Logaritmikus egyenletek

a) Az értelmezési tartomány: \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \) és \( 2x + 8 > 0 \Rightarrow x > -4 \). Így \( x > 2 \).
A logaritmus azonosságait felhasználva (\( 3 = \log_2 8 \)): $$ \log_2 8 + \log_2(x-2) = \log_2(2x+8) $$ $$ \log_2(8(x-2)) = \log_2(2x+8) $$ Mivel a 2-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton: $$ 8x - 16 = 2x + 8 \implies 6x = 24 \implies \mathbf{x = 4} $$ A kapott megoldás eleme az értelmezési tartománynak (ellenőrzés behelyettesítéssel is adja: \( 3 + 1 = 4 \), helyes).

b) A metszéspont meghatározásához meg kell oldanunk az \( f(x) = g(x) \) egyenletet: $$ 2^{x-3} = 2^x - 7 $$ Kifejezve a hatványt: \( \frac{2^x}{8} = 2^x - 7 \). Rendezzük az egyenletet: $$ 7 = 2^x - \frac{2^x}{8} \implies 7 = \frac{7 \cdot 2^x}{8} \implies 2^x = 8 \implies \mathbf{x = 3} $$ A metszéspont második koordinátája: \( y = f(3) = 2^{3-3} = 1 \).
A metszéspont tehát: \( M(3; 1) \).

c) A \( h \) függvény értelmezési tartománya az egyjegyű pozitív prímszámok halmaza, azaz \( D_h = \{2; 3; 5; 7\} \).
Az inverzfüggvény értelmezési tartománya megegyezik a \( h \) függvény értékkészletével. Számítsuk ki a függvényértékeket:

• \( h(2) = 2^{2-3} = 2^{-1} = 0,5 \)
• \( h(3) = 2^{3-3} = 2^{0} = 1 \)
• \( h(5) = 2^{5-3} = 2^{2} = 4 \)
• \( h(7) = 2^{7-3} = 2^{4} = 16 \)

a) Az értelmezési tartomány: \( x > 0 \). A logaritmus azonosságát alkalmazva:

$$ \log_3(x(x + 2)) = 1 $$

A logaritmus definíciója alapján:

$$ x(x + 2) = 3^1 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei \( x = -3 \) és \( x = 1 \). A \( -3 \) nem eleme az értelmezési tartománynak, így az egyetlen helyes megoldás az \( x = 1 \).

b) A \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) azonosság felhasználásával helyettesítsük a koszinusz négyzetét:

$$ 4\sin^2 x - 16(1 - \sin^2 x) = -1 $$

$$ 4\sin^2 x - 16 + 16\sin^2 x = -1 \implies 20\sin^2 x = 15 $$

$$ \sin^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{vagy} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

A megoldások:

\( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) vagy \( x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \), ahol \( k \in \mathbb{Z} \).

a) A \( \cos x = 0 \) nem lehet megoldás, hiszen ekkor \( \sin x \) is 0 lenne, ami a \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) azonosság miatt lehetetlen. Így oszthatunk \( \cos^2 x \)-szel: $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 3 \implies \tan^2 x = 3 $$ Gyökvonás után két esetet kapunk: $$ \tan x = \sqrt{3} \quad \text{vagy} \quad \tan x = -\sqrt{3} $$ A tangensfüggvény tulajdonságai alapján a megoldások: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{vagy} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$

b) Az egyenlet értelmezési tartománya a logaritmusok argumentumainak pozitivitása miatt: \( x + 8 > 0 \), \( x - 2 > 0 \) és \( x + 4 > 0 \). Ezek közül a legszigorúbb feltétel: \( x > 2 \).
A logaritmus azonosságait (összeg, különbség) alkalmazva: $$ \log_3 \frac{(x + 8)(x - 2)}{x + 4} = 1 $$ A logaritmusfüggvény definíciója és szigorú monotonitása miatt: $$ \frac{x^2 - 2x + 8x - 16}{x + 4} = 3^1 \implies \frac{x^2 + 6x - 16}{x + 4} = 3 $$ Szorozzuk meg mindkét oldalt a (pozitív) \( x + 4 \)-gyel: $$ x^2 + 6x - 16 = 3x + 12 \implies x^2 + 3x - 28 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei a megoldóképlettel vagy szorzattá alakítással (\( (x+7)(x-4)=0 \)): \( x_1 = 4 \) és \( x_2 = -7 \).
Az \( x = -7 \) nem eleme az értelmezési tartománynak. Az egyetlen helyes megoldás: \( x = 4 \).

a) A négyzetgyök értelmezési tartománya és a jobb oldal nemnegativitása miatt a feltétel: \(-1 \le x \le 3\).

