ A második egyenletet elosztva az elsővel kapjuk a kvócienst: $$ q = \frac{130}{26} = 5 $$ Visszahelyettesítve \( q \)-t az első egyenletbe: $$ b_1(1 + 25) = 26 \implies b_1 = 1 $$ A sorozat ötödik tagja: \( b_5 = b_1 q^4 = 1 \cdot 5^4 = \mathbf{625} \).

a) Indirekt bizonyításként tegyük fel, hogy létezik ilyen $n \ge 3$ egész szám. Egy mértani sorozat tulajdonsága szerint a szomszédos elemekre igaz: $$ \binom{n}{1} \cdot \binom{n}{3} = \left( \binom{n}{2} \right)^2 $$ Kifejtve a binomiális együtthatókat: $$ n \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 $$ $$ \frac{n^2(n-1)(n-2)}{6} = \frac{n^2(n-1)^2}{4} $$ Mivel $n \ge 3$, oszthatunk $n^2(n-1)$-gyel: $$ \frac{n-2}{6} = \frac{n-1}{4} $$ Keresztbe szorzás után kapjuk: $$ 4n - 8 = 6n - 6 \Rightarrow 2n = -2 \Rightarrow n = -1 $$ Ez ellentmond a kezdeti feltételnek ($n \ge 3$). Így valóban nincs a feltételnek megfelelő szám.

b) A számtani sorozat egymást követő tagjaira fennáll, hogy a két szélső tag összege a középső kétszerese: $$ \binom{n}{4} + \binom{n}{6} = 2\binom{n}{5} $$ Kifejtve a képleteket ($n \ge 6$): $$ \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!} = 2 \frac{n!}{5!(n-5)!} $$ Osszuk el mindkét oldalt $\frac{n!}{6!(n-4)!}$-sal (azaz szorozzuk a tört reciprokával): $$ \frac{6 \cdot 5}{1} + \frac{1}{(n-4)(n-5)} = \frac{2 \cdot 6}{n-4} $$ Szorozzuk be az egyenletet a közös nevezővel, ami $(n-4)(n-5)$: $$ 30(n-4)(n-5) + 1 = 12(n-5) \dots \text{Várj, ez bonyolultabb.} $$ Egy elegánsabb és hibamentesebb egyszerűsítés, ha $n!$-sal osztunk, majd azonos nevezőre hozzuk: $$ \frac{1}{4!(n-4)!} + \frac{1}{6!(n-6)!} = \frac{2}{5!(n-5)!} $$ Szorozzuk mindkét oldalt $6!(n-4)!$-sal: $$ \frac{6!}{4!} + \frac{(n-4)!}{(n-6)!} = \frac{2 \cdot 6!}{5!} \cdot \frac{(n-4)!}{(n-5)!} $$ $$ 30 + (n-4)(n-5) = 12(n-4) $$ A műveleteket elvégezve és rendezve: $$ n^2 - 9n + 20 + 30 = 12n - 48 \Rightarrow n^2 - 21n + 98 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldásai az $n = 7$ és $n = 14$. Ellenőrizve mindkettő megfelelő valós (és $n > 5$) egész szám.

a) Jelölje a mértani sorozat hányadosát \( q \).
Felírható a következő egyenlet: $$ q^5 = \frac{a_9}{a_4} = \frac{384}{12} = 32 $$ Innen \( q = 2 \). A sorozat első tagja ebből: \( a_1 = \frac{a_4}{q^3} = \frac{12}{8} = 1{,}5 \).
A sorozat első hat tagja: 1,5; 3; 6; 12; 24; 48.
Ezek átlaga: $$ \overline{x} = \frac{1{,}5 + 3 + 6 + 12 + 24 + 48}{6} = \frac{94{,}5}{6} = \mathbf{15{,}75} $$ Az átlagtól mért átlagos abszolút eltérés: $$ \frac{|1{,}5 - 15{,}75| + |3 - 15{,}75| + \dots + |48 - 15{,}75|}{6} = \mathbf{13{,}5} $$

b) A 12 háromféleképpen állítható elő 1-nél nagyobb számjegyek szorzataként: \( 12 = 6 \cdot 2 = 4 \cdot 3 = 3 \cdot 2 \cdot 2 \).
A számjegyek összege akkor lesz 12, ha ezen számjegyek mellett megfelelő számú 1-es számjegyet is tartalmaz a szám (az 1-esekkel a szorzat nem változik).
Vizsgáljuk meg a három esetet:

• 6, 2: Ezek összege 8. Szükségünk van még négy darab 1-esre. A számjegyek: 6, 2, 1, 1, 1, 1. Ezekből ismétléses permutációval: \( \frac{6!}{4!} = 30 \) szám készíthető.
• 4, 3: Ezek összege 7. Szükségünk van még öt darab 1-esre. A számjegyek: 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1. Készíthető: \( \frac{7!}{5!} = 42 \) szám.
• 3, 2, 2: Ezek összege 7. Szükségünk van még öt darab 1-esre. A számjegyek: 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1. Készíthető: \( \frac{8!}{5!2!} = 168 \) szám.

