Alapvető egyenletek

A megoldáshalmaz két ágból tevődik össze a szinuszfüggvény periodicitása miatt:
$x_1 = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi$ és $x_2 = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A koszinuszfüggvény páros, így a megoldás felírható egyetlen formulával is:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A tangensfüggvény alapmódon $\pi$ szerint periodikus:
$x = \frac{\pi}{4} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A kotangensfüggvény szintén $\pi$ periódusú. A negatív érték a második (és negyedik) síknegyedben adódik:
$x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$. (Vagy alternatív felírásban $x = -\frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$).

Ez egy szélsőérték, ezért csak egyetlen ág létezik a $2\pi$-s perióduson belül:
$x = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A koszinuszfüggvény minimumhelyeinél:
$x = \pi + k \cdot 2\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Az egyenletnek nincs valós megoldása, mivel a szinuszfüggvény értékkészlete a $[-1; 1]$ zárt intervallum, és $2 \notin [-1; 1]$.

Először az argumentumra ($2x$) oldjuk meg az egyenletet:
$2x = \pm \frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi$
Majd elosztjuk mindkét oldalt (és a periódust is) 2-vel:
$x = \pm \frac{\pi}{8} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A két ág felírása az argumentumra:
1. $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \implies x_1 = \frac{\pi}{12} + k \cdot 2\pi$
2. $x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi \implies x_2 = \frac{17\pi}{12} + k \cdot 2\pi$
Ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A tangens alapmegoldása alapján:
$3x = \frac{\pi}{3} + k \cdot \pi$
A periódust is osztva 3-mal:
$x = \frac{\pi}{9} + k \cdot \frac{\pi}{3}$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Gyökvonás után két esetet kell vizsgálnunk: $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ vagy $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ezek megoldásai a trigonometrikus körön szimmetrikusan helyezkednek el, így összevonva is felírhatók:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A gyökvonásból kapjuk: $\cos(x) = 1$ vagy $\cos(x) = -1$.
Ezek a pontok az egységsugár vízszintes tengelymetszetei (a $0$ és a $\pi$ pontok), így a megoldás összevonható:
$x = k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Az addíciós tétel alapján a bal oldal átírható: $\sin(2x) = \frac{1}{2}$.
A valós megoldások halmaza:
$2x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \implies x_1 = \frac{\pi}{12} + k \cdot \pi$
$2x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi \implies x_2 = \frac{5\pi}{12} + k \cdot \pi$
A $[0; 2\pi]$ intervallumba eső konkrét megoldások: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$.

A kétszeres szög koszinuszára vonatkozó azonosság szerint $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$. Így az egyenlet:
$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$
Megoldás az argumentumra: $2x = \pm \frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi$
Osztva 2-vel kapjuk a végeredményt: $x = \pm \frac{\pi}{3} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Az egyenletet rendezve az alapformára:
$\operatorname{tg}(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
A tangensfüggvény periodicitását figyelembe véve a megoldás:
$x = -\frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$ (vagy $x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot \pi$), ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Mivel szélsőértékről van szó, csak egy ág létezik:
$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$
Kivonva a $\frac{\pi}{6}$-ot (ami $\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$):
$2x = \frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi$
Osztva 2-vel:
$x = \frac{\pi}{6} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A koszinusz zérushelyei:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$
Szorozva 2-vel, az egyenlet és a periódus is megváltozik:
$x = \pi + k \cdot 2\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Ha $\cos(x) = 0$, akkor $\sin(x) = \pm 1$, tehát ez nem ad megoldást. Így büntetlenül oszthatunk $\cos(x)$-szel:
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1 \implies \operatorname{tg}(x) = 1$
A megoldás ez alapján:
$x = \frac{\pi}{4} + k \cdot \pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

Mindkét oldalt elosztva $\sqrt{2}$-vel (vagy szorozva $\frac{\sqrt{2}}{2}$-vel):
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) = 1$
Észrevéve, hogy $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, alkalmazható az addíciós tétel:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$
Ebből $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$, tehát a megoldás:
$x = \frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.

A kifejezés egy ismert trigonometrikus azonosság, amely minden olyan valós $x$-re fennáll, ahol a műveletek értelmezve vannak.
A $\operatorname{tg}(x)$ nem értelmezett $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ helyeken.
A $\operatorname{ctg}(x)$ nem értelmezett $x = k \cdot \pi$ helyeken.
Ezek együttesen lefedik a tengelymetszeteket, tehát a megoldáshalmaz a valós számok halmaza, kivéve $\frac{\pi}{2}$ többszöröseit:
$x \in \mathbb{R} \setminus \left\{k \cdot \frac{\pi}{2}\right\}$, ahol $k \in \mathbb{Z}$.