Függvények

a) Konkáv az a függvény, melynek a második deriváltja a vizsgált intervallumon negatív (vagy vizuálisan lefelé hajlik). A $]-\infty; 7[$ intervallumon az A, D, E betűjelű függvények konkávok.
(Ellenőrzés: D) második deriváltja $6(x-7)$, amely $x<7$ esetén negatív; E) második deriváltja $\frac{2}{(x-7)^3}$, amely szintén negatív, ha $x<7$.)

b) A teljes síkidom területét határozott integrállal számoljuk ki: $$ T = \int_{1}^{7} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^7 = \frac{343}{3} - \frac{1}{3} = 114 $$ A keresett $x = p$ egyenes ezt a területet felezi, vagyis az $1$-től $p$-ig vett integrálnak $57$-nek kell lennie: $$ \int_{1}^{p} x^2 \, dx = 57 \implies \frac{p^3 - 1}{3} = 57 $$ $$ p^3 - 1 = 171 \implies p^3 = 172 \implies p = \sqrt[3]{172} \approx 5,56 $$ A keresett egyenes egyenlete tehát: $\mathbf{x = \sqrt[3]{172}}$.

c) Mivel a függvénynek $x=1$-ben és $x=7$-ben szélsőértéke van, ezért az első deriváltfüggvény, $g'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ ezeken a helyeken nulla: $$ g'(1) = 3 + 2b + c = 0 $$ $$ g'(7) = 147 + 14b + c = 0 $$ Kivonva az első egyenletet a másodikból kapjuk: $$ 144 + 12b = 0 \implies \mathbf{b = -12} $$ Visszahelyettesítve $b$-t az első egyenletbe: $$ 3 - 24 + c = 0 \implies \mathbf{c = 21} $$ A függvény főegyütthatója pozitív ($x^3$), ezért a derivált parabola felfelé nyílik. Ez azt jelenti, hogy a kisebbik szélsőértékhelyen ($x=1$) derivált pozitívból negatívba vált, tehát itt van a lokális maximum. Ebből következik, hogy $g(1) = 6$. $$ g(1) = 1^3 - 12(1^2) + 21(1) + d = 6 $$ $$ 1 - 12 + 21 + d = 6 \implies 10 + d = 6 \implies \mathbf{d = -4} $$

a) A halmazok vizsgálata az egyes függvények esetén:

• $f(x) = \sin x$: Nem szigorúan monoton növekedő (így nem M), nem konvex $\mathbb{R}$-en (így nem K), viszont alulról korlátos, minimuma $-1$ (így eleme A-nak). $\implies$ Csak $A$.
• $g(x) = \frac{1}{x}$: Nem M, nem K (a negatív félegyenesen konkáv), és nem korlátos alulról (nem A). $\implies$ Kívül esik mind a 3 halmazon.
• $h(x) = 2^x$: Szigorúan növekszik (M), konvex (K), és alulról korlátos (A). $\implies$ A három halmaz metszetébe (M $\cap$ K $\cap$ A) kerül.
• $i(x) = \sqrt{x}$: Növekszik (M), alulról korlátos (A), viszont konkáv (nem K). $\implies$ M $\cap$ A (kivéve K).

b) A feladat egy olyan konvex ($K$) és alulról korlátos ($A$) függvényt keres, amely viszont nem szigorúan monoton növekedő (nincs az $M$-ben). Ilyen lehet például az alap parabola: $j(x) = x^2$.

c) A függvény egy felfelé nyíló parabola, melynek csúcspontja adja a minimumot. A teljes négyzetté alakítás módszerével:

Tehát az együtthatók az összehasonlítás alapján: $b = -4$ és $c = 3$.

(Ugyanez deriválással is könnyen kiadódik: $(x^2+bx+c)' = 2x+b$, mely az $x=2$-ben nulla $\implies 4+b=0 \implies b=-4$. A függvényérték pedig: $2^2 - 4\cdot 2 + c = -1 \implies c = 3$.)

d) A megadott határozott integrált kiértékeljük a Newton-Leibniz formula alapján:

A feladat szerint ez az érték $\frac{1}{2}$-del egyenlő:

A $[0; 2\pi]$ intervallumon ennek a trigonometrikus egyenletnek két megoldása van: $p_1 = \frac{\pi}{3}$ és $p_2 = \frac{5\pi}{3}$.

a) Az értelmezési tartomány: \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \) és \( 2x + 8 > 0 \Rightarrow x > -4 \). Így \( x > 2 \).
A logaritmus azonosságait felhasználva (\( 3 = \log_2 8 \)): $$ \log_2 8 + \log_2(x-2) = \log_2(2x+8) $$ $$ \log_2(8(x-2)) = \log_2(2x+8) $$ Mivel a 2-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton: $$ 8x - 16 = 2x + 8 \implies 6x = 24 \implies \mathbf{x = 4} $$ A kapott megoldás eleme az értelmezési tartománynak (ellenőrzés behelyettesítéssel is adja: \( 3 + 1 = 4 \), helyes).

b) A metszéspont meghatározásához meg kell oldanunk az \( f(x) = g(x) \) egyenletet: $$ 2^{x-3} = 2^x - 7 $$ Kifejezve a hatványt: \( \frac{2^x}{8} = 2^x - 7 \). Rendezzük az egyenletet: $$ 7 = 2^x - \frac{2^x}{8} \implies 7 = \frac{7 \cdot 2^x}{8} \implies 2^x = 8 \implies \mathbf{x = 3} $$ A metszéspont második koordinátája: \( y = f(3) = 2^{3-3} = 1 \).
A metszéspont tehát: \( M(3; 1) \).

c) A \( h \) függvény értelmezési tartománya az egyjegyű pozitív prímszámok halmaza, azaz \( D_h = \{2; 3; 5; 7\} \).
Az inverzfüggvény értelmezési tartománya megegyezik a \( h \) függvény értékkészletével. Számítsuk ki a függvényértékeket:

• \( h(2) = 2^{2-3} = 2^{-1} = 0,5 \)
• \( h(3) = 2^{3-3} = 2^{0} = 1 \)
• \( h(5) = 2^{5-3} = 2^{2} = 4 \)
• \( h(7) = 2^{7-3} = 2^{4} = 16 \)

a) A medence tervrajzának x-tengely feletti része egy háromszög, amelynek csúcsa az \( y = x \) és az \( y = -2x + 2 \) egyenesek metszéspontja: \( x = -2x + 2 \implies x = \frac{2}{3} \), azaz a magassága \( y = \frac{2}{3} \).
A háromszög területe: \( T_1 = \frac{1 \cdot \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \).

Az x-tengely alatti görbe alatti terület nagysága az integrál mínusz egyszereséből adódik:

$$ T_2 = -\int_0^1 (x^3 - x) \,dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $$

A tervrajzon a medence teljes területe: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \) területegység.
Mivel 1 egység a valóságban 12 méter, 1 területegység \( 12^2 = 144\text{ m}^2 \).
A medence valóságos területe: \( \frac{7}{12} \cdot 144 = \) \( 84\text{ m}^2 \).

b) A függvény deriváltja: \( f'(x) = -3x^2 + k \).

Az \( x = 1 \) pontban az érintési pont koordinátái: \( (1; k - 1) \), a meredekség \( m_1 = k - 3 \).
Az érintő egyenlete: \( y = (k - 3)(x - 1) + k - 1 \implies y = kx - 3x + 2 \).

Az \( x = 2 \) pontban az érintési pont koordinátái: \( (2; 2k - 8) \), a meredekség \( m_2 = k - 12 \).
Az érintő egyenlete: \( y = (k - 12)(x - 2) + 2k - 8 \implies y = kx - 12x + 16 \).