Összesen tehát \( 30 + 42 + 168 = \mathbf{240} \) olyan szám van, amely megfelel a feltételeknek.

a) Ha a sorozat első tagja \( a \), akkor a mértani sorozat összegképlete szerint: $$ a \cdot \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^5 - 1}{\frac{1}{4} - 1} = 852,5 $$ Kiszámolva a hatványt és a nevezőt: $$ a \cdot \frac{\frac{1}{1024} - 1}{-\frac{3}{4}} = a \cdot \frac{-\frac{1023}{1024}}{-\frac{3}{4}} = a \cdot \frac{341}{256} = 852,5 $$ Ebből a sorozat első tagja: $$ a = \frac{852,5 \cdot 256}{341} = \mathbf{640} $$

b) Jelölje a sorozat első tagját \( a \), a differenciáját \( d \). Ekkor az első öt tag összege a számtani sorozat összegképletével: $$ S_5 = \frac{2a + 4d}{2} \cdot 5 = 852,5 \implies 5a + 10d = 852,5 $$ Az első tíz tag összege: $$ S_{10} = \frac{2a + 9d}{2} \cdot 10 = 2330 \implies 10a + 45d = 2330 $$ Az első egyenletből kifejezzük \( a \)-t: $$ a = \frac{852,5 - 10d}{5} = 170,5 - 2d $$ Ezt beírjuk a második egyenletbe: $$ 10 \cdot (170,5 - 2d) + 45d = 2330 $$ $$ 1705 - 20d + 45d = 2330 $$ $$ 25d = 625 \implies \mathbf{d = 25} $$ Visszahelyettesítve \( a \)-t is megkapjuk: $$ a = 170,5 - 2 \cdot 25 = \mathbf{120,5} $$

a) A számtani sorozat tagjai \( 5k + 4 \) alakúak (\( k \in \mathbb{N} \)). Az ezer alatti tagok száma a megoldandó egyenlőtlenségből adódik: $$ 5k + 4 < 1000 \implies 5k \le 995 \implies k \le 199 $$ Mivel \( k \) nullától indul a \( 4 \)-es taggal, összesen 200 ilyen tag van (vagy egyenletes leosztással: a legnagyobb \( a_{200} = 4 + 199 \cdot 5 = 999 \)).
A mértani sorozat tagjai \( 3 \cdot 2^{n-1} \) alakúak. A megfelelő tagok: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768. Ez 9 darab tag.
A kedvező esetek összegzésekor le kell vonnunk a közös tagokat, különben duplán számolnánk őket. A számtani sorozat elemei pontosan azok a számok, melyek utolsó számjegye 4 vagy 9 (mivel 5-tel osztva 4 a maradék).
A mértani sorozat kilenc eleme közül a 24 és a 384 végződik 4-re, 9-re egy sem. Így 2 közös tag van.
A kedvező számok darabszáma: \( 200 + 9 - 2 = 207 \).
Az ezer alatti pozitív egészek száma 999. A keresett valószínűség: $$ P = \frac{207}{999} $$ A törtet 9-cel egyszerűsítve megkapjuk a relatív prím alakot: $$ \mathbf{P = \frac{23}{111}} $$

b) Legyen a három teljes gráf csúcsainak száma elegánsan \( n-d \), \( n \) és \( n+d \), ahol \( d \) pozitív egész szám (mivel a sorozat növekvő).
Egy \( k \) csúcsú teljes gráf éleinek száma \( \frac{k(k-1)}{2} \). Az élek száma rendre: $$ E_1 = \frac{(n-d)(n-d-1)}{2}, \quad E_2 = \frac{n(n-1)}{2}, \quad E_3 = \frac{(n+d)(n+d-1)}{2} $$ Indirekt módon tegyük fel, hogy ezek is számtani sorozatot alkotnak, azaz \( E_1 + E_3 = 2E_2 \).
Behelyettesítve és 2-vel felszorozva az egyenletet: $$ (n-d)(n-d-1) + (n+d)(n+d-1) = 2n(n-1) $$ Bontsuk fel a zárójeleket: $$ (n^2 - 2nd + d^2 - n + d) + (n^2 + 2nd + d^2 - n - d) = 2n^2 - 2n $$ Vonjuk össze az azonos tagokat a bal oldalon: $$ 2n^2 + 2d^2 - 2n = 2n^2 - 2n $$ Mindkét oldalból kivonva \( (2n^2 - 2n) \)-t adódik: $$ 2d^2 = 0 \implies d = 0 $$ Ez azonban ellentmondás, hiszen a kiindulási feltétel szerint a sorozat szigorúan növekvő, tehát \( d > 0 \).
Az indirekt feltevésünk hibás volt, így igazoltuk, hogy a gráf éleinek száma nem alkothat számtani sorozatot.

