Emelt Szintű Érettségi Követelmények

Halmazok és halmazműveletek

• Halmazok megadása, unió, metszet, különbség, komplementer halmaz.
• De Morgan azonosságok ismerete és alkalmazása.
• Logikai szita elv alkalmazása 2-3 halmaz esetén.
• Véges, megszámlálhatóan végtelen és nem megszámlálhatóan végtelen halmazok. Megszámlálhatóan végtelen halmaz definíciója és bizonyítása egyszerűbb esetekben.

Matematikai logika és bizonyítások

• Állítások, tagadás, "és", "vagy", "kizáró vagy" halmazműveletes kapcsolata.
• Bizonyítási típusok: direkt és indirekt bizonyítás, skatulyaelv, teljes indukció aktív alkalmazása.
• Szükséges és elégséges feltétel fogalmának helyes használata.

Kombinatorika és Gráfok

• Permutációk, variációk, kombinációk (ismétléses és ismétlés nélküli) kiszámítására vonatkozó képletek ismerete és bizonyítása.
• Binomiális tétel és a Pascal-háromszög tulajdonságai.
• Gráf alapfogalmak: pont, él, fokszám, összefüggő gráf, fa, teljes gráf, komplementer gráf, izomorf gráfok, többszörös él, hurokél, séta, út, kör.
• n-pontú teljes gráf éleinek száma, fa pontjai és élei közötti összefüggés.
• Bizonyítás: bármely egyszerű gráfban létezik két azonos fokszámú pont.

Számhalmazok, Számelmélet

• Oszthatósági szabályok, prím és összetett számok, relatív prímek, LNKO, LKKT.
• A számelmélet alaptétele és alkalmazása. Bizonyítás, hogy végtelen sok prímszám van.
• Természetes számok pozitív osztói számának meghatározása.
• Számrendszerek közötti átírás (n ≤ 9), összeadás és kivonás n-alapú számrendszerben.
• Racionális és irracionális számok. Bizonyítás, hogy √2 irracionális.

Hatvány, gyök, logaritmus

• Hatványozás és gyökvonás azonosságai. A permanencia elv, irracionális kitevőjű hatvány értelmezése.
• Logaritmus definíciója, szorzat, hányados és hatvány logaritmusának bizonyítása.
• Más alapú logaritmusra való áttérés szabályának bizonyítása és alkalmazása.

Egyenletek és egyenlőtlenségek

• Másodfokú egyenlet megoldóképletének igazolása.
• Gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viète-formulák) bizonyítása és használata.
• Paraméteres, törtes, és háromismeretlenes egyenletrendszerek megoldása.
• Két négyzetre emeléssel, ill. értelmezési tartomány vizsgálattal megoldható összetett egyenletek.
• Abszolútértékes, exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.
• Számtani és mértani közép közötti összefüggés bizonyítása és alkalmazása (a+b)/2 ≥ √(ab).

Függvénytani alapok és jellemzés

• Függvények összetétele, inverzfüggvény fogalma. Kiterjesztés és leszűkítés.
• Alapfüggvények és transzformációik ábrázolása (lineáris, másodfokú, gyök, abszolútérték, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus).
• Jellemzés: periodicitás, paritás, korlátosság, monotonitás, zérushely, szélsőérték.
• Konvexitás és konkavitás fogalma.

Sorozatok, Pénzügyi matematika

• Számtani és mértani sorozat általános tagja és összegképlete (levezetéssel).
• Konvergens sorozat definíciója, határérték-tételek alkalmazása.
• Végtelen mértani sor fogalma és összegének kiszámítása.
• Kamatos kamat, gyűjtőjáradék, törlesztőrészlet számítása.

Differenciál- és Integrálszámítás

• Határérték és folytonosság szemléletes fogalma.
• Differencia- és differenciálhányados definíciója.
• Deriválási szabályok (összeg, szorzat, hányados, összetett függvény), (x^n)'=nx^(n-1) bizonyítása.
• Differenciálszámítás alkalmazása: érintő egyenlete, szélsőérték keresés, polinomok vizsgálata.
• Határozott integrál, integrálfüggvény, primitív függvény, Newton-Leibniz-tétel. Területszámítás.

Elemi geometria és Alakzatok

• Pitagorasz-tétel és Thalész-tétel, valamint megfordításaiknak bizonyítása.
• Kitérő egyenesek távolságának és hajlásszögének meghatározása.
• Párhuzamos szelők tétele, szelőszakaszok tétele, belső szögfelező tétel bizonyítása.
• Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei (tételek bizonyítása).
• Húrnégyszögek és érintőnégyszögek tételének bizonyítása.
• Kerületi és középponti szögek tételének bizonyítása.
• Térfogat és felszín. Csonkagúla és csonkakúp térfogatképletének bizonyítása.

Trigonometria

• Szögfüggvények általános definíciója, kiterjesztés forgásszögekre.
• Addíciós összefüggések alkalmazása: sin(α±β), cos(α±β), tg(α±β), kettősszögek.
• Szinusz- és koszinusztétel bizonyítása és alkalmazása.

Koordinátageometria

• Vektorok, műveletek, hajlásszög. Skalárszorzat tulajdonságai és kiszámítása koordinátákból (bizonyítással).
• Szakasz osztópontjainak (harmadoló) és a háromszög súlypontjának koordinátái (igazolással).
• Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból (levezetéssel). Síkbeli egyenesek hajlásszöge.
• Kör egyenletének levezetése. Kör és egyenes, két kör kölcsönös helyzete, érintő egyenlete.
• Parabola egyenletének levezetése (y^2 = 2px) és feladatok tengelypárhuzamos parabolákkal.

Statisztika

• Adathalmazok ábrázolása (sodrófa, oszlop, kördiagram), diagramok elemzése és összehasonlítása.
• Átlag, medián, módusz, terjedelem, szórás, kvartilisek számítása.
• Súlyozott számtani közép, átlagos abszolút eltérés.
• Statisztikai adatok értelmezése, értékelése, következtetések levonása.

Valószínűség-számítás

• Klasszikus (Laplace) modell és geometriai valószínűség alkalmazása.
• Feltételes valószínűség definíciója és alkalmazása.
• Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.
• Binomiális eloszlás és hipergeometriai eloszlás értelmezése és számítások végzése.
• Várható érték fogalma.