Érintő egyenlete

a) A gyöktényezős alakot felhasználva a függvény egyenlete $f(x) = a(x+3)(x-4)$ formában írható fel. Az $y$-tengelymetszet miatt $f(0) = 6$ teljesül:

$$ a(0+3)(0-4) = 6 \implies -12a = 6 \implies a = -0,5 $$

A parabola egyenlete felbontva tehát $\mathbf{f(x) = -0,5x^2 + 0,5x + 6}$.

b) Az érintési pont y-koordinátája $g(4) = 0,5 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 6 = -6$. Az érintési pont koordinátái tehát $E(4; -6)$.
Az érintő meredeksége megegyezik a függvény $x=4$ pontjában vett deriváltjával: $g'(x) = x - 2 \implies g'(4) = 2$.
Az érintő iránytényezős egyenlete:

$$ y - (-6) = 2(x - 4) \implies \mathbf{y = 2x - 14} $$

c) A síkidomot határoló görbék metszéspontjait az alábbi egyenlet megoldásával kapjuk:

$$ 0,5x^2 - 2x - 6 = -2x + 2 \implies 0,5x^2 = 8 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$

Mivel az egyenes a $[-4; 4]$ intervallumon a parabola felett halad, a területet a határozott integrál felírásával kapjuk meg:

$$ T = \int_{-4}^{4} ((-2x + 2) - (0,5x^2 - 2x - 6)) dx = \int_{-4}^{4} (8 - 0,5x^2) dx $$

A primitív függvény: $\left[8x - \frac{x^3}{6}\right]_{-4}^{4}$. Kiszámítva a határokat:

$$ \left(32 - \frac{64}{6}\right) - \left(-32 + \frac{64}{6}\right) = 64 - \frac{128}{6} = 64 - 21,33 = \mathbf{42,67} $$

A határolt síkidom területe $42,67$ területegység.

a) A medence tervrajzának x-tengely feletti része egy háromszög, amelynek csúcsa az \( y = x \) és az \( y = -2x + 2 \) egyenesek metszéspontja: \( x = -2x + 2 \implies x = \frac{2}{3} \), azaz a magassága \( y = \frac{2}{3} \).
A háromszög területe: \( T_1 = \frac{1 \cdot \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \).

Az x-tengely alatti görbe alatti terület nagysága az integrál mínusz egyszereséből adódik:

$$ T_2 = -\int_0^1 (x^3 - x) \,dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $$

A tervrajzon a medence teljes területe: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \) területegység.
Mivel 1 egység a valóságban 12 méter, 1 területegység \( 12^2 = 144\text{ m}^2 \).
A medence valóságos területe: \( \frac{7}{12} \cdot 144 = \) \( 84\text{ m}^2 \).

b) A függvény deriváltja: \( f'(x) = -3x^2 + k \).

Az \( x = 1 \) pontban az érintési pont koordinátái: \( (1; k - 1) \), a meredekség \( m_1 = k - 3 \).
Az érintő egyenlete: \( y = (k - 3)(x - 1) + k - 1 \implies y = kx - 3x + 2 \).

Az \( x = 2 \) pontban az érintési pont koordinátái: \( (2; 2k - 8) \), a meredekség \( m_2 = k - 12 \).
Az érintő egyenlete: \( y = (k - 12)(x - 2) + 2k - 8 \implies y = kx - 12x + 16 \).

A két egyenest egyenlővé téve a metszéspont x-koordinátájához:

$$ kx - 3x + 2 = kx - 12x + 16 $$

$$ 9x = 14 \implies \mathbf{x = \frac{14}{9}} $$

Ezzel az állítást igazoltuk, mivel az eredmény valóban független \( k \)-tól.

a) A kör sugara a \( C \) és \( P \) pontok távolsága: $$ r = |\vec{CP}| = \sqrt{(-3 - (-6))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$ A kör egyenlete a középponti egyenlet alapján: $$ \mathbf{(x + 6)^2 + (y + 2)^2 = 25} $$

b) Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra, ezért az érintő egy normálvektora a \( \vec{CP}(3; 4) \) vektor. Az érintő áthalad a \( P(-3; 2) \) ponton. Az egyenes egyenlete: $$ 3x + 4y = 3(-3) + 4(2) $$ $$ \mathbf{3x + 4y = -1} $$

