13. Tétel

Állítás: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör (körülírt kör) középpontja.

Bizonyítás: Legyen a háromszög három csúcsa $A$, $B$ és $C$. Tekintsük az $AB$ oldal $e_c$ oldalfelező merőlegesét, valamint a $BC$ oldal $e_a$ oldalfelező merőlegesét. Mivel az $AB$ és $BC$ oldalak nem párhuzamosak (hiszen háromszöget alkotnak), a rájuk állított merőlegesek sem párhuzamosak, így biztosan metszik egymást egy $O$ pontban.

Mivel $O$ rajta van $e_c$-n, egyenlő távolságra van az $A$ és $B$ pontoktól: $OA = OB$.

Mivel $O$ rajta van $e_a$-n is, egyenlő távolságra van a $B$ és $C$ pontoktól: $OB = OC$.

Ebből következik, hogy $OA = OC$, azaz az $O$ pont egyenlő távolságra van az $A$ és $C$ csúcsoktól is. Tehát $O$ rajta kell hogy legyen az $AC$ szakasz oldalfelező merőlegesén ($e_b$-n) is. Ezzel beláttuk, hogy a három egyenes egy pontban fut össze.

Mivel $OA = OB = OC = R$, az $O$ középpontú, $R$ sugarú kör mindhárom csúcson átmegy. Q.E.D.

Állítás: A háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást, és ez a pont a háromszögbe írható kör (beírt kör) középpontja.

Bizonyítás: Jelöljük a háromszög csúcsait $A$, $B$, $C$-vel. Húzzuk meg az $A$-hoz és $B$-hez tartozó belső szögfelezőket ($f_\alpha$ és $f_\beta$). Ezek a háromszög belsejében metszik egymást egy $K$ pontban.

Mivel $K$ rajta van $f_\alpha$-n, egyenlő távolságra van az $AB$ és az $AC$ oldalaktól (jelöljük a távolságokat $d_c$ és $d_b$-vel): $d_c = d_b$.

Mivel $K$ rajta van $f_\beta$-n is, egyenlő távolságra van az $AB$ és a $BC$ oldalaktól is: $d_c = d_a$.

A tranzitivitás miatt $d_a = d_b$, ami azt jelenti, hogy $K$ egyenlő távolságra van a $BC$ és az $AC$ oldalaktól. Így $K$-nak rajta kell lennie a $C$ csúcsból induló $f_\gamma$ belső szögfelezőn. A három szögfelező tehát egy pontban metszi egymást.

Mivel $d_a = d_b = d_c = \rho$, a $K$ középpontú, $\rho$ sugarú kör mindhárom oldalt érinti. Q.E.D.

Állítás: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot magasságpontnak (ortocentrum) hívjuk ($M$).

Bizonyítás: Adott az $ABC$ háromszög. Húzzunk mindegyik csúcson át párhuzamost a szemközti oldallal! Ezek a párhuzamosok egy új, nagyobb $A'B'C'$ háromszöget határoznak meg, ahol $A, B$ és $C$ az új háromszög oldalainak felezőpontjai lesznek (mivel paralelogrammák jönnek létre, melyek szemközti oldalai egyenlőek).

Az eredeti $ABC$ háromszög magasságvonalai definíció szerint merőlegesek az $ABC$ oldalaira. Mivel az $A'B'C'$ háromszög oldalai párhuzamosak az eredetiekkel, a magasságvonalak merőlegesek lesznek az új háromszög oldalaira is.

Ezenkívül ezek a vonalak az $A'B'C'$ háromszög oldalfelező pontjain mennek keresztül (az eredeti csúcsokon). Tehát az eredeti háromszög magasságvonalai megegyeznek a nagyobb $A'B'C'$ háromszög oldalfelező merőlegeseivel.

Korábban már bizonyítottuk, hogy az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást. Így az eredeti háromszög magasságvonalai is egyetlen pontban futnak össze. Q.E.D.

Állítás: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást (Súlypont, $S$), és ez a pont a súlyvonalakat $2:1$ arányban osztja úgy, hogy a csúcs felőli szakasz a kétszerese az oldalfelező pont felőli szakasznak.

Bizonyítás: Vegyük az $A$-ból induló $s_a$ és a $B$-ből induló $s_b$ súlyvonalakat. Metszéspontjukat jelöljük $S$-sel. Az $AC$ oldal felezőpontja legyen $F_b$, a $BC$ oldalé $F_a$.

Kössük össze $F_a$-t és $F_b$-t! Ez a szakasz a háromszög egyik középvonala. A középvonal tulajdonságai miatt $F_a F_b \parallel AB$, és a hossza fele az $AB$ oldalénak ($F_a F_b = \frac{1}{2}AB$).

Vizsgáljuk meg az $ABS$ és az $F_a F_b S$ háromszögeket. A párhuzamosság miatt a szögeik páronként egyenlőek (váltószögek és csúcsszögek), tehát a két háromszög hasonló: $\triangle ABS \sim \triangle F_a F_b S$.

A hasonlóság aránya az alapok arányából adódik: $\frac{AB}{F_a F_b} = 2$. Ebből következik, hogy a többi oldaluk aránya is 2, vagyis $AS = 2 \cdot S F_a$ és $BS = 2 \cdot S F_b$.

Ezzel beláttuk, hogy bármely két súlyvonal $2:1$ arányban osztja egymást. Ha a procedúrát elismételjük $s_b$ és $s_c$-vel, azok is ezen az osztóponton kell, hogy messzék egymást, így mindhárom egy ponton megy át. Q.E.D.