15. Tétel

Egybevágósági transzformációk, alakzatok egybevágósága. Szimmetria. Hasonlósági transzformációk. Hasonló síkidomok kerülete, területe, hasonló testek felszíne, térfogata. A hasonlóság alkalmazása síkgeometriai tételek bizonyításában.

Teljes és alapos kidolgozás az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgájára. Ez a tétel a klasszikus geometria transzformációs felépítését tárgyalja, a távolságtartó leképezésektől a hasonlóság metrikus következményein át az elvárt tételbizonyításokig (magasságtétel, szögfelezőtétel).

Egybevágósági transzformációk és szimmetria

Definíció: Egy geometriai leképezést egybevágósági transzformációnak (izometriának vagy távolságtartó transzformációnak) nevezünk, ha a sík (vagy tér) bármely $A$ és $B$ pontjának képeire ($A'$ és $B'$) igaz, hogy távolságuk megegyezik az eredeti pontok távolságával: $AB = A'B'$.

Az egybevágósági transzformációk legfontosabb tulajdonságai, hogy egyenestartók, illeszkedéstartók, szögtartók és párhuzamosságtartók. Két alakzatot egybevágónak nevezünk (jele: $\cong$), ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át.

  • Tengelyes tükrözés: A sík alapvető, irányításváltó egybevágósági transzformációja. Minden más egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb három tengelyes tükrözés egymásutánjaként.
  • Eltolás: Előállítható két párhuzamos tengelyre vett tükrözés szorzataként. Irányítástartó. Lényegében egy vektorral történő elmozdítás.
  • Pont körüli forgatás: Előállítható két metsző tengelyre vett tükrözés szorzataként. Irányítástartó. Különleges esete a középpontos tükrözés, amely $180^\circ$-os (félszögű) forgatásnak felel meg.

Szimmetria: Egy alakzat szimmetrikus, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció (amely nem az identitás, azaz a helybenhagyás), amely az alakzatot önmagába viszi át ($T(F) = F$). Beszélhetünk tengelyes, középpontos és forgásszimmetriáról a megfelelő transzformáció típusa alapján.

Hasonlósági transzformációk

Definíció: Egy geometriai leképezést hasonlósági transzformációnak nevezünk, ha létezik olyan $k > 0$ valós szám (a hasonlóság aránya), hogy a sík bármely $A$ és $B$ pontjára és azok $A'$ és $B'$ képeire igaz a következő összefüggés: $A'B' = k \cdot AB$.

Ha $k = 1$, a transzformáció távolságtartó (egybevágóság). Ha $k > 1$, nagyításról, ha $0 < k < 1$, kicsinyítésről beszélünk. Két alakzat hasonló (jele: $\sim$), ha létezik olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyiket a másikba képezi le.

A hasonlósági transzformációk alapköve a középpontos hasonlóság. Adott egy $O$ centrum és egy $\lambda \neq 0$ valós arányszám. A sík tetszőleges $P$ pontjának $P'$ képét úgy kapjuk, hogy az $\vec{OP'}$ vektor egyenlő lesz $\lambda \cdot \vec{OP}$-vel. A középpontos hasonlóság egyenestartó, szögtartó és aránytartó. Bármely (általános) hasonlósági transzformáció előállítható egy középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció kompozíciójaként.

Háromszögek hasonlóságának alapesetei: Két háromszög hasonló, ha:

  1. Megfelelő oldalaik aránya egyenlő.
  2. Két szögük páronként egyenlő (amiből következik a harmadik egyenlősége is).
  3. Két-két oldal aránya és a közbezárt szögük egyenlő.
  4. Két-két oldal aránya és a nagyobbikhoz tartozó szög megegyezik.

Hasonló idomok metrikus viszonyai

Ha két alakzat (legyen az sík- vagy térbeli) hasonló, és a hasonlóság aránya $k$, akkor a hosszmértekkel arányos vonalas méretek (oldalak, sugarak, magasságok) aránya szintén $k$. Ebből származtathatók a többdimenziós metrikus tulajdonságok.

  • Kerületek aránya (1D): A hasonló síkidomok kerületének aránya megegyezik a hasonlóság arányával. $$\frac{K'}{K} = k$$
  • Területek és felszínek aránya (2D): A hasonló síkidomok területének, illetve a hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának a négyzete. Ezt könnyű belátni egy háromszög esetén, ahol az alap és a magasság is $k$-szorosára nő: $T' = \frac{(k \cdot a)(k \cdot m_a)}{2} = k^2 \frac{a \cdot m_a}{2} = k^2 T$. $$\frac{T'}{T} = k^2 \quad \text{és} \quad \frac{A'}{A} = k^2$$
  • Térfogatok aránya (3D): A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának a köbe. Például egy $k$-szorosára nagyított téglatest térfogata: $V' = (k \cdot a)(k \cdot b)(k \cdot c) = k^3(abc) = k^3 V$. $$\frac{V'}{V} = k^3$$

A hasonlóság alkalmazása tételek bizonyításában

Az emelt szintű érettségin kiemelt követelmény a klasszikus tételek szabatos bizonyítása hasonlósági érveléssel.

Tétel: A derékszögű háromszögek magasságtétele

Állítás: Bármely derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság ($m$) a két átfogódarab ($p$ és $q$) mértani közepe, azaz $m = \sqrt{p \cdot q}$.