c) A \( C \) és \( P \) pontokon áthaladó egyenes egy irányvektora \( \vec{CP}(3; 4) \), amiből a normálvektora \( \vec{n}(4; -3) \). Az egyenes egyenlete (a \( P \) pontot felhasználva): $$ 4x - 3y = 4(-3) - 3(2) \implies 4x - 3y = -18 $$ A tengelymetszetek meghatározása: Ha \( y = 0 \), akkor \( 4x = -18 \implies x = -4,5 \). Ha \( x = 0 \), akkor \( -3y = -18 \implies y = 6 \). A derékszögű háromszög befogóinak hossza tehát \( 4,5 \) és \( 6 \) egység. A Pitagorasz-tétel segítségével a háromszög átfogója: $$ c = \sqrt{4,5^2 + 6^2} = \sqrt{20,25 + 36} = \sqrt{56,25} = 7,5 $$ A derékszögű háromszög köré írható kör sugara az átfogó fele (Thalész-tétel megfordítása): $$ R = \frac{c}{2} = \frac{7,5}{2} = \mathbf{3,75 \text{ egység}} $$

a) A parabola egyenlete átrendezve: \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 8 \). Ennek tengelypontja \( (0; 8) \), paramétere \( p = 1 \) (a másodfokú tag együtthatója \( -\frac{1}{2p} \)). A "lefelé nyíló" parabola fókusza ezért a \( (0; 7,5) \) pont.
A kör egyenletéből közvetlenül kiolvasható, hogy a középpontja a \( C(0; 3) \) pont.

b) A pont behelyettesítésével mindkét egyenletbe:
Parabola: \( (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 \), igaz.
Kör: \( (2\sqrt{2})^2 + (4 - 3)^2 = 8 + 1 = 9 \), igaz. Tehát a pont közös.
A kör érintőjének normálvektora a \( \mathbf{n} = \overrightarrow{CQ} \) vektor: \( \overrightarrow{CQ}(2\sqrt{2} - 0; 4 - 3) = (2\sqrt{2}; 1) \).
Az érintő egyenlete: \( 2\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1 \cdot 4 = 12 \), amiből \( y = -2\sqrt{2}x + 12 \).
A parabola differenciálása: \( y'(x) = -x \). Az érintési pontban a meredekség: \( y'(2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} \).
A parabola érintőjének egyenlete a \( Q \) pontban: $$ y - 4 = -2\sqrt{2}(x - 2\sqrt{2}) \implies y = -2\sqrt{2}x + 8 + 4 = -2\sqrt{2}x + 12 $$ A két egyenes egyenlete megegyezik, tehát a két görbének közös az érintője a \( Q \) pontban.

c) A parabola zérushelyei az \( x \) tengelyen (\( y = 0 \)): \( -\frac{1}{2}x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 \).
A terület meghatározásához integrálunk a zérushelyek között: $$ T = \int_{-4}^{4} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 8 \right) dx = \left[ -\frac{1}{6}x^3 + 8x \right]_{-4}^{4} $$ A Newton-Leibniz szabályt alkalmazva: $$ T = \left( -\frac{64}{6} + 32 \right) - \left( \frac{64}{6} - 32 \right) = 64 - \frac{128}{6} = \frac{384 - 128}{6} = \frac{256}{6} = \mathbf{\frac{128}{3}} \approx 42,67 $$

a) Az adathalmaz rendezve: 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8.
Az átlag: \( \overline{x} = \frac{48}{8} = \mathbf{6} \).
A medián a két középső elem átlaga (6 és 7): \(\mathbf{6,5}\).
A szórás a definíció alapján: $$ \sigma = \sqrt{\frac{(3-6)^2 + (4-6)^2 + 2\cdot(6-6)^2 + 3\cdot(7-6)^2 + (8-6)^2}{8}} = \sqrt{\frac{9 + 4 + 0 + 3 + 4}{8}} = \sqrt{\frac{20}{8}} \approx \mathbf{1,58} $$

b) A parabola egyenlete \(y = ax^2 + bx + c\).
A görbe átmegy a \(P(0; 2)\) ponton, azaz a nullponti érték behelyettesítéséből következik, hogy \(c = 2\).
Az érintő meredeksége a derivált nullabeli értéke. Mivel a meredekségszög 45°, így \(m = \text{tg} 45^\circ = 1\). A deriváltfüggvény \(y' = 2ax + b\), ebből \(y'(0) = 1 \implies \mathbf{b = 1}\).
Tehát az egyenlet: \(y = ax^2 + x + 2\).
A görbe átmegy a \(Q(4,6; 3)\) ponton, behelyettesítve az \((x,y)\) értékeket: $$ 3 = a \cdot 4,6^2 + 4,6 + 2 \implies 21,16a = -3,6 \implies a \approx \mathbf{-0,17} $$ A keresett parabola egyenlete: \(y = -0,17x^2 + x + 2\).

c) A függvény inverzének tulajdonságait az ábráról leolvasható értékekből tudjuk levezetni, mivel a grafikon tükröződik az \(y = x\) egyenesre:

