Eseményalgebra alapjai

Az eseménytér (vagy mintatér) a kísérlet összes lehetséges, egymást páronként kizáró kimenetelének halmaza. Kockadobás esetén ez hat elemi eseményből áll: $$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

Az $A$ esemény halmaza: $A = \{2, 4, 6\}$.
Ennek komplementere az eseménytérre ($\Omega$) vonatkozó kiegészítő halmaz, azaz azon elemi események halmaza, amelyek nincsenek benne $A$-ban:
$$\overline{A} = \Omega \setminus A = \{1, 3, 5\}$$
Szavakban: A dobás eredménye páratlan szám.

Az összeg 7 esemény kimenetelei:
$A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$
Az $A \cap B$ esemény azokat a számpárokat tartalmazza, amelyek $A$-ban is benne vannak, és $B$-ben is (azaz van bennük 6-os). A felsorolt $A$ halmazból ezek a következők:
$$A \cap B = \{(1,6), (6,1)\}$$

Két esemény kizárja egymást, ha egyszerre nem következhetnek be (például egy kockadobás nem lehet egyszerre páros és 3-as).
Halmazelméleti fogalmakkal kifejezve ez azt jelenti, hogy a két esemény diszjunkt halmazokat alkot, azaz a metszetük üres halmaz:
$$A \cap B = \emptyset$$

A kártyacsomagban 8 darab piros lap van ($|A| = 8$).
A csomagban 4 darab ász van ($|B| = 4$).
A "piros ász" mindkét halmaznak eleme, így a metszet 1 elemű ($|A \cap B| = 1$).
A logikai szita-formula alapján az unió elemeinek száma:
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 8 + 4 - 1 = 11$$

A két De Morgan-azonosság:
1. $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
2. $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

Az első azonosság jelentése szavakban: Ha nem igaz, hogy "legalább az egyik esemény bekövetkezik" ($A \cup B$ komplementere), az pontosan azt jelenti, hogy "az $A$ sem következik be, és a $B$ sem következik be" ($\overline{A}$ és $\overline{B}$ metszete).

Andrej Kolmogorov az alábbi három axiómára építette fel a valószínűségszámítást:
1. Bármely $A$ esemény valószínűsége egy nemnegatív valós szám: $$P(A) \ge 0$$ 2. A biztos esemény ($\Omega$) valószínűsége 1: $$P(\Omega) = 1$$ 3. ($\sigma$-additivitás) Ha $A_1, A_2, \dots$ egymást páronként kizáró események végtelen (vagy véges) sorozata, akkor az uniójuk valószínűsége egyenlő a valószínűségeik összegével: $$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots) = P(A_1) + P(A_2) + \dots$$

Az $A$ és az $\overline{A}$ események egymást kizárják ($A \cap \overline{A} = \emptyset$), és uniójuk kiadja a biztos eseményt ($A \cup \overline{A} = \Omega$).

A 3. axióma (additivitás) alapján: $$P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A})$$ Mivel $A \cup \overline{A} = \Omega$, felírható, hogy: $$P(\Omega) = P(A) + P(\overline{A})$$ A 2. axióma szerint a biztos esemény valószínűsége 1, így: $$1 = P(A) + P(\overline{A})$$ Átrendezve a kapott egyenletet megkapjuk a keresett állítást: $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

A lehetetlen esemény az üres halmaz ($\emptyset$). Ez egyben a biztos esemény ($\Omega$) komplementere, hiszen $\overline{\Omega} = \emptyset$.

Az előző feladatban bebizonyítottuk a komplementer eseményre vonatkozó összefüggést. Ezt alkalmazva az $\Omega$ eseményre: $$P(\emptyset) = P(\overline{\Omega}) = 1 - P(\Omega)$$ A 2. axióma szerint $P(\Omega) = 1$, tehát: $$P(\emptyset) = 1 - 1 = 0$$

Állítás: $P(A) \le P(B)$.

Bizonyítás: Ha $A \subset B$, akkor a $B$ halmaz felírható két diszjunkt halmaz uniójaként: maga az $A$ halmaz, és a $B$-nek az $A$-n kívüli része, vagyis $B \setminus A$. $$B = A \cup (B \setminus A)$$ Mivel e két rész diszjunkt, a 3. axióma szerint: $$P(B) = P(A) + P(B \setminus A)$$ Az 1. axióma kimondja, hogy minden esemény valószínűsége nemnegatív, ezért $P(B \setminus A) \ge 0$. Így a $P(A)$-hoz egy nemnegatív számot adva kapjuk meg $P(B)$-t, ami azt jelenti, hogy: $$P(B) \ge P(A)$$

Bármely két esemény összegének (uniójának) valószínűsége kiszámítható a szita-formula segítségével: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Behelyettesítve a megadott értékeket: $$P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8$$ Az unió valószínűsége tehát 0.8 (vagy 80%).