A két egyenest egyenlővé téve a metszéspont x-koordinátájához:

$$ kx - 3x + 2 = kx - 12x + 16 $$

$$ 9x = 14 \implies \mathbf{x = \frac{14}{9}} $$

Ezzel az állítást igazoltuk, mivel az eredmény valóban független \( k \)-tól.

a) Helyettesítsük be az \( x = 0 \) és \( x = \frac{\pi}{2} \) értékeket mindkét függvénybe: $$ f(0) = \sin 0 = 0 \quad \text{és} \quad g(0) = \left( \frac{2 \cdot 0}{\pi} \right)^2 = 0 $$ Ezzel beláttuk, hogy mindkettő átmegy az origón \( (0; 0) \). $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \quad \text{és} \quad g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left( \frac{2 \cdot \frac{\pi}{2}}{\pi} \right)^2 = \left( \frac{\pi}{\pi} \right)^2 = 1^2 = 1 $$ A függvények valóban áthaladnak a \( \left(\frac{\pi}{2}; 1\right) \) ponton is.

b) A megadott intervallumban az \( f(x) = \sin x \) grafikonja a \( g(x) \) parabolaív "felett" halad (\( f(x) \ge g(x) \)). A közbezárt területet a két függvény különbségének határozott integrálja adja meg: $$ T = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin x - \frac{4}{\pi^2} x^2 \right) dx = \left[ -\cos x - \frac{4}{\pi^2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ Behelyettesítve a határokat a Newton–Leibniz szabállyal: $$ T = \left( -\cos \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3\pi^2} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 \right) - \left( -\cos 0 - \frac{4}{3\pi^2} \cdot 0^3 \right) $$ $$ T = \left( 0 - \frac{4}{3\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{8} \right) - \left( -1 - 0 \right) = -\frac{\pi}{6} + 1 $$ A terület pontos értéke: \( 1 - \frac{\pi}{6} \approx 0,476 \).

c) A sorozat n-edik tagját alakítsuk át két tört összegére: $$ a_n = \frac{2}{n} + \frac{2\pi n}{n} = \frac{2}{n} + 2\pi $$ A monotonitás vizsgálatához tekintsük az egymást követő tagok különbségét: $$ a_{n+1} - a_n = \left( \frac{2}{n+1} + 2\pi \right) - \left( \frac{2}{n} + 2\pi \right) = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n} = \frac{2n - 2(n+1)}{n(n+1)} = \frac{-2}{n(n+1)} $$ Mivel \( n \) pozitív egész, a nevező pozitív, a számláló pedig negatív, így a különbség mindig negatív. A sorozat szigorúan monoton csökkenő.
Mivel a sorozat csökkenő, legnagyobb tagja az első: \( a_1 = 2 + 2\pi \), ez egy felső korlátja. Másrészt \( \frac{2}{n} > 0 \) minden \( n \)-re, ezért \( a_n > 2\pi \), ami pedig egy alsó korlát. A sorozat tehát korlátos.
A sorozat határértéke az \( n \to \infty \) esetben: $$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n} + 2\pi \right) = 0 + 2\pi = \mathbf{2\pi} $$

a) Számítsuk ki a kért függvényértékeket: $$ f(-2) = 3^{-(-2)} = 3^2 = 9 $$ A 9 pozitív egész szám, tehát a Természetes számok (\( \mathbb{N} \)) halmazába kerül. $$ f(0,5) = 3^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Mivel a \( \sqrt{3} \) irracionális, a hányados is az, így a Valós, de nem racionális számok (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)) halmazába írjuk. $$ f(5) = 3^{-5} = \frac{1}{243} $$ Ez a szám két egész szám hányadosa (tört), de nem egész, ezért a Racionális, de nem egész számok (\( \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \)) halmazába, a legnagyobb belső téglalapba kerül.

b) Az \( A = \frac{1}{9} \), \( B = \frac{1}{2187} \) és \( C = 3^{-12} \) számok mind racionálisak. Mivel racionális számok összege racionális, az \( A \), \( B \) és \( C \) csúcsok között minden él be van húzva (ez 3 él). A \( D = 1 - \sqrt{2} \) irracionális szám. Az \( E \) szám értékét gyöktelenítéssel egyszerűsítjük: $$ E = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1 $$ Ez szintén irracionális. Ha egy racionális számhoz (\( A, B, C \)) egy irracionális számot (\( D, E \)) adunk, az eredmény irracionális, így közöttük nincs él. Nézzük meg a két irracionális szám összegét: $$ D + E = (1 - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1) = 2 $$ Mivel a 2 racionális szám, a \( D \) és \( E \) csúcs között is be van húzva az él. A gráfnak tehát 4 éle van.

c) A megadott egyenlőtlenséget írjuk fel a \( g(x) = 3^{-x} \) függvény alakjában: $$ 3^{-n} - 3^{-(n+1)} > 10^{-6} $$ Kiemelve a kisebb hatványt: $$ 3^{-(n+1)} \cdot (3^1 - 1) > 10^{-6} $$ $$ 2 \cdot 3^{-(n+1)} > 10^{-6} \implies 3^{n+1} < 2 \cdot 10^6 $$ A két oldal 10-es alapú logaritmusát véve (a logaritmus szigorúan monoton nő): $$ (n+1) \cdot \log_{10} 3 < \log_{10} (2 \cdot 10^6) \approx 6,301 $$ $$ n+1 < \frac{6,301}{0,477} \approx 13,2 \implies n < 12,2 $$ A legnagyobb megfelelő pozitív egész szám \( n = 12 \). A téglalapok egységnyi (1) szélesek, a k-adik téglalap magassága \( g(k) = 3^{-k} \), így a területe is \( 3^{-k} \). Az első 12 téglalap területének összege egy mértani sorozat első 12 tagjának összege (\( a_1 = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{1}{3} \)): $$ S_{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{12}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 3^{-12}}{\frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - 3^{-12}\right) \approx 0,5} $$

a) Az adathalmaz rendezve: 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8.
Az átlag: \( \overline{x} = \frac{48}{8} = \mathbf{6} \).
A medián a két középső elem átlaga (6 és 7): \(\mathbf{6,5}\).
A szórás a definíció alapján: $$ \sigma = \sqrt{\frac{(3-6)^2 + (4-6)^2 + 2\cdot(6-6)^2 + 3\cdot(7-6)^2 + (8-6)^2}{8}} = \sqrt{\frac{9 + 4 + 0 + 3 + 4}{8}} = \sqrt{\frac{20}{8}} \approx \mathbf{1,58} $$

b) A parabola egyenlete \(y = ax^2 + bx + c\).
A görbe átmegy a \(P(0; 2)\) ponton, azaz a nullponti érték behelyettesítéséből következik, hogy \(c = 2\).
Az érintő meredeksége a derivált nullabeli értéke. Mivel a meredekségszög 45°, így \(m = \text{tg} 45^\circ = 1\). A deriváltfüggvény \(y' = 2ax + b\), ebből \(y'(0) = 1 \implies \mathbf{b = 1}\).
Tehát az egyenlet: \(y = ax^2 + x + 2\).
A görbe átmegy a \(Q(4,6; 3)\) ponton, behelyettesítve az \((x,y)\) értékeket: $$ 3 = a \cdot 4,6^2 + 4,6 + 2 \implies 21,16a = -3,6 \implies a \approx \mathbf{-0,17} $$ A keresett parabola egyenlete: \(y = -0,17x^2 + x + 2\).

c) A függvény inverzének tulajdonságait az ábráról leolvasható értékekből tudjuk levezetni, mivel a grafikon tükröződik az \(y = x\) egyenesre:

• Az inverzfüggvény értelmezési tartománya \(f\) értékkészlete, tehát: \([-2; 5]\).
• Értékkészlete megegyezik \(f\) értelmezési tartományával, azaz: \([-2; 3]\).
• Zérushelye ott van, ahol \(f\) az 1-et veszi fel az y-tengelyen (mert az eredeti f zérushelye \(y=1\) \(\implies\) az inverzben \(f^{-1}(1)=0\)). A grafikonból leolvasva a zérushely: \(x = 1\).
• Mivel az eredeti függvény szigorúan monoton növekedő, így inverze is szigorúan monoton növekedő.

a) Az \( f(x) = 0 \) egyenletet kell megoldanunk: $$ 900 - 0,25(x - 60)^2 = 0 $$ $$ 0,25(x - 60)^2 = 900 \implies (x - 60)^2 = 3600 $$ Ebből \( x - 60 = 60 \) vagy \( x - 60 = -60 \), tehát \( x = 120 \) vagy \( x = 0 \).
Mivel a 0 nem eleme az értelmezési tartománynak, az egyetlen zérushely az \( x = 120 \).

