A különböző számrendszerek működésének és az ezek közötti átváltásoknak a megértése kulcsfontosságú az algoritmikus gondolkodás és a számelmélet területén. Ebben a modulban a 10-es alapú és n alapú számrendszerek közötti oda-vissza átírásokat gyakoroljuk, valamint elmélyedünk az n alapú számrendszerekben végzett összeadás, kivonás és alapműveletek technikáiban. A feladatok a könnyebb konverzióktól egészen az emelt szintű érettségin is helytálló, ismeretlen alapszámot tartalmazó egyenletekig építkeznek.
1
Alakítsa át a kettes számrendszerben felírt $101101_2$ számot tízes számrendszerbe.
A kettes számrendszerbeli szám helyiértékei jobbról balra: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$. A számítást elvégezve:
Írja át a $2024_{10}$ számot tizenhatos (hexadecimális) számrendszerbe.
Folyamatos osztást alkalmazunk 16-tal, és feljegyezzük a maradékokat:
$2024 : 16 = 126$, marad a $8$.
$126 : 16 = 7$, marad a $14$ (ami a tizenhatos számrendszerben az $E$ számjegy).
$7 : 16 = 0$, marad a $7$.
A maradékokat lentről felfelé (utolsótól az elsőig) összeolvasva a kapott szám: $7E8_{16}$.
3
Végezze el a következő összeadást a 8-as számrendszerben: $345_8 + 726_8$.
Oszloponként haladunk jobbról balra, figyelve az átvitelekre (amikor az összeg eléri vagy meghaladja a 8-at):
Jobb oldali oszlop: $5 + 6 = 11_{10} = 1 \cdot 8 + 3 = 13_8$. Leírjuk a 3-at, továbbviszünk 1-et.
Középső oszlop: $4 + 2 + 1 (\text{átvitel}) = 7_8$. Leírjuk a 7-et.
Bal oldali oszlop: $3 + 7 = 10_{10} = 1 \cdot 8 + 2 = 12_8$. Leírjuk a 12-t.
Az eredmény: $1273_8$.
4
Számítsa ki a $11010_2 - 1011_2$ különbséget a kettes számrendszerben.
A kivonást írásban, oszloponként jobbról balra végezzük:
1. helyiérték: $0 - 1$. Nem lehet, kölcsönkérünk a következő helyről (így $10_2 = 2_{10}$ lesz belőle). $2 - 1 = 1$.
2. helyiérték: $1 - 1$ de korábban kölcsönadtunk $1$-et, így az itteni érték $0$. $0 - 1$ ismét kölcsönkérést igényel. $2 - 1 = 1$.
3. helyiérték: a $0$-ból kölcsönöztünk, így valójában az is kölcsönkér a balra lévő $1$-ből. Az ottani érték $2$, de kölcsönadtunk belőle, maradt $1$. $1 - 0 = 1$.
4. helyiérték: az itteni $1$-et korábban kölcsönadtuk, így maradt $0$. $0 - 1$ kölcsönkér a legelső $1$-esből. $2 - 1 = 1$.
5. helyiérték: az $1$-et kölcsönadtuk, maradt $0$.
Határozza meg a $110010_2 : 101_2$ osztás eredményét a kettes számrendszerben.
Írásbeli osztást végzünk a kettes számrendszer szabályai szerint.
1. Vesszük az első számjegyeket, ami legalább akkora, mint az osztó. $110_2$-ban a $101_2$ megvan $1$-szer. Maradék: $110_2 - 101_2 = 1_2$.
2. Lehozzuk a következő számjegyet, a $0$-t. Kapjuk: $10_2$. Ebben a $101_2$ megvan $0$-szor.
3. Lehozzuk a következő számjegyet, az $1$-et. Kapjuk: $101_2$. Ebben a $101_2$ megvan pontosan $1$-szer. Maradék: $0_2$.
4. Lehozzuk az utolsó számjegyet, a $0$-t. Kapjuk: $0_2$. Ebben a $101_2$ megvan $0$-szor. A maradék $0$.
A hányados: $1010_2$.
