17. Tétel

A kör és részei. Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszögek, érintőnégyszögek.[cite: 203]

Részletes, emelt szintű kidolgozás az emelt matematika érettségi szóbeli vizsgájára. A tétel áttekinti a kör geometriai alaptulajdonságait, a látószögívek elméletét, valamint a kerületi szögek tételét, a húr- és érintőnégyszögek bizonyításait is.[cite: 203, 64, 65]

A kör és részei, érintők tulajdonságai

Alapfogalmak: Adott ponttól (középponttól) a síkban egyenlő, adott $r > 0$ távolságra lévő pontok halmazát körvonalnak nevezzük. A kört és a belső pontjait együttesen körlapnak hívjuk.[cite: 65, 183]

  • Húr: A körvonal két pontját összekötő szakasz. A leghosszabb húr az átmérő ($d = 2r$), amely átmegy a középponton.
  • Szelő: Olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körvonallal.
  • Érintő: Olyan egyenes, amelynek pontosan egy közös pontja van a körvonallal (az érintési pont).[cite: 65]
  • Körív és Körcikk: Két pont a körvonalat két körívre bontja. A két sugár és az általuk közbezárt körív által határolt síkidom a körcikk.
Tétel: A kör érintője és az érintőszakaszok[cite: 65]

1. Állítás: A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra.[cite: 65]

2. Állítás: Egy külső $P$ pontból a körhöz húzott két érintőszakasz hossza egyenlő ($PA = PB$).[cite: 65]

Bizonyítás (2. állítás): Legyen a kör középpontja $O$, az érintési pontok $A$ és $B$. Tekintsük a $PAO$ és $PBO$ derékszögű háromszögeket (az 1. állítás miatt az $A$ és $B$ csúcsoknál derékszög van). Ezekben a háromszögekben az átfogó ($PO$) közös, és az egyik befogó a kör sugara ($OA = OB = r$). A derékszögű háromszögek egybevágóságának alapesete (átfogó és egy befogó egyenlő) miatt $\triangle PAO \cong \triangle PBO$. Ebből következik, hogy a megfelelő oldalak, így az érintőszakaszok is egyenlőek: $PA = PB$. Q.E.D.[cite: 65, 168]

Kerületi és középponti szögek, Látószög

Definíciók: Középponti szög: Olyan szög, melynek csúcsa a kör középpontja, szárai pedig a kör sugarait tartalmazzák. Kerületi szög: Olyan szög, melynek csúcsa a körvonalon van, és a szárai a kör húrjait vagy egy húrját és egy érintőjét tartalmazzák.[cite: 65, 203]

Tétel: A kerületi és középponti szögek tétele[cite: 65]

Állítás: Egy adott körívhez tartozó kerületi szög nagysága fele a megegyező ívhez tartozó középponti szög nagyságának: $\alpha = \frac{\omega}{2}$.[cite: 65]

Bizonyítás: A tételt három esetre bontva bizonyítjuk (a középpont helyzete a kerületi szög szögtartományához viszonyítva):

  1. A kör középpontja a szög egyik szárára esik: Legyen a kerületi szög csúcsa $C$, a középpont $O$, a másik szög szára az $A$ pontban metszi a kört. Az $OAC$ háromszög egyenlő szárú ($OA = OC = r$), így alapon fekvő szögei egyenlőek: $\angle OAC = \angle OCA = \alpha$. A háromszög külső szöge az $O$ csúcsnál éppen a keresett $\omega$ középponti szög. A külső szög egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, így $\omega = 2\alpha$. Ezzel ezt az esetet igazoltuk.
  2. A középpont a szög tartományába esik: Húzzuk be a $C$ csúcsból az átmérőt. Ez az átmérő a kerületi és a középponti szöget is két-két olyan részre osztja, amelyekre az 1. eset alkalmazható ($\alpha_1 = \omega_1 / 2$ és $\alpha_2 = \omega_2 / 2$). Ezeket összeadva: $\alpha_1 + \alpha_2 = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$, azaz $\alpha = \frac{\omega}{2}$.
  3. A középpont a szög tartományán kívül esik: Ismét a $C$-ből húzott átmérővel osztunk, de most különbségként írjuk fel az eredeti szöget, és az 1. eset eredményeit kivonjuk egymásból. Q.E.D.[cite: 168]

Látószögív: Azon pontok halmaza (mértani helye) a síkban, amelyekből egy adott $AB$ szakasz adott $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) szög alatt látszik, két szimmetrikus körívből áll (a szakasz végpontjai nélkül). Ezt a kerületi szögek tétele biztosítja.[cite: 65, 203]

