Valószínűségi változók és eloszlások

1

Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy szabályos pénzérmét ötször feldobva pontosan háromszor kapunk fejet.

A pénzfeldobás független, azonos esélyű kísérlet (Bernoulli-kísérlet), így a fejek száma binomiális eloszlást követ. A paraméterek: $n = 5$ (dobások száma), $k = 3$ (kedvező esetek száma), $p = 0,5$ (fej dobásának valószínűsége).

A valószínűség: $P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0,5^3 \cdot (1-0,5)^2 = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125$.

2

Egy dobozban 5 piros és 7 kék golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk 4 golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2 piros golyót húzunk.

Mivel visszatevés nélkül húzunk egy véges sokaságból, a piros golyók száma hipergeometrikus eloszlást követ. Összes golyó $N = 12$, piros golyók $K = 5$, húzások száma $n = 4$, keresett pirosak száma $k = 2$.

$P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0,4242$.

3

Egy cinkelt érme 0,6 valószínűséggel mutat fejet. Ha 10-szer dobjuk fel, mennyi a fejek számának várható értéke és szórása.

A dobások sorozata binomiális eloszlást jelent, $n = 10$, $p = 0,6$ paraméterekkel.

A várható érték: $E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0,6 = 6$.
A szórásnégyzet: $D^2(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 10 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 2,4$.
A szórás: $D(X) = \sqrt{2,4} \approx 1,549$.

4

Az ötöslottón 90 számból 5-öt húznak ki. Mennyi a találatok számának várható értéke egyetlen, 5 számot tartalmazó szelvény kitöltése esetén.

A találatok száma hipergeometrikus eloszlású. Az alapsokaság $N=90$, a kedvező elemek (a mi kitöltött számaink) $K=5$, a minta nagysága (a kihúzott számok) $n=5$.

A várható érték képlete alapján: $E(X) = n \cdot \frac{K}{N} = 5 \cdot \frac{5}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18} \approx 0,278$.

5

Egy céllövő 0,8 valószínűséggel talál a táblába. Ha hatszor lő, mennyi a valószínűsége, hogy legalább ötször eltalálja a célt.

Binomiális eloszlás, ahol $n=6$ és $p=0,8$. A legalább öt találat azt jelenti, hogy 5 vagy 6 találatot ér el.

$P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)$.
$P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0,8^5 \cdot 0,2^1 = 6 \cdot 0,32768 \cdot 0,2 = 0,393216$.
$P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0,8^6 \cdot 0,2^0 = 1 \cdot 0,262144 \cdot 1 = 0,262144$.
Összesítve: $P(X \ge 5) = 0,393216 + 0,262144 = 0,65536$.

6

Egy gyárban 100 termékből 5 hibás. Visszatevéssel, illetve visszatevés nélkül is kiveszünk 10 darabot. Határozza meg mindkét esetben annak valószínűségét, hogy pontosan 1 hibás lesz a kiválasztottak között.

Visszatevéssel (Binomiális eloszlás): Minden húzás független, $p = \frac{5}{100} = 0,05$.
$P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^9 \approx 10 \cdot 0,05 \cdot 0,6302 \approx 0,3151$.

Visszatevés nélkül (Hipergeometrikus eloszlás): $N=100$, $K=5$, $n=10$.
$P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{95}{9}}{\binom{100}{10}} \approx 0,3394$.

7

Egy urnában 10 fehér és 10 fekete golyó van. Visszatevéssel húzunk 5 golyót. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott fehér golyók száma szigorúan nagyobb lesz, mint a fekete golyók száma.

Visszatevéses húzás miatt ez egy binomiális modell, ahol $p=0,5$ és $n=5$. Jelölje $X$ a fehér golyók számát. A feltétel: $X > 5 - X$, azaz $2X > 5$, tehát $X \ge 3$.

Mivel a $p=0,5$ paraméter szimmetrikus, és páratlan számú ($n=5$) húzás esetén lehetetlen a döntetlen ($X=2,5$), a kimenetelek pontosan fele felel meg annak, hogy több fehér van, mint fekete.
A valószínűség pontosan $0,5$. Formálisan kiszámolva: $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = 0,5$.

8

Egy 50 darabos laptop szállítmányban 4 hibás készülék található. Egy iskola véletlenszerűen vásárol 10 darabot a szállítmányból. Mennyi a valószínűsége, hogy egyetlen hibás laptopot sem kapnak.

Hipergeometrikus eloszlásról van szó, hiszen a vásárlás visszatevés nélküli mintavétel. $N=50$, $K=4$ (hibás), $n=10$, $k=0$.

