A geometriai valószínűséget akkor alkalmazzuk, ha a lehetséges kimenetelek halmaza folytonos, és a valószínűséget valamilyen geometriai mérték (hosszúság, terület, térfogat vagy szög) arányaként tudjuk kifejezni. Ebben a modulban az egyszerű vonalas modellektől kezdve az összetett, síkbeli és térbeli optimalizációs problémákig tekintjük át a feladatokat. Megvizsgáljuk a találkozási problémákat, a véletlen együtthatós egyenleteket és a sokszögekhez kapcsolódó eséllyel kapcsolatos kérdéseket, amelyek gyakran előfordulnak az emelt szintű érettségin.
1
Egy $10$ egység hosszú szakaszon véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ez a pont közelebb van a szakasz felezőpontjához, mint bármelyik végpontjához?
A pontnak a szakasz középső felén kell elhelyezkednie. Ha a szakaszt négy egyenlő $2.5$ egység hosszú részre osztjuk, akkor a két középső negyed az a tartomány, ahonnan választva a pont közelebb lesz a felezőponthoz. A kedvező rész hossza $5$, az összes esetnek megfelelő hossz $10$. A keresett valószínűség $P = \frac{5}{10} = 0.5$.
2
Egy $a$ oldalú négyzet belsejében véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a pont a négyzetbe írható körön belülre esik?
Az összes lehetséges esetet a négyzet területe reprezentálja, ami $T_{osszes} = a^2$. A kedvező eseteket a négyzetbe írt kör területe adja, melynek sugara $r = \frac{a}{2}$. A kör területe $T_{kedvezo} = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \pi = \frac{a^2 \pi}{4}$. A valószínűség a két terület aránya: $P = \frac{T_{kedvezo}}{T_{osszes}} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
3
Két barát megbeszéli, hogy 12:00 és 13:00 között találkoznak egy kávézóban. Mindketten véletlenszerű és egymástól független időpontban érkeznek, és legfeljebb $15$ percet várnak a másikra. Mennyi a valószínűsége annak, hogy létrejön a találkozó?
Ez egy klasszikus találkozási probléma. Ábrázoljuk az érkezési időket percekben mérve egy $60 \times 60$-as négyzeten, ahol $x$ és $y$ az érkezési idők. A feltétel $|x - y| \le 15$. Az eseménytér területe $60 \times 60 = 3600$. A nem kedvező esetek tartománya két derékszögű háromszög a sarokban, melyeknek befogói $45$ egység hosszúak. Ezen háromszögek együttes területe $45 \times 45 = 2025$. A kedvező terület $3600 - 2025 = 1575$. A valószínűség $P = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16}$.
4
Legyenek $p$ és $q$ véletlenszerűen kiválasztott valós számok a $[-1, 1]$ zárt intervallumból. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az $x^2 + px + q = 0$ másodfokú egyenletnek vannak valós gyökei?
A valós gyökök feltétele, hogy a diszkrimináns nem negatív: $D = p^2 - 4q \ge 0$, azaz $q \le \frac{p^2}{4}$. Az eseménytér a $[-1, 1] \times [-1, 1]$ négyzet, melynek területe $4$. A kedvező tartomány a $q = \frac{p^2}{4}$ parabola alatti rész ezen a négyzeten belül. Integrálással kiszámoljuk a területet a $q = -1$ egyenestől a paraboláig: $\int_{-1}^{1} \left(\frac{p^2}{4} - (-1)\right) dp = \left[ \frac{p^3}{12} + p \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{12} + 1\right) - \left(-\frac{1}{12} - 1\right) = \frac{2}{12} + 2 = \frac{13}{6}$. A valószínűség $P = \frac{13/6}{4} = \frac{13}{24}$.
5
Egy rudat két véletlenszerű pontban eltörünk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott három darabból lehet háromszöget szerkeszteni?