Négyzetre emelve kapjuk: $$ -2x + 6 = x^2 + 2x + 1 $$ $$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \(x_1 = 1\) és \(x_2 = -5\).
A feltételeknek (vagy a behelyettesítéssel kapott ellenőrzésnek) a \(-5\) nem tesz eleget, így az egyetlen megoldás az \(x = 1\).

b) Az értelmezési tartomány a logaritmus miatt: \(x > 0\).

A logaritmus azonosságait alkalmazva: $$ 4 \log_4 x + 9 \log_4 x = 4 \log_4 x + 9 \log_4 8 $$ $$ 9 \log_4 x = 9 \log_4 8 $$ $$ \log_4 x = \log_4 8 $$ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása (kölcsönös egyértelműsége) miatt kapjuk, hogy \(x = 8\). Ez megfelel a kiindulási feltételnek, így ez a helyes megoldás.

a) A második egyenlet bal oldalát átalakítva: $$ \frac{\lg x + \lg y}{2} = \frac{\lg(xy)}{2} = \lg \sqrt{xy} $$ Az egyenlet tehát így írható fel: $$ \lg \sqrt{xy} = \lg \frac{x+y}{2} $$ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ebből következik, hogy a két argumentum megegyezik: $$ \sqrt{xy} = \frac{x+y}{2} $$ A pozitív számokra vonatkozó számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség értelmében az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha \( x = y \). Mivel az első egyenletből tudjuk, hogy \( x + y = 0,2 \), így kapjuk: $$ \mathbf{x = y = 0,1} $$ Ellenőrzés: bal oldal \( \frac{\lg 0,1 + \lg 0,1}{2} = -1 \), jobb oldal \( \lg \frac{0,2}{2} = \lg 0,1 = -1 \).

b) Alkalmazzuk a \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) azonosságot: $$ 2(1 - \cos^2 x) - \cos x = 2 \implies 2 - 2\cos^2 x - \cos x = 2 $$ Rendezve: $$ -2\cos^2 x - \cos x = 0 \implies \cos x(2\cos x + 1) = 0 $$ Ebből két eset adódik: \( \cos x = 0 \) vagy \( \cos x = -0,5 \).
A \( [-\pi; \pi] \) intervallumon:
- Ha \( \cos x = 0 \), akkor \( x = -\frac{\pi}{2} \) vagy \( x = \frac{\pi}{2} \).
- Ha \( \cos x = -0,5 \), akkor \( x = -\frac{2\pi}{3} \) vagy \( x = \frac{2\pi}{3} \).
Ezek a gyökök kiadják a megoldást, melyek ellenőrizve is megfelelnek az eredeti egyenletnek.

a) A hatványozás megfelelő azonosságát alkalmazva:

$$ \frac{0,5^2}{0,5^{\log_{0,5} x}} = 3 $$

A logaritmus definíciója szerint a nevező értéke \( x \):

$$ \frac{0,25}{x} = 3 \implies \mathbf{x = \frac{1}{12}} $$

b) A logaritmus alapjának áttérésével felírható, hogy \( \log_x \frac{1}{2} = -\log_x 2 = -\frac{1}{\log_2 x} \). Ezt behelyettesítve az egyenletbe:

$$ 7 - \frac{6}{\log_2 x} = \log_2 x $$

Mindkét oldalt \( \log_2 x \)-szel beszorozva és nullára redukálva másodfokú egyenletet kapunk \( \log_2 x \)-re:

$$ \log_2^2 x - 7\log_2 x + 6 = 0 $$

A másodfokú egyenlet megoldásai: \( \log_2 x = 6 \) vagy \( \log_2 x = 1 \).

