18. Tétel

Definíció: A vektor irányított szakasz, amelyet iránya és nagysága (hossza) egyértelműen meghatároz. Két vektort egyenlőnek tekintünk (szabad vektorok), ha azonos irányúak és egyenlő hosszúak. Jelölésük kisbetűvel és nyíllal ($\vec{a}, \vec{v}$), vagy kezdő- és végpontjukkal ($\vec{AB}$) történik. A vektor hosszát (abszolútértékét) $|\vec{v}|$ jelöli.

• Nullvektor: Olyan vektor, amelynek hossza $0$. Iránya tetszőleges (vagy határozatlan). Jelölése: $\vec{0}$.
• Egységvektor: Olyan vektor, amelynek hossza pontosan $1$ egység ($|\vec{e}| = 1$).
• Ellentett vektor: Az $\vec{a}$ vektor ellentettje az a $-\vec{a}$ vektor, amelynek hossza és állása megegyezik $\vec{a}$-val, de iránya ellentétes.

Vektorműveletek:

• Összeadás: Geometriailag a háromszögszabállyal (az első vektor végpontjába toljuk a második kezdőpontját) vagy a paralelogramma-módszerrel (közös kezdőpontból indítva a kifeszített paralelogramma átlója) végezzük. Tulajdonságai: kommutatív ($\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$) és asszociatív.
• Kivonás: Az $\vec{a} - \vec{b}$ különbség azt a vektort jelenti, amelyet $\vec{b}$-hez adva $\vec{a}$-t kapunk. Geometriailag közös kezdőpont esetén $\vec{b}$ végpontjából $\vec{a}$ végpontjába mutat. Kiszámítható úgy is, mint $\vec{a} + (-\vec{b})$.
• Skalárral való szorzás: Egy $\vec{a}$ vektor és egy $\lambda \in \mathbb{R}$ valós szám szorzata egy olyan vektor ($\lambda\vec{a}$), amelynek hossza $|\lambda| \cdot |\vec{a}|$. Ha $\lambda > 0$, iránya megegyezik $\vec{a}$ irányával; ha $\lambda < 0$, ellentétes azzal; ha $\lambda = 0$, az eredmény a nullvektor.

A vektorfelbontási tétel a lineáris algebra és a koordinátageometria egyik legfontosabb sarokköve, amely garantálja, hogy a vektorokat bázisvektorok lineáris kombinációjaként írhatjuk fel.

A tétel megfogalmazásához először tisztázzuk a kollineáris (egy egyenessel párhuzamos) vektorok fogalmát. Két vektor kollineáris, ha létezik olyan $\lambda$ valós szám, hogy $\vec{a} = \lambda\vec{b}$ (ahol $\vec{b} \neq \vec{0}$).

Megjegyzés: Térben a tétel kiterjeszthető három nem komplanáris (nem egy síkba eső) vektorra: $\vec{v} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}$.

Derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben rögzítünk két egymásra merőleges, origóból induló egységvektort. Az x-tengely irányú egységvektort $\vec{i}$-vel, az y-tengely irányút $\vec{j}$-vel jelöljük. A vektorfelbontási tétel értelmében bármely $\vec{v}$ síkbeli vektor felírható $\vec{v} = v_1\vec{i} + v_2\vec{j}$ alakban. A $(v_1; v_2)$ számpárt a vektor koordinátáinak nevezzük.

Műveletek koordinátákkal megadott vektorokkal ($\vec{a}(a_1; a_2)$ és $\vec{b}(b_1; b_2)$):

• Összeadás / Kivonás: Koordinátánként történik: $\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1; a_2 \pm b_2)$.
• Skalárral szorzás: Minden koordinátát megszorzunk: $\lambda\vec{a} = (\lambda a_1; \lambda a_2)$.
• Két pontot összekötő vektor: Ha adott $A(x_1; y_1)$ és $B(x_2; y_2)$, akkor az $\vec{AB}$ vektor koordinátái: $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
• Vektor abszolútértéke: A Pitagorasz-tétel alapján: $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$.

Vektor 90°-os elforgatottja:
Egy $\vec{v}(x; y)$ vektor síkbeli, origó körüli $90^\circ$-os (pozitív, azaz óramutató járásával ellentétes) elforgatottjának koordinátái $\vec{v}_{90^\circ}(-y; x)$. A negatív irányú (óramutató járásával megegyező) $-90^\circ$-os elforgatott koordinátái pedig $\vec{v}_{-90^\circ}(y; -x)$. Ennek ismerete elengedhetetlen a merőleges egyenesek egyenleteinek felírásához!

Két vektor szorzására többféle módszer létezik, ezek közül a skaláris szorzat eredménye egy szám (skalár). Számos geometriai (pl. szög kiszámítása, merőlegesség bizonyítása) és fizikai (pl. munka) alkalmazása van.

Definíció: Két vektor, $\vec{a}$ és $\vec{b}$ skaláris szorzatán abszolútértékeiknek és a közbezárt szögük kószinuszának szorzatát értjük.

Kiemelt tulajdonság: Két (nem nullvektor) vektor skaláris szorzata pontosan akkor $0$, ha a két vektor merőleges egymásra (mivel $\cos(90^\circ) = 0$).

Az emelt szintű szóbeli vizsgán a tétel zárásaként be kell mutatni a témakör történelmi hátterét, illetve matematikán kívüli vagy belüli alkalmazásait.

Matematikatörténet:

• A modern vektorjelölések és vektoranalízis alapjait függetlenül egymástól fektette le az amerikai Josiah Willard Gibbs és az angol Oliver Heaviside a 19. század végén.
• Gibbs vezette be a $\cdot$ (pont) szimbólumot a skaláris szorzatra, és a $\times$ (kereszt) szimbólumot a vektoriális szorzatra, megreformálva ezzel William Rowan Hamilton korábbi kvaternió-elméletét, amelyet a fizikusok túl bonyolultnak tartottak.

Fizikai Alkalmazás: A mechanikai munka

• A klasszikus mechanikában az állandó $\vec{F}$ erő által egyenes vonalú elmozdulás ($\vec{s}$) során végzett munka ($W$) a két vektor skaláris szorzataként számítható ki: $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$. Ebből fizikailag is logikus, hogy ha az erő merőleges az elmozdulásra (pl. centripetális erő egyenletes körmozgásnál), akkor nem végez munkát ($W = 0$).

Matematikai Alkalmazás: Geometriai tételek

• A skaláris szorzat fogalmával rendkívül elegánsan bizonyítható a Cosinus-tétel. Egy tetszőleges háromszögben a $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ vektorösszefüggést önmagával skalárisan megszorozva (négyzetre emelve): $\vec{c}^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}^2$. Áttérve a skaláris szorzat abszolútértékes alakjára, rögtön megkapjuk a $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ formulát.