Legyen a rúd hossza $1$, a töréspontok koordinátái pedig $x$ és $y$. Az eseménytér egy egységnégyzet. Ahhoz, hogy a három szakaszból háromszöget lehessen szerkeszteni, a háromszög-egyenlőtlenségnek kell teljesülnie, ami azt jelenti, hogy egyik darab sem lehet hosszabb, mint a rúd fele ($0.5$). Ha felrajzoljuk az $x, y \in [0, 1]$ négyzeten a feltételeket, a kedvező terület két kis háromszögből áll a négyzet belsejében, amelyek együttesen a négyzet területének negyedét teszik ki. Tehát $P = \frac{1}{4}$.
6
Adott egy $A=(0,0)$ és $B=(1,0)$ végpontokkal rendelkező szakasz egy $1 \times 1$-es négyzet alsó élén. A négyzet belsejében véletlenszerűen kiválasztunk egy $C$ pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az $ABC$ háromszög tompaszögű lesz?
Az $ABC$ háromszög akkor tompaszögű a $C$ csúcsnál, ha a $C$ pont az $AB$ szakasz fölé rajzolt Thalesz-körön belül helyezkedik el. A $A$-nál vagy $B$-nél lévő szög akkor lenne tompaszög, ha $C$ az $x < 0$ vagy $x > 1$ tartományba esne, de a pontot a négyzet belsejéből választjuk, így ezek kizártak. Tehát csak a félkör területe a kedvező. A félkör sugara $r = 0.5$, területe $T = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (0.5)^2 = \frac{\pi}{8}$. Mivel a négyzet területe $1$, a valószínűség $P = \frac{\pi}{8}$.
7
Egy egyenlő oldalú háromszög belsejében véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a pont távolsága a háromszög alapjától kisebb, mint a háromszög magasságának harmada?
A nem kedvező tartomány (ahol a távolság nagyobb, mint $h/3$) egy kisebb egyenlő oldalú háromszög, amelynek magassága az eredeti magasság $2/3$-a. Mivel a területek aránya a hasonlósági arány négyzete, a felső, kisebb háromszög területe az eredeti terület $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ része. A kedvező terület (az alsó sáv) így az eredeti terület $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ része. A valószínűség $P = \frac{5}{9}$.
8
Egy $L$ hosszúságú szakaszon véletlenszerűen és függetlenül kijelölünk két pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két pont távolsága legalább $L/3$?
Ábrázoljuk a lehetséges pontpárokat egy $L \times L$ méretű négyzeten. A feltétel: $|x - y| \ge \frac{L}{3}$. Ez a terület a négyzet két sarkában elhelyezkedő derékszögű háromszöget jelent. Az egyik háromszög befogói $L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ hosszúak. A két háromszög együttes területe $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2L}{3}\right)^2 = \frac{4L^2}{9}$. A négyzet teljes területe $L^2$, így a keresett valószínűség $P = \frac{4}{9}$.
9
Egy egységnégyzet belsejében véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ez a pont közelebb van a négyzet középpontjához, mint a négyzet bármelyik csúcsához?
Egy csúcs és a középpont közötti távolság felezőmerőlegese elválasztja a csúcshoz közelebbi és a középponthoz közelebbi régiókat. A négy csúcs esetén ez a négy felezőmerőleges egy kisebb négyzetet zár be a nagy négyzet közepén. Ez a kisebb négyzet a nagy négyzet oldalfelező pontjait köti össze, azaz $45$ fokkal el van forgatva. Ennek a belső négyzetnek a területe az eredeti négyzet területének pontosan a fele. Így a valószínűség $P = 0.5$.
10
Legyenek $x$ és $y$ véletlenszerű valós számok a $[0, 2]$ intervallumból. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a $y \le x^2$ és az $x \le y^2$ egyenlőtlenségek egyszerre teljesülnek?
Az eseménytér a $[0, 2] \times [0, 2]$ négyzet, melynek területe $4$. A kedvező tartomány az $y = x^2$ és az $x = y^2$ (vagyis $y = \sqrt{x}$) görbék közötti terület. Ezek a görbék a $(0,0)$ és $(1,1)$ pontokban metszik egymást. A közbezárt terület az integrál segítségével számítható: $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. A keresett valószínűség a kedvező terület és az összes terület hányadosa: $P = \frac{1/3}{4} = \frac{1}{12}$.
