14. Tétel

Összefüggések az általános háromszögek oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között

Teljes és szigorú kidolgozás az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgájára. Ez a tétel az euklideszi geometria és a trigonometria legfontosabb alappilléreit tárgyalja: az oldalak és szögek alapvető viszonyaitól kezdve a szinusz- és koszinusztételen át a területképletekig, a szükséges bizonyításokkal kiegészítve.

Alapvető összefüggések oldalak és szögek között

Mielőtt rátérnénk a trigonometrikus tételekre, fontos rögzíteni azokat a tisztán geometriai alapösszefüggéseket, amelyek minden euklideszi háromszögre érvényesek. A szokásos jelöléseket használjuk: a csúcsok $A, B, C$, a szemközti oldalak $a, b, c$, a belső szögek $\alpha, \beta, \gamma$.

  • Belső és külső szögek összege: Bármely háromszög belső szögeinek összege $180^\circ$ (radiánban $\pi$). A külső szögek összege $360^\circ$ ($2\pi$). Egy külső szög mindig egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével (pl. $\alpha' = \beta + \gamma$).
  • Háromszög-egyenlőtlenség (oldalak közötti viszony): Bármely háromszögben bármely két oldal hosszának összege szigorúan nagyobb, mint a harmadik oldal hossza, illetve bármely két oldal különbségének abszolútértéke kisebb a harmadik oldalnál: $$|b - c| < a < b + c$$
  • Oldalak és szögek egyenlőtlenségi kapcsolata: Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben mindig nagyobb szög fekszik, és fordítva. Bármely két oldal egyenlő, ha és csak ha a velük szemközti szögek is egyenlők (egyenlő szárú háromszög): $$a > b \iff \alpha > \beta$$

A szinusztétel és bizonyítása

A szinusztétel a háromszögek oldalainak és szögeinek precíz számszerű kapcsolatát írja le. Kimondása: Bármely háromszögben két oldal aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszainak arányával.

$$\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}; \quad \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}; \quad \frac{a}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$$

A tétel egy mélyebb formája (kiterjesztett szinusztétel) kimondja, hogy az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak hányadosa állandó, és ez az állandó a háromszög köré írható kör átmérőjével ($2R$) egyenlő:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$
Tétel bizonyítása (Hegyesszögű háromszögre)

Tekintsünk egy általános, hegyesszögű $ABC$ háromszöget. Húzzuk be a $C$ csúcsból induló $m_c$ magasságvonalat. Az $m_c$ magasság a háromszöget két derékszögű háromszögre ($ATC$ és $BTC$) bontja.

Az $ATC$ derékszögű háromszögben felírhatjuk a szinuszfüggvény definícióját:

$$\sin \alpha = \frac{m_c}{b} \implies m_c = b \sin \alpha$$

Hasonlóan, a $BTC$ derékszögű háromszögben:

$$\sin \beta = \frac{m_c}{a} \implies m_c = a \sin \beta$$

Mivel mindkét kifejezés $m_c$-vel egyenlő, egyenlővé tehetjük őket egymással:

$$b \sin \alpha = a \sin \beta$$

Mivel a háromszög belső szögei pozitívak és kisebbek $180^\circ$-nál, a szinuszuk nem nulla. Így mindkét oldalt eloszthatjuk $(\sin \alpha \cdot \sin \beta)$-val, ami megadja a tételt:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$$

Tompaszögű háromszög esetén a magasságvonal a meghosszabbított oldalra esik, de mivel a kiegészítő szögek szinusza megegyezik ($\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$), a levezetés teljesen analóg módon érvényben marad. Q.E.D.

A koszinusztétel és bizonyítása

A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Kimondása: Bármely háromszög egy oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, csökkentve a két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatával.

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

(Analóg módon felírható az $a$ és a $b$ oldalra is).

Tétel bizonyítása (Pitagorasz-tétellel)

Legyen adva egy $ABC$ háromszög. Húzzuk be a $C$ csúcsból az $m_c$ magasságot. Ez a magasság a $c$ oldalt két szakaszra osztja. Legyen a magasság talppontja $T$. Jelöljük a $BT$ szakaszt $x$-szel. Így az $AT$ szakasz hossza $(c - x)$ lesz (ha hegyesszögű a háromszög).