• Az inverzfüggvény értelmezési tartománya \(f\) értékkészlete, tehát: \([-2; 5]\).
• Értékkészlete megegyezik \(f\) értelmezési tartományával, azaz: \([-2; 3]\).
• Zérushelye ott van, ahol \(f\) az 1-et veszi fel az y-tengelyen (mert az eredeti f zérushelye \(y=1\) \(\implies\) az inverzben \(f^{-1}(1)=0\)). A grafikonból leolvasva a zérushely: \(x = 1\).
• Mivel az eredeti függvény szigorúan monoton növekedő, így inverze is szigorúan monoton növekedő.

a) Az $f'$ első derivált előjele a függvény menetét mutatja: monoton nővekvő esetén pozitív ($P$), csökkenő esetén negatív ($N$). Az $f''$ második derivált a görbületet mutatja: konkáv szakaszon (lefelé nyitott) negatív ($N$), konvex szakaszon (felfelé nyitott) pozitív ($P$). Az ábra gondos megvizsgálásával látható, hogy $x_2$ nem a maximumhely, hanem kicsivel a lokális maximum után van. A kitöltött táblázat:

hely	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$
$f'$ előjele	$P$	$N$	$N$	$0$	$P$
$f''$ előjele	$N$	$N$	$P$	$P$	$P$

b) Az érintő egyenes átrendezve: $y = 4x - k$, melynek meredeksége 4. A parabola egyenletének deriváltja: $$ f'(x) = -\frac{1}{4} \cdot 2(x-2) = -\frac{1}{2}x + 1 $$ Mivel az érintési pontban a derivált megegyezik a meredekséggel: $$ -\frac{1}{2}x + 1 = 4 \Rightarrow -\frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x = -6 $$ A behelyettesítési érték a parabolán: $$ y = -\frac{1}{4}(-6-2)^2 + 8 = -\frac{64}{4} + 8 = -16 + 8 = -8 $$ Az érintési pont koordinátái tehát: $(-6; -8)$.
Ezt visszahelyettesítve az érintő egyenletébe: $$ 4(-6) - (-8) = k \Rightarrow -24 + 8 = k \Rightarrow \mathbf{k = -16} $$

a) Az \( E \) pont koordinátáit a kör egyenletébe behelyettesítjük: $$ (-7)^2 + 5^2 + 4 \cdot (-7) - 16 \cdot 5 + 34 = 49 + 25 - 28 - 80 + 34 = 0 $$ Mivel az összeg nullát ad, a pont valóban rajta van a körön.

b) Teljes négyzetté alakítjuk a kör egyenletét, hogy megkapjuk a középpontját: $$ (x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 16y + 64) - 64 + 34 = 0 \implies (x + 2)^2 + (y - 8)^2 = 34 $$ A kör középpontja \( C(-2; 8) \). Az érintési pontba mutató \(\vec{CE}\) sugárvektor egyben az érintőegyenes normálvektora (\(\mathbf{n}\)) is lesz: $$ \mathbf{n} = \vec{CE} = (-7 - (-2); 5 - 8) = (-5; -3) $$ Ugyanez a \( (-1) \)-szeresével is felírható: \( \mathbf{n} = (5; 3) \). Az érintő egyenlete az \( E(-7; 5) \) ponton át: $$ 5x + 3y = 5(-7) + 3(5) \implies \mathbf{5x + 3y = -20} $$

c) Az \( y = mx \) (azaz \( mx - y = 0 \)) egyenesnek és a körnek pontosan akkor nincs közös pontja, ha a kör \( C(-2; 8) \) középpontjának távolsága az egyenestől szigorúan nagyobb a kör sugaránál (\( r = \sqrt{34} \)): $$ \frac{|-2m - 8|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} > \sqrt{34} $$ Mindkét oldalt négyzetre emelve (mivel nem negatívak) és a nevezővel szorozva: $$ \frac{4m^2 + 32m + 64}{m^2 + 1} > 34 \implies 4m^2 + 32m + 64 > 34m^2 + 34 $$ Rendezve és 2-vel osztva a másodfokú egyenlőtlenséget kapjuk: $$ 30m^2 - 32m - 30 < 0 \implies 15m^2 - 16m - 15 < 0 $$ A \( 15m^2 - 16m - 15 = 0 \) másodfokú egyenlet gyökei a megoldóképlettel: \( m_1 = \frac{5}{3} \) és \( m_2 = -\frac{3}{5} \). Mivel a főegyüttható pozitív és mi a nullánál kisebb részt keressük, a megoldáshalmaz a gyökök közti nyílt intervallum: $$ \mathbf{-\frac{3}{5} < m < \frac{5}{3}} \quad \text{azaz} \quad \mathbf{m \in \left] -\frac{3}{5}; \frac{5}{3} \right[} $$