b) Kiszámítjuk a helyettesítési értékeket: $$ f(20) = 900 - 0,25(20 - 60)^2 = 900 - 0,25(-40)^2 = 900 - 400 = 500 $$ $$ g(20) = 6,4 \cdot 20 = 128 $$ A különbség: \( f(20) - g(20) = 500 - 128 = \) 372.

c) A \( h(x) \) függvény hozzárendelési szabálya: $$ h(x) = 900 - 0,25(x^2 - 120x + 3600) - 6,4x $$ $$ h(x) = 900 - 0,25x^2 + 30x - 900 - 6,4x = -0,25x^2 + 23,6x $$ Ez egy másodfokú függvény, amelynek főegyütthatója negatív (\( a = -0,25 \)), így a függvénynek maximuma van.
A maximum helye a parabola tengelypontjának abszcisszája: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{23,6}{2 \cdot (-0,25)} = \frac{23,6}{0,5} = \mathbf{47,2} $$ A \( 47,2 \in \ ]0; 130[ \), így ez érvényes maximumhely.
A maximum értéke: $$ h(47,2) = -0,25 \cdot 47,2^2 + 23,6 \cdot 47,2 = \mathbf{556,96} $$

a) Az $f(x) = g(x)$ egyenlet megoldásával keressük meg a két függvény grafikonjának metszéspontjait: $$ (x + 4)(2 - x) = x + 4 \implies (x + 4)(2 - x - 1) = 0 \implies (x + 4)(1 - x) = 0 $$ A metszéspontok x-koordinátái tehát $-4$ és $1$.
A bezárt területet a határozott integrál adja meg: $$ T = \int_{-4}^{1} ((x+4)(2-x) - (x+4)) \, dx = \int_{-4}^{1} (-x^2 - 3x + 4) \, dx $$ $$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-4}^{1} $$ A határokat behelyettesítve: $$ = \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right) - \left( \frac{64}{3} - \frac{48}{2} - 16 \right) = \frac{13}{6} - \left( -\frac{56}{3} \right) = \frac{13 + 112}{6} = \frac{125}{6} \approx \mathbf{20,83} $$

b) A függvények zérushelyei:
$f$: $-4$ és $2$
$g$: $-4$
$h$: $-2$ és $2$
$i$: $-4$ és $4$
A közös zérushelyek alapján a következő élek húzhatók be: $(f, g)$, $(f, i)$ a $-4$ miatt; $(f, h)$ a $2$ miatt; és $(g, i)$ a $-4$ miatt.

c) A megadott három függvény ($k, m, n$) zérushelyei közti kapcsolatok egy fát (utat) alkotnak: $n$ (-5, 5) - $k$ (-5, 3) - $m$ (3, -3).
A gráf akkor marad fagráf, ha az új $p(x) = x + c$ elsőfokú függvény (amelynek egyetlen zérushelye $-c$) pontosan egy meglévő csúcshoz kapcsolódik be új levélként. Ehhez $p$-nek pontosan egy közös zérushelye kell legyen a $k, m, n$ valamelyikével úgy, hogy ne zárjon be kört.
- Ha $p$ zérushelye a $3$ vagy a $-5$ lenne, akkor az a $k$-hoz és egy másik ponthoz is kapcsolódna, így kör jönne létre (nem lenne fagráf).
- A zérushelye tehát csak a kimaradó ágvégek, azaz a $5$ vagy a $-3$ lehet.
Ha a zérushely $5$, akkor $c = -5$; ha $-3$, akkor $c = 3$.
A $c$ konstans tehát 2-féleképpen választható meg.

a) A fa 10 éves korában az átmérője milliméterben: $$ d(10) = -0,25 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 + 40 = 215 \text{ mm} $$ Centiméterben kifejezve tehát az átmérő 21,5 cm.

b) A 11. év végén a törzs átmérője: $$ d(11) = -0,25 \cdot 11^2 + 20 \cdot 11 + 40 \approx 230 \text{ mm} $$ A területek növekedését a sugarak négyzetének különbségéből számíthatjuk. A sugarak rendre $r_{11} \approx 115 \text{ mm}$ és $r_{10} = 107,5 \text{ mm}$. A keresztmetszet gyarapodása (körgyűrű területe): $$ T = r_{11}^2\pi - r_{10}^2\pi \approx 5200 \text{ mm}^2 $$ Ezt dm²-ben kifejezve és egy tizedesjegyre kerekítve az eredmény 0,5 dm².

c) Ha a kerület 1 méter, azaz 1000 mm, akkor az átmérője: $$ d(x) = \frac{1000}{\pi} \approx 318 \text{ mm} $$ A megoldandó egyenlet: $$ -0,25x^2 + 20x + 40 = 318 $$ Átrendezve nullára egy másodfokú egyenletet kapunk: $$ x^2 - 80x + 1112 = 0 $$ A megoldóképletet alkalmazva a gyökök $x_1 \approx 17,9$ és $x_2 \approx 62,1$. Mivel $x \in [5; 20]$, ezért csak az $x_1$ a megfelelő megoldás. A fa tehát megközelítőleg 18 éves.

a) A görbéket tükrözésekkel kapjuk meg. - $b$ jelű ív ($y$ tengelyre tükrözés): $y = (1 - (-x))^3 \Rightarrow$ $y = (x+1)^3$, feltéve hogy $-1 \le x \le 0$. - $c$ jelű ív ($x$ tengelyre tükrözés a $b$-ből): $y = -(x+1)^3$, feltéve hogy $-1 \le x \le 0$. - $d$ jelű ív ($x$ tengelyre tükrözés az $a$-ból): $y = -(1-x)^3$, feltéve hogy $0 \le x \le 1$.

b) A tábla jobb felső negyedében lévő sötétített terület nagyságát integrállal határozzuk meg: $$ T_a = \int_0^1 (1-x)^3 dx = \left[ -\frac{(1-x)^4}{4} \right]_0^1 = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} $$ Egy teljes 1×1-es negyed területe 1, amiből a fehér terület $\frac{3}{4}$. A teljes táblán a fehér terület ezáltal $4 \cdot \frac{3}{4} = 3$ egységnégyzet. Mivel a tábla valójában 2 dm oldalú, a fenti koordinátarendszer 1 egysége pontosan 1 dm. Így egy tábla fehér területe $3 \text{ dm}^2$. 4000 tábla esetében a bevonandó terület: $$ 4000 \cdot 3 \text{ dm}^2 = 12000 \text{ dm}^2 = 120 \text{ m}^2 $$ Mivel 1 kg anyag 12 m²-re elegendő, a szükséges anyag: $$ \frac{120}{12} = \mathbf{10 \text{ kg}} $$

c) A játék 10, 11 vagy 12 játszma után fejeződhet be Bori győzelmével. Ehhez binomiális eloszlást alkalmazunk úgy, hogy az utolsó játszmát mindenképp Bori nyeri. - 10 játszma: Bori nyer 10 zsinórban. Valószínűsége $0,6^{10} \approx 0,006$. - 11 játszma: Az első 10-ből 9-et nyer meg Bori, 1-et Anna, majd a 11.-et Bori. $$ \binom{10}{9} \cdot 0,6^9 \cdot 0,4^1 \cdot 0,6 = 10 \cdot 0,6^{10} \cdot 0,4 \approx 0,024 $$ - 12 játszma: Az első 11-ből 9-et nyer meg Bori, 2-t Anna, majd a 12.-et Bori. $$ \binom{11}{9} \cdot 0,6^9 \cdot 0,4^2 \cdot 0,6 = 55 \cdot 0,6^{10} \cdot 0,16 \approx 0,053 $$ Ezek egymást kizáró események, így az összegük adja meg a végeredményt: $$ P \approx 0,006 + 0,024 + 0,053 = \mathbf{0,083} $$

a) A paralelogramma területét megkapjuk, ha az \( ABCD \) négyzet területéből levonjuk a négy derékszögű háromszög területét.
Az oldalak hossza a megadott adatok alapján: \( BF = DH = 4 - x \) és \( AE = CG = 4 - 2x \).
A négyzet területe \( 4^2 = 16 \). A háromszögek területeinek összege: $$ T(x) = 16 - 2 \cdot \frac{x(4 - 2x)}{2} - 2 \cdot \frac{2x(4 - x)}{2} $$ $$ T(x) = 16 - (4x - 2x^2) - (8x - 2x^2) $$ Összevonás után adódik: \( \mathbf{T(x) = 4x^2 - 12x + 16} \), ami a bizonyítandó állítás volt.