$P(X=0) = \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{46}{10}}{\binom{50}{10}} = \frac{1 \cdot 3967152468}{10272278170} \approx 0,3862$.

9

Egy feleletválasztós teszt 10 kérdésből áll, mindegyiknél 4 opció van, melyek közül pontosan egy helyes. Egy diák teljesen véletlenszerűen tippel az összes kérdésre. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 50 százalékos eredményt ér el.

A 10 kérdés pontosan felét, azaz 5-öt kell eltalálnia. Mivel minden tipp független és a siker valószínűsége azonos, binomiális eloszlással számolunk. $n=10$, $p=0,25$, $k=5$.

$P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot 0,25^5 \cdot 0,75^5 = 252 \cdot 0,0009765 \cdot 0,23730 \approx 0,0584$.

10

Egy 52 lapos francia kártyacsomagot megkeverünk, majd kihúzunk belőle 5 lapot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 3 kőr lesz a kezeink között.

Hipergeometrikus eloszlást alkalmazunk. Az összes kártya $N=52$, a kőrök száma $K=13$, a húzások száma $n=5$, a keresett kőrök száma pedig $k=3$. A maradék $52-13=39$ lap nem kőr.

$P(X=3) = \frac{\binom{13}{3} \cdot \binom{39}{2}}{\binom{52}{5}} = \frac{286 \cdot 741}{2598960} \approx 0,0815$.

11

Négy darab szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Jelölje X a dobott hatosok számát. Adja meg az X valószínűségi változó eloszlását.

Az $X$ valószínűségi változó a sikeres (hatos) dobások számát méri egy független kísérletsorozatban, így binomiális eloszlást követ. A paraméterei $n=4$ és $p=\frac{1}{6}$.

Lehetséges értékei: $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Az eloszlás analitikus formája:
$P(X=k) = \binom{4}{k} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^k \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-k}$.

12

Egy aszimmetrikus pénzérmét háromszor feldobva annak a valószínűsége, hogy egyetlen fejet sem kapunk, pontosan 0,027. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egyetlen dobás során fejet kapunk.

A dobások binomiális eloszlást követnek $n=3$ és egy ismeretlen $p$ paraméterrel. Adott, hogy $P(X=0) = 0,027$.

Felírva a képletet: $P(X=0) = \binom{3}{0} p^0 (1-p)^3 = (1-p)^3 = 0,027$.
Mivel $0,3^3 = 0,027$, köbgyököt vonva kapjuk, hogy $1-p = 0,3$. Ebből következik, hogy a fej dobásának valószínűsége $p = 0,7$.

13

Egy 6 férfiból és 8 nőből álló társaságból 4 fős bizottságot sorsolnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a bizottságban több nő lesz, mint férfi.

Ahhoz, hogy több nő legyen, mint férfi a 4 fős bizottságban, a nők számának 3-nak vagy 4-nek kell lennie. Ez egy hipergeometrikus modell: $N=14$, $K=8$ (nők), $n=4$.

$P(X=3) = \frac{\binom{8}{3} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{14}{4}} = \frac{56 \cdot 6}{1001} \approx 0,3357$.
$P(X=4) = \frac{\binom{8}{4} \cdot \binom{6}{0}}{\binom{14}{4}} = \frac{70 \cdot 1}{1001} \approx 0,0699$.
A teljes valószínűség ezek összege: $0,3357 + 0,0699 \approx 0,4056$.

14

Legyen X egy binomiális eloszlású valószínűségi változó, melynek paraméterei $n=4$ és $p=0,5$. Számítsa ki az $X^2$ várható értékét, azaz az $E(X^2)$ értékét.

A szórásnégyzet definíciója és a várható értékek kapcsolata: $D^2(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Ebből átrendezve: $E(X^2) = D^2(X) + [E(X)]^2$.

A binomiális eloszlás esetén az $X$ várható értéke $E(X) = n \cdot p = 4 \cdot 0,5 = 2$, szórásnégyzete pedig $D^2(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 4 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 1$.
Behelyettesítve a kapott értékeket: $E(X^2) = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

15

Egy mesterlövész 0,9 valószínűséggel találja el a céltárgyat egyetlen lövéssel. Legalább hány lövést kell leadnia ahhoz, hogy a cél legalább egyszeri eltalálásának valószínűsége meghaladja a 0,999-et.

