22. Tétel

Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával[cite: 209]

Részletes és szigorú kidolgozás az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgájára. A tétel átfogja a síkidomok elemi geometriai területszámítását (beleértve a bizonyításokat), a kör részeinek területét, valamint az integrálszámítás geometriai alkalmazásait és a Newton-Leibniz-tételt.

Háromszögek területszámítása

A terület a síkidomokhoz rendelt nemnegatív valós szám, amely invariáns az egybevágósági transzformációkra, és diszjunkt (vagy legfeljebb határvonalukban érintkező) síkidomok egyesítésének területe az egyes területek összege.[cite: 67] A területszámítás alapja az egységnégyzet területe ($T=1$).

A háromszög területének kiszámítására számos összefüggés létezik, attól függően, hogy milyen adatok állnak rendelkezésre:[cite: 67]

  • Alap és magasság: $T = \frac{a \cdot m_a}{2} = \frac{b \cdot m_b}{2} = \frac{c \cdot m_c}{2}$
  • Két oldal és a közbezárt szög (Trigonometrikus területképlet): $T = \frac{a \cdot b \cdot \sin \gamma}{2}$
  • Hérón-képlet (három oldal ismeretében): $T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, ahol $s = \frac{a+b+c}{2}$ a félkerület.
  • Körülírt kör sugarával ($R$): $T = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}$
  • Beírt kör sugarával ($r$): $T = r \cdot s$
Tétel: A háromszög területe a beírt kör sugarával ($T = r \cdot s$)[cite: 67]

Állítás: Bármely háromszög területe egyenlő a beírt kör sugarának ($r$) és a háromszög félkerületének ($s$) szorzatával.

Bizonyítás: Legyen a háromszög három csúcsa $A, B, C$, a beírt kör középpontja $O$. Kössük össze az $O$ pontot a csúcsokkal! Ezzel az eredeti háromszöget három kisebb háromszögre bontottuk: $ABO$, $BCO$ és $CAO$ háromszögekre.

A beírt kör sugara az érintési pontokba húzva merőleges az oldalakra, így a három kis háromszög alapjaihoz ($c, a, b$) tartozó magasság egyaránt $r$. A nagy háromszög területe ezen háromszögek területeinek összege:

$$T = T_{ABO} + T_{BCO} + T_{CAO}$$ $$T = \frac{c \cdot r}{2} + \frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2}$$

Kiemelve az $\frac{r}{2}$-t kapjuk:

$$T = r \cdot \frac{a + b + c}{2}$$

Mivel $\frac{a+b+c}{2} = s$ (a félkerület), így adódik, hogy $T = r \cdot s$. Q.E.D.[cite: 67]

Négyszögek és sokszögek területe

A négyszögek területe a háromszögekre bontás elvéből származtatható.[cite: 67]

  • Paralelogramma: $T = a \cdot m_a = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. (Két egybevágó háromszögre bontható az átlója mentén).
  • Trapéz: $T = \frac{a+c}{2} \cdot m$, ahol $a$ és $c$ a párhuzamos oldalak, $m$ a magasság. (A középvonal szorozva a magassággal).
  • Merőleges átlójú négyszögek (pl. deltoid, rombusz, négyzet): $T = \frac{e \cdot f}{2}$, ahol $e$ és $f$ az átlók hossza.

Szabályos sokszögek:

Egy szabályos $n$-szög $n$ darab egybevágó egyenlő szárú háromszögre bontható a körülírt körének középpontjából. A középponti szög $\alpha = \frac{360^{\circ}}{n}$. Ha a körülírt kör sugara $R$, akkor egy háromszög területe $\frac{1}{2} R^2 \sin\left(\frac{360^{\circ}}{n}\right)$, a teljes sokszögé pedig: $$T_n = n \cdot \frac{1}{2} R^2 \sin\left(\frac{360^{\circ}}{n}\right)$$[cite: 67]

A kör, körcikk és körszelet területe

A kör területét a szabályos sokszögek területének határértékeként kaphatjuk meg, ha az oldalszám tart a végtelenbe.[cite: 67]