Nem lehetséges.

Vegyünk két eseményt, $A$-t és $B$-t, ahol $P(A) > 0$ és $P(B) > 0$ (mivel egyik sem lehetetlen).
Ha a két esemény egymást kizáró, akkor a metszetük üres, így a metszet valószínűsége: $$P(A \cap B) = 0$$ Ha a két esemény független, akkor definíció szerint a metszet valószínűsége megegyezik a valószínűségek szorzatával: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Mivel $P(A)$ és $P(B)$ is szigorúan pozitív, a szorzatuk is az lenne ($> 0$). Ez ellentmond annak, hogy az érték 0. A két feltétel tehát egyszerre nem teljesülhet.

A "pontosan egy következik be" azt jelenti, hogy három egymást kizáró esetet kell összekapcsolnunk (unióval):

• Csak az $A$ következik be (tehát $B$ nem, $C$ nem): $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
• Csak a $B$ következik be: $\overline{A} \cap B \cap \overline{C}$
• Csak a $C$ következik be: $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$

A keresett kifejezés e három eset uniója: $$(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$$

Az $A \setminus B$ (vagy "A kivéve B") azon elemek halmaza, amelyek $A$-ban benne vannak, de $B$-ben nincsenek.
Ezt metszettel és komplementerrel így írhatjuk fel: $$A \cap \overline{B}$$ Valószínűségszámítási jelentése: Az az esemény következik be, hogy az $A$ bekövetkezik, és azzal egy időben a $B$ nem következik be.

A szimmetrikus differencia ($A \Delta B$) azt az eseményt jelenti, hogy a két esemény közül pontosan az egyik következik be. Kifejezve: $$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$ Mivel ez az unió halmaza mínusz a metszet halmaza, a valószínűsége a következőképpen alakul: $$P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$$ Alkalmazva a szita-formulát a $P(A \cup B)$ kifejtésére: $$P(A \Delta B) = \big( P(A) + P(B) - P(A \cap B) \big) - P(A \cap B)$$ $$P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2 \cdot P(A \cap B)$$

A szita-formula értelmében: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ A Kolmogorov-axiómák (1. axióma) szerint bármely esemény, így az $A \cap B$ metszet valószínűsége is nemnegatív, azaz $P(A \cap B) \ge 0$.

Ha egy összegből levonunk egy nemnegatív számot, az eredmény legfeljebb akkora maradhat, mint az eredeti összeg volt. Így: $$P(A \cup B) \le P(A) + P(B)$$ Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha $P(A \cap B) = 0$, ami akkor igaz, ha a két esemény diszjunkt, azaz egymást kizáró.

Alkalmazzuk a disztributivitási szabályt "visszafelé" (kiemelés). Mindkét zárójelben szerepel az "$A \cup$" tag, amit kiemelhetünk: $$(A \cup B) \cap (A \cup \overline{B}) = A \cup (B \cap \overline{B})$$ Tudjuk, hogy egy esemény és annak komplementere sosem következhet be egyszerre, ezért metszetük a lehetetlen esemény (üres halmaz): $B \cap \overline{B} = \emptyset$. Így a kifejezés a következőképp egyszerűsödik: $$A \cup \emptyset = A$$ Tehát a teljes kifejezés egyszerűen az $A$ eseménnyel egyenértékű.

A három eseményre vonatkozó szita-formula a metszetek felváltva történő levonásával és hozzáadásával küszöböli ki a többszörös számolást: $$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

Legyen $A$ az az esemény, hogy angolt tanul, $N$ pedig, hogy németet. Az adatok alapján:
$P(A) = 0.60$
$P(N) = 0.50$
$P(A \cap N) = 0.20$

Annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik nyelvet tanulja (unió): $$P(A \cup N) = P(A) + P(N) - P(A \cap N) = 0.60 + 0.50 - 0.20 = 0.90$$ A keresett esemény, hogy egyiket sem tanulja, az unió komplementere (De Morgan-azonosság miatt: $\overline{A} \cap \overline{N} = \overline{A \cup N}$).
Ennek valószínűsége: $$1 - P(A \cup N) = 1 - 0.90 = 0.10$$ Tehát a valószínűség 10%.

Induljunk ki a szita-formulából átrendezett formában: $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$$ Behelyettesítve a feltételeket ($P(A) = 1$ és $P(B) = 1$): $$P(A \cap B) = 1 + 1 - P(A \cup B) = 2 - P(A \cup B)$$ A valószínűség axiómái szerint semelyik esemény, így az unió valószínűsége sem haladhatja meg az 1-et ($P(A \cup B) \le 1$). Továbbá, mivel $A \subset (A \cup B)$ és $P(A)=1$, az unió valószínűsége pontosan $1$.
Ezt behelyettesítve: $$P(A \cap B) = 2 - 1 = 1$$ Ezzel az állítást igazoltuk.