11
Választunk két valós számot, $a$-t és $b$-t, egyenletes eloszlás szerint a $[0, 1]$ intervallumból. Mennyi a valószínűsége annak, hogy $a+b$ értékét a legközelebbi egész számra kerekítve $1$-et kapunk?
Az $a+b$ összeg kerekítve akkor lesz $1$, ha $0.5 \le a+b < 1.5$. Az eseménytér egy $1 \times 1$-es négyzet, területe $1$. Az $a+b < 0.5$ tartomány egy derékszögű háromszög az origónál, befogói $0.5$, területe $0.125$. Az $a+b \ge 1.5$ tartomány egy hasonló háromszög a szemközti $(1,1)$ csúcsnál, területe szintén $0.125$. A kedvező esetek területe a kettő közötti hatszög, melynek területe: $1 - 0.125 - 0.125 = 0.75$. Tehát a valószínűség $P = \frac{3}{4}$.
12
Egy egységsugarú kör kerületén véletlenszerűen kiválasztunk két pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két pontot összekötő húr hossza nagyobb, mint $\sqrt{2}$?
Rögzítsük az egyik pontot a körvonalon. A húr hossza pontosan $\sqrt{2}$, ha a két pont a kör középpontjából derékszögben látszik (a körbe írt négyzet oldala). Ahhoz, hogy a húr hosszabb legyen $\sqrt{2}$-nél, a második pontnak a rögzített ponttal szemközti, a körvonal felét kitevő ívre kell esnie (amelyet a két $90^\circ$-ra lévő pont határol). Ez a körvonal pontosan fele, így a valószínűség $P = \frac{1}{2}$.
13
Egy kör kerületén véletlenszerűen kiválasztunk három pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az általuk alkotott háromszög hegyesszögű lesz?
A háromszög akkor hegyesszögű, ha a kör középpontja a háromszög belsejébe esik. Rögzítsük az egyik pontot. A második pont kiválasztása egy átmérőt határoz meg az első ponttal. A harmadik pontnak úgy kell elhelyezkednie, hogy a három pont ne ugyanarra a félkörívre essen. Ennek kiszámításakor kiderül, hogy a kedvező események térfogata a lehetséges elrendezések negyede. A keresett valószínűség tehát $P = \frac{1}{4}$.
14
Egy $a$ oldalhosszúságú négyzet belsejében kiválasztunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a pont távolsága a négyzet legközelebbi oldalától kisebb, mint $a/6$?
Vizsgáljuk meg a nem kedvező esetet: a pont távolsága minden oldaltól legalább $a/6$. Ezek a pontok egy belső négyzetet alkotnak, amelynek oldalhossza $a - 2 \cdot \frac{a}{6} = \frac{4a}{6} = \frac{2a}{3}$. A belső négyzet területe $\left(\frac{2a}{3}\right)^2 = \frac{4a^2}{9}$. A kedvező esetek a külső sávban találhatók, melynek területe $a^2 - \frac{4a^2}{9} = \frac{5a^2}{9}$. Így a valószínűség $P = \frac{5}{9}$.
15
Két vonat érkezik egy állomásra, mindkettő függetlenül, valamikor 8:00 és 9:00 között. Az első vonat pontosan $10$ percet várakozik, a második vonat pedig $20$ percet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy lesz olyan időpillanat, amikor mindkét vonat az állomáson tartózkodik?
Legyen az érkezési idő percben $x$ és $y$. A találkozás feltétele: $y \le x + 10$ és $x \le y + 20$. Az eseménytér a $[0, 60] \times [0, 60]$ négyzet, területe $3600$. A nem kedvező terület két sarokháromszög. Az $y > x + 10$ feletti háromszög befogói $50$ hosszúak, területe $\frac{50^2}{2} = 1250$. Az $x > y + 20$ alatti háromszög befogói $40$ hosszúak, területe $\frac{40^2}{2} = 800$. A kedvező terület: $3600 - 1250 - 800 = 1550$. A valószínűség $P = \frac{1550}{3600} = \frac{31}{72}$.