7
Alakítsa át a $0,625_{10}$ véges tizedestörtet kettes számrendszerbe.
A törtrész átalakításánál mindig szorozni kell az új alap értékével (jelen esetben $2$-vel), és a kapott szorzat egész része adja a számjegyet.
$0,625 \cdot 2 = 1,25$ -> Az egész rész $1$.
A törtrésszel haladunk tovább: $0,25 \cdot 2 = 0,5$ -> Az egész rész $0$.
Ismét a törtrésszel haladunk: $0,5 \cdot 2 = 1,0$ -> Az egész rész $1$.
Mivel a törtrész $0$-ra csökkent, az eljárás véget ért. A kapott számjegyeket fentről lefelé olvassuk össze a tizedesvessző után. Az eredmény: $0,101_2$.
8
Melyik számrendszerben igaz, hogy $32_x = 26_{10}$.
Írjuk fel a bal oldalt polinom alakban, ahol az $x$ az ismeretlen alapszám. Mivel a legnagyobb számjegy a $3$, tudjuk, hogy $x > 3$.
Az egyenlet tehát: $x^2 + 4x + 4 = 256$. Észrevehetjük, hogy a bal oldal egy teljes négyzet: $(x+2)^2 = 256$.
Mivel $x > 4$, csak a pozitív gyököt vesszük figyelembe: $x+2 = 16$, amiből $x = 14$.
A keresett alap a $14$-es.
10
Melyik az a legkisebb $n > 1$ egész alapú számrendszer, amelyben a tízes számrendszerbeli $73_{10}$ szám pontosan háromjegyű.
Egy szám pontosan akkor háromjegyű az $n$ alapú számrendszerben, ha értéke $n^2$ és $n^3 - 1$ közé esik (vagyis legalább $n^2$, de szigorúan kisebb, mint $n^3$). Tehát a feltétel: $n^2 \le 73 < n^3$.
Próbálgassuk az egyre növekvő egész alapokat:
Ha $n=3$, akkor $9 \le 73 < 27$ (hamis, a szám a $3$-as rendszerben több mint háromjegyű).
Ha $n=4$, akkor $16 \le 73 < 64$ (hamis, $73 > 64$, négyjegyű lenne).
Ha $n=5$, akkor $25 \le 73 < 125$ (igaz).
A legkisebb megfelelő alap az $5$-ös.
11
Adja meg az $x$ alapú számrendszer alapszámát, ha igaz a következő egyenlet: $23_x + 14_x = 42_x$.
A számrendszer alapján a legnagyobb látható számjegy a $4$-es, tehát mindenképp $x > 4$.
Írjuk fel az egyenlet minden tagját a helyiértékek szerint tízes számrendszerben:
$2x + 3 + x + 4 = 4x + 2$
Vonjuk össze az azonos tagokat a bal oldalon:
$3x + 7 = 4x + 2$
Rendezzük az egyenletet (vonjunk ki $3x$-et és $2$-t mindkét oldalból):
$5 = x$
Mivel az $5$ nagyobb $4$-nél, ez az érték megfelelő. Az ismeretlen alap az $5$.
12
Hány számjegyből áll a tízes számrendszerben értelmezett $16^{100}$ szám, ha felírjuk a kettes számrendszerben.
Először hozzuk közös alapra a kifejezést. Mivel $16 = 2^4$, a kifejezés felírható kettes alapú hatványként:
$16^{100} = (2^4)^{100} = 2^{400}$.
Tudjuk, hogy a kettes számrendszerben a $2^k$ alakú számokat úgy írjuk fel, hogy egy darab $1$-es után $k$ darab $0$ következik. (Gondoljunk a $2^1 = 10_2$, $2^2 = 100_2$ esetekre).
Tehát a $2^{400}$ pontosan egy darab $1$-esből és utána $400$ darab $0$-ból áll. Összesen ez $401$ számjegyet jelent.
