20. A kör és a parabola elemi úton és a koordinátasíkon

A kör és a parabola elemi úton

Mielőtt a koordináta-rendszer eszköztárát használnánk, fontos ezen alakzatok mértani helyként történő, pusztán távolságokra épülő szintetikus definíciója.

A kör definíciója: A sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott $O$ pontjától (középpont) egy adott $r > 0$ távolságra (sugár) vannak.
A parabola definíciója: A sík azon pontjainak halmaza, amelyek a sík egy adott $F$ pontjától (fókuszpont vagy gyújtópont) és egy $F$-en át nem haladó $v$ egyenestől (vezéregyenes vagy direktrix) egyenlő távolságra vannak.

A parabola esetén bevezetünk néhány fontos elemi fogalmat is:

Tengely: A fókuszponton átmenő, a vezéregyenesre merőleges egyenes, amely a parabola szimmetriatengelye.
Tengelypont (csúcspont): A parabola és a tengely metszéspontja. Ez a pont felezi a fókuszpont és a vezéregyenes távolságát.
Paraméter ($p$): A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága ($p > 0$).

A kör egyenlete a koordinátasíkon

A koordinátageometria alapelve, hogy a geometriai alakzatok pontjainak koordinátái közötti algebrai összefüggéseket (egyenleteket) keresünk.

Tétel és Bizonyítás: Adott középpontú és sugarú kör egyenlete

Tétel: A $C(u; v)$ középpontú, $r > 0$ sugarú kör egyenlete: $$(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2$$

Bizonyítás: Vegyünk egy tetszőleges $P(x; y)$ pontot a síkon. A kör elemi definíciója szerint a $P$ pont pontosan akkor van rajta a körön, ha a $C$ középponttól mért távolsága éppen $r$, azaz $PC = r$.

Két pont távolságára vonatkozó összefüggés (amely a Pitagorasz-tétel közvetlen következménye) alapján:

$$\sqrt{(x - u)^2 + (y - v)^2} = r$$

Mivel mindkét oldal nemnegatív, négyzetre emelve kapjuk a kör egyenletét:

$$(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2$$

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

Az egyenletet kibontva az $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ alakot kapjuk. Fontos megjegyezni, hogy nem minden ilyen alakú kétismeretlenes másodfokú egyenlet ír le kört (csak ha teljes négyzetté alakítás után a jobb oldalon álló állandó, azaz az $r^2$ szigorúan pozitív).

A parabola egyenlete a koordinátasíkon

Az emelt szintű érettségin leggyakrabban az y-tengellyel párhuzamos tengelyű, origó csúcspontú parabolákat vizsgáljuk.

Tétel és Bizonyítás: A parabola egyenletének levezetése

Tétel: Az origó tengelypontú, y-tengely szimmetriatengelyű, felfelé nyíló parabola egyenlete: $$x^2 = 2py \quad \left( \text{azaz } y = \frac{1}{2p}x^2 \right)$$ ahol $p$ a parabola paramétere.

Bizonyítás: Helyezzük el a koordináta-rendszert úgy, hogy a parabola tengelypontja az origó $O(0; 0)$ legyen, szimmetriatengelye pedig az y-tengely. Mivel a fókuszpont és a vezéregyenes távolsága $p$, és az origó felezi ezt a távolságot, a fókuszpont koordinátái $F\left(0; \frac{p}{2}\right)$, a vezéregyenes ($v$) egyenlete pedig $y = -\frac{p}{2}$.

Legyen $P(x; y)$ a parabola egy tetszőleges pontja. A definíció szerint a $P$ távolsága az $F$ fókusztól megegyezik a $v$ egyenestől mért távolságával.

A $P$ és $F$ pontok távolsága: $$d(P, F) = \sqrt{x^2 + \left(y - \frac{p}{2}\right)^2}$$

A $P$ pont és a $v$ egyenes távolsága (az egyenes vízszintes lévén az y koordináták különbsége adja): $$d(P, v) = \left| y - \left(-\frac{p}{2}\right) \right| = \left| y + \frac{p}{2} \right|$$

Tegyük egyenlővé a két távolságot, majd emeljük mindkét oldalt négyzetre (mivel mindkét oldal nemnegatív, ez ekvivalens átalakítás):

$$x^2 + \left(y - \frac{p}{2}\right)^2 = \left(y + \frac{p}{2}\right)^2$$

A binomiális tételeket kifejtve:

$$x^2 + y^2 - py + \frac{p^2}{4} = y^2 + py + \frac{p^2}{4}$$

Egyszerűsítve az egyenletet ($y^2$ és $\frac{p^2}{4}$ kiesik):

$$x^2 = 2py$$

Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Q.E.D.

Kör/Parabola és egyenes kölcsönös helyzete

Egyenes és másodrendű görbe (kör vagy parabola) közös pontjainak meghatározása analitikus geometriai úton egy egyenletrendszer megoldását jelenti. Az egyenes egyenlete elsőfokú (pl. $y = mx + b$), a görbe egyenlete másodfokú.