16
Egy $R$ sugarú gömb belsejében véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a pontnak a gömb középpontjától mért távolsága kisebb, mint $R/2$?
A térbeli valószínűségnél a térfogatokat kell arányítani. Az eseménytér a nagy gömb, melynek térfogata $V_{osszes} = \frac{4}{3}R^3\pi$. A kedvező tartomány a belső, $R/2$ sugarú gömb, melynek térfogata $V_{kedvezo} = \frac{4}{3}\left(\frac{R}{2}\right)^3\pi = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}R^3\pi$. A valószínűség a két térfogat aránya: $P = \frac{1}{8}$. Érdekesség, hogy ez az érték sokkal kisebb, mint a megfelelő síkbeli körös probléma eredménye ($1/4$).
17
Egy padló egymástól $d$ távolságra lévő párhuzamos vonalakkal van felrajzolva. Lédobunk egy $D$ átmérőjű pénzérmét úgy, hogy $D < d$. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az érme nem érinti egyik vonalat sem?
Ez a probléma egy egydimenziós vonalas geometriai valószínűséggé egyszerűsíthető. Az érme középpontja egyenlő eséllyel eshet bárhova két vonal között (a sáv szélessége $d$). Az érme pontosan akkor nem érinti a vonalakat, ha középpontja legalább $D/2$ távolságra van a bal, és $D/2$ távolságra a jobb oldali vonaltól. A kedvező sáv szélessége tehát $d - 2 \cdot (D/2) = d - D$. A valószínűség $P = \frac{d - D}{d}$.
18
Kiválasztunk két véletlenszerű számot a $[0, 1]$ intervallumból ($x$ és $y$). Mennyi a valószínűsége annak, hogy az $x+y < 1$ és az $xy < 0.25$ feltételek mindkettő teljesül?
Az $x+y < 1$ feltétel a $[0, 1] \times [0, 1]$ négyzet alsó háromszögét definiálja, melynek területe $0.5$. Vizsgáljuk meg a második feltételt ezen a háromszögön belül! A számtani-mértani közép egyenlőtlenség szerint $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$. Mivel $x+y < 1$, így $\sqrt{xy} < \frac{1}{2}$, ami négyzetre emelve $xy < 0.25$. Tehát a háromszög minden pontja triviálisan kielégíti a második feltételt. A valószínűség egyszerűen a háromszög területe: $P = 0.5$.
19
Egy $1$ egység hosszú rudat két véletlenszerű pontban eltörünk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott három darab közül pontosan egy darab hosszabb $0.5$ egységnél?
Mint tudjuk, a háromszög szerkeszthetőségének feltétele, hogy minden darab rövidebb legyen $0.5$-nél, aminek valószínűsége $1/4$. Két darab nem lehet egyszerre hosszabb $0.5$-nél, mert a darabok összege összesen $1$. Így, ha nem lehet háromszöget szerkeszteni (aminek a valószínűsége $1 - 1/4 = 3/4$), akkor biztosak lehetünk benne, hogy pontosan egy darab lesz hosszabb $0.5$-nél. A keresett valószínűség tehát $P = \frac{3}{4}$.
20
Egy $R$ sugarú, origó középpontú körlap belsejéből véletlenszerűen kiválasztunk egy $(x, y)$ pontot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az $|x| + |y| \le R$ egyenlőtlenség is teljesül, vagyis a pont egy beírt négyzetbe is beleesik?
Az eseménytér az origó középpontú, $R$ sugarú kör, amelynek területe $T_{kor} = R^2\pi$. Az $|x| + |y| \le R$ egyenlőtlenség egy origó középpontú négyzetet ír le, amelynek csúcsai a koordinátatengelyeken helyezkednek el: $(R,0), (0,R), (-R,0), (0,-R)$. Ez pontosan a körbe írt négyzet. A négyzet átlója $2R$, így a területe $T_{negyzet} = \frac{(2R)^2}{2} = 2R^2$. A keresett valószínűség a területek hányadosa: $P = \frac{2R^2}{R^2\pi} = \frac{2}{\pi} \approx 0.636$.