13
Alakítsa át az $5$-ös számrendszerbeli $0,\overline{3}_5$ végtelen szakaszos törtet tízes számrendszerbeli közönséges törtté.
Jelöljük a keresett szám értékét $x$-szel tízes számrendszerben, de az egyenletet úgy állítjuk fel, hogy az eredeti struktúrát kihasználjuk:
$x = 0,3333..._5$
Szorozzuk meg az egyenletet az alapszámmal, azaz $5$-tel. (Ahogy tízes számrendszerben a $10$-zel szorzás, az $5$-ösben az $5$-tel szorzás lépteti eggyel a tizedesvesszőt):
$5x = 3,3333..._5$
Vonjuk ki az első egyenletet a másodikból:
$5x - x = 3,3333..._5 - 0,3333..._5$
$4x = 3_5$
Mivel a $3_5$ az $10$-es rendszerben is $3$, így $4x = 3$, amiből $x = \frac{3}{4}$.
14
Írja fel a $-13_{10}$ számot a $-2$-es alapú (negabáris) számrendszerben.
A maradékos osztást alkalmazzuk a $-2$ alappal. A maradéknak szigorúan $0$-nak vagy $1$-nek kell lennie.
A maradékokat visszefelé (lentről felfelé) olvasva megkapjuk a negabáris felírást: $110111_{-2}$.
15
Határozza meg a kettes számrendszerbeli $1010101_2$ szám értékét felírva a 4-es és a 8-as számrendszerben is anélkül, hogy először 10-es számrendszerbe váltaná.
A $2$-es számrendszerből a $2^k$ alapú számrendszerekbe csoportosítással is át lehet váltani hátulról (jobbról) balra haladva.
Átváltás 4-es számrendszerbe ($4 = 2^2$, 2-es csoportok):
A szám: $1\ 01\ 01\ 01_2$. Szükség esetén az elejére nullát képzelünk: $01\ 01\ 01\ 01_2$. Minden kettes csoportot megfeleltetünk egy 4-es számrendszerbeli számnak ($01_2 = 1_4$). Így a szám: $1111_4$.
Átváltás 8-as számrendszerbe ($8 = 2^3$, 3-as csoportok):
A szám jobbról hármasával: $1\ 010\ 101_2$. Kiegészítve nullákkal: $001\ 010\ 101_2$. Minden csoport értékét meghatározzuk: $001_2 = 1_8$, $010_2 = 2_8$, $101_2 = 5_8$. A kapott szám: $125_8$.
16
Írja fel a $73_{10}$ számot faktoriális számrendszerben, ahol a helyiértékek jobbról balra haladva az $1!, 2!, 3!, 4!, \dots$ értékek.
A faktoriális számrendszerben egy iteratív osztásos módszert alkalmazhatunk, de itt az osztó folyamatosan nő.
$73 : 2 = 36$, a maradék $1$. (Ez áll az $1!$ helyiértékén).
$36 : 3 = 12$, a maradék $0$. (Ez áll a $2!$ helyiértékén).
$12 : 4 = 3$, a maradék $0$. (Ez áll a $3!$ helyiértékén).
$3 : 5 = 0$, a maradék $3$. (Ez áll a $4!$ helyiértékén).
A kapott maradékokat ismét fentről lefelé olvasva de a megfelelő (magasabb) helyiértékekre beírva az eredmény: $3001_{\text{fact}}$. Ellenőrzés: $3 \cdot 4! + 0 \cdot 3! + 0 \cdot 2! + 1 \cdot 1! = 3 \cdot 24 + 1 = 73$.
17
Milyen számjeggyel végződik a tízes számrendszerbeli $2024_{10}$ szám, ha átváltjuk a 7-es alapú számrendszerbe.
Egy tetszőleges $N$ szám $b$ alapú számrendszerbeli felírásának legutolsó számjegye pontosan megegyezik az $N$ szám $b$-vel való osztási maradékával. Tehát nem kell a teljes átváltást elvégezni, elegendő megkeresni a maradékot hetes osztásnál.