a) Legyen a számtani sorozat első tagja \(a\). Ekkor a 3. tag \(a + 2 \cdot 1,6 = a + 3,2\), a 7. tag pedig \(a + 6 \cdot 1,6 = a + 9,6\).
A mértani sorozat tulajdonsága alapján a középső elem négyzete megegyezik a két szomszéd szorzatával: $$ (a + 3,2)^2 = a \cdot (a + 9,6) $$ $$ a^2 + 6,4a + 10,24 = a^2 + 9,6a $$ Rendezve az egyenletet: $$ 3,2a = 10,24 \implies a = 3,2 $$ A keresett három szám tehát: 3,2; 6,4; 12,8. (A kvóciens \(q = 2\)).

b) Az állítás hamis.
Ellenpélda: Tekintsük az \(a_n = \frac{1}{n}\) sorozatot. Ez a sorozat konvergens (a 0-hoz tart), viszont az értékkészlete végtelen sok különböző elemből áll (\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\)).

c) A megfordított állítás: Ha az \(\{a_n\}\) sorozat értékkészlete véges számhalmaz, akkor az \(\{a_n\}\) számsorozat konvergens.
A megfordított állítás hamis.
Ellenpélda: Tekintsük az \(a_n = (-1)^n\) sorozatot. Ennek értékkészlete véges, mindössze két elemből áll (\(\{-1; 1\}\)), a sorozat azonban divergens, nincs határértéke.

a) Óránként 4, egy nap alatt tehát \( 24 \cdot 4 = 96 \) alkalommal történik meg a 2%-os növekedés. Az olajfolt területe 15 perc alatt 1,02-szorosára nő, tehát egy nap múlva: $$ 400 \cdot 1,02^{96} \approx \mathbf{2677 \text{ m}^2} \text{ lett.} $$

b) A naponta eltávolított olajfoltterületek (\( \text{m}^2 \)-ben mérve) egy olyan számtani sorozat szomszédos tagjai, amelynek első tagja 130, az első 31 tagjának összege pedig \( 12\,400 \).
A napi növekedés legyen \( d \) (\( \text{m}^2 \)). Ekkor a számtani sorozat összegképlete alapján: $$ S_{31} = \frac{2a_1 + 30d}{2} \cdot 31 $$ $$ 12\,400 = \frac{260 + 30d}{2} \cdot 31 $$ Ebből megoldva: $$ d = \mathbf{18 \text{ m}^2} $$ A napi növekedés tehát \( 18 \text{ m}^2 \) volt.

a) Jelölje a számtani sorozat első három tagját \( a_2 - d \), \( a_2 \) és \( a_2 + d \), ahol \( d \) a differencia. A sorozat ismert tulajdonsága miatt az első három tag átlaga éppen a középső tag, azaz \( a_2 \).

A szórásnégyzet az átlagtól vett eltérések négyzetének átlaga: $$ \sigma^2 = \frac{((a_2 - d) - a_2)^2 + (a_2 - a_2)^2 + ((a_2 + d) - a_2)^2}{3} = 6 $$ $$ \frac{(-d)^2 + 0^2 + d^2}{3} = 6 \implies \frac{2d^2}{3} = 6 \implies 2d^2 = 18 \implies d^2 = 9 $$ Mivel a sorozat növekvő, a differencia pozitív, így \( \mathbf{d = 3} \). Ezt kellett igazolnunk.

b) Fejezzük ki a rokonok életkorát Barbara életkorának (\( x \)) függvényében:

• Barbara: \( x \) éves
• Cili: \( x + 3 \) éves
• Dezső: \( x - 6 \) éves
• Edit: Cili kora + 9 = \( (x + 3) + 9 = x + 12 \) éves

Dezső, Barbara és Edit életkora (\( x - 6 \), \( x \), \( x + 12 \)) egy mértani sorozat három egymást követő tagja, így a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédjának szorzatával: $$ x^2 = (x - 6)(x + 12) $$ $$ x^2 = x^2 + 6x - 72 \implies 0 = 6x - 72 \implies x = 12 $$ Barbara tehát 12 éves, Cili pedig \( 12 + 3 = 15 \) éves. András, Barbara és Cili életkora egy számtani sorozat három szomszédos tagja. Mivel Barbara 12, Cili 15 éves, a differencia 3. András kora így \( 12 - 3 = 9 \).
András tehát 9 éves.

c) A feladatot komplementer eseménnyel érdemes megoldani: az összes lehetséges sorrendből kivonjuk azokat, amikor a három lány egymás mellett ül.