  • A kör területe: $T = r^2 \pi$
  • A körcikk területe: A terület arányos a középponti szöggel. Ha a középponti szög fokban $\alpha$, akkor $T = \frac{r^2 \pi \alpha}{360^{\circ}}$. Ha radiánban adjuk meg ($\theta$), akkor $T = \frac{1}{2} r^2 \theta$. A körív hossza ($i$) segítségével: $T = \frac{i \cdot r}{2}$.[cite: 65, 67]
  • A körszelet területe: A körszelet egy húr és a hozzá tartozó körív által határolt síkidom. Területét úgy kapjuk, hogy a körcikk területéből kivonjuk (vagy nagyszelet esetén hozzáadjuk) az azonos középponti szöghöz tartozó egyenlő szárú háromszög területét: $$T_{\text{szelet}} = T_{\text{cikk}} - T_{\text{háromszög}} = \frac{1}{2}r^2 \theta - \frac{1}{2}r^2 \sin \theta = \frac{1}{2}r^2 (\theta - \sin \theta)$$

Területszámítás integrálszámítással

Míg az elemi területszámítás egyenes szakaszokkal határolt idomok (vagy a kör) esetében tökéletes, a tetszőleges görbék által határolt síkidomok területének meghatározása a határozott integrál feladata.[cite: 60]

A határozott integrál geometriai jelentése: Ha egy folytonos $f(x)$ függvény nemnegatív az $[a, b]$ intervallumon, akkor a görbe, az x-tengely és az $x=a$, valamint $x=b$ függőleges egyenesek által bezárt síkidom területe pontosan az $f(x)$ függvény $[a, b]$ intervallumon vett határozott integráljával egyenlő.[cite: 60]

Tétel: A Newton-Leibniz formula[cite: 60]

Ha az $f(x)$ függvény folytonos az $[a, b]$ zárt intervallumon, és $F(x)$ egy tetszőleges primitív függvénye az intervallumon (azaz $F'(x) = f(x)$), akkor a határozott integrál értéke kiszámítható a primitív függvény megváltozásaként:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \Big[ F(x) \Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$[cite: 60]

Két görbe közötti terület

Ha adott két folytonos függvény, $f(x)$ és $g(x)$, és minden $x \in [a, b]$ esetén fennáll, hogy $f(x) \ge g(x)$ (azaz $f$ grafikonja $g$ felett fut), akkor a két görbe és az $x=a$, $x=b$ egyenesek által közbezárt terület az "adott intervallumon a felső görbéből kivonjuk az alsó görbét" módszerrel számítható:

$$T = \int_{a}^{b} \big( f(x) - g(x) \big) \, dx$$

Ha a két függvény grafikonja metszi egymást, akkor integrálási tartományokat kell bontani a metszéspontok mentén, vagy alkalmazhatjuk az abszolútértékes alakot: $T = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$.

Alkalmazások és Matematikatörténet

A tétel maximális értékeléséhez elengedhetetlen a gyakorlati és történeti vonatkozások bemutatása.[cite: 170, 250]

Matematikatörténeti áttekintés:

  • Arkhimédész (i.e. 3. század): A kimerítés módszerével (amely a mai integrálszámítás őse) bebizonyította, hogy a kör területe egyenlő egy olyan derékszögű háromszög területével, amelynek befogói a kör sugara és kerülete. Továbbá ő határozta meg elsőként a parabola egy szakasza alatti területet, megmutatva, hogy az $\frac{4}{3}$-szorosa a beleírható háromszög területének.
  • Newton és Leibniz (17. század): Ők ismerték fel egymástól függetlenül az integrálás és a differenciálás közötti inverz kapcsolatot (az analízis alaptétele), megalkotva ezzel a mai formájában használatos integrálszámítást, és a "kimerítéses" összegzést analitikus formulákká alakították.[cite: 60]

Gyakorlati (Fizikai) alkalmazások:

  • Megtett út kiszámítása: Egy egyenes vonalban mozgó pontszerű test $v(t)$ sebesség-idő grafikonja alatti (előjeles) terület megadja a vizsgált $[t_1, t_2]$ időintervallum alatt megtett utat (elmozdulást): $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$.
  • Fizikai munka: Változó nagyságú erő esetében az $F(x)$ erő-út grafikon alatti terület egyenlő a végzett munkával: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
  • Térfogatszámítás: Ha egy $f(x)$ függvényt megforgatunk az x-tengely körül, a keletkező forgástest térfogata felírható a keresztmetszetek területeinek integráljaként: $V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$.[cite: 37]