b) A \( T(x) = 4x^2 - 12x + 16 \) egy felfelé nyíló parabola (mivel a másodfokú tag együtthatója pozitív), amelynek ott van a minimuma, ahol az első deriváltja nulla (vagy a csúcspont képletét használva).
A csúcspont helye: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \mathbf{1{,}5} $$ Ez az érték megfelel a \( 0 < x < 2 \) feltételnek, így ezen a helyen valóban minimális a terület.

c) Helyettesítsük be az \( x = 1{,}25 \) értéket a szakaszokba:
\( HA = 1{,}25 \), \( AE = 4 - 2 \cdot 1{,}25 = 1{,}5 \).
\( BE = 2{,}5 \), \( BF = 4 - 1{,}25 = 2{,}75 \).
Az \( A \) csúcsnál lévő \( HAE \) derékszögű háromszög \( AHE\angle = \alpha \) szögére: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1{,}5}{1{,}25} = 1{,}2 \implies \alpha \approx 50{,}2^\circ $$ (Vagy a \( HAE\angle = \alpha' \) szögére a \( \operatorname{tg} \alpha' = \frac{1{,}25}{1{,}5} \approx 0{,}833 \implies \alpha' \approx 39{,}8^\circ \).)
A \( B \) csúcsnál lévő \( FBE \) derékszögű háromszög \( FEB\angle = \beta \) szögére: $$ \operatorname{tg} \beta = \frac{2{,}75}{2{,}5} = 1{,}1 \implies \beta \approx 47{,}7^\circ $$ A paralelogramma \( E \)-nél lévő szöge (\( \varepsilon \)) az egyenesszögből adódik: $$ \varepsilon = 180^\circ - (39{,}8^\circ + 47{,}7^\circ) = \mathbf{92{,}5^\circ} $$ A paralelogramma szomszédos szögei kiegészítő szögek, így a másik szög: $$ 180^\circ - 92{,}5^\circ = \mathbf{87{,}5^\circ} $$ A paralelogramma szögei tehát: \( 87{,}5^\circ \), \( 92{,}5^\circ \), \( 87{,}5^\circ \), \( 92{,}5^\circ \).

a) Mivel 400 Ft az 500 és a 300 számtani közepe (\( \frac{500+300}{2} = 400 \)), a lineáris kapcsolat miatt az eladott mennyiség százaléka is a kettő közepe lesz: \( \frac{50 + 70}{2} = 60\% \). Tehát a 200 kg-nak a 60%-a fogy el, ami \( 200 \cdot 0,6 = 120 \text{ kg} \). A bevétel: \( 120 \text{ kg} \cdot 400 \text{ Ft/kg} = \mathbf{48\,000 \text{ Ft}} \).

b) Ha lineáris kapcsolat van, akkor az \( y = mx + b \) egyenlet érvényes. A 200 kg fele 100 kg, 70%-a pedig 140 kg. A szöveg alapján kapjuk az egyenletrendszert: $$ 100 = 500m + b $$ $$ 140 = 300m + b $$ A két egyenletet kivonva egymásból: \( -40 = 200m \implies m = -\frac{1}{5} \). Visszahelyettesítve: \( 100 = 500 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) + b \implies 100 = -100 + b \implies b = 200 \). Tehát valóban \( y = -\frac{1}{5}x + 200 \).

c) A napközbeni bevétel függvénye az eladási ártól függően: \( x \cdot y = x \cdot \left(-\frac{1}{5}x + 200\right) \). A megmaradt mennyiség: \( 200 - y = 200 - \left(-\frac{1}{5}x + 200\right) = \frac{1}{5}x \). A feldolgozótól kapott bevétel: \( 80 \cdot \left(\frac{1}{5}x\right) = 16x \). Az összes bevétel: $$ B(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 200x + 16x = -\frac{1}{5}x^2 + 216x $$ Ez egy lefelé nyíló parabola, melynek maximuma a tengelypontban van: $$ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{216}{2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{216}{0,4} = \mathbf{540 \text{ Ft/kg}} $$ Ekkor a maximális bevétel: \( B(540) = 58\,320 \text{ Ft} \).

a) A bal oldalon álló tört számlálóját és nevezőjét is \( y \)-nal elosztva kapjuk: $$ \frac{2\frac{x}{y} + 3}{4\frac{x}{y} + 2} = \frac{9}{10} $$ Keresztbe szorozva: $$ 20\frac{x}{y} + 30 = 36\frac{x}{y} + 18 \implies 12 = 16\frac{x}{y} \implies \mathbf{\frac{x}{y} = \frac{3}{4}} $$

b) Fejezzük ki a számláló értékét az \( f(x) \) definíciója alapján: $$ f(x+1) = (x+1)^2 - 11(x+1) + 30 = x^2 + 2x + 1 - 11x - 11 + 30 = x^2 - 9x + 20 $$ Mindkét másodfokú kifejezést gyöktényezős alakra bontjuk (az \( x^2 - 9x + 20 = 0 \) gyökei 4 és 5, az \( x^2 - 11x + 30 = 0 \) gyökei 5 és 6): $$ x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5) $$ $$ f(x) = x^2 - 11x + 30 = (x-5)(x-6) $$ Behelyettesítve a törtbe, az \( (x-5) \) tényezővel egyszerűsíthetünk (mivel \( f(x) \neq 0 \), így \( x \neq 5 \) és \( x \neq 6 \)): $$ \frac{f(x+1)}{f(x)} = \frac{(x-4)(x-5)}{(x-5)(x-6)} = \mathbf{\frac{x-4}{x-6}} $$

c) Rendezzük nullára az egyenlőtlenséget: $$ \frac{x-4}{x-6} + 1 \le 0 \implies \frac{x-4+x-6}{x-6} \le 0 \implies \frac{2x-10}{x-6} \le 0 $$ A tört értéke pontosan akkor nem pozitív, ha a számláló és a nevező előjele eltérő, vagy a számláló nulla (de a nevező nem lehet nulla).
A számláló zérushelye \( 2x - 10 = 0 \implies x = 5 \). A nevező zérushelye \( x - 6 = 0 \implies x = 6 \).
Előjelvizsgálat után adódik a megoldáshalmaz: $$ \mathbf{5 \le x < 6} \quad \text{azaz} \quad \mathbf{x \in [5; 6[} $$

a) Az állítás hamis. Egy \( n \) csúcsú fagráf éleinek száma mindig \( n-1 \).
Jelölje \( G_1 \) csúcsainak számát \( n \). Ekkor \( G_1 \) éleinek száma \( n-1 \). A feladat feltétele szerint \( G_2 \) csúcsainak száma \( 2n \), ami miatt a \( G_2 \) éleinek száma (fagráf lévén) \( 2n - 1 \). Ugyanakkor az állítás megköveteli, hogy \( G_2 \) éleinek száma a \( G_1 \) élei számának a kétszerese is legyen: \( 2(n-1) = 2n - 2 \). Mivel a \( 2n - 1 = 2n - 2 \) egyenlet ellentmondás, így ilyen fagráfok nem léteznek.

