A valószínűségszámítás során gyakran nem elegendő pusztán az események bekövetkezési esélyeit vizsgálni. A várható érték (mint várható nyeremény vagy átlagos kimenetel), valamint a szórásnégyzet és a szórás (mint a kockázat vagy ingadozás mérőszámai) alapvető fontosságúak a folyamatok jellemzésében. Ebben a feladatsorban a diszkrét valószínűségi változók eloszlását, a binomiális és hipergeometriai modelleket, valamint a várható érték és a szórás transzformációs tulajdonságait gyakorolhatod az emelt szintű érettségi követelményeinek megfelelően.
1
Egy szabályos hatoldalú dobókockával dobunk. Mennyi a dobott szám várható értéke?
A $\xi$ valószínűségi változó a dobott szám, amely az $1, 2, 3, 4, 5, 6$ értékeket veheti fel, mindegyiket egyenlő, $\frac{1}{6}$ valószínűséggel. A várható érték a lehetséges értékek valószínűségekkel súlyozott átlaga:
$$E(\xi) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} + 4\cdot\frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$
2
Határozza meg a szabályos hatoldalú dobókockával dobott szám szórásnégyzetét és szórását.
A szórásnégyzet kiszámításához a $D^2(\xi) = E(\xi^2) - E^2(\xi)$ összefüggést használjuk. Először kiszámítjuk a négyzetek várható értékét:
$$E(\xi^2) = 1^2\cdot\frac{1}{6} + 2^2\cdot\frac{1}{6} + \dots + 6^2\cdot\frac{1}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.167$$
Az előző feladatból tudjuk, hogy $E(\xi) = 3.5$, így $E^2(\xi) = 12.25$.
A szórásnégyzet:
$$D^2(\xi) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.917$$
A szórás ennek a négyzetgyöke:
$$D(\xi) = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1.708$$
3
Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. A $\xi$ valószínűségi változó jelentse a dobott fejek számát. Határozza meg $\xi$ várható értékét.
Ez egy binomiális eloszlás, ahol a kísérletek száma $n = 3$, a siker (fej) valószínűsége pedig $p = 0.5$. Binomiális eloszlás esetén a várható érték $E(\xi) = n \cdot p$.
$$E(\xi) = 3 \cdot 0.5 = 1.5$$
Átlagosan tehát 1,5 fejet dobunk a három kísérlet során.
4
Milyen értékű az előző feladatban szereplő $\xi$ változó (a dobott fejek számának) szórása?
A binomiális eloszlás szórásnégyzetét a $D^2(\xi) = n \cdot p \cdot (1-p)$ képlet adja meg.
$$D^2(\xi) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.75$$
A szórás a szórásnégyzet gyöke:
$$D(\xi) = \sqrt{0.75} \approx 0.866$$
5
Egy sorsjegy 500 Ft-ba kerül. A sorsjeggyel 0,01 valószínűséggel 10000 Ft-ot, 0,05 valószínűséggel 2000 Ft-ot nyerünk, egyébként nem nyerünk semmit. Mennyi a játékos várható tiszta nyeresége egy sorsjegy megvásárlása esetén?
Kiszámítjuk a nyeremény (bevétel) várható értékét, majd levonjuk belőle a sorsjegy árát.
A nyeremény várható értéke:
$$E(\text{nyeremény}) = 0.01 \cdot 10000 + 0.05 \cdot 2000 + 0.94 \cdot 0 = 100 + 100 + 0 = 200 \text{ Ft}$$
A várható tiszta nyereség:
$$E(\text{tiszta nyereség}) = 200 \text{ Ft} - 500 \text{ Ft} = -300 \text{ Ft}$$
A játékos tehát átlagosan 300 Ft-ot veszít sorsjegyenként.
6
Egy urnában 4 piros és 6 kék golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk 2 golyót. Mennyi a kihúzott piros golyók számának várható értéke?
A visszatevés nélküli húzás hipergeometriai eloszlást követ. Paraméterei: alapsokaság mérete $N = 10$, selejtek (piros golyók) száma $M = 4$, húzott minta mérete $n = 2$.
A hipergeometriai eloszlás várható értéke:
$$E(\xi) = n \cdot \frac{M}{N} = 2 \cdot \frac{4}{10} = 0.8$$
7
Határozza meg a kihúzott piros golyók számának szórásnégyzetét a fenti urnamodellben (10 golyó, amiből 4 piros, visszatevés nélkül húzunk 2-t).
Egy $\xi$ valószínűségi változó várható értéke 5, szórása 2. Képezzük az $\eta = 3\xi - 4$ valószínűségi változót. Mennyi az $\eta$ változó várható értéke és szórása?