A komplementer eseménnyel érdemes dolgozni. Annak valószínűsége, hogy $n$ lövésből egyszer sem talál: $P(X=0) = (1-0,9)^n = 0,1^n$.

A feltétel szerint a legalább egy találat valószínűsége: $1 - 0,1^n > 0,999$. Átrendezve: $0,1^n < 0,001$.
Mivel $0,1^3 = 0,001$, a szigorú egyenlőtlenség miatt $n > 3$, tehát legalább 4 lövést kell leadnia.

16

Egy tóban 200 hal él. Kifognak 50 halat, megjelölik, majd visszadobják őket. Később véletlenszerűen ismét kifognak 40 halat. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 10 lesz közülük megjelölve.

Ez egy klasszikus hipergeometrikus modell alkalmazás (visszatevés nélküli mintavétel egy véges sokaságból). A paraméterek: alapsokaság $N=200$, a kedvező elemek (jelölt halak) $K=50$, a minta nagysága $n=40$.

A keresett valószínűség: $P(X=10) = \frac{\binom{50}{10} \cdot \binom{150}{30}}{\binom{200}{40}} \approx 0,1504$.

17

Egy X valószínűségi változó binomiális eloszlást követ. Tudjuk, hogy várható értéke $E(X) = 6$, szórásnégyzete pedig $D^2(X) = 4,2$. Határozza meg a változó paramétereit ($n$ és $p$).

A binomiális eloszlás képletei alapján felírható a következő egyenletrendszer:
1) $n \cdot p = 6$
2) $n \cdot p \cdot (1-p) = 4,2$

A második egyenletbe behelyettesítve az elsőt: $6 \cdot (1-p) = 4,2$. Osztás után kapjuk, hogy $1-p = 0,7$, vagyis $p = 0,3$. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe: $n \cdot 0,3 = 6$, amiből adódik, hogy $n = 20$.

18

Két szabályos dobókockával dobunk. Legyen az X valószínűségi változó a dobott számok összege. Döntse el, hogy X binomiális eloszlású-e, és vázolja az érvelését.

Az $X$ változó nem binomiális eloszlású. A binomiális eloszlás független, azonos Bernoulli-kísérletek "sikereinek" számát adja meg. Ebben az esetben azonban $X$ a lehetséges értékeket 2-től 12-ig veszi fel úgy, hogy azok eloszlása nem írható fel $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ alakban semmilyen fix $p$ és $n$ esetén.

Például az összeg eloszlása szimmetrikus "háromszög" alakú (a 7-es a legvalószínűbb $\frac{6}{36}$ valószínűséggel, míg a 2 és 12 valószínűsége $\frac{1}{36}$), ami strukturálisan eltér egy binomiális kísérletsorozat viselkedésétől.

19

Egy 30 fős osztályban 12 fiú és 18 lány tanul. Egy 5 fős csoportot választanak ki véletlenszerűen. Legyen X a kiválasztott csoportban lévő fiúk száma. Számítsa ki X szórását.

A kiválasztás visszatevés nélküli, így $X$ hipergeometrikus eloszlást követ. A paraméterek: $N=30$, $K=12$, $n=5$.

A hipergeometrikus eloszlás szórásnégyzete: $D^2(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$.
Behelyettesítve: $D^2(X) = 5 \cdot \frac{12}{30} \cdot \frac{18}{30} \cdot \frac{25}{29} = 5 \cdot 0,4 \cdot 0,6 \cdot \frac{25}{29} = 1,2 \cdot \frac{25}{29} = \frac{30}{29} \approx 1,034$.
A szórás a szórásnégyzet gyöke: $D(X) = \sqrt{\frac{30}{29}} \approx 1,017$.

20

Egy üzemben két gyártósoron készül egy termék. Az "A" sor a termékek 60 százalékát adja 2 százalékos selejtaránnyal. A "B" sor a termékek 40 százalékát adja 3 százalékos selejtaránnyal. Egy véletlenszerű napon csak az "A" sor termékeiből kiveszünk 10 darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 hibásat találunk köztük.

A feladat szövegezése tartalmaz egy elterelő információt: mivel a mintavétel kizárólag az "A" sorról történik, a "B" sor termelési adatai nem befolyásolják az eredményt. Az "A" sor esetében a selejtarány $p = 0,02$, ami független eseményként viselkedik nagy számú termék esetén.

A kivett minta $n = 10$. Ez egy binomiális eloszlás, ahol $k = 2$.
$P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0,02^2 \cdot 0,98^8 = 45 \cdot 0,0004 \cdot 0,85076 \approx 0,0153$.