Ennek speciális esete a Thalész-tétel ($\alpha = 90^\circ$): Ha az $AB$ szakasz egy kör átmérője, akkor a körvonal bármely ($A$-tól és $B$-től különböző) pontjából az $AB$ szakasz derékszög alatt látszik. Megfordítása: A sík azon pontjainak halmaza, amelyekből egy adott szakasz derékszögben látszik, a szakasz fölé mint átmérő fölé írt körvonal.[cite: 65]

Húrnégyszögek és érintőnégyszögek

Húrnégyszög: Olyan négyszög, amelynek minden csúcsa egy körvonalon helyezkedik el. Ekkor a négyszög oldalai a kör húrjai.[cite: 64, 203]

A B C D
A húrnégyszögek tétele és megfordítása[cite: 64]

Tétel: Bármely húrnégyszög két-két szemközti szögének összege $180^\circ$.[cite: 64]

Bizonyítás: Legyen az $ABCD$ húrnégyszög köré írt körének középpontja $O$. A $B$ és $D$ csúcsokat kössük össze az $O$-val. Ezek a sugarak a teljesszöget két középponti szögre, $\omega_1$-re és $\omega_2$-re bontják, melyek összege $360^\circ$. A kerületi és középponti szögek tétele alapján az $\alpha$ (az $A$-nál lévő szög) az $\omega_1$ fele, a $\gamma$ (a $C$-nél lévő szög) pedig az $\omega_2$ fele. Ezért $\alpha + \gamma = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$. Q.E.D.[cite: 168]

Megfordítás: Ha egy négyszög két szemközti szögének összege $180^\circ$, akkor a négyszög húrnégyszög (a csúcsai egy körön vannak). Ezt indirekt módon lehet igazolni.[cite: 64]

Érintőnégyszög: Olyan négyszög, amelybe kör írható, azaz a négyszög minden oldala érinti a beírt kört.[cite: 64, 203]

Az érintőnégyszögek tétele[cite: 64]

Tétel: Bármely érintőnégyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő ($a + c = b + d$).[cite: 64]

Bizonyítás: Jelöljük a négyszög csúcsait $A, B, C, D$-vel, az érintési pontokat rendre $E, F, G, H$-val. A külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlőségének tételéből következik, hogy az egy csúcsból induló érintőszakaszok hossza megegyezik: $AE = AH = x$, $BE = BF = y$, $CF = CG = z$, és $DG = DH = w$.
Rakjuk össze a szemközti oldalakat:
$AB + CD = (x + y) + (z + w)$
$BC + DA = (y + z) + (w + x)$
Látható, hogy mindkét összeg az $x+y+z+w$ értékkel egyenlő. Q.E.D.[cite: 168]

Alkalmazások és Matematikatörténet

Az emelt szóbeli elvárja a geometria gyakorlati életben vagy a tudománytörténetben betöltött szerepének bemutatását.[cite: 170, 250]

Matematikatörténet:

  • Eratoszthenész (i. e. 3. század): A kerületi és középponti szögek tételét, illetve a párhuzamos szelőkön keletkező szögek tulajdonságait felhasználva kiszámította a Föld kerületét. Megmérte a napsugarak beesési szögét Alexandriában, amikor azok Szüénében éppen merőlegesek voltak a felszínre. Ebből a Föld középponti szögére következtetett, és aránypárral megkapta a kerületet.
  • Thalész (i. e. 6. század): Nem csak a róla elnevezett tételt ismerte, de a hagyomány szerint a gízai piramisok magasságát is meg tudta mérni árnyékuk és egy bot árnyékának arányosságából (hasonló háromszögekkel, ami szorosan kötődik a szögekhez).

Gyakorlati alkalmazások:

  • Navigáció és tengerészet (Veszélyes szögek): Ha a tengerészek egy egyenes partszakaszt (pl. két világítótornyot) bizonyos látószög alatt látnak, akkor tudják, hogy egy adott köríven helyezkednek el. Ha a tengerfenéken egy zátony van, egy "veszélyes látószög" definiálásával tudják, hogy mikor metszik a zátonyt tartalmazó körívet, így elkerülhetik azt.
  • Műszaki tervezés, fogaskerekek: A körök érintőinek (pl. szíjhajtás két tárcsa között) hosszának kiszámítása kritikus a gépészetben. Az érintőszakaszok tétele adja meg a szíjak és láncok precíz tervezésének alapját.