$2024 : 7 = 289$, és marad az $1$. (Mivel $289 \cdot 7 = 2023$).
Ez azt jelenti, hogy a szám a 7-es számrendszerben az $1$-es számjeggyel végződik.
18
Döntse el és igazolja, milyen feltételek mellett igaz, hogy egy tetszőleges $n$ alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható $(n-1)$-gyel, ha a számjegyeinek összege osztható $(n-1)$-gyel.
Ez az állítás mindig igaz (ez az általánosított 9-es oszthatósági szabály).
Bizonyítás: Legyen egy $A$ szám értéke az $n$ alapú számrendszerben $a_k n^k + \dots + a_1 n + a_0$. A számjegyek összege legyen $S = a_k + \dots + a_1 + a_0$.
Vizsgáljuk meg az $A - S$ különbséget:
$A - S = a_k(n^k - 1) + a_{k-1}(n^{k-1} - 1) + \dots + a_1(n - 1) + a_0(1 - 1)$.
Algebrai azonosság, hogy az $(n^i - 1)$ kifejezés minden pozitív egész $i$ esetén maradék nélkül osztható $(n-1)$-gyel. Tehát a jobb oldal minden tagja osztható $(n-1)$-gyel, így a teljes $A - S$ különbség is. Ebből következik, hogy $A$ és $S$ ugyanazt a maradékot adja $(n-1)$-gyel osztva. Ha $S$ osztható $(n-1)$-gyel, akkor $A$ is, és fordítva.
19
Végezze el az alábbi osztást a 3-as számrendszerben: $2101_3 : 11_3$.
Elvégezzük az írásbeli osztást a 3-as számrendszer szabályai szerint.
1. Első lépésként a $21_3$-ban nézzük meg a $11_3$-at. Megvan benne $1$-szer. A maradék $21_3 - 11_3 = 10_3$.
2. Lehozzuk a $0$-t, így kapjuk a $100_3$-at. Tudjuk, hogy tízesben ez $9$-et jelent, az osztó pedig $11_3 = 4$. Megvan benne $2$-szer, mert $11_3 \cdot 2_3 = 22_3$. A maradék: $100_3 - 22_3 = 1_3$. (Tízesben ellenőrizve $9 - 8 = 1$).
3. Lehozzuk az utolsó $1$-est, így az osztandó $11_3$. Ebben a $11_3$ megvan pontosan $1$-szer, és a maradék $0$.
Az osztás eredménye: $121_3$.
20
Egy tízes számrendszerbeli háromjegyű szám minden számjegye megegyezik. Ha ezt a számot hatos számrendszerben írjuk fel, egy olyan négyjegyű számot kapunk, amelynek szintén minden számjegye azonos. Melyik ez a szám a tízes számrendszerben.
A szám a tízes számrendszerben $\overline{aaa}_{10}$ alakú, amelynek értéke $111 \cdot a$, ahol $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$.
A hatos számrendszerben az alakja $\overline{bbbb}_6$, amelynek értéke $b \cdot (6^3 + 6^2 + 6^1 + 1) = b \cdot (216 + 36 + 6 + 1) = 259 \cdot b$, ahol $b \in \{1, 2, \dots, 5\}$.
A feladat szerint a két érték egyenlő: $111a = 259b$.
Mindkét szám (111 és 259) osztható $37$-tel ($111 = 3 \cdot 37$ és $259 = 7 \cdot 37$). Egyszerűsítsünk $37$-tel:
$3a = 7b$.
Mivel a $3$ és a $7$ relatív prímek, ahhoz, hogy az egyenlőség fennálljon, az $a$-nak oszthatónak kell lennie $7$-tel. Mivel $1 \le a \le 9$, az egyetlen lehetséges megoldás $a = 7$.
Behelyettesítve: $3 \cdot 7 = 7 \cdot b$, amiből $b = 3$ adódik (ami érvényes hatos számrendszerbeli jegy).