Hatan a hat egymás melletti székre \( 6! = 720 \)-féleképpen ülhetnek le. Ha a három lány egymás mellett ül, tekintsük őket egyetlen "egységnek". Ekkor ez az egység és a három fiú \( 4! = 24 \)-féleképpen helyezhető el a székeken. Egy-egy ilyen elrendezésen belül a három lány \( 3! = 6 \)-féle sorrendben ülhet. A nem megfelelő (három lány egymás mellett van) elhelyezkedések száma tehát \( 4! \cdot 3! = 24 \cdot 6 = 144 \).

A megfelelő elhelyezkedések száma: $$ 720 - 144 = \mathbf{576} $$

a) A szabályos hatszög rövidebb átlója egy olyan egyenlő szárú háromszög alapja, amelynek szárai a hatszög oldalai (\( a \)), bezárt szögük pedig 120°. Ennek az átlónak a hossza \( a\sqrt{3} \).
A megadott érték alapján: $$ a\sqrt{3} = 5\sqrt{2} \implies a = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \implies a^2 = \frac{50}{3} $$ A szabályos hatszög területe 6 darab egybevágó szabályos háromszög területéből áll: $$ T = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{50}{3} \sqrt{3} = \mathbf{25\sqrt{3}} $$

b) A \( t_1 \) területű hatszög a feladat leírása alapján a szomszédos oldalfelező pontok összekötésével keletkezik. Egy oldalfelező pontokat összekötő szakasz az eredeti háromszögek sarkainál levág kisebb háromszögeket. A keletkező új hatszög területe mindig az előző hatszög területének \( \frac{3}{4} \) része.
A sorozat tehát egy mértani sorozat, melynek kvóciense \( q = \frac{3}{4} \).
A sorozat első eleme \( t_1 \), ami az eredeti \( T \) terület \( \frac{3}{4} \) része: $$ t_1 = \frac{3}{4} \cdot 25\sqrt{3} = \frac{75\sqrt{3}}{4} $$ A kérdéses határérték egy végtelen mértani sor összege (\( |q| < 1 \)): $$ S = \lim_{n\to\infty} (t_1 + t_2 + \dots + t_n) = \frac{t_1}{1 - q} = \frac{\frac{75\sqrt{3}}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{75\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}} = \mathbf{75\sqrt{3}} $$

a) Kamatszámítás az első évben:
A napi kamatláb: \( \frac{8}{365}\% \).
A március 1-jén felvett 40 000 Ft hitel december 31-ig \( 365 - 31 - 28 = 306 \) napig kamatozik (figyelembe véve a hónapok hosszát).
Az október 1-jén felvett újabb 40 000 Ft hitel december 31-ig \( 31 + 30 + 31 = 92 \) napig kamatozik.
Az első hitel kamata: $$ 40\,000 \cdot \frac{8}{365 \cdot 100} \cdot 306 \approx 2683 \text{ Ft} $$ A második hitel kamata: $$ 40\,000 \cdot \frac{8}{365 \cdot 100} \cdot 92 \approx 807 \text{ Ft} $$ Összesen a bank \( 2683 + 807 = 3490 \text{ Ft} \) kamatot tőkésít.

b) Törlesztőrészlet kiszámítása:
Legyen \( x \) az éves törlesztőrészlet. A tőke minden évben növekszik a 8%-os kamattal (\( 1,08 \)-as szorzó), amiből levonódik az \( x \) befizetés.
A 10 év után a fennmaradó tartozás képlete egyenletté felírva: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,08^{10} - x \cdot 1,08^9 - x \cdot 1,08^8 - \dots - x = 0 $$ Kiemelve \( x \)-et a tagokból, egy 10 tagú mértani sorozatot ismerhetünk fel a zárójelben: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,08^{10} - x \cdot (1,08^9 + 1,08^8 + \dots + 1) = 0 $$ A mértani sorozat összegképlete alapján: $$ S_{10} = \frac{1,08^{10} - 1}{1,08 - 1} \approx 14,487 $$ Ebből kifejezve \( x \)-et: $$ x = \frac{1\,000\,000 \cdot 1,08^{10}}{S_{10}} \approx \frac{2\,158\,925}{14,487} \approx 149\,025 \text{ Ft} $$ A kerekítés szabályai szerint megadva: \( 149\,000 \text{ Ft} \) volt az éves törlesztőrészlet.