A várható érték lineáris tulajdonságai miatt $E(a\xi + b) = aE(\xi) + b$.
$$E(\eta) = 3 \cdot E(\xi) - 4 = 3 \cdot 5 - 4 = 11$$
A szórás esetén a konstans eltolás nem számít, a szorzó tényező abszolút értéke viszont kiemelhető: $D(a\xi + b) = |a| \cdot D(\xi)$.
$$D(\eta) = |3| \cdot D(\xi) = 3 \cdot 2 = 6$$
9
Egy céllövő 0,8 valószínűséggel talál a táblába. Ha 10 lövést ad le, mennyi a találatok számának várható értéke?
Mivel a lövések függetlenek, a találatok száma binomiális eloszlást követ $n = 10$ és $p = 0.8$ paraméterekkel.
A várható érték:
$$E(\xi) = n \cdot p = 10 \cdot 0.8 = 8$$
10
Milyen értékű a találatok számának szórásnégyzete és szórása a 10 lövésből álló, 0,8 találati valószínűségű sorozat esetén?
A binomiális eloszlás szórásnégyzete $D^2(\xi) = n \cdot p \cdot (1-p)$.
$$D^2(\xi) = 10 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 1.6$$
A szórás a fenti érték négyzetgyöke:
$$D(\xi) = \sqrt{1.6} \approx 1.265$$
11
Két szabályos dobókockával dobunk, a $\xi$ változó a dobott számok összege. Mennyi $\xi$ várható értéke?
Bár felírhatnánk az összeg eloszlását (a lehetséges értékek 2-től 12-ig), sokkal egyszerűbb a várható érték additivitását használni.
Legyen $\xi_1$ az első, $\xi_2$ a második kockával dobott szám. $E(\xi_1) = 3.5$ és $E(\xi_2) = 3.5$.
A várható értékek összegezhetők:
$$E(\xi) = E(\xi_1 + \xi_2) = E(\xi_1) + E(\xi_2) = 3.5 + 3.5 = 7$$
12
Két szabályos dobókockával dobunk, a $\xi$ változó a dobott számok abszolút különbsége. Mennyi $\xi$ várható értéke?
A 36 lehetséges kimenetelt elemezve az abszolút különbségek és gyakoriságuk a következők:
$0$: (1,1), (2,2), ... (6,6) - $6$ eset
$1$: (1,2), (2,3), ... plusz fordítva - $10$ eset
$2$: (1,3), (2,4), ... plusz fordítva - $8$ eset
$3$: (1,4), (2,5), ... plusz fordítva - $6$ eset
$4$: (1,5), (2,6) plusz fordítva - $4$ eset
$5$: (1,6) és (6,1) - $2$ eset
A valószínűségek ennek megfelelően alakulnak. A várható érték:
$$E(\xi) = 0\cdot\frac{6}{36} + 1\cdot\frac{10}{36} + 2\cdot\frac{8}{36} + 3\cdot\frac{6}{36} + 4\cdot\frac{4}{36} + 5\cdot\frac{2}{36}$$
$$E(\xi) = \frac{0 + 10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18} \approx 1.944$$
13
Egy 32 lapos magyar kártyacsomagból visszatevés nélkül kihúzunk 5 lapot. Mennyi a kihúzott ászok számának várható értéke?
Ez a feladat is hipergeometriai eloszlással írható le. A paraméterek: $N = 32$ (összes lap), $M = 4$ (ászok száma), $n = 5$ (húzott lapok száma).
A várható érték:
$$E(\xi) = n \cdot \frac{M}{N} = 5 \cdot \frac{4}{32} = 5 \cdot \frac{1}{8} = 0.625$$
Átlagosan tehát 0,625 ászt húzunk 5 lapból.
14
Egy diák egy 10 kérdéses feleletválasztós tesztet ír. Minden kérdésnél 4 opció van, amiből pontosan 1 helyes. Ha a diák teljesen véletlenszerűen tippel mind a 10 kérdésnél, mennyi a helyes válaszok számának várható értéke és szórása?
A tippek egymástól függetlenek, minden tippelésnél $p = \frac{1}{4} = 0.25$ a helyes válasz valószínűsége. A próbálkozások száma $n = 10$. Ez egy binomiális eloszlás.
A várható érték:
$$E(\xi) = n \cdot p = 10 \cdot 0.25 = 2.5$$
A szórásnégyzet $D^2(\xi) = 10 \cdot 0.25 \cdot 0.75 = 1.875$. A szórás a szórásnégyzet gyöke:
$$D(\xi) = \sqrt{1.875} \approx 1.369$$
15
Egy $\xi$ valószínűségi változó esetén ismert, hogy $E(\xi) = 4$ és $E(\xi^2) = 25$. Határozza meg a változó szórását.
A szórásnégyzet felírásához az ismert $D^2(\xi) = E(\xi^2) - E^2(\xi)$ egyenlőséget alkalmazzuk.
