Szorzattá alakítás a trigonometriában

Emeljünk ki $\sin x$-et a bal oldalon. $$\sin x(\sin x - 1) = 0$$ A szorzat értéke akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Az első eset $\sin x = 0$, amiből $x = k\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$. A második eset $\sin x - 1 = 0$, vagyis $\sin x = 1$, amiből $x = \frac{\pi}{2} + 2l\pi$, ahol $l \in \mathbb{Z}$.

Alkalmazzuk az összegből szorzatot csináló formulát. $$2 \sin\left(\frac{x+3x}{2}\right) \cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) = 0$$ $$2 \sin(2x) \cos(-x) = 0$$ Mivel a koszinusz páros függvény, $\cos(-x) = \cos x$. $$2 \sin(2x) \cos x = 0$$ Két eset lehetséges. 1. $\sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = k\frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). A második eset megoldásait az első eset tartalmazza, így a végső megoldás $x = k\frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Használjuk a koszinuszok összegére vonatkozó formulát. $$2 \cos\left(\frac{x+5x}{2}\right) \cos\left(\frac{x-5x}{2}\right) = 0$$ $$2 \cos(3x) \cos(-2x) = 0$$ Mivel a koszinusz páros, $\cos(-2x) = \cos(2x)$. $$2 \cos(3x) \cos(2x) = 0$$ Egyik tényezőnek nullának kell lennie. 1. $\cos(3x) = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\cos(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + l\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + l\frac{\pi}{2}$ ($l \in \mathbb{Z}$).

Alkalmazzuk a kétszeres szög szinuszára vonatkozó összefüggést, amely szerint $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. $$2\sin x \cos x - \cos x = 0$$ Kiemelve a közös $\cos x$ tényezőt. $$\cos x(2\sin x - 1) = 0$$ Ebből két egyenlet adódik. 1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2l\pi$, illetve $x = \frac{5\pi}{6} + 2m\pi$ ($l, m \in \mathbb{Z}$).

Értelmezési tartomány feltétele: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Emeljünk ki $\text{tg} x$-et. $$\text{tg} x (\text{tg}^2 x - 1) = 0$$ A második tényezőt is felbonthatjuk a négyzetek különbsége azonosság alapján. $$\text{tg} x (\text{tg} x - 1)(\text{tg} x + 1) = 0$$ A kapott esetek. 1. $\text{tg} x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). 3. $\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + m\pi$ ($m \in \mathbb{Z}$).

Csoportosítsuk az első és a harmadik tagot, majd alkalmazzuk az összegből szorzatot csináló formulát. $$(\sin(3x) + \sin x) + \sin(2x) = 0$$ $$2\sin\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) + \sin(2x) = 0$$ $$2\sin(2x)\cos x + \sin(2x) = 0$$ Emeljük ki a közös $\sin(2x)$ tényezőt. $$\sin(2x)(2\cos x + 1) = 0$$ Két eset adódik. 1. $\sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = k\frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$).

Csoportosítsuk az első és a harmadik tagot. $$(\cos(3x) + \cos x) + \cos(2x) = 0$$ Alkalmazzuk a koszinuszok összegére vonatkozó formulát. $$2\cos(2x)\cos x + \cos(2x) = 0$$ Emeljük ki a $\cos(2x)$ tényezőt. $$\cos(2x)(2\cos x + 1) = 0$$ A szorzat nulla, ha valamelyik tényezője nulla. 1. $\cos(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$).

A különbségből szorzatot csináló formula alapján. $$2\sin\left(\frac{4x-2x}{2}\right)\cos\left(\frac{4x+2x}{2}\right) = 0$$ $$2\sin x \cos(3x) = 0$$ Az egyenlet megoldásai. 1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\cos(3x) = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + l\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + l\frac{\pi}{3}$ ($l \in \mathbb{Z}$).

Alkalmazzuk a koszinuszok különbségére vonatkozó formulát. $$-2\sin\left(\frac{4x+2x}{2}\right)\sin\left(\frac{4x-2x}{2}\right) = 0$$ $$-2\sin(3x)\sin x = 0$$ A szorzat tényezőit nullával egyenlővé téve. 1. $\sin(3x) = 0 \Rightarrow 3x = k\pi \Rightarrow x = k\frac{\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). A második eset megoldásait az első eset maradéktalanul tartalmazza, így a megoldás $x = k\frac{\pi}{3}$.

Értelmezési tartomány: $x \neq k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Kiemelve $\text{ctg} x$-et a kifejezésből. $$\text{ctg} x(\text{ctg} x - 1) = 0$$ Két eset vizsgálata szükséges. 1. $\text{ctg} x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\text{ctg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). Mindkét megoldáshalmaz elemei az értelmezési tartománynak.