Bizonyítás: Legyen az $ABC$ háromszög derékszögű a $C$ csúcsnál, a befogók $a$ és $b$, az átfogó $c$. Húzzuk be az átfogóhoz tartozó $m$ magasságot, melynek talppontja az átfogón $T$. A talppont az átfogót a $p$ és $q$ szakaszokra bontja (ahol $p$ az $a$-hoz, $q$ a $b$-hez csatlakozik).

Jelöljük az $A$ csúcsnál lévő szöget $\alpha$-val. Mivel $ABC$ derékszögű, a $B$ csúcsnál lévő szög $90^\circ - \alpha$. A magasság berajzolásával két kisebb derékszögű háromszög keletkezett: $ATC$ és $BTC$.

  • Az $ATC$ háromszög derékszögű (a $T$ csúcsnál), egyik szöge $\alpha$, így a harmadik szöge az $ACT\angle = 90^\circ - \alpha$.
  • A $BTC$ háromszög derékszögű, egyik szöge a $B$ csúcsnál $90^\circ - \alpha$, így a harmadik szöge a $BCT\angle = \alpha$.

Mivel a két felbontott kis háromszög (az $ATC$ és a $CTB$) szögei megegyeznek ($\alpha, 90^\circ-\alpha, 90^\circ$), a két háromszög hasonló ($ATC \sim CTB$). A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya megegyezik. A kis háromszögekben az $\alpha$ szöggel és a $90^\circ - \alpha$ szöggel szemközti befogók aránya egyenlő kell hogy legyen:

$$\frac{m}{q} = \frac{p}{m}$$

Ezt az egyenletet rendezve (keresztbe szorzással) kapjuk a tétel állítását:

$$m^2 = p \cdot q \quad \implies \quad m = \sqrt{p \cdot q} \quad \text{Q.E.D.}$$
Tétel: A belső szögfelező tétele

Állítás: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja fel.

Bizonyítás: Legyen az $ABC$ háromszög $C$ csúcsához tartozó szögfelező $f$, amely a $c$ oldalt a $P$ pontban metszi. A $P$ pont a $c$ oldalt $x$ és $y$ szakaszokra osztja, ahol $x$ az $a$ oldalhoz, $y$ a $b$ oldalhoz van közelebb. Bizonyítandó, hogy $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.

Húzzunk a $B$ csúcson át párhuzamost a $C$ csúcsból kiinduló szögfelezővel. Ez a párhuzamos egyenes messze meg az $AC$ oldalegyenes meghosszabbítását egy $D$ pontban.

A szögfelező definíciója miatt az $f$ egyenes a $\gamma$ szöget két $\frac{\gamma}{2}$ nagyságú szögre osztja. Mivel $CD \parallel f$, a váltószögek és egyállású szögek tulajdonságai miatt a $CDB$ háromszög szögei a $C$ csúcsnál létrejött részekkel egyeznek meg: $CDB\angle = \frac{\gamma}{2}$ és $CBD\angle = \frac{\gamma}{2}$. Így a $CDB$ háromszög egyenlő szárú, tehát $CD = CB = a$.

Most alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételét a $DAB$ háromszögben, amelyet a $CP \parallel DB$ szelők metszenek az $A$ csúcsból indulva:

$$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{CD}$$

A korábban bevezetett jelöléseket ($AP = y$, $PB = x$, $AC = b$, és tudjuk, hogy $CD = a$) behelyettesítve:

$$\frac{y}{x} = \frac{b}{a} \quad \text{amely egyenértékű a} \quad \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \text{ alakkal. Q.E.D.}$$

Alkalmazások és Matematikatörténet

A szóbeli felelet lezárásaként kötelező elem a téma történelmi vagy gyakorlati aspektusainak bemutatása, amely igazolja a matematikai modellek valós világbeli relevanciáját.

Matematikatörténet:

  • Milétoszi Thalész (i.e. 6. sz.): A legenda szerint a hasonlóság elvét alkalmazva (árnyékaik hosszának arányából) határozta meg az egyiptomi Kheopsz-piramis magasságát anélkül, hogy megmérte volna magát a piramist. Egy adott pillanatban megmérte a saját botjának árnyékát és a piramis árnyékát; mivel a napsugarak párhuzamosak, hasonló derékszögű háromszögek alakultak ki.
  • Eratoszthenész (i.e. 3. sz.): A párhuzamos szelők és a váltószögek egybevágóságának koncepcióját használta fel a Föld kerületének lenyűgöző pontosságú megméréséhez, Syene (Asszuán) és Alexandria közötti távolság és a Nap delelési szögének ismeretében.

Gyakorlati alkalmazások:

  • Térképészet és Tervezés: A térképek, építészeti tervrajzok és gépészeti makettek mind a hasonlósági transzformációkon (méretarányokon) alapulnak. A $k$ hasonlósági tényező adja meg a térkép léptékét.
  • Fotográfia és Optika: A lencsék által létrehozott képek mérete a tárgytávolság és a képtávolság arányán alapul, amely tiszta középpontos hasonlóság (a lencse optikai középpontjából vetítve).
  • Fraktálgeometria: A modern matematikában a fraktálok (pl. a Sierpiński-háromszög vagy a Koch-görbe) a végtelen, rekurzív önhasonlóságon alapulnak, ami azt jelenti, hogy az alakzat bármilyen kicsinyített része geometriailag hasonló a teljes alakzathoz.