A megadott értékeket behelyettesítve:
$$D^2(\xi) = 25 - 4^2 = 25 - 16 = 9$$
A szórás a szórásnégyzet pozitív négyzetgyöke, tehát:
$$D(\xi) = \sqrt{9} = 3$$
16
Egy rulettkeréken 37 szám van (0-tól 36-ig). Ha egy számra 1000 Ft-ot teszünk fel, győzelem esetén 36000 Ft-ot kapunk vissza (vagyis 35000 Ft a tiszta nyereség), egyébként elveszítjük a tétet. Mennyi a játékos tiszta nyereségének várható értéke egy körben?
Két lehetséges kimenetel van:
1. Nyerünk, ennek valószínűsége $p_1 = \frac{1}{37}$, a tiszta nyereség $35000 \text{ Ft}$.
2. Veszítünk, ennek valószínűsége $p_2 = \frac{36}{37}$, a tiszta nyereség $-1000 \text{ Ft}$.
A tiszta nyereség várható értéke:
$$E(\xi) = \frac{1}{37} \cdot 35000 + \frac{36}{37} \cdot (-1000) = \frac{35000 - 36000}{37} = -\frac{1000}{37} \approx -27.03 \text{ Ft}$$
Minden 1000 forintos feltett tétből átlagosan körülbelül 27 forintot nyer a kaszinó.
17
Addig dobunk egy szabályos dobókockával, amíg 6-ost nem kapunk. Mennyi a dobások számának várható értéke?
A dobások száma az első sikerig geometriai eloszlást követ. A siker (6-os dobása) valószínűsége $p = \frac{1}{6}$.
A geometriai eloszlás várható értékét az $E(\xi) = \frac{1}{p}$ összefüggés adja meg.
$$E(\xi) = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$$
Átlagosan tehát 6-szor kell dobnunk az első 6-osig.
18
Egy vállalkozás két befektetés közül választhat. Az 'A' befektetés biztosan hoz 1 millió forintot. A 'B' befektetés 50% eséllyel 3 millió forintot hoz, 50% eséllyel pedig 0,5 millió forint veszteséggel jár (-0,5 millió Ft hozam). Melyik befektetésnek nagyobb a hozamának várható értéke, és mennyivel?
Az 'A' befektetés várható értéke triviális, hiszen egyetlen kimenetele van (biztos esemény): $E(A) = 1$ millió Ft.
A 'B' befektetés várható hozama:
$$E(B) = 0.5 \cdot 3 + 0.5 \cdot (-0.5) = 1.5 - 0.25 = 1.25 \text{ millió Ft}$$
A 'B' befektetés hozamának várható értéke tehát 0,25 millió (azaz 250 000) forinttal nagyobb, bár nagyobb kockázattal (szórással) is jár.
19
Tíz vendég leadja a kalapját az étterem ruhatárában. Távozáskor a ruhatáros teljesen véletlenszerűen osztja ki a 10 kalapot a 10 vendégnek. Mennyi azoknak a személyeknek a várható száma, akik a saját kalapjukat kapják vissza?
Bár az események (ki melyik kalapot kapja) nem függetlenek, a várható érték additivitása mindig érvényes. Használjunk indikátorváltozókat. Legyen $I_k = 1$, ha a $k$-adik ember a sajátját kapja, és $I_k = 0$, ha nem.
Bármelyik vendég pontosan $\frac{1}{10}$ eséllyel kapja a saját kalapját, így $E(I_k) = \frac{1}{10}$.
A saját kalapot visszakapók száma $\xi = I_1 + I_2 + \dots + I_{10}$.
$$E(\xi) = E(I_1) + E(I_2) + \dots + E(I_{10}) = 10 \cdot \frac{1}{10} = 1$$
Átlagosan 1 ember kapja vissza a saját kalapját, a vendégek számától függetlenül.
20
Legyen $\xi$ és $\eta$ két független valószínűségi változó. Ismert, hogy $E(\xi) = 2$, $D(\xi) = 3$, $E(\eta) = -1$, $D(\eta) = 4$. Határozza meg a $Z = 2\xi - 3\eta + 5$ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.
A várható érték lineáris, így függetlenség nélkül is igaz:
$$E(Z) = 2E(\xi) - 3E(\eta) + 5 = 2(2) - 3(-1) + 5 = 4 + 3 + 5 = 12$$
A szórásnégyzet esetében a függetlenség miatt a szórásnégyzetek összeadódnak (mínusz jel esetén is, mert a konstans négyzete pozitív). Az összefüggés: $D^2(a\xi + b\eta + c) = a^2D^2(\xi) + b^2D^2(\eta)$.
$$D^2(\xi) = 3^2 = 9 \text{ és } D^2(\eta) = 4^2 = 16$$
$$D^2(Z) = 2^2 \cdot D^2(\xi) + (-3)^2 \cdot D^2(\eta) = 4 \cdot 9 + 9 \cdot 16 = 36 + 144 = 180$$