Alkalmazzuk a szinuszok összegére vonatkozó formulát az első két tagra. $$2\sin(3x)\cos(2x) - \sin(3x) = 0$$ Emeljük ki a közös $\sin(3x)$ tényezőt. $$\sin(3x)(2\cos(2x) - 1) = 0$$ A megoldások a két tényezőből adódnak. 1. $\sin(3x) = 0 \Rightarrow 3x = k\pi \Rightarrow x = k\frac{\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $2\cos(2x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(2x) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2l\pi \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$).

A koszinuszok összegére vonatkozó azonosságot használjuk az első két tagon. $$2\cos(4x)\cos(3x) - \cos(4x) = 0$$ A $\cos(4x)$ kiemelése után. $$\cos(4x)(2\cos(3x) - 1) = 0$$ Két esetet kell vizsgálnunk. 1. $\cos(4x) = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{4}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $2\cos(3x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(3x) = \frac{1}{2} \Rightarrow 3x = \pm\frac{\pi}{3} + 2l\pi \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{9} + l\frac{2\pi}{3}$ ($l \in \mathbb{Z}$).

Írjuk át a $\sin(2x)$ kifejezést a kétszeres szög formulájával. $$2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 0$$ Emeljük ki a közös $2\sin x$ tényezőt. $$2\sin x(\sin x + \cos x) = 0$$ Az első eset $\sin x = 0$, amelyből $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). A második eset $\sin x + \cos x = 0$. Ha $\cos x \neq 0$, oszthatunk vele. $$\text{tg} x + 1 = 0 \Rightarrow \text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + l\pi \text{ }(l \in \mathbb{Z})$$

Kiemeljük a $\sin x$-et a bal oldalon. $$\sin x(\cos(2x) - 1) = 0$$ Egyik tényező értéke nulla kell legyen. 1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\cos(2x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(2x) = 1 \Rightarrow 2x = 2l\pi \Rightarrow x = l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). A két megoldáshalmaz megegyezik, így a végeredmény $x = k\pi$.

Értelmezési tartomány: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Kiemelés után a következő szorzatot kapjuk. $$\text{tg} x (\sin x - 1) = 0$$ 1. $\text{tg} x = 0 \Rightarrow x = l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). 2. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi$ ($m \in \mathbb{Z}$). A második eset megoldásai nem tartoznak az értelmezési tartományba, így az egyetlen megoldás $x = l\pi$.

Kiemelünk $\cos x$-et. $$\cos x (\cos^2 x - 1) = 0$$ Használjuk fel, hogy $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$. $$-\cos x \sin^2 x = 0$$ A megoldások a két tényezőből adódnak. 1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). A két halmaz egyesítése adja a végső megoldást: $x = m\frac{\pi}{2}$ ($m \in \mathbb{Z}$).

Az összegből szorzatot csináló formula segítségével. $$2\sin\left(\frac{6x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-4x}{2}\right) = 0$$ $$2\sin(5x)\cos x = 0$$ Két esetünk van. 1. $\sin(5x) = 0 \Rightarrow 5x = k\pi \Rightarrow x = k\frac{\pi}{5}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$).

Alkalmazzuk a koszinuszok különbségére vonatkozó formulát. $$-2\sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-5x}{2}\right) = 0$$ $$-2\sin(4x)\sin(-x) = 0$$ Mivel a szinusz páratlan, $\sin(-x) = -\sin x$. $$2\sin(4x)\sin x = 0$$ A tényezőket nullával egyenlővé téve. 1. $\sin(4x) = 0 \Rightarrow 4x = k\pi \Rightarrow x = k\frac{\pi}{4}$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). Mivel a $k\frac{\pi}{4}$ alakú megoldások (ha $k$ többszöröse 4-nek) tartalmazzák az $l\pi$-t, a végeredmény $x = k\frac{\pi}{4}$.

Értelmezési tartomány: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Kiemeljük a $\sin x$-et. $$\sin x (\text{tg} x + 1) = 0$$ Két esetet kell megvizsgálni. 1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$). 2. $\text{tg} x + 1 = 0 \Rightarrow \text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + m\pi$ ($m \in \mathbb{Z}$). Mindkét halmaz elemei megfelelnek az értelmezési tartomány feltételének.

Írjuk fel a $\sin(2x)$-et a kétszeres szög formulájával. $$2\cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0$$ Emeljük ki a $2\cos x$ tényezőt. $$2\cos x (\cos x - \sin x) = 0$$ 1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). 2. $\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x$. Ha $\cos x \neq 0$, akkor osztással $\text{tg} x = 1$ adódik, amiből $x = \frac{\pi}{4} + l\pi$ ($l \in \mathbb{Z}$).