a) Az egy óra alatt megtett úthosszak (km-ben mérve) egy olyan mértani sorozat egymást követő tagjai, amelynek első tagja \( a_1 = 45 \), hányadosa pedig \( q = 0,955 \).
A magyar autó 10. órában megtett útja: $$ a_{10} = 45 \cdot 0,955^9 \approx 29,733 $$ Egész kilométerre kerekítve tehát 30 km-t tesz meg.

b) Addig nem érdemes akkumulátort cserélni, amíg \( a_n \ge 20 \) teljesül. Ebből keressük azt a legkisebb \( n \)-t, amelyre \( a_n < 20 \): $$ 45 \cdot 0,955^{n-1} < 20 \implies 0,955^{n-1} < \frac{20}{45} $$ Mivel a tízes alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekvő: $$ (n - 1) \lg 0,955 < \lg \frac{20}{45} $$ Mivel \( \lg 0,955 < 0 \), az egyenlőtlenség iránya megfordul az osztásnál: $$ n - 1 > \frac{\lg \frac{20}{45}}{\lg 0,955} \approx 17,61 \implies n > 18,61 $$ A legkisebb ilyen egész szám az 19. Tehát legkorábban a 19. órában érdemes akkumulátort cserélni.

c) A megtett út egy végtelen mértani sor részletösszegeként írható fel. Mivel az autó haladása a végtelenbe extrapolálható (elméletben sosem áll meg teljesen a modell szerint), a sorozat összege korlátos: $$ S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{45}{1 - 0,955} = \frac{45}{0,045} = 1000 \text{ km} $$ Mivel a megtett elméleti maximális távolság 1000 km, és ez kevesebb a 1100 km-es rekordnál, a magyar versenyautó nem képes megdönteni a világrekordot.

a) Jelölje $q$ a mértani sorozat hányadosát. A negyedik helyezett 25, a harmadik $25q$, a második $25q^2$ pontot ért el. Az első helyezett pontszáma $\frac{4}{3} \cdot 25q^2 = \frac{100}{3}q^2$.

A feladat szövege alapján felírhatjuk a pontösszeget: $$ \frac{100}{3}q^2 + 25q^2 + 25q + 25 = 139 $$ Összevonás és rendezés után másodfokú egyenletet kapunk: $$ 175q^2 + 75q - 342 = 0 $$ Az egyenlet két megoldása $q_1 = \frac{6}{5}$ és $q_2 = -\frac{57}{35}$. Ez utóbbi a szövegnek nem felel meg (a pontszámok nem alkotnának monoton sorozatot), így a hányados $q = \frac{6}{5}$.

Ennek alapján a pontszámok: a 4. helyezetté 25, a 3. helyezetté $\mathbf{30}$, a másodiké $\mathbf{36}$, az első helyezetté pedig $\mathbf{48}$. (Ellenőrzés: $48 + 36 + 30 + 25 = 139$).

b) Az összes résztvevő száma $4 \cdot 5 = 20$. A lehetséges kimenetelek (egyenlően valószínű sorsolások) száma: $\binom{20}{3} = 1140$.

A kedvező kimenetelekhez ki kell választani 3 különböző csapatot (ezt $\binom{4}{3} = 4$ féleképpen tehetjük meg), majd mindegyikből 1-1 csapattagot ($5^3$ lehetőség). Így a kedvező esetek száma: $$ \binom{4}{3} \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500 $$ A keresett valószínűség: $$ P = \frac{500}{1140} \approx \mathbf{0,439} $$

a) Az \( A_1 C_0 C_1 \) háromszög befogója \( C_0 C_1 = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), így területe: \( t_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \).
Az \( A_n C_{n-1} C_n \) háromszöget \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) arányú hasonlósággal lehet átvinni az \( A_{n+1} C_n C_{n+1} \) háromszögbe, hiszen az új háromszög alapja az előző átfogójának a fele (átfogó hossza \( \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \), felének hossza \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), az eredeti befogóhoz (1) viszonyítva ez a hasonlóság aránya).
A hasonló síkidomok területének arányára vonatkozó tétel szerint a területek egy \( q = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \) hányadosú mértani sorozatot alkotnak.
A végtelen sok háromszög területének összege: $$ T = \frac{t_1}{1 - q} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}} \; (\approx 0,433) $$

b) (A rövidebb, elegánsabb megoldás)
Jelölje \( d_n \) a \( C_{n-1} C_n \) szakasz hosszát. Az első szakasz hossza \( d_1 = C_0 C_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
A hasonlóság miatt minden \( n > 1 \) esetén \( d_n = \frac{1}{\sqrt{3}} d_{n-1} \).
A \( \{ d_n \} \) sorozat tehát egy olyan mértani sorozat, amelynek első tagja és hányadosa is \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).
A töröttvonal hossza a sorozat első \( n \) tagjának az összege: \( S_n = d_1 + d_2 + \dots + d_n \).
A végtelen mértani sor összege (a határérték): $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} $$ Mivel \( \sqrt{3} < 1,733 \), ezért a határérték: $$ \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366 < 1,4 $$ Mivel a sorozat tagjai pozitívak, az \( \{S_n\} \) sorozat szigorúan monoton növekvő, így a részletösszegek mindig kisebbek a határértéknél, tehát valóban \( S_n < 1,4 \).

