12. Tétel

Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvényei. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között. A szögfüggvények általánosítása.[cite: 196]

Részletes és szigorú kidolgozás az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgájára. Ez a tétel bemutatja a geometria és a trigonometria alapköveit: a Pitagorasz-tételtől és a hasonlósági tételektől kezdve a szögfüggvények derékszögű háromszögben vett definícióin át, egészen az egységkörös általánosításig.

Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek

A derékszögű háromszögek metrikus geometriájának alapját a hasonlósági transzformációk terjesztik ki. Ha az átfogóhoz tartozó $m$ magasságot behúzzuk, a háromszöget két, az eredetihez és egymáshoz is hasonló derékszögű háromszögre bontjuk.[cite: 64]

A B C T p q c b a m
  • Magasságtétel: A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága mértani közepe az átfogó két szeletének. $m = \sqrt{pq}$, vagy $m^2 = p \cdot q$.[cite: 64]
  • Befogótétel: A derékszögű háromszög bármelyik befogója mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének. $a = \sqrt{cq}$ és $b = \sqrt{cp}$.[cite: 64]
  • Thalész-tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, derékszögű háromszöget kapunk.[cite: 65]
Tétel: Pitagorasz-tétel és bizonyítása a befogótétellel[cite: 64]

Állítás: Bármely derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével ($a^2 + b^2 = c^2$).

Bizonyítás: Írjuk fel a befogótételt mindkét befogóra, és emeljük négyzetre őket:

$$a^2 = c \cdot q$$ $$b^2 = c \cdot p$$

Adjuk össze a két egyenletet megfelelő oldalanként:

$$a^2 + b^2 = c \cdot q + c \cdot p$$

Emeljük ki a közös $c$ tényezőt a jobb oldalon:

$$a^2 + b^2 = c \cdot (p + q)$$

Mivel az átfogó két szeletének összege maga az átfogó ($p + q = c$), behelyettesítve kapjuk:

$$a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$$

Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Q.E.D.[cite: 64] (A tétel megfordítása is igaz: ha $a^2 + b^2 = c^2$, akkor a háromszög derékszögű).

A hegyesszögek szögfüggvényei

A hasonlósági tételekből következik, hogy ha két derékszögű háromszög egyik hegyesszöge megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Emiatt a megfelelő oldalaik aránya állandó, kizárólag a hegyesszög nagyságától függ. Ezeket az arányokat nevezzük szögfüggvényeknek.[cite: 66]

Jelöljön $\alpha$ egy hegyesszöget a derékszögű háromszögben ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$):

  • Szinusz ($\sin \alpha$): A szöggel szemközti befogó és az átfogó aránya. ($\sin \alpha = \frac{a}{c}$)
  • Koszinusz ($\cos \alpha$): A szög melletti befogó és az átfogó aránya. ($\cos \alpha = \frac{b}{c}$)
  • Tangens ($\text{tg} \alpha$ vagy $\tan \alpha$): A szöggel szemközti és a szög melletti befogó aránya. ($\text{tg} \alpha = \frac{a}{b}$)
  • Kotangens ($\text{ctg} \alpha$ vagy $\cot \alpha$): A szög melletti és a szöggel szemközti befogó aránya. ($\text{ctg} \alpha = \frac{b}{a}$)

Nevezetes hegyesszögek szögfüggvényértékei:[cite: 66] Szabályos háromszög és négyzet átlójának behúzásával könnyedén levezethetők a pontos értékek:

$$\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között

Az alapvető definíciókból azonnal adódnak a következő fontos, a feladatmegoldások során rutinszerűen alkalmazandó azonosságok:[cite: 66]

  • Pótszögek összefüggései: Mivel a derékszögű háromszög két hegyesszögének összege $90^\circ$, az $\alpha$-val szemközti befogó pontosan a $90^\circ - \alpha$ szög melletti befogója lesz. $$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \quad \text{és} \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$$
  • A tangens levezetése: A definíciók hányadosából következik: $$\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text{valamint} \quad \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha}$$
Tétel: A trigonometrikus Pitagorasz-tétel[cite: 66]