Ebből \( x = 64 \) vagy \( x = 2 \). Mivel a feltétel szerint \( 1 < x \le 2 \), így az egyetlen érvényes megoldás az \( x = 2 \).

a) A tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevezője nem nulla.
A számláló gyökei: \( 2x^2 + x - 10 = 0 \implies x_1 = 2 \text{ és } x_2 = -2,5 \).
A nevező nem lehet nulla: \( 2^{x-1} - 2 \neq 0 \implies x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2 \).
Így az \( x=2 \) hamis gyök, az egyetlen valós megoldás az \( x = -2,5 \).

b) Az értelmezési tartomány: \( x+16 \ge 0 \) és \( x-9 \ge 0 \implies x \ge 9 \).
A \( [9; +\infty[ \) halmazon a bal oldali függvény (mint szigorúan monoton növekvő függvények összege) szigorúan monoton növekvő. Minimumértékét az \( x=9 \) helyen veszi fel, ami éppen \( \sqrt{25} + 0 = 5 \). Emiatt az egyetlen megoldás az \( x = 9 \).

c) Vizsgáljuk meg a logaritmusok értelmezési tartományát!
Az első feltétel: \( x^2 + x - 6 > 0 \implies x < -3 \text{ vagy } x > 2 \).
A második feltétel: \( 1 - x^2 > 0 \implies -1 < x < 1 \).
A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása.

d) A bal oldali kifejezés (\( \sin x - 1 \)) értéke legfeljebb 0, míg a jobb oldali (négyzetgyökös) kifejezés értéke csak nemnegatív lehet. Az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha mindkét oldal pontosan 0.
Bal oldal: \( \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \). Ha \( \sin x = 1 \), akkor \( \cos x = 0 \).
Ekkor a jobb oldal argumentuma: \( \cos^2 x - 1,5\cos x = 0 - 0 = 0 \). De a logaritmus 0-ra nincs értelmezve! Így az egyenlet nem értelmezhető ott, ahol egyenlőség lehetne, tehát nincs megoldása.

a) A logaritmus értelmezése alapján: \( x^2 - 8 > 0 \), azaz \( x < -2\sqrt{2} \) vagy \( x > 2\sqrt{2} \).

Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0, így két esetet vizsgálunk:

• 1. eset: \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \). Ez azonban nem eleme az értelmezési tartománynak (hamis gyök).
• 2. eset: \( \lg(x^2-8) = 0 \implies x^2 - 8 = 1 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \) vagy \( x = -3 \).

Mivel a 3 és a \(-3\) is eleme az értelmezési tartománynak, a megoldáshalmaz: \( M = \{-3; 3\} \).

b) Vegyük észre, hogy \( x^2 = |x|^2 \) minden valós számra. Így az egyenlet \( |x| \)-ben másodfokú egyenletként is felírható:

$$ |x|^2 - |x| - 6 = 0 $$

A másodfokú megoldóképletet alkalmazva az \( |x| \)-re:

$$ |x| = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$

Ebből \( |x| = 3 \) vagy \( |x| = -2 \). Mivel az abszolút érték nem lehet negatív, csak az \( |x| = 3 \) ad megoldást. Ebből következik, hogy \( x = 3 \) vagy \( x = -3 \). A megoldáshalmaz tehát: \( M = \{-3; 3\} \).

a) Az abszolútérték definíciója alapján két esetet vizsgálunk.

1. eset: Ha \( x < 6 \), akkor az egyenlet: $$ x^2 = -(x - 6) \implies x^2 + x - 6 = 0 $$ Ennek gyökei \( x_1 = 2 \) és \( x_2 = -3 \). Mindkettő kisebb 6-nál, így mindkettő megoldás.

2. eset: Ha \( x \ge 6 \), akkor az egyenlet: $$ x^2 = x - 6 \implies x^2 - x + 6 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa negatív (\( D = 1 - 24 = -23 \)), így itt nincs valós megoldás.

A megoldások tehát: \( x = 2 \) és \( x = -3 \).

b) A logaritmus értelmezési tartománya miatt \( x > 0 \) és \( y > 1 \).

A logaritmus azonosságait használva az egyenletrendszer alakja: $$ \begin{cases} \lg(x + y) = \lg x^2 \\ \lg x = \lg(2(y - 1)) \end{cases} $$ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt az argumentumoknak is egyenlőnek kell lenniük: $$ \begin{cases} x + y = x^2 \\ x = 2y - 2 \end{cases} $$ A második egyenletből kifejezett \( x \)-et helyettesítsük be az első egyenletbe: $$ (2y - 2) + y = (2y - 2)^2 $$ $$ 3y - 2 = 4y^2 - 8y + 4 $$ Rendezve egy másodfokú egyenletet kapunk: $$ 4y^2 - 11y + 6 = 0 $$ Ennek valós gyökei \( y = 2 \) és \( y = 0,75 \). Az értelmezési tartomány feltétele (\( y > 1 \)) miatt a 0,75 nem megoldás. Így csak az \( y = 2 \) lehetséges, amiből \( x = 2 \cdot 2 - 2 = 2 \).