Legyen a sorozat első tagja \( a \), hányadosa \( q \). A feladat alapján felírható egyenletrendszer: $$ a + aq + aq^2 = 91 $$ $$ aq^5 + aq^6 + aq^7 = 2912 $$ A második egyenletből kiemelve \( q^5 \)-t: $$ q^5(a + aq + aq^2) = 2912 $$ Behelyettesítve az első egyenletet: $$ q^5 \cdot 91 = 2912 \implies q^5 = \frac{2912}{91} = 32 $$ Ebből \( \mathbf{q = 2} \). Visszahelyettesítve az első egyenletbe: $$ a(1 + 2 + 4) = 91 \implies 7a = 91 \implies \mathbf{a = 13} $$ A mértani sorozat általános tagja: \( a_n = 13 \cdot 2^{n-1} \). Kérdés, hány \( n \)-re igaz, hogy \( 10^{12} \le 13 \cdot 2^{n-1} < 10^{13} \). Mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve (az lg függvény szigorúan monoton növekvő): $$ 12 \le \lg 13 + (n-1)\lg 2 < 13 $$ $$ \frac{12 - \lg 13}{\lg 2} + 1 \le n < \frac{13 - \lg 13}{\lg 2} + 1 $$ Kiszámolva az értékeket: $$ 37,16 < n < 40,48 $$ Ennek egész megoldásai a 38, a 39 és a 40. Tehát a sorozatnak 3 darab tizenhárom-jegyű tagja van.

a) Felírva a sorozatok hatodik elemeit kapjuk a kvócienst (\( q \)) és a differenciát (\( d \)):

Mértani: \( a_6 = a_1 q^5 \implies 1 \cdot q^5 = -1 \implies q = -1 \).
Számtani: \( b_6 = b_1 + 5d \implies 1 + 5d = -1 \implies d = -\frac{2}{5} \).

A mértani sorozat első öt eleme: 1; -1; 1; -1; 1.
A számtani sorozat első öt eleme: 1; \(\frac{3}{5}\); \(\frac{1}{5}\); \(-\frac{1}{5}\); \(-\frac{3}{5}\).

b) Vizsgáljuk meg a sorozatok összegeit az a) rész alapján:

A táblázatból rögtön látszik, hogy az összegek egyenlőek \( n = 1, n = 5 \) és \( n = 6 \) esetén. De vajon van-e további megoldás?

A számtani sorozat tagjai csökkennek, a hatodik tag már negatív, így az összeg \( n \ge 6 \) után szigorúan monoton csökken és mindig \( < 0 \) lesz. A mértani sorozat összege viszont felváltva csak 1 vagy 0 lehet. Mivel a számtani sorozat összege a továbbiakban már negatív, így az sosem egyezhet meg a mértani sorozat 0 vagy 1 értékű összegével.

Tehát a megoldások: \( n = 1 \), \( n = 5 \) és \( n = 6 \).

a) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyet a testátló, az alaplap átlója és a hasáb magassága alkot. Az alaplap átlója egy 18 egység oldalú négyzet átlója, azaz \( d = 18\sqrt{2} \).

A keresett \( \alpha \) szög a testátló és az alaplap átlója által bezárt szög. Felírhatjuk a szög koszinuszát: $$ \cos \alpha = \frac{18\sqrt{2}}{36\sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$ Ebből adódik, hogy \( \mathbf{\alpha = 60^\circ} \).

b) A hasáb magasságát (\( m \)) kiszámíthatjuk a derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel vagy trigonometriával: $$ m = 36\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ = 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{6} $$ A hasáb felszíne a két alaplap és a négy oldallap területének összege: $$ A = 2a^2 + 4am = 2 \cdot 18^2 + 4 \cdot 18 \cdot 18\sqrt{6} $$ $$ A = 648 + 1296\sqrt{6} \approx \mathbf{3822,5 \text{ területegység}} $$

c) A mértani sorozat első tagja \( a_1 = 18 \), negyedik tagja \( a_4 = 36\sqrt{2} \). A kvócienst (\( q \)) a következő összefüggésből kapjuk: $$ a_4 = a_1 \cdot q^3 \implies 36\sqrt{2} = 18 \cdot q^3 $$ $$ q^3 = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 \implies q = \sqrt{2} $$ A sorozat második tagja tehát: $$ a_2 = a_1 \cdot q = \mathbf{18\sqrt{2}} $$ Ez pedig pontosan a 18 egység oldalú négyzet (az alaplap) átlójának hossza.