b) A 6 cég közötti összes üzletkötések száma megegyezik egy 6 csúcsú teljes gráf éleinek számával: \( \binom{6}{2} = 15 \).
Ebből 4 üzletkötést \( \binom{15}{4} = 1365 \)-féleképpen választhatunk ki.
A legalább egyet ellenőriznek típusú kérdéseknél érdemes a komplementer eseményt vizsgálni: sem az A, sem a B cég egyetlen üzletkötését sem ellenőrzik. Ekkor csak a C, D, E, F cégek egymás közti üzletkötéseiből választanak. A 4 maradék cég között az üzletkötések száma \( \binom{4}{2} = 6 \). A hatból a 4 ellenőrzött üzletet \( \binom{6}{4} = 15 \)-féleképpen választhatják ki.
A komplementer esemény valószínűsége \( \frac{15}{1365} = \frac{1}{91} \). A keresett esemény valószínűsége így: $$ P = 1 - \frac{1}{91} = \mathbf{\frac{90}{91}} \approx 0,989 $$

c) Helyezzük koordináta-rendszerbe a tartóláncot leíró parabolát úgy, hogy a tengelypontja az origóban (\( U(0; 0) \)) legyen. Ekkor a \( P \) pont \( x \)-koordinátája a feléből \( 100 \), így a \( Q \) pont \( Q(100; 16) \). A parabola egyenlete \( y = a x^2 \) alakú. A \( Q \) pont behelyettesítésével: $$ 16 = a \cdot 100^2 \implies a = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625} \implies y = \frac{x^2}{625} $$ A \( PS \) szakasz \( 50 \) m hosszú, tehát az \( S \) pont \( x \)-koordinátája \( 100 - 50 = 50 \). A \( PQRS \) terület megegyezik a görbe alatti területtel az \( [50; 100] \) intervallumon, amit határozott integrállal számolhatunk ki: $$ T = \int_{50}^{100} \frac{x^2}{625} \, dx = \left[ \frac{x^3}{1875} \right]_{50}^{100} = \frac{1000000 - 125000}{1875} = \frac{875000}{1875} \approx 466,67 \text{ m}^2 $$ Mivel 8% veszteséggel számol a tervező, a megrendelt vászon csupán 92%-a lesz a fedésre képes tiszta felület. A szükséges megrendelt terület így: $$ T_{\text{rendelt}} = \frac{466,67}{0,92} \approx \mathbf{507 \text{ m}^2} $$ (Az 508 m² is teljesen elfogadható kerekítés.)

a) 10 parkolóőr esetén a bliccelők aránya a kezdeti 25%-ról \( 10 \cdot 0,5\% = 5\% \)-kal csökken, tehát 20% lesz.
A szabályosan fizető autósok aránya \( 80\% \). A tőlük beszedett parkolási díj bevétele: $$ 15\,000 \cdot 0,80 \cdot 10 = 12\,000 \cdot 10 = 120\,000 \text{ garas} $$ A 10 parkolóőr egy nap alatt \( 10 \cdot 200 = 2000 \) autót ellenőriz. Ezeknek a 20%-a bliccelő, tehát \( 2000 \cdot 0,2 = 400 \) büntetést osztanak ki. A büntetésből származó bevétel: $$ 400 \cdot 150 = 60\,000 \text{ garas} $$ A 10 parkolóőr napi költsége: $$ 10 \cdot 330 = 3300 \text{ garas} $$ A város nettó napi bevétele: $$ 120\,000 + 60\,000 - 3300 = \mathbf{176\,700 \text{ garas}} $$

b) Legyen \( n \) a parkolóőrök száma. A bliccelők aránya ekkor \( p(n) = 0,25 - 0,005n \).
A fizető autósok aránya \( 1 - p(n) = 0,75 + 0,005n \). Tőlük származó bevétel: $$ 10 \cdot 15\,000 \cdot (0,75 + 0,005n) = 112\,500 + 750n $$ Az ellenőrzött autók száma \( 200n \). Az itt elkapott bliccelők száma \( 200n \cdot (0,25 - 0,005n) = 50n - n^2 \). A tőlük származó bírságbevétel: $$ 150 \cdot (50n - n^2) = 7\,500n - 150n^2 $$ A napi költség \( 330n \). A város nettó bevételfüggvénye: $$ B(n) = (112\,500 + 750n) + (7\,500n - 150n^2) - 330n $$ Összevonva a megfelelő tagokat: $$ B(n) = -150n^2 + 7920n + 112\,500 $$ Ez a másodfokú függvény (mivel a főegyütthatója negatív) lefelé nyitott parabola, így a maximumát a csúcspontban veszi fel: $$ n_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7920}{2 \cdot (-150)} = \frac{7920}{300} = 26,4 $$ Mivel \( n \)-nek egésznek kell lennie, a parabolán a legmagasabb pont az \( n = 26 \)-hoz vagy az \( n = 27 \)-hez tartozik. Mivel a 26 közelebb van a 26,4-es szimmetriatengelyhez, az adja a nagyobb függvényértéket.
(Kiszámítva is igazolható: \( B(26) = 217\,020 \), míg \( B(27) = 216\,990 \)).
Tehát a város **26 parkolóőr** alkalmazása esetén érheti el a maximális napi nettó bevételt.

a) Jelölje \( n \) a nők számát az eredeti társaságban. Mivel ők tették ki a 25%-ot, a társaság eredeti létszáma \( 4n \) volt.
Az 5 nő és a 4 férfi (összesen 9 fő) csatlakozása után a nők száma \( n+5 \) lett, a teljes létszám pedig \( 4n+9 \). A nők aránya ekkor 36%, azaz 0,36: $$ \frac{n+5}{4n+9} = 0,36 $$ Felszorozva és átrendezve: $$ n + 5 = 1,44n + 3,24 \implies 1,76 = 0,44n \implies n = 4 $$ Tehát az eredeti társaság \( 4 \cdot 4 = \) 16 fős volt.

b) Helyezzük az ábrát egy derékszögű koordináta-rendszerbe, melynek origója az \( AB \) felezőpontja, az \( F(0; 0) \).
Ekkor a megadott távolságokból adódó koordináták: \( A(-4; 0) \), \( C(0; 6) \), \( D(-2; 0) \) és \( E(-2; 2,5) \).
Az \( A, E, C \) pontokon áthaladó bal oldali parabola egyenlete \( y = ax^2 + bx + c \) alakú. Mivel átmegy a \( C(0; 6) \) ponton, \( c = 6 \).
Az \( A(-4; 0) \) és az \( E(-2; 2,5) \) behelyettesítésével két egyenletet kapunk: 1) \( 0 = 16a - 4b + 6 \implies 4a - b = -1,5 \implies b = 4a + 1,5 \) 2) \( 2,5 = 4a - 2b + 6 \implies 4a - 2(4a + 1,5) = -3,5 \implies -4a - 3 = -3,5 \implies 4a = 0,5 \implies a = 0,125 \) Ebből \( b = 4(0,125) + 1,5 = 2 \).
A parabola egyenlete: \( y = 0,125x^2 + 2x + 6 \).
A homlokzat bal oldali felének területét a görbe alatti területtel határozhatjuk meg az \( [-4; 0] \) intervallumon, integrálással: $$ T_{\text{fél}} = \int_{-4}^{0} (0,125x^2 + 2x + 6) \, dx = \left[ 0,125\frac{x^3}{3} + x^2 + 6x \right]_{-4}^{0} $$ A felső határnál az érték 0. Az alsó határnál: $$ \left( 0,125 \cdot \frac{-64}{3} + 16 - 24 \right) = \left( -\frac{8}{3} - 8 \right) = -\frac{32}{3} $$ A bal oldali terület így \( 0 - \left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} \).
Mivel a homlokzat szimmetrikus, a teljes területe ennek kétszerese: $$ T = 2 \cdot \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \approx \mathbf{21,3 \text{ m}^2} $$

a) Először meghatározzuk a függvény zérushelyeit: $$ x^2 - 12x + 27 = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = 9 $$ A parabola az \( [3; 9] \) intervallumon az \( x \) tengely alatt halad, ezért a keresett terület a határozott integrál ellentettje: $$ T = -\int_{3}^{9} (x^2 - 12x + 27) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 6x^2 - 27x \right]_{3}^{9} $$ Helyettesítsük be a határokat: $$ T = \left( -\frac{729}{3} + 6 \cdot 81 - 27 \cdot 9 \right) - \left( -\frac{27}{3} + 6 \cdot 9 - 27 \cdot 3 \right) $$ $$ T = (-243 + 486 - 243) - (-9 + 54 - 81) = 0 - (-36) = \mathbf{36} $$ A bezárt terület nagysága 36 területegység.

