5. Tétel

A matematika építkezésének egyik legszebb példája, ahogy a hatványozás fogalmát lépésről lépésre kiterjesztjük a kitevő halmazának bővítésével, ügyelve arra, hogy a korábban megállapított műveleti azonosságok (a permanencia elv alapján[cite: 83]) érvényben maradjanak.

• Pozitív egész kitevő ($n \in \mathbb{Z}^+$): Az $a^n$ (ahol $a \in \mathbb{R}$) egy $n$ tényezős szorzatot jelöl, melynek minden tényezője $a$. $$a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$$
• Nulla kitevő: Ahhoz, hogy az $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ azonosság $n=m$ esetén is igaz maradjon, definiáljuk a nulla kitevőjű hatványt: minden $a \neq 0$ valós számra $a^0 = 1$. A $0^0$ kifejezés nem értelmezett.
• Negatív egész kitevő: Szintén a permanencia elv miatt: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, ahol $a \neq 0$ és $n \in \mathbb{Z}^+$.
• Racionális kitevő: Legyen a kitevő $\frac{p}{q}$ alakú ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}^+, q \ge 2$). Ahhoz, hogy a hatvány hatványozására vonatkozó azonosság érvényes maradjon, az $a^{\frac{p}{q}}$ kifejezést úgy kell definiálnunk, hogy annak $q$-adik hatványa $a^p$ legyen. Ezt az $a > 0$ bázisra értelmezzük: $$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$$
• Irracionális kitevő (Emelt szintű követelmény): Ha a kitevő egy irracionális szám (pl. $\pi$), akkor azt racionális számokból álló sorozattal közelítjük. Ha $r_n$ egy racionális számokból álló sorozat, amely konvergál az irracionális $c$-hez ($r_n \to c$), akkor $a > 0$ esetén $a^c = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$.[cite: 83]

Az azonos alapú és azonos kitevőjű hatványokra a következő azonosságok érvényesek (megfelelő értelmezési tartományok mellett):

1. Azonos alapú hatványok szorzása: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
2. Azonos alapú hatványok osztása: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
3. Hatvány hatványozása: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
4. Azonos kitevőjű hatványok szorzása: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$
5. Azonos kitevőjű hatványok osztása: $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Definíció: Egy $a$ valós szám $n$-edik gyökén ($n \in \mathbb{Z}^+, n \ge 2$) azt a $b$ számot értjük, amelynek az $n$-edik hatványa $a$. Képlettel: $\sqrt[n]{a} = b$, ha $b^n = a$.[cite: 6, 83]

Az értelmezés az $n$ paritásától függ:

• Ha $n$ páros: Csak nemnegatív $a$-ra értelmezett, és a gyök értéke is egyértelműen nemnegatív (pl. $\sqrt{16} = 4$, és nem $\pm 4$). Fontos azonosság: $\sqrt{x^2} = |x|$.
• Ha $n$ páratlan: Minden valós $a$-ra értelmezett, és a gyök előjele megegyezik a bázis előjelével (pl. $\sqrt[3]{-8} = -2$).

Azokat a függvényeket, amelyek $f(x) = x^n$ alakúak (ahol $n \in \mathbb{Z}^+$), hatványfüggvényeknek nevezzük.[cite: 6]

• Ha $n$ páros (pl. $f(x) = x^2, x^4$): A függvény értelmezési tartománya $\mathbb{R}$, értékkészlete a nemnegatív valós számok $[0, \infty[$. A függvény képe egy U-alakú görbe. A függvény páros ($f(-x) = f(x)$), az y-tengelyre szimmetrikus. $x < 0$ esetén szigorúan monoton csökken, $x > 0$ esetén szigorúan monoton nő. Minimuma van az origóban.
• Ha $n$ páratlan (pl. $f(x) = x^3, x^5$): A függvény értelmezési tartománya és értékkészlete is $\mathbb{R}$. A függvény páratlan ($f(-x) = -f(x)$), az origóra középpontosan szimmetrikus. A teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton nő.

A négyzetgyökfüggvény ($x \mapsto \sqrt{x}$):[cite: 6, 87]

Mivel páros kitevőjű gyökvonásról van szó, az értelmezési tartomány és az értékkészlet is a nemnegatív valós számok halmaza. A függvény a teljes értelmezési tartományán szigorúan monoton nő, de egyre csökkenő meredekséggel (konkáv). Geometriailag a képe egy "fél parabola", amely az $f(x) = x^2$ függvény $x \ge 0$ tartományra vett leszüktésének inverze.

Az emelt szintű szóbeli vizsgán extra pontokat ér a témakör történelmi és gyakorlati vonatkozásainak ismerete.[cite: 201, 250]

Matematikatörténet:

• A mai modern, felső indexes hatványjelölést (pl. $x^3$) René Descartes francia matematikus vezette be 1637-ben a La Géométrie című művében.
• A tört kitevőjű hatványok ötlete és a nulla kitevő értelmezése már Nicole Oresme (14. század) munkásságában is feltűnik.
• A gyökjel ($\sqrt{}$) mai formáját Christoff Rudolff vezette be 1525-ben; a jel a latin radix (gyök) szó "r" betűjének torzulásából származik.

Gyakorlati alkalmazások:

• Csillagászat (Kepler 3. törvénye): A bolygók Nap körüli keringési idejének ($T$) négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a közepes távolságuk ($a$) köbei: $T^2 \propto a^3$, vagy racionális kitevővel $T \propto a^{\frac{3}{2}}$.
• Fizika: Egy szabadon eső test által megtett út a zuhanási idő négyzetével arányos ($s = \frac{g}{2} t^2$). Szintén hatványfüggvény a mozgási energia képlete ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$).