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a kapott két derékszögű háromszögre ($ATC$ és $BTC$):

1. Az $ATC$ háromszögben: $b^2 = m_c^2 + (c - x)^2$

2. A $BTC$ háromszögben: $a^2 = m_c^2 + x^2 \implies m_c^2 = a^2 - x^2$

Helyettesítsük be az $m_c^2$-et az első egyenletbe:

$$b^2 = (a^2 - x^2) + (c^2 - 2cx + x^2)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2cx$$

A $BTC$ derékszögű háromszögben a $\beta$ szög koszinuszát felírva kapjuk, hogy $\cos \beta = \frac{x}{a}$, azaz $x = a \cos \beta$. Helyettesítsük be ezt $x$ helyére:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$$

Ezzel a tételt bebizonyítottuk a $b$ oldalra (szimmetria okán $c^2$-re és $a^2$-re is igaz). Tompaszög esetén a bizonyítás lényegében azonos, figyelembe véve a külső szöget és hogy $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos \beta$. Vektoralgebrával a bizonyítás még elegánsabb: $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ egyenletet önmagával skalárisan megszorozva azonnal a koszinusztételt kapjuk. Q.E.D.

Területképletek

A háromszög területének kiszámítása szintén szorosan összefügg az oldalak és szögek kapcsolataival. Emelt szinten a klasszikus $T = \frac{a \cdot m_a}{2}$ képlet mellett tudnunk kell más formákat is alkalmazni és levezetni.

  • Trigonometrikus területképlet: Bármely háromszög területe egyenlő két oldalának, és az általuk közbezárt szög szinuszának szorzatának a felével. $$T = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2}ac \sin \beta = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$$ (Levezetése triviális a $T = \frac{c \cdot m_c}{2}$ képletből, ha észrevesszük, hogy $m_c = a \sin \beta$ vagy $m_c = b \sin \alpha$.)
  • Hérón-képlet: Ha csak a három oldal hosszát ismerjük, a terület kiszámítható a félkerület ($s = \frac{a+b+c}{2}$) segítségével: $$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
  • Kapcsolat a beírt és körülírt körrel: A beírt kör sugara ($r$) és a terület kapcsolata: $T = r \cdot s$.
    A körülírt kör sugara ($R$) és a terület kapcsolata (a szinusztételből levezethetően): $T = \frac{abc}{4R}$.

Alkalmazások és Matematikatörténet

Az emelt szintű vizsgán értékes pontokat jelent az alkalmazások és a történelmi háttér magabiztos ismerete.

Matematikatörténet:

  • A koszinusztétel geometriai megfelelőjét már Eukleidész is leírta az Elemek második könyvében (Kr. e. 300 körül), anélkül, hogy trigonometrikus függvényeket használt volna (a "kétszeres téglalap" koncepciójával).
  • A trigonometriát mai formájához hasonlóan először a perzsa matematikus, Jamshīd al-Kāshī rendszerezte a 15. században. Olyannyira, hogy a franciák a mai napig Théorème d'Al-Kashi-nak, azaz Al-Kashi tételének hívják a koszinusztételt.
  • A szinusztételt elsőként egyértelműen Nasīr al-Dīn al-Tūsī perzsa matematikus mondta ki és bizonyította a 13. században írt művében, elválasztva a trigonometriát a csillagászattól.

Gyakorlati alkalmazások:

  • Geodézia és háromszögelés: A szinusztétel a térképészet alapja. Két ismert pont távolságából (alapvonal) és a végpontjaiból egy harmadik, ismeretlen pontba húzott irányzatok szögeinek mérésével (teodolittal) a harmadik pont pontos helyzete számolható.
  • Fizika, kinematika és statika: Amikor kettő, egymással szöget bezáró erőt (vektort) adunk össze, az eredő erő nagysága pontosan a koszinusztétellel számítható ki a vektorparalelogramma átlójaként.