b) Az érintő meredekségét a deriváltfüggvény adott pontbeli helyettesítési értéke adja meg: $$ f'(x) = 2x - 12 $$ $$ m = f'(5) = 2 \cdot 5 - 12 = -2 $$ Az egyenes egyenletének pont-meredekség alakjába behelyettesítve: $$ y - y_0 = m(x - x_0) \implies y - (-8) = -2(x - 5) $$ $$ y + 8 = -2x + 10 \implies \mathbf{y = -2x + 2} $$

c) Hozzuk a parabolát csúcsponti alakra teljes négyzetté alakítással: $$ f(x) = (x - 6)^2 - 36 + 27 = (x - 6)^2 - 9 $$ A parabola tengelypontja tehát \( T(6; -9) \).
Az \( y = \frac{1}{2p}(x - u)^2 + v \) alakból felírható, hogy a paraméterre \( 2p = 1 \implies p = 0,5 \).
A fókuszpont az \( y \) tengellyel párhuzamos szimmetriatengely mentén \( \frac{p}{2} \)-vel helyezkedik el a csúcspont felett: $$ F\left(6; -9 + \frac{0,5}{2}\right) = \mathbf{F(6; -8,75)} $$

a) A kompozíció behelyettesítéssel: $$ k(x) = h(f(x)) = 12 - (2^x - 1)^2 $$ Bontsuk fel a zárójelet a nevezetes azonosság segítségével: $$ k(x) = 12 - (2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 1) = 12 - 4^x + 2^{x+1} - 1 $$ Összevonva a konstansokat megkapjuk a kért alakot: $$ k(x) = \mathbf{11 + 2^{x+1} - 4^x} $$ Az állítást ezzel igazoltuk.

b) Írjuk fel az egyenlőtlenséget az összetett függvényekkel: $$ 2^{3x+2} - 1 < 3(2^x - 1) + 2 $$ Végezzük el az átalakításokat az exponenciális azonosságok felhasználásával: $$ 4 \cdot 2^{3x} - 1 < 3 \cdot 2^x - 1 $$ Rendezzük egy oldalra az egyenletet. Vezessünk be új változót: legyen \( y = 2^x \), ahol \( y > 0 \): $$ 4y^3 < 3y \implies 4y^3 - 3y < 0 \implies y(4y^2 - 3) < 0 $$ Mivel \(y > 0\), így oszthatunk vele az egyenlőtlenség irányának változása nélkül: $$ 4y^2 - 3 < 0 \implies y^2 < \frac{3}{4} $$ A pozitív tartományban ez azt jelenti, hogy \( y < \frac{\sqrt{3}}{2} \). Visszahelyettesítve: $$ 2^x < \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Mivel a 2-es alapú exponenciális függvény szigorúan monoton nő, vehetjük mindkét oldal kettes alapú logaritmusát: $$ x < \log_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$ (Ami ekvivalens a \(\log_4 0,75\) alakkal is.)

c) Elsőként határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: $$ 12 - x^2 = -4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ A \([-4; 4]\) intervallumon a parabola a konstans \(-4\) egyenes fölött halad. A közbezárt területet a határozott integrállal számítjuk ki: $$ T = \int_{-4}^{4} (12 - x^2 - (-4)) \, dx = \int_{-4}^{4} (16 - x^2) \, dx $$ Elvégezve az integrálást: $$ T = \left[ 16x - \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{4} $$ Behelyettesítve a határokat: $$ T = \left( 64 - \frac{64}{3} \right) - \left( -64 - \frac{-64}{3} \right) = \left( \frac{128}{3} \right) - \left( -\frac{128}{3} \right) = \mathbf{\frac{256}{3}} $$

a) Felírjuk a \( (2f + g)(x) \) kifejezést:

$$ (2f + g)(x) = 2(2x + 1) + (x^2 - 2) = 4x + 2 + x^2 - 2 = x^2 + 4x $$

A zérushelyek ott találhatók, ahol az érték nulla:

$$ x^2 + 4x = 0 \implies x(x + 4) = 0 $$

A függvény zérushelyei: \( x = 0 \) és \( x = -4 \).

b) Először meghatározzuk a két grafikon metszéspontjait az \( f(x) = g(x) \) egyenlet megoldásával, ezek adják az integrálás határait:

$$ 2x + 1 = x^2 - 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Ennek gyökei \( x = -1 \) és \( x = 3 \). A \( [-1; 3] \) intervallumon az \( f \) grafikonja (az egyenes) van „felül”, így a terület integrálja:

$$ T = \int_{-1}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{3} \left( (2x + 1) - (x^2 - 2) \right) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx $$

Kiszámolva a primitív függvényt:

$$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3} $$

Behelyettesítve a felső, majd az alsó határt:

$$ T = \left( -\frac{27}{3} + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = (-9 + 18) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \mathbf{\frac{32}{3}} \text{ (vagyis kb. 10,67)} $$

c) A monotonitás vizsgálatához tekintsük a \( h(x) = \frac{x^2 - 2}{2x + 1} \) deriváltját a hányados szabályával:

$$ h'(x) = \frac{2x \cdot (2x + 1) - (x^2 - 2) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 2x - 2x^2 + 4}{(2x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + 4}{(2x + 1)^2} $$

A nevező minden \( x \in \, ]-\infty; -0,5[ \) esetén pozitív. A számláló átalakítva (például teljes négyzetté alakítással):

$$ 2x^2 + 2x + 4 = 2(x^2 + x) + 4 = 2\left(x + 0,5\right)^2 - 0,5 + 4 = 2(x + 0,5)^2 + 3,5 $$

Látható, hogy a számláló minden valós \( x \)-re (így az adott intervallumon is) szigorúan pozitív, ahogy a nevező is. Így \( h'(x) > 0 \), amiből következik, hogy a függvény a megadott intervallumon valóban szigorúan monoton növekvő.

a) Szorzattá alakítjuk a kifejezést: \( 3x^2 - x^3 = x^2 \cdot (3 - x) \).
Az \( x^2 \) tényező pozitív, mert \( x \neq 0 \).
A \( 3 - x \) tényező is pozitív, mert \( x < 3 \).
Így a két pozitív tényező szorzata is pozitív, tehát \( y > 0 \), ha \( x \in ]0; 3[ \).

b) A megadott görbe derivált függvénye: \( f'(x) = 6x - 3x^2 \).
A meredekség az \( x = 3 \) helyen: \( f'(3) = 6 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = 18 - 27 = -9 \).
A pont koordinátái: \( f(3) = 3 \cdot 3^2 - 3^3 = 27 - 27 = 0 \), így a pont a \( (3; 0) \).
Az érintő egyenlete: \( y - 0 = -9 \cdot (x - 3) \), azaz: $$ \mathbf{y = -9x + 27} $$

c) A görbének az \( x = 0 \) és az \( x = 3 \) helyen van közös pontja az \( x \) tengellyel. Tudjuk, hogy ha \( x \in [0; 3] \), akkor \( y \ge 0 \), ezért a kérdezett terület a határozott integrállal számolható: $$ T = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3) dx $$ A Newton-Leibniz szabályt alkalmazva: $$ T = \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3} = \left( 3^3 - \frac{3^4}{4} \right) - (0) = 27 - \frac{81}{4} = \mathbf{6,75} $$

a) A négyzetgyök miatt \( x \ge 0 \), de a logaritmus függvény argumentuma miatt \( \sqrt{x} > 0 \implies x > 0 \). A koszinusz függvény minden valós értékre értelmezett.
A keresett halmaz: \( ]0; +\infty[ \).

b) A logaritmus miatt \( \cos x > 0 \). Ezen felül a külső négyzetgyök miatt a logaritmus értéke nem lehet negatív: $$ \log_2(\cos x) \ge 0 \implies \cos x \ge 2^0 \implies \cos x \ge 1 $$ Mivel a koszinusz függvény értékkészlete miatt \( \cos x \le 1 \), a két feltétel együttesen csak akkor teljesül, ha \( \cos x = 1 \).
Az értelmezési tartomány tehát: \( \{x \in \mathbb{R} \mid x = k \cdot 2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\} \).

