10. Tétel

Mértani sorozat, az első n tag összege, végtelen mértani sor. Kamatszámítás, gyűjtőjáradék, törlesztőrészlet. Exponenciális folyamatok a társadalomban és a természetben.

Teljes kidolgozás az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgájára. A tétel áttekinti a mértani sorozat analitikus tulajdonságait, bemutatja az összegképlet elvárt bizonyítását, és részletezi a pénzügyi, illetve természettudományos gyakorlati alkalmazásokat.

A mértani sorozat fogalma és általános tagja

Definíció: Egy számsorozatot mértani sorozatnak nevezünk, ha (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandót a sorozat hányadosának (kvóciensének) nevezzük, és általában $q$-val jelöljük.

Képlettel megfogalmazva a rekurzív megadást: $a_{n+1} = a_n \cdot q$, ahol $n \in \mathbb{Z}^+$. (Feltételezzük, hogy $a_1 \neq 0$ és $q \neq 0$).

Az $n$-edik tag (általános tag) képlete:

Mivel minden lépésben $q$-val szorzunk, az első tagtól indulva az $n$-edik tagig pontosan $(n-1)$-szer szorzunk $q$-val. Így az $n$-edik tag felírható az első tag ($a_1$) és a kvóciens ($q$) segítségével:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

Tulajdonságok:

  • A sorozat elnevezése onnan ered, hogy ha $q > 0$, akkor a sorozat bármely tagja (a szélsőket kivéve) a két szomszédos tagjának mértani közepe: $|a_n| = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$.
  • Ha $q > 1$ és $a_1 > 0$, a sorozat szigorúan monoton nő.
  • Ha $0 < q < 1$ és $a_1 > 0$, a sorozat szigorúan monoton csökken.
  • Ha $q < 0$, a sorozat váltakozó előjelű (alternáló), így nem monoton.

Az első $n$ tag összege és bizonyítása

A szóbeli vizsgán az egyik leggyakrabban számonkért tétel a mértani sorozat összegképletének levezetése.

Tétel: A mértani sorozat első $n$ tagjának összege

Egy $a_1$ első tagú, $q$ kvóciensű mértani sorozat első $n$ tagjának összege ($S_n$):

Ha $q = 1$, akkor: $S_n = n \cdot a_1$

Ha $q \neq 1$, akkor: $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Bizonyítás:

Írjuk fel az első $n$ tag összegét az általános tag képletét felhasználva:

$$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ... + a_1q^{n-2} + a_1q^{n-1}$$

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a $q$ kvócienssel:

$$q \cdot S_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^{n-1} + a_1q^n$$

Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt ($q \cdot S_n - S_n$):

Észrevehetjük, hogy a jobb oldalon szinte minden tag kiesik ("teleszkopikus" összeg), csak az $a_1q^n$ és az $a_1$ marad meg:

$$q \cdot S_n - S_n = a_1q^n - a_1$$

Emeljük ki a bal oldalon $S_n$-t, a jobb oldalon pedig $a_1$-et:

$$S_n(q - 1) = a_1(q^n - 1)$$

Mivel feltételeztük, hogy $q \neq 1$, így $q - 1 \neq 0$, ezért biztonságosan oszthatunk vele:

$$S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

A végtelen mértani sor

Ha egy számsorozat tagjait a végtelenségig összeadjuk, végtelen sornak nevezzük. Egy végtelen mértani sor konvergens (azaz van véges határértéke az összegnek), ha a kvóciens abszolút értéke kisebb, mint 1.

Tétel: Ha $|q| < 1$, akkor a végtelen mértani sor összege:

$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

A képlet levezetése (Határérték-számítással):

A végtelen sor összege az $S_n$ részletösszegek sorozatának határértéke, midőn $n \to \infty$.

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} = \lim_{n \to \infty} a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Mivel $|q| < 1$, a $q^n$ kifejezés határértéke nulla lesz, ha $n$ tart a végtelenbe ($\lim_{n \to \infty} q^n = 0$). Behelyettesítve:

$$S = a_1 \frac{1 - 0}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q}$$

Ezt az összefüggést használjuk például a végtelen szakaszos tizedestörtek közönséges törtté alakításánál is (pl. $0,333...$ felírása $\frac{1}{3}$-ként).

Pénzügyi matematika: Kamat, járadék és törlesztés

A mértani sorozat legfontosabb mindennapi alkalmazásai a pénzügyi folyamatok modellezésében találhatók. Ezek a modellek az időérték (pénz időértéke) elvén alapulnak.

  • Kamatos kamat: Ha egy $T_0$ tőkét évi $p\%$ kamatra kötünk le, akkor $n$ év elteltével a felnövekedett tőke ($T_n$) egy mértani sorozat $n$-edik tagjaként számolható, ahol a kvóciens $q = 1 + \frac{p}{100}$. $$T_n = T_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$
  • Gyűjtőjáradék: Rendszeres, azonos időközönként elhelyezett azonos nagyságú befizetések (járadéktagok, $a$) felnövekedett értéke. Mivel az első befizetés $n$ ideig, a második $n-1$ ideig kamatozik, a végső összeg egy mértani sorozat összege lesz. Év eleji befizetések esetén a felgyűlt összeg: $$S_n = a \cdot q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$
  • Törlesztőrészlet (Annuitás): Hitelfelvétel esetén a felvett $H$ hitelösszeget egyenlő $r$ részletekben fizetjük vissza. A bank által folyósított hitel mai (jelenlegi) értékének meg kell egyeznie a jövőbeli törlesztőrészletek együttes jelenértékével. A törlesztőrészlet ($r$) kiszámítása szintén mértani sor összegképletére vezethető vissza: $$H \cdot q^n = r \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \implies r = H \cdot \frac{q^n(q - 1)}{q^n - 1}$$

Exponenciális folyamatok a társadalomban és a természetben

Az emelt szintű vizsgán kiemelt jelentőségű a témakör gyakorlati és természettudományos vonatkozásainak ismerete, amelyek alapvetően a mértani sorozat folytonos megfelelőire, az exponenciális függvényekre épülnek.

A természetben:

  • Populációdinamika: Korlátozatlan erőforrások esetén élőlények (pl. baktériumok, vírusok, vagy épp kártevők) szaporodása exponenciális növekedést mutat. $N(t) = N_0 \cdot a^t$, ahol $a > 1$.
  • Radioaktív bomlás: Bizonyos izotópok bomlása exponenciális csökkenéssel írható le. A felezési idő ($T_{1/2}$) az az időtartam, amely alatt a kiindulási anyagmennyiség a felére csökken. Képlete: $m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$.
  • Fényelnyelés: Folyadékon vagy atmoszférán áthaladó fény intenzitásának csökkenése a rétegvastagság függvényében exponenciális (Lambert-Beer törvény).

A társadalomban és a technológiában:

  • A Moore-törvény: Az integrált áramkörökben (mikrochipekben) található tranzisztorok száma megközelítőleg 18-24 havonta megduplázódik, ami egy klasszikus $q=2$ kvóciensű mértani progressziót modellez.
  • Infláció: Pénzromlás esetén egy adott termékcsoport árszínvonalának növekedése kamatos kamat jellegű, exponenciális modellt követ.
  • Epidemiológia: Járványok kezdeti szakaszában a fertőzöttek száma exponenciálisan növekszik, amíg a társadalmi immunitás vagy a védekezési intézkedések le nem lassítják a folyamatot (logisztikus görbébe való átmenet).