a) Jelölje \( a_n \) az \( n \)-edik napon leúszott hosszat.
\( a_1 = 10000 \cdot 1,1 = 11000 \).
\( a_2 = a_1 \cdot 0,9 = 11000 \cdot 0,9 = 9900 \).
Látható, hogy két nap alatt a távolság mindig \( 1,1 \cdot 0,9 = 0,99 \)-szeresére változik.
A 6. napi táv megkapható így: $$ a_6 = a_2 \cdot 0,99^2 = 9900 \cdot 0,9801 \approx \mathbf{9703 \text{ méter}} $$

b) A páratlan és a páros sorszámú napokon leúszott hosszak egy-egy mértani sorozatot alkotnak, mindkettő kvóciense 0,99 és 10 tagból állnak.
Páratlan napok összege (\( a_1 = 11000 \)): $$ S_{\text{páratlan}} = 11000 \frac{1 - 0,99^{10}}{1 - 0,99} \approx 105 179,7 $$ Páros napok összege (\( a_2 = 9900 \)): $$ S_{\text{páros}} = 9900 \frac{1 - 0,99^{10}}{1 - 0,99} \approx 94 661,7 $$ Az összesen leúszott távolság a kettő összege: kb. 199 841 méter.

c) A 20 napból két szomszédos nap 19-féleképpen választható ki (összes eset).
Vizsgáljuk a szomszédos napi összegeket (\( b_n = a_n + a_{n+1} \)):

• 1. és 2. nap: 11000 + 9900 = 20900
• 2. és 3. nap: 9900 + 10890 = 20790
• ... a sorozat szigorúan monoton csökken, mert a kétnapi teljesítmény is \( 0,99 \)-es szorzóval zsugorodik.

Kiszámítva az értékeket, megállapítható, hogy a 9. és 10. nap összege \( 10566 + 9510 = 20076 \), míg a 10. és 11. napé \( 9510 + 10461 = 19971 \). Tehát pontosan az első 9 szomszédos pár összege éri el vagy haladja meg a 20 000 métert.
A valószínűség: \( P = \frac{9}{19} \approx \mathbf{0,474} \).

a) A feltételekből következik, hogy összesen 18 alkalommal történik befizetés (a születést követő év az 1., és a 18. életév betöltésének évében van az utolsó). A kamatláb 8%, azaz a szorzótényező 1,08.
Az utolsó, 18. befizetés még pontosan egy évig kamatozik, mire a gyermek felveheti. A felhalmozott összeg egy mértani sorozat összegeként írható fel:

$$ S = 100\,000 \cdot 1,08^{18} + 100\,000 \cdot 1,08^{17} + \dots + 100\,000 \cdot 1,08 $$

A mértani sorozat összegképlete alapján (ahol \( a_1 = 100\,000 \cdot 1,08 \), \( q = 1,08 \), \( n = 18 \)): $$ S = 100\,000 \cdot 1,08 \cdot \frac{1,08^{18} - 1}{1,08 - 1} $$ Kiszámolva az értéket: $$ S \approx 108\,000 \cdot \frac{2,9960 - 1}{0,08} \approx \mathbf{4\,044\,626 \text{ Ft}} $$

b) Jelölje a számlán lévő teljes összeget \( c = 4\,044\,626 \) Ft, az évente felvehető egyforma összeget pedig \( y \). A kamat itt már csak 5% (szorzó: 1,05).
Évről évre a számla egyenlege a felvétel után kamatozik:
Az 1. felvétel után maradt pénz: \( c - y \)
A 2. felvétel után: \( (c - y) \cdot 1,05 - y = c \cdot 1,05 - y \cdot 1,05 - y \)
Végigvezetve a logikát a 6. felvételig (amikor a számla kiürül): $$ c \cdot 1,05^5 - y \cdot 1,05^5 - y \cdot 1,05^4 - \dots - y \cdot 1,05 - y = 0 $$ Ebből \( y \)-t kiemelve egy újabb mértani sorozatot ismerhetünk fel: $$ c \cdot 1,05^5 = y(1,05^5 + 1,05^4 + \dots + 1) $$ A zárójeles kifejezést összegezve: $$ y \cdot \frac{1,05^6 - 1}{1,05 - 1} = c \cdot 1,05^5 $$ Ebből az annuitás \( y \) értéke kifejezve: $$ y = c \cdot \frac{1,05^5}{\frac{1,05^6 - 1}{1,05 - 1}} = 4\,044\,626 \cdot \frac{1,27628}{\frac{1,34009 - 1}{0,05}} $$ Kiszámítva és kerekítve az eredmény: 758 916 Ft.