c) A logaritmus alapja miatt \( \sqrt{x} > 0 \) és \( \sqrt{x} \neq 1 \), amiből következik, hogy \( x > 0 \) és \( x \neq 1 \).
A logaritmus argumentuma miatt \( \cos^2 x > 0 \), ami azt jelenti, hogy \( \cos x \neq 0 \). Ez akkor teljesül, ha \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) (ahol \( k \in \mathbb{Z} \)).
Mivel \( x > 0 \), csak a nemnegatív \( k \)-kat (vagyis \( k \in \mathbb{N} \)) érdemes külön kiemelni.
Az értelmezési tartomány: \( \mathbb{R}^+ \setminus \left( \{1\} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \right) \), ahol \( k \in \mathbb{N} \).

a) Az \( x^2 - 4x + 3 \) parabola gyökei \( x = 1 \) és \( x = 3 \), tengelypontja \( (2; -1) \). Az abszolút érték felvétele miatt a tengelypont \( (2; 1) \)-be tükröződik az x tengelyre. Mivel az értelmezési tartomány a \( [0; 5] \) zárt intervallum, a grafikon végpontjai a \( (0; 3) \) és az \( (5; 8) \) pontok.

b) A megoldások számát a teljes \( f(x) = |x^2 - 4x + 3| \) függvény (R-en értelmezve) grafikonja és az \( y = k \) vízszintes egyenes közös pontjainak száma adja:

• Ha \( k < 0 \), akkor nincs közös pont (0 megoldás).
• Ha \( k = 0 \), akkor 2 közös pont van (\( x = 1 \) és \( x = 3 \)).
• Ha \( 0 < k < 1 \), akkor 4 közös pont van.
• Ha \( k = 1 \), akkor 3 közös pont van (az egyik az érintési pont).
• Ha \( k > 1 \), akkor 2 közös pont van.

c) Az ehhez tartozó grafikon egy vízszintes szakasz \( k < 0 \)-ra magasság 0-ban, egy pont \( (0; 2) \)-nél, egy vízszintes szakasz \( (0; 1) \) között 4 magasságban, egy pont \( (1; 3) \)-nál, és egy vízszintes szakasz \( k > 1 \)-re 2 magasságban, leszűkítve a megadott \( [-6; 6] \) intervallumra.

d) A c)-beli (megoldások számát megadó) függvény értékkészlete a lehetséges metszéspontok számai: \( \{0; 2; 3; 4\} \).

a) Elvégezve a köbre emeléseket és összevonva a tagokat: $$ (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) > -8 $$ $$ -6x^2 - 2 > -8 \implies -6x^2 > -6 \implies x^2 < 1 $$ A megoldáshalmaz tehát a \( ]-1; 1[ \) intervallum.

b) A grafikonok megrajzolása után a metszéspont koordinátáit egyenletmegoldással igazoljuk: $$ \sqrt{x + 3} = -0,5x + 2,5 $$ Észrevehető, hogy az \( x = 1 \) megoldása az egyenletnek (hiszen \( \sqrt{4} = -0,5 \cdot 1 + 2,5 \implies 2 = 2 \)). Mivel \( f(x) \) szigorúan monoton nő, \( g(x) \) pedig szigorúan monoton csökken, más metszéspont nem lehet. A metszéspont koordinátái \( (1; 2) \), amelyek valóban egész számok.

c) A megoldandó egyenlőtlenség ekvivalens a \( \sqrt{x + 3} \le -0,5x + 2,5 \) egyenlőtlenséggel. Értelmezési tartomány: \( x \ge -3 \).
A b) feladat grafikonjairól (vagy a monotonitásból) leolvasható, hogy az \( f(x) \le g(x) \) egyenlőtlenség az \( x \le 1 \) értékekre teljesül.
Így a megoldáshalmaz a \( [-3; 1] \) intervallum.

a) (Az ábrázolást mellőzzük.) Az egyenlet megoldásához mindhárom intervallumon meg kell vizsgálni a metszéspontokat.
Ha \( x \le -1 \), akkor \( -1 = x^2 - 2 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \).
Ha \( -1 < x < 0 \), akkor \( 2x + 1 = x^2 - 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \). A gyökök 3 és -1, amelyek nem esnek a vizsgált nyílt intervallumba.
Ha \( x \ge 0 \), akkor \( 1 = x^2 - 2 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \).
Az egyenletnek két megoldása van: \( x_1 = -1 \) és \( x_2 = \sqrt{3} \).

b) A síkidom területét két határozott integrál összegeként kapjuk meg, felbontva az integrálást az \( y \)-tengely mentén: $$ T = \int_{-1}^{0} \left( (2x+1) - (x^2-2) \right) dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( 1 - (x^2-2) \right) dx $$ $$ T = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 2x + 3) dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} (-x^2 + 3) dx $$ Az integrálok elvégzése után: $$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^0 + \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x \right]_{0}^{\sqrt{3}} $$ Behelyettesítve a határokat: $$ T = \left( 0 - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) \right) + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - 0 \right) $$ $$ T = \frac{5}{3} + 2\sqrt{3} \approx \mathbf{5,13 \text{ területegység}} $$

a) A parabola egyenletének teljes négyzetté alakítása: $$ y = (x - 4)^2 - 5 $$ A függvény grafikonja egy felfelé nyíló parabola, melynek csúcspontja \( C(4; -5) \).
Néhány fontosabb pont a \([0; 6]\) intervallumon, amelyek alapján a görbe ábrázolható: \( (0; 11), (2; -1), (4; -5), (6; -1) \).

b) Az érintő meredekségét a függvény első deriváltja adja meg az érintési pontban. $$ y' = 2x - 8 $$ Helyettesítsük be a \( P(5; -4) \) pont \( x \) koordinátáját: $$ m = y'(5) = 2 \cdot 5 - 8 = 2 $$ Az érintő egyenletének felírása (\( y - y_0 = m(x - x_0) \)): $$ y - (-4) = 2(x - 5) $$ $$ y + 4 = 2x - 10 $$ $$ \mathbf{y = 2x - 14} $$

a) Alakítsuk teljes négyzetté a gyök alatti kifejezést: $$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $$ Mivel a négyzet minden valós \( x \) értékre nemnegatív, ezért a legbővebb részhalmaz a valós számok halmaza (\(\mathbb{R}\)).

b) A kifejezést átalakítva: $$ \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3| $$ A grafikon egy V alakú görbe (abszolútérték függvény eltolva 3 egységgel jobbra), amelynek csúcsa a \( (3; 0) \) pontban van. A \([-5; 8]\) intervallumon a kezdőpontja \( (-5; 8) \), végpontja \( (8; 5) \).

c) A felrajzolt (vagy elképzelt) grafikon alapján:
A: Hamis (Az értékkészlet a megadott intervallumon \([0; 8]\)).
B: Hamis (A minimumot az \( x = 3 \) helyen veszi fel).
C: Igaz (A \([4; 8]\) intervallum a csúcsponttól jobbra esik, ahol a függvény növekvő).

d) Az integrál számítása a határozatlan integrál (primitív függvény) felírásával és a Newton-Leibniz szabállyal történik. A legcélszerűbb az \( (x-3)^2 \) alakot integrálni: $$ \int_{-3}^{3} (x - 3)^2 \,dx = \left[ \frac{(x - 3)^3}{3} \right]_{-3}^{3} $$ $$ = \frac{(3 - 3)^3}{3} - \frac{(-3 - 3)^3}{3} = 0 - \frac{(-6)^3}{3} = 0 - \frac{-216}{3} = \mathbf{72} $$

a) A keresett szöget egy padlássíkra és tetősíkra egyaránt merőleges síkmetszeten vizsgálhatjuk (a gúla alapjának középvonala mentén vett metszet).
Ez a metszet egy egyenlő szárú háromszög, melynek alapja 6 méter, magassága 5 méter. A keresett \( \alpha \) szög a derékszögű féltriangulumból számítható (befogók: 3 m és 5 m): $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{3} \implies \alpha \approx \mathbf{59^\circ} $$

b) Az 1,9 méteres magasságnál a tetősíkok által bezárt négyzet (hasznos alapterület) meghatározásához használjuk a hasonló háromszögeket.
A teljes gúla magassága 5 m, alapjának "fél-szélessége" 3 m. Az 1,9 m magasságból levágott felső kis gúla magassága \( 5 - 1,9 = 3,1 \) m.
Legyen a hasznos alapterület fél-szélessége \( s \). A hasonlóság miatt: $$ \frac{s}{3} = \frac{3,1}{5} \implies s = \frac{9,3}{5} = 1,86\text{ m} $$ A teljes szélesség így \( 2s = 3,72 \) m. A hasznos alapterület: $$ T = (3,72)^2 \approx \mathbf{13,84\text{ m}^2} $$

