Trigonometrikus egyenletek

Alkalmazzuk a kétszeres szög szinuszára vonatkozó $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ azonosságot. Ekkor az egyenlet: $$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $$ Kiemelve $\cos x$-et: $$ \cos x (2\sin x - 1) = 0 $$ Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. 1. eset: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2l\pi$ vagy $x = \frac{5\pi}{6} + 2m\pi \quad (l, m \in \mathbb{Z})$.

A $\cos(2x)$ azonosságai közül válasszuk azt, amelyik csak szinuszt tartalmaz: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. $$ 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0 $$ Szorozzuk be $-1$-gyel és rendezzük másodfokú egyenletté $\sin x$-re: $$ 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldóképletével a gyökök: $\sin x = 1$ és $\sin x = -\frac{1}{2}$. 1. eset: $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{7\pi}{6} + 2l\pi$ vagy $x = \frac{11\pi}{6} + 2m\pi \quad (l, m \in \mathbb{Z})$.

Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel (a segédszög bevezetésének módszere): $$ \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2} $$ Vegyük észre, hogy $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ és $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Így az egyenlet: $$ \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Az addíciós tétel alapján a bal oldal $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Ebből $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, vagy $x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2l\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2l\pi \quad (k, l \in \mathbb{Z})$.

Alkalmazzuk a $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ azonosságot: $$ 2\cos^2 x - 1 = \cos x \implies 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 $$ Ez egy másodfokú egyenlet $\cos x$-re. A gyökök: $\cos x = 1$ és $\cos x = -\frac{1}{2}$. 1. eset: $\cos x = 1 \implies x = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Alkalmazzuk a bal oldalon a szögösszeg szorzattá alakítási tételét ($\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$): $$ 2\sin(2x)\cos x = \sin(2x) $$ Rendezzük nullára és emeljük ki $\sin(2x)$-et: $$ \sin(2x)(2\cos x - 1) = 0 $$ 1. eset: $\sin(2x) = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Írjuk át a tangenst és kotangenst szinuszra és koszinuszra: $$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4}{\sqrt{3}} $$ Hozzunk közös nevezőre a bal oldalon: $$ \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{4}{\sqrt{3}} $$ A számláló értéke 1. A nevező a kétszeres szög szinuszának fele, azaz $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$. $$ \frac{1}{\frac{\sin(2x)}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \frac{2}{\sin(2x)} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \sin(2x) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Megoldások: $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, vagy $2x = \frac{2\pi}{3} + 2l\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + l\pi \quad (k, l \in \mathbb{Z})$.

Alkalmazzuk a $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ azonosságot: $$ 2\cos(2x)\cos x = 0 $$ 1. eset: $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Bontsuk szorzattá a bal oldalt a négyzetek különbsége azonossággal: $$ (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = -\frac{1}{2} $$ Mivel $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, az egyenlet: $$ \sin^2 x - \cos^2 x = -\frac{1}{2} $$ A $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ képlet alapján a bal oldal éppen $-\cos(2x)$. $$ -\cos(2x) = -\frac{1}{2} \implies \cos(2x) = \frac{1}{2} $$ Ebből $2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Alkalmazzuk a kétszeres szög képletét: $$ 2\sin x \cos x = \sqrt{2} \sin x $$ Rendezzük egy oldalra és emeljük ki $\sin x$-et: $$ \sin x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0 $$ 1. eset: $\sin x = 0 \implies x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $2\cos x = \sqrt{2} \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{4} + 2l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Tudjuk, hogy $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$. Helyettesítsük be az egyenletbe: $$ 1 + (2\cos^2 x - 1) = \cos x \implies 2\cos^2 x = \cos x $$ Rendezzük és emeljünk ki: $$ \cos x (2\cos x - 1) = 0 $$ 1. eset: $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Használjuk a $\operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$ azonosságot: $$ \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = 3\operatorname{tg} x $$ Kikötés: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ és $x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$. Ha $\operatorname{tg} x = 0$, akkor $x = k\pi$ megoldás. Ha $\operatorname{tg} x \neq 0$, oszthatunk vele: $$ \frac{2}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = 3 \implies 2 = 3 - 3\operatorname{tg}^2 x \implies 3\operatorname{tg}^2 x = 1 \implies \operatorname{tg} x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} $$ Ebből $x = \pm\frac{\pi}{6} + l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$. Összesítve a megoldások: $x = k\pi$ és $x = \pm\frac{\pi}{6} + l\pi$.