A megoldás menete:

Kifejezzük az egyik változót (pl. $y$-t) az egyenes elsőfokú egyenletéből.
Behelyettesítjük ezt a másodrendű görbe egyenletébe.
Egy egyismeretlenes másodfokú egyenletet kapunk: $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa ($\Delta = B^2 - 4AC$) egyértelműen meghatározza a geometriai viszonyt:

$\Delta > 0$ (Két valós gyök): Az egyenes szelő, két distinct metszéspont van.
$\Delta = 0$ (Egy valós gyök): Az egyenes érintő, pontosan egy közös pontjuk van (az érintési pont). Kör esetében az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre.
$\Delta < 0$ (Nincs valós gyök): Az egyenes elkerüli a görbét, nincs közös pontjuk.

Megjegyzés parabolánál: Ha az egyenes egyenletéből kifejezett behelyettesítés után a másodfokú tag együtthatója nullává válik ($A = 0$), akkor lineáris egyenletet kapunk egyetlen megoldással. Geometriailag ez azt jelenti, hogy az egyenes párhuzamos a parabola szimmetriatengelyével. Bár csak egy közös pont van, ez az egyenes nem érintő, hanem szelő.

Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Az $ax^2 + bx + c > 0$ (vagy $\ge, <, \le$) alakú egyenlőtlenségek megoldásának legszemléletesebb módja a grafikus módszer, mely közvetlenül támaszkodik a parabola tulajdonságaira.

A grafikus megoldás algoritmusa:

A másodfokú kifejezést egy függvényként fogjuk fel: $f(x) = ax^2 + bx + c$. Képzeletben (vagy vázlaton) ábrázoljuk a grafikonját, amely egy parabola.
Megvizsgáljuk a főegyütthatót ($a$):
- Ha $a > 0$, a parabola "felfelé nyitott" ($\cup$ alakú), azaz minimuma van.
- Ha $a < 0$, a parabola "lefelé nyitott" ($\cap$ alakú), azaz maximuma van.
Megkeressük a zérushelyeket a hozzárendelt $ax^2 + bx + c = 0$ egyenlet megoldásával (megoldóképlet). A gyökök száma ($x_1, x_2$) adja meg, hányszor metszi a parabola az x-tengelyt.
A zérushelyek és a parabola állása alapján leolvassuk az intervallumot.
Példa: Ha egy $\cup$ állású parabolánál az a kérdés, hol van az x-tengely alatt (azaz $< 0$), akkor a megoldás a két gyök közötti nyílt intervallum lesz: $x \in ]x_1; x_2[$.

Ez a módszer sokkal biztosabb és kevesebb algebrai hibalehetőséget rejt, mint a szorzattá alakítás utáni esetszétválasztás (bár utóbbi is egyenértékűen elfogadott az érettségin).

Alkalmazások és Matematikatörténet

Az emelt szintű szóbeli vizsgán többletpontokat hoz a téma történelmi beágyazása és valós életbeli alkalmazásainak ismerete.

Matematikatörténet:

A kört és a parabolát (az ellipszissel és hiperbolával együtt) már az ókori görögök is ismerték. Pergai Apollóniosz (i.e. 3. század) monumentális műve, a Kónika (Kúpszeletek) tárgyalta először őket szisztematikusan, mint egyenes körkúp síkkal való metszeteit. Maga a parabola elnevezés is tőle származik (jelentése: "mellévetés", arra utalva, hogy az egyik terület megegyezik a másikkal).
A koordinátageometria (analitikus geometria) alapjait a 17. században vetette meg René Descartes és Pierre de Fermat. Ők mutatták meg, hogy az ókori görögök bonyolult mértani alakzatai felírhatók egyszerű algebrai egyenletekkel.

Gyakorlati alkalmazások:

Parabola és a fókuszálás (Fizika): A parabola egyik legfontosabb optikai/geometriai tulajdonsága, hogy a tengellyel párhuzamosan érkező fénysugarak (vagy rádióhullámok) visszaverődés után egyetlen pontban, a fókuszpontban gyűlnek össze. Ez az elve a parabolaantennáknak (műholdas vevők) és a naperőművek tükreinek. Fordítva is igaz: a fókuszpontba helyezett fényforrás (pl. autó fényszórójának izzója) sugarai a parabola alakú tükörről párhuzamos nyalábban verődnek vissza.
A kör és a GPS: A globális helymeghatározó rendszerek (GPS) 2D-s leegyszerűsített modellje körök metszéspontjain alapul (trilateráció). Ha tudjuk a távolságunkat három ismert helyzetű műholdtól, akkor fel tudunk írni három kör egyenletét; ezek közös metszéspontja adja meg a mi pontos helyzetünket a koordinátasíkon.
Ballisztika: Ahogy Galileo Galilei megmutatta, a légellenállás nélkül elhajított testek (ferde hajítás) pályája parabola.