A megoldás a \( (2; 2) \) számpár.

a) A logaritmus azonosságait és szigorú monotonitását felhasználva: $$ \lg((x + 7)(3x + 1)) = \lg 100 \implies (x + 7)(3x + 1) = 100 $$ Bontsuk fel a zárójeleket: $$ 3x^2 + 22x + 7 = 100 \implies 3x^2 + 22x - 93 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( x_1 = -\frac{31}{3} \) és \( x_2 = 3 \).
A logaritmus értelmezési tartománya miatt \( x > -\frac{1}{3} \)-nek kell teljesülnie, így a hamis gyököt (\( x_1 \)) kizárjuk. Az egyetlen helyes megoldás: \( x = 3 \).

b) A jobb oldalon alkalmazva a hatványozás azonosságait: $$ 2^x = 3 \cdot 9^x $$ Osszuk el mindkét oldalt \( 9^x \)-nel: $$ \left(\frac{2}{9}\right)^x = 3 \implies \left(\frac{9}{2}\right)^{-x} = 3 \implies (4,5)^{-x} = 3 \implies (4,5)^x = \frac{1}{3} $$ A logaritmus definíciója alapján a pontos megoldás: $$ \mathbf{x = \log_{4,5} \left(\frac{1}{3}\right) \approx -0,7304} $$

Az első egyenlet alapján \( y \) tetszőleges valós szám, de az exponenciális kifejezés miatt \( x - 3 > 0 \), azaz \( x > 3 \).
A második egyenlet értelmezési tartománya: \( x^2 - 4x + 3 > 0 \), aminek megoldása \( x > 3 \) vagy \( x < 1 \).
A közös feltétel tehát: \( x > 3 \).

Fejezzük ki az első egyenletből \( y \)-t: \( y = \lg(x - 3) \).
Ezt helyettesítsük be a második egyenlet jobb oldalára, és alakítsuk át a \( + 1 \) tagot is: $$ \lg(x^2 - 4x + 3) = 2\lg(x - 3) + \lg 10 $$ A logaritmus azonosságait alkalmazva: $$ \lg(x^2 - 4x + 3) = \lg\left( 10(x - 3)^2 \right) $$ Mivel a 10-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton: $$ x^2 - 4x + 3 = 10(x - 3)^2 $$ A bal oldalt szorzattá alakítva: $$ (x - 3)(x - 1) = 10(x - 3)^2 $$ Mivel tudjuk, hogy \( x > 3 \), így \( x - 3 \neq 0 \), vagyis oszthatunk vele: $$ x - 1 = 10(x - 3) $$ $$ x - 1 = 10x - 30 $$ $$ 29 = 9x \implies \mathbf{x = \frac{29}{9}} $$

Ezt visszahelyettesítve \( y \)-ba: $$ y = \lg\left( \frac{29}{9} - 3 \right) = \mathbf{\lg\left( \frac{2}{9} \right)} \approx -0,653 $$ Az egyenletrendszer megoldása tehát: \( x = \frac{29}{9} \) és \( y = \lg\frac{2}{9} \).

A logaritmus értelmezési tartománya miatt \( x \) és \( y \) 1-től különböző pozitív számok lehetnek (\( x, y > 0 \), \( x, y \neq 1 \)).

Alakítsuk át az első egyenlet bal oldalát a logaritmus azonosságainak felhasználásával: $$ \log_x(x^2) + \log_x(y^3) + \log_y(x^3) + \log_y(y) = 9 $$ $$ 2 + 3\log_x y + 3\log_y x + 1 = 9 $$ $$ 3(\log_x y + \log_y x) = 6 $$ $$ \log_x y + \log_y x = 2 $$ Tudjuk, hogy \( \log_x y \) és \( \log_y x \) egymás reciprokai, és összegük pontosan 2. Mivel \( A + \frac{1}{A} = 2 \) egyetlen megoldása az \( A = 1 \), így: $$ \log_x y = 1 \implies \mathbf{x = y} $$

Helyettesítsük ezt be a második egyenletbe: $$ \cos(x + x) + \cos(x - x) = 0 $$ $$ \cos(2x) + \cos(0) = 0 $$ $$ \cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -1 $$ Ennek megoldása: $$ 2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Vegyük figyelembe az \( x > 0 \) és \( x \neq 1 \) feltételeket. Mivel \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \), ez és minden ehhez adott \( \pi \) többszörös (ahol \( k \ge 0 \)) megfelel. Így a megoldás: $$ \mathbf{x = y = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{N})} $$