1. módszer: Osszuk el az egyenletet $\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$-gyel (mivel ahol ez nulla, ott a szinusz nem, így a 0 nem lehet megoldás): $$ \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0 \implies \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 $$ $$ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). $$ 2. módszer (addíciós tétel): Kifejtve: $\left(\sin x \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\cos x \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 \implies \sqrt{2}\cos x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, ami ekvivalens a kapott eredménnyel.

Vegyük észre, hogy a bal oldal a kétszeres szinusz formula fele: $$ \frac{1}{2} \cdot 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{2} $$ Ebből $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{12} + k\pi$, vagy $2x = \frac{5\pi}{6} + 2l\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + l\pi \quad (k, l \in \mathbb{Z})$.

A $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ azonosság alkalmazásával az egyenlet: $$ (2\cos^2 x - 1) + 3\cos x + 2 = 0 \implies 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0 $$ Ez egy másodfokú egyenlet $\cos x$-re. A megoldóképletből: $$ \cos x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{-3 \pm 1}{4} $$ A gyökök: $\cos x = -\frac{1}{2}$ és $\cos x = -1$. 1. eset: $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

A félszög formula (illetve lineáris alak) szerint $2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \cos x$. Így: $$ 1 - \cos x = \sin x \implies \sin x + \cos x = 1 $$ Oszthatjuk $\sqrt{2}$-vel, vagy emelhetjük négyzetre mindkét oldalt (kikötve, hogy a bal oldal pozitív). Segédszöggel: $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Megoldások: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = 2k\pi$, vagy $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2l\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2l\pi \quad (k, l \in \mathbb{Z})$.

Alkalmazzuk a szinuszok különbségére vonatkozó azonosságot ($\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$): $$ 2\cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 0 $$ $$ 2\cos(4x)\sin x = 0 $$ 1. eset: $\cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{4} \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $\sin x = 0 \implies x = l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Csoportosítsuk az első és harmadik tagot, majd alakítsuk szorzattá: $$ (\cos(3x) + \cos x) + \cos(2x) = 0 $$ $$ 2\cos(2x)\cos x + \cos(2x) = 0 $$ Emeljünk ki $\cos(2x)$-et: $$ \cos(2x)(2\cos x + 1) = 0 $$ 1. eset: $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Rendezzük át az egyenletet: $$ \sin^2(2x) = 1 - \sin^2 x \implies \sin^2(2x) = \cos^2 x $$ Alkalmazzuk a kétszeres szög képletét a bal oldalon: $$ (2\sin x \cos x)^2 = \cos^2 x \implies 4\sin^2 x \cos^2 x - \cos^2 x = 0 $$ Kiemelve: $\cos^2 x (4\sin^2 x - 1) = 0$. 1. eset: $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$. 2. eset: $4\sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = \frac{1}{4} \implies \sin x = \pm\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + l\pi \quad (l \in \mathbb{Z})$.

Osszuk el az egyenletet 2-vel (segédszöges átalakítás): $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) - \frac{1}{2}\cos(2x) = 1 $$ Mivel $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ és $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, átírható a különbség szinuszára: $$ \sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(2x)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 $$ A szinusz értéke akkor 1, ha a szög $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. $$ 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies 2x = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi $$ Osztva 2-vel: $x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Kikötés: $\sin(2x) \neq 0 \implies 2x \neq k\pi \implies x \neq k\frac{\pi}{2}$. Alkalmazzuk a kétszeres szög képleteit: $$ \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2\sin x \cos x} = \sqrt{3} $$ $$ \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \sqrt{3} $$ Egyszerűsítsünk $2\sin x$-szel (a kikötés miatt nem 0): $$ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \implies \operatorname{tg} x = \sqrt{3} $$ A megoldás: $x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$, ami megfelel a kikötésnek.