a) Először meghatározzuk a függvény zérushelyeit: $$ x^2 - 12x + 27 = 0 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = 9 $$ A parabola az \( [3; 9] \) intervallumon az \( x \) tengely alatt halad, ezért a keresett terület a határozott integrál ellentettje: $$ T = -\int_{3}^{9} (x^2 - 12x + 27) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 6x^2 - 27x \right]_{3}^{9} $$ Helyettesítsük be a határokat: $$ T = \left( -\frac{729}{3} + 6 \cdot 81 - 27 \cdot 9 \right) - \left( -\frac{27}{3} + 6 \cdot 9 - 27 \cdot 3 \right) $$ $$ T = (-243 + 486 - 243) - (-9 + 54 - 81) = 0 - (-36) = \mathbf{36} $$ A bezárt terület nagysága 36 területegység.

b) Az érintő meredekségét a deriváltfüggvény adott pontbeli helyettesítési értéke adja meg: $$ f'(x) = 2x - 12 $$ $$ m = f'(5) = 2 \cdot 5 - 12 = -2 $$ Az egyenes egyenletének pont-meredekség alakjába behelyettesítve: $$ y - y_0 = m(x - x_0) \implies y - (-8) = -2(x - 5) $$ $$ y + 8 = -2x + 10 \implies \mathbf{y = -2x + 2} $$

c) Hozzuk a parabolát csúcsponti alakra teljes négyzetté alakítással: $$ f(x) = (x - 6)^2 - 36 + 27 = (x - 6)^2 - 9 $$ A parabola tengelypontja tehát \( T(6; -9) \).
Az \( y = \frac{1}{2p}(x - u)^2 + v \) alakból felírható, hogy a paraméterre \( 2p = 1 \implies p = 0,5 \).
A fókuszpont az \( y \) tengellyel párhuzamos szimmetriatengely mentén \( \frac{p}{2} \)-vel helyezkedik el a csúcspont felett: $$ F\left(6; -9 + \frac{0,5}{2}\right) = \mathbf{F(6; -8,75)} $$

a) Szorzattá alakítjuk a kifejezést: \( 3x^2 - x^3 = x^2 \cdot (3 - x) \).
Az \( x^2 \) tényező pozitív, mert \( x \neq 0 \).
A \( 3 - x \) tényező is pozitív, mert \( x < 3 \).
Így a két pozitív tényező szorzata is pozitív, tehát \( y > 0 \), ha \( x \in ]0; 3[ \).

b) A megadott görbe derivált függvénye: \( f'(x) = 6x - 3x^2 \).
A meredekség az \( x = 3 \) helyen: \( f'(3) = 6 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 = 18 - 27 = -9 \).
A pont koordinátái: \( f(3) = 3 \cdot 3^2 - 3^3 = 27 - 27 = 0 \), így a pont a \( (3; 0) \).
Az érintő egyenlete: \( y - 0 = -9 \cdot (x - 3) \), azaz: $$ \mathbf{y = -9x + 27} $$

c) A görbének az \( x = 0 \) és az \( x = 3 \) helyen van közös pontja az \( x \) tengellyel. Tudjuk, hogy ha \( x \in [0; 3] \), akkor \( y \ge 0 \), ezért a kérdezett terület a határozott integrállal számolható: $$ T = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3) dx $$ A Newton-Leibniz szabályt alkalmazva: $$ T = \left[ x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{3} = \left( 3^3 - \frac{3^4}{4} \right) - (0) = 27 - \frac{81}{4} = \mathbf{6,75} $$

a) A parabola egyenletének teljes négyzetté alakítása: $$ y = (x - 4)^2 - 5 $$ A függvény grafikonja egy felfelé nyíló parabola, melynek csúcspontja \( C(4; -5) \).
Néhány fontosabb pont a \([0; 6]\) intervallumon, amelyek alapján a görbe ábrázolható: \( (0; 11), (2; -1), (4; -5), (6; -1) \).

b) Az érintő meredekségét a függvény első deriváltja adja meg az érintési pontban. $$ y' = 2x - 8 $$ Helyettesítsük be a \( P(5; -4) \) pont \( x \) koordinátáját: $$ m = y'(5) = 2 \cdot 5 - 8 = 2 $$ Az érintő egyenletének felírása (\( y - y_0 = m(x - x_0) \)): $$ y - (-4) = 2(x - 5) $$ $$ y + 4 = 2x - 10 $$ $$ \mathbf{y = 2x - 14} $$