Jelöljük a mértani sorozat első három tagját: \( a, aq, aq^2 \).
Tudjuk, hogy: $$ (1) \quad a + aq + aq^2 = 26 $$

A számtani sorozat tagjai: \( a+1, \quad aq+6, \quad aq^2+3 \).
A számtani sorozat tulajdonsága (a középső tag a két szélső számtani közepe) miatt: $$ 2(aq + 6) = (a + 1) + (aq^2 + 3) $$ $$ (2) \quad 2aq + 12 = a + aq^2 + 4 \implies a - 2aq + aq^2 = 8 $$

Vonjuk ki az (1)-es egyenletből a (2)-es átrendezett alakját: $$ (a + aq + aq^2) - (a - 2aq + aq^2) = 26 - 8 $$ $$ 3aq = 18 \implies aq = 6 \implies a = \frac{6}{q} $$

Helyettesítsük ezt vissza az (1) egyenletbe: $$ \frac{6}{q} + 6 + 6q = 26 $$ $$ \frac{6}{q} - 20 + 6q = 0 $$ Szorozzuk be az egyenletet \( q \)-val és osszunk 2-vel: $$ 3q^2 - 10q + 3 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: \( q_1 = \frac{1}{3} \) és \( q_2 = 3 \).

1. eset: Ha \( q = \frac{1}{3} \), akkor \( a = 18 \).
A mértani sorozat tagjai: 18, 6, 2.
A számtani sorozat tagjai: 19, 12, 5.

2. eset: Ha \( q = 3 \), akkor \( a = 2 \).
A mértani sorozat tagjai: 2, 6, 18.
A számtani sorozat tagjai: 3, 12, 21.

Mindkét eset megfelel a feladat feltételeinek.

a) Írjuk fel a mértani sorozat első néhány tagjának 11-es maradékát! A következő maradékot mindig úgy kapjuk, hogy az előzőt beszorozzuk 3-mal, és vesszük a 11-es maradékot.
A sorozat maradékai: 5; 4; 1; 3; 9; 5; ...
Látható, hogy a maradékok ciklikusan ismétlődnek, és a periódus hossza 5. Egy cikluson belül pontosan egyszer fordul elő az 1-es maradék.
Az első 110 tagban pontosan \( 110 / 5 = 22 \) teljes ciklus van.
Így a kedvező esetek száma 22, az összes eset száma 110. A keresett valószínűség: $$ P = \frac{22}{110} = \mathbf{\frac{1}{5}} = 0,2 $$

b) Hasonlóan, a számtani sorozatnál a következő maradékot úgy kapjuk, hogy 3-at adunk az előzőhöz (és 11-es maradékot veszünk).
A maradékok: 5; 8; 0; 3; 6; 9; 1; 4; 7; 10; 2; 5; ...
Itt a ciklus hossza 11 (mivel a 3 relatív prím a 11-hez, minden lehetséges maradékot pontosan egyszer érint egy cikluson belül).
A 11 hosszú cikluson belül pontosan egyszer van 1-es maradék. A 110 tag pontosan \( 110 / 11 = 10 \) ilyen ciklust alkot.
Így a kedvező esetek száma 10. A valószínűség: $$ P = \frac{10}{110} = \mathbf{\frac{1}{11}} $$

Ha a számtani sorozat második tagja \( a_2 \) és differenciája \( d \), akkor a tagok felírhatók így: \( a_2 - d \), \( a_2 \), \( a_2 + d \).
Az összeg: \( (a_2 - d) + a_2 + (a_2 + d) = 60 \), ahonnan \( a_2 = 20 \).

A mértani sorozat első három tagja a feladat szerint:
\( 20 - d + 64 = 84 - d \), \( 20 \), és \( 20 + d \).

A mértani sorozat tulajdonsága alapján a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédos tag szorzatával:
$$ (84 - d)(20 + d) = 20^2 $$ $$ 1680 + 84d - 20d - d^2 = 400 $$ Rendezve a másodfokú egyenletet: $$ d^2 - 64d - 1280 = 0 $$

A megoldóképlettel kapott gyökök: \( d_1 = -16 \) és \( d_2 = 80 \).
Mivel a számtani sorozat növekedő, ezért \( d > 0 \), így \( d = -16 \) nem megoldás. Marad a \( d = 80 \).

A számtani sorozat első három tagja: -60; 20; 100.
A mértani sorozat első három tagja (az elsőhöz 64-et adva): 4; 20; 100.