Állítás: Bármely $\alpha$ hegyesszögre érvényes, hogy $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Bizonyítás: Induljunk ki a szinusz és koszinusz derékszögű háromszögben vett definícióiból:

$$\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \text{és} \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}$$

Képezzük ezek négyzetösszegét:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$$

A hagyományos Pitagorasz-tétel értelmében a számlálóban lévő $a^2 + b^2$ pontosan $c^2$-tel egyenlő. Így a tört értéke:

$$= \frac{c^2}{c^2} = 1$$

Q.E.D. (Az összefüggés az általánosított szögfüggvények esetén is igaz marad minden valós szögre).[cite: 66]

A szögfüggvények általánosítása

A geometrián és a trigonometrikus egyenleteken túlmutatva szükség van a szögfüggvények értelmezési tartományának kiterjesztésére a valós számok (tetszőleges forgásszögek) halmazára. Ezt az egységsugarú kör segítségével tesszük meg.[cite: 66]

α P(cos α, sin α) x y

Helyezzünk el egy $r=1$ sugarú kört a derékszögű koordináta-rendszer origójában. Az $x$-tengely pozitív feléből kiindulva forgassunk el egy sugarat $\alpha$ szöggel. A sugár körvonallal való metszéspontját jelöljük $P$-vel.

  • A $P$ pont első (abszcissza) koordinátája adja a szög koszinuszát: $x_P = \cos \alpha$.
  • A $P$ pont második (ordináta) koordinátája adja a szög szinuszát: $y_P = \sin \alpha$.[cite: 66]

Ez a kiterjesztés megőrzi a hegyesszögekre vonatkozó definíciókat (az 1. negyedben), de értelmet ad a tompaszögeknek (2. negyed), a negatív szögeknek és a $360^\circ$-nál nagyobb forgásszögeknek is. Így jönnek létre a $2\pi$ (vagy $360^\circ$) szerint periodikus $\mathbb{R} \to [-1; 1]$ trigonometrikus függvények.

A tangens és kotangens általánosítása a fenti hányadosokon keresztül történik: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (ahol $\cos\alpha \neq 0$).[cite: 66]

Alkalmazások és Matematikatörténet

A matematika emelt szintű szóbelin elvárt, hogy a vizsgázó ismerje a tételek gyakorlati és történeti hátterét is.[cite: 250]

Matematikatörténet:

  • A derékszögű háromszög oldalainak kapcsolatát az ókori babilóniaiak és kínaiak is ismerték jóval Pitagorasz (i.e. 6. sz.) előtt, de a görög matematika érdeme az általános érvényű logikai bizonyítás bevezetése.[cite: 170, 250]
  • A trigonometria ("háromszög-mérés") az ókori csillagászatból fejlődött ki. Hipparkhosz (i.e. 2. sz.) tekinthető a "trigonometria atyjának", ő készítette az első húrtáblázatokat a Hold és a Nap mozgásának követésére.
  • A mai szinusz szó érdekes etimológiai utat járt be: az indiai matematikusok jya (húr) szavát az arabok átvették, amit később Európában a latin sinus (öböl, kebel) szóra fordítottak félre egy olvasati hiba miatt.

Gyakorlati alkalmazások:

  • Csillagászat és Földrajz: A háromszögelés (trianguláció) módszere, amelynek során egy ismert alapvonalból és a két végpontjából mért szögekből szögfüggvények segítségével kiszámítják távoli, elérhetetlen pontok (hegycsúcsok, csillagok parallaxisai) távolságát.
  • Fizika: Az erők felbontása (vektorfelbontási tétel) derékszögű komponensekre ($\vec{F}_x = F \cdot \cos\alpha$, $\vec{F}_y = F \cdot \sin\alpha$) alapvető a mechanikában és a lejtőn mozgó testek vizsgálatánál.[cite: 204] Az általánosított szögfüggvények pedig az oszcilláló mozgások (harmonikus rezgőmozgás, váltakozó áram) matematikai modelljei.