c) A koszorú magassága \( x \). Ha a koszorú legalább 1,9 m (\( x \ge 1,9 \)), akkor a teljes \( 6 \times 6 \) méteres alapterület hasznosnak minősül, azaz \( T = 36\text{ m}^2 \). A lehetséges koszorúmagasság felső korlátja az 5 m-es csúcsmagasság.
Vizsgáljuk a \( 0 \le x < 1,9 \) esetet. Ekkor a szükséges hiányzó hasznos magasság a koszorú fölött \( 1,9 - x \).
A felső kis gúla (ami az egyenes falak vége felett kezdődik) teljes magassága \( 5 - x \). A hasznos rész feletti maradvány gúla magassága \( (5 - x) - (1,9 - x) = 3,1 \) m.
A hasznos terület fél-szélességét jelöljük \( y \)-nal. A hasonló háromszögeket felírva: $$ \frac{y}{3} = \frac{3,1}{5 - x} \implies y = \frac{9,3}{5 - x} $$ A négyzet oldala \( 2y = \frac{18,6}{5 - x} \). A terület függvény tehát: $$ T(x) = \begin{cases} \left( \frac{18,6}{5 - x} \right)^2, & \text{ha } 0 \le x < 1,9 \\ 36, & \text{ha } 1,9 \le x \le 5 \end{cases} $$

a) Az \( f(x) = 0 \) egyenletet kell megoldani:
$$ x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0 $$ Ebből a zérushelyek: \( x_1 = -\sqrt{3} \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = \sqrt{3} \). Mindhárom gyök eleme az értelmezési tartománynak, így mindegyik zérushely.

b) Az \( f \) differenciálható, a monotonitás vizsgálatához az első derivált előjelét elemezzük:
$$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$ Az első derivált nulla, ha \( 3x^2 - 3 = 0 \), azaz \( x = -1 \) vagy \( x = 1 \). Készítsünk táblázatot az előjelviszonyokról:

A függvény a \( [-2,5; -1] \) és az \( [1; 2,5] \) intervallumokon szigorúan monoton növekvő, a \( [-1; 1] \) intervallumon pedig szigorúan monoton csökkenő.

c) A függvény felveszi helyi szélsőértékeit az \( x = -1 \) és \( x = 1 \) helyeken (értékük 2 és -2).
A globális szélsőértékekhez meg kell vizsgálni az intervallum végpontjaiban felvett függvényértékeket is:
\( f(-2,5) = (-2,5)^3 - 3(-2,5) = -15,625 + 7,5 = -8,125 \)
\( f(2,5) = 2,5^3 - 3(2,5) = 15,625 - 7,5 = 8,125 \)
Összehasonlítva az értékeket, a legkisebb függvényérték \( -8,125 \), a legnagyobb függvényérték pedig \( 8,125 \).

a) Az abszolútérték miatt a függvényt két ágra bonthatjuk: $$ y = \begin{cases} x^2 - 2x - 3 & \text{ha } x \ge 0 \\ x^2 + 2x - 3 & \text{ha } x < 0 \end{cases} $$ A teljes négyzetté alakításokkal: $$ y = \begin{cases} (x - 1)^2 - 4 & \text{ha } x \ge 0 \\ (x + 1)^2 - 4 & \text{ha } x < 0 \end{cases} $$ A grafikon tehát az \( y = x^2 \) parabola különböző eltolásaiból áll össze (egyik irányba jobbra lefelé, másik irányba balra lefelé eltolva), a megfelelő félsíkokban ábrázolva.

b) Összetett függvényhez a 3 függvény közül 2-t kiválasztva (a sorrendre figyelve) összesen \( 3 \cdot 2 = 6 \) féle lehetséges függvény kapható. Egyet már ismerünk, a maradék öt:
1. \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x-3)^2 - 2(x-3) - 3 = x^2 - 6x + 9 - 2x + 6 - 3 = \mathbf{x^2 - 8x + 12} \)
2. \( (h \circ f)(x) = h(f(x)) = \mathbf{|x^2 - 2x - 3|} \)
3. \( (f \circ h)(x) = f(h(x)) = |x|^2 - 2|x| - 3 = \mathbf{x^2 - 2|x| - 3} \)
4. \( (g \circ h)(x) = g(h(x)) = \mathbf{|x| - 3} \)
5. \( (h \circ g)(x) = h(g(x)) = \mathbf{|x - 3|} \)

c) A kommutatív függvénykompozícióra egyszerű példa két eltolás. Legyen \( c \) nullától különböző állandó:
\( p(x) = x + c \)
\( t(x) = x - c \)
Ekkor:
\( (p \circ t)(x) = p(x - c) = (x - c) + c = x \)
\( (t \circ p)(x) = t(x + c) = (x + c) - c = x \)
Tehát ezen hozzárendelési szabályok megfelelőek. (Számtalan más megoldás is létezik, pl. \( p(x)=x \), \( t(x)=x^2 \)).

a) Teljes négyzetté alakítással a függvény hozzárendelési szabálya felírható: $$ f(x) = |(x - 3)^2 - 4| $$ A grafikon egy "W" alakú görbe a \( [0; 7] \) intervallumon, gyökhelyei (ahol az x tengelyt metszi) \( x = 1 \)-nél és \( x = 5 \)-nél vannak. A lokális maximuma a \( [1; 5] \) szakaszon \( x=3 \)-nál van, értéke 4. A határok helyettesítési értéke: \( f(0) = |0 - 0 + 5| = 5 \), \( f(7) = |49 - 42 + 5| = 12 \). (A vizsgán ezt megfelelően rajzolt grafikonon kellett ábrázolni.)

b) A függvény felveszi a 0-t (minimumérték), és a legnagyobb értékét az intervallum szélén éri el, ami 12. Így az értékkészlet: \( [0; 12] \).

c) A lehetséges megoldások száma a függvény grafikonjának (a lokális és abszolút szélsőértékeinek) az \( y = p \) vízszintes egyenessel vett metszéspontjainak számából olvasható le az adott intervallumon:
- Ha \( p < 0 \), akkor nincs megoldás.
- Ha \( p = 0 \), akkor 2 megoldás van (\( x=1 \) és \( x=5 \)).
- Ha \( 0 < p < 4 \), akkor 4 megoldás van.
- Ha \( p = 4 \), akkor 3 megoldás van.
- Ha \( 4 < p \le 5 \), akkor 2 megoldás van.
- Ha \( 5 < p \le 12 \), akkor 1 megoldás van.
- Ha \( p > 12 \), akkor nincs megoldás.

a) A függvény grafikonja egy "V" alakú törtvonal, amelynek töréspontja az \( (4; 3) \) koordinátánál található. Az intervallum végpontjaiban a felvett értékek: \( x = 0 \)-nál \( f(0) = 5 \), \( x = 6 \)-nál \( f(6) = 4 \).

b) A legkisebb felvett érték a töréspontban van (\( y = 3 \)), a legnagyobb érték pedig a \( 0 \) helyen (\( y = 5 \)).
Az értékkészlet: \( [3; 5] \).

c) A \( [0; 4] \) intervallumon a grafikont megforgatva egy csonkakúp keletkezik.
Az alapkörök sugara: \( R = f(0) = 5 \) és \( r = f(4) = 3 \).
A csonkakúp magassága az intervallum hossza: \( m = 4 \).
A csonkakúp alkotójának hossza Pitagorasz-tétellel számolható:
$$ a = \sqrt{m^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$ A felszín a két alaplap és a palást területének összege:
$$ A = R^2\pi + r^2\pi + (R + r)a\pi $$ $$ A = 25\pi + 9\pi + (5 + 3) \cdot 2\sqrt{5}\pi = 34\pi + 16\sqrt{5}\pi $$ $$ A = \mathbf{(34 + 16\sqrt{5})\pi \approx 219,2} $$