1. Tétel

A halmaz a matematika egyik legfontosabb alapfogalma, amelyet nem definiálunk visszavezetéssel, hanem csak körülírjuk: jól meghatározott, megkülönböztethető dolgok, objektumok (úgynevezett elemek) összessége. Azt, hogy az $x$ elem hozzátartozik az $A$ halmazhoz, így jelöljük: $x \in A$.

Halmazok megadásának módjai:

• Elemeinek felsorolásával: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• Egyértelmű tulajdonság (predikátum) megadásával: $B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4 \}$

Alapvető fogalmak és relációk:

• Üres halmaz ($\emptyset$): Olyan halmaz, amelynek egyetlen eleme sincs.
• Részhalmaz ($A \subseteq B$): Az $A$ halmaz részhalmaza a $B$ halmaznak, ha $A$ minden eleme egyúttal $B$-nek is eleme. Képlettel: $\forall x \in A \Rightarrow x \in B$. Minden halmaznak részhalmaza az üres halmaz.
• Halmazok egyenlősége: Két halmaz akkor egyenlő ($A = B$), ha pontosan ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Formálisan: $A \subseteq B \land B \subseteq A$.

Halmazok számossága (emelt szintű követelmény): Véges halmazok esetében a számosság az elemek darabszámát jelenti. Végtelen halmazoknál a számosság fogalmát bijekciókkal (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésekkel) terjesztjük ki. Egy halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha elemei kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a természetes számok ($\mathbb{N}$) halmazával (pl. az egész számok $\mathbb{Z}$, és a racionális számok $\mathbb{Q}$ halmaza ilyen).

Két vagy több halmazból logikai feltételek alapján új halmazokat képezhetünk. Ezeket halmazműveleteknek nevezzük.

• Unió (Egyesítés): $A \cup B = \{ x \mid x \in A \lor x \in B \}$ - Azok az elemek, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.
• Metszet (Közös rész): $A \cap B = \{ x \mid x \in A \land x \in B \}$ - Azok az elemek, amelyek mindkét halmaznak elemei. Diszjunkt halmazok metszete az üres halmaz.
• Különbség: $A \setminus B = \{ x \mid x \in A \land x \notin B \}$ - Azok az elemek, amelyek $A$-ban benne vannak, de $B$-ben nincsenek.
• Komplementer (Kiegészítő halmaz): Ha adott egy $U$ alaphalmaz, és $A \subseteq U$, akkor $A$ komplementere: $\overline{A} = U \setminus A$.

Mértani helynek (vagy nevezetes ponthalmaznak) nevezzük a geometriában azokat a ponthalmazokat, amelyek elemei pontosan egy adott geometriai feltételnek tesznek eleget. A legfontosabb síkbeli mértani helyek:

• Körvonal: Egy adott $O$ ponttól adott $r>0$ távolságra lévő pontok halmaza a síkban. (Ha az "adott távolságnál nem nagyobb" feltételt szabjuk, az a körlap).
• Szakaszfelező merőleges: Két adott, egymástól különböző ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. Ezen alapszik a háromszög köré írható kör középpontjának szerkesztése.
• Szögfelező egyenes(ek): Két metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban (két egymásra merőleges egyenest alkotnak). Ezen alapszik a háromszögbe írható kör szerkesztése.
• Párhuzamos egyenespár: Egy adott egyenestől adott $d>0$ távolságra lévő pontok halmaza.
• Parabola (Emelt szintű geometria): Adott $F$ ponttól (fókusz) és egy adott $v$ egyenestől (vezéregyenes, ahol $F \notin v$) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. A parabola egy kúpszelet, az analitikus geometriában az egyenlete gyakran $y = ax^2$ alakú.
• Látókörív: Azon pontok halmaza a síkban (egy adott egyenes által határolt egyik félsíkban), ahonnan egy adott szakasz egy adott $\alpha$ szög alatt látszik ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Ha a sík helyett a háromdimenziós térben keressük az adott tulajdonságú pontokat, a korábbi alakzatok térbeli megfelelőit kapjuk (sok esetben dimenziót lépve, vonal helyett felületet kapva):

• Gömb(felület): Adott $O$ ponttól adott $r>0$ távolságra lévő pontok halmaza a térben. (Azonos egyenlete: $(x-u)^2 + (y-v)^2 + (z-w)^2 = r^2$).
• Szakaszfelező merőleges sík: Két adott ponttól a térben egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. Szemléletesen: a szakaszt felező, a szakaszra merőleges sík.
• Két metsző sík szögfelező síkjai: Két metsző síktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben. Eredményként két, egymásra merőleges síkot kapunk.
• Hengerfelület: Adott egyenestől (forgástengely) adott $r>0$ távolságra lévő pontok halmaza a térben.
• Két párhuzamos sík: Egy adott síktól adott $d>0$ távolságra lévő pontok halmaza a térben. (A sík mindkét oldalán létrejön egy-egy, az eredetivel párhuzamos sík).

A szóbeli vizsgán extra pontokat (4 pont) ér a matematikatörténeti és gyakorlati vonatkozások bemutatása. A halmazelmélethez számtalan ilyen kapcsolódik:

Matematikatörténet:

• A modern halmazelmélet megalkotója Georg Cantor (1845–1918) német matematikus volt. Ő volt az első, aki komolyan vizsgálta a végtelen halmazok számosságát, és bebizonyította, hogy a valós számok számossága (kontinuum számosság) "nagyobb", mint a természetes számok számossága.
• A halmazok szemléltetésére használt Venn-diagramok John Venn (1834–1923) angol logikusról kapták a nevüket, bár elődjüket (Euler-körök) Leonhard Euler is előszeretettel használta.

Gyakorlati és tudományos alkalmazások:

• Valószínűségszámítás: Az eseménytér nem más, mint a lehetséges kimenetelek halmaza. Az egyes események (pl. "páros számot dobunk a kockával") ezen halmaz részhalmazai. A független, kizáró események valószínűségének számolása a halmazok uniójára és metszetére épül (pl. szita-formula).
• Számítástechnika és Adatbázisok: A relációs adatbázisok (SQL) az adatsorokat halmazokként kezelik. Egy `UNION` lekérdezés a halmazok unióját, míg az `INNER JOIN` és `INTERSECT` a halmazok metszetét képezi le. A keresőmotorok (mint a Google) is halmazműveleteket végeznek a kulcsszavakra illeszkedő találati listák metszetének képzésekor.
• Boole-algebra és Áramkörök: A halmazműveletek szerkezete izomorf a logikai műveletekkel (unió = VAGY/OR kapu, metszet = ÉS/AND kapu, komplementer = NEM/NOT kapu). A digitális elektronikában a számítógépek processzorainak áramkörei közvetlenül ezekre a logikai/halmazelméleti műveletekre épülnek.