A számelmélet alaptétele, a prímek végtelensége, a különböző sejtések, valamint az osztók számának, összegének és szorzatának meghatározása a magasabb szintű matematika építőkövei. Ebben a modulban olyan feladatokkal találkozol, amelyek az alapoktól a legkomplexebb logikai következtetésekig kísérnek el, biztos tudást nyújtva az emelt szintű érettségire.
1
Adja meg az $504$ prímtényezős felbontását.
A számot prímszámokkal osztva: 504 osztható 8-cal ($2^3$) és 9-cel ($3^2$). $504 = 8 \cdot 63 = 8 \cdot 9 \cdot 7$. Így a felbontás: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1$.
2
Határozza meg az $504$ pozitív osztóinak számát.
Az 504 prímtényezős felbontása $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1$. Az osztók számát a prímkitevők megnövelésével és összeszorzásával kapjuk: $d(504) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
Fejezze ki az $504$ pozitív osztóinak szorzatát prímhatványok szorzataként.
Egy $n$ szám pozitív osztóinak szorzata $n^{\frac{d(n)}{2}}$. Mivel $d(504) = 24$, a szorzat $504^{12}$. Ezt prímhatványokként felírva: $(2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1)^{12} = 2^{36} \cdot 3^{24} \cdot 7^{12}$.
5
Döntse el, hogy létezik-e legnagyobb prímszám, és vázolja a bizonyítás alapgondolatát.
Nem létezik legnagyobb prímszám, a prímek száma végtelen. Eukleidész indirekt bizonyítása szerint: tegyük fel, hogy véges sok prím van ($p_1, p_2, \dots, p_n$). Képezzük a $P = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n + 1$ számot. Ez a szám a listán szereplő egyik prímmel sem osztható (mindig 1 a maradék). Így $P$ vagy maga is prím, vagy van olyan prímosztója, ami nincs a listán. Ez ellentmondás.
6
Határozza meg a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelynek pontosan $15$ pozitív osztója van.
Az osztók száma $d(n) = 15 = 15 \cdot 1 = 5 \cdot 3$. A szám alakja tehát vagy $p^{14}$, vagy $p^4 \cdot q^2$ lehet, ahol $p$ és $q$ prímek. A legkisebb értéket a $p^4 \cdot q^2$ alak adja, ha a legkisebb prímeket rendeljük a legnagyobb kitevőkhöz: $p=2$ és $q=3$. Így a szám $2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$. (A $2^{14}$ jóval nagyobb).
7
Határozza meg az $1$-től $100$-ig terjedő egész számok szorzatának végén lévő nullák számát.
A nullák száma megegyezik a szorzat prímtényezős felbontásában a 10-es szorzók számával, ami a 2-es és az 5-ös prímek kitevőinek minimuma. Mivel 2-esből több van, elegendő az 5-ösök számát meghatározni. Legendre-formulával: $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 20 + 4 = 24$. A szám végén 24 nulla szerepel.
8
Határozza meg a $3600$ páratlan pozitív osztóinak számát.
$3600 = 36 \cdot 100 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2$. Ahhoz, hogy egy osztó páratlan legyen, a 2-es prímtényező kitevője pontosan 0 kell hogy legyen. Tehát a $3^2 \cdot 5^2$ szám osztóit keressük. Ezek száma: $(2+1)(2+1) = 9$.
9
Melyek azok a $p$ prímszámok, amelyekre a $p^2 + 8$ is prímszám?
Próbáljuk ki a $p=3$-at: $3^2 + 8 = 17$, ami prímszám, tehát a 3 jó megoldás. Ha $p \neq 3$, akkor a $p$ szám 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, így négyzete, a $p^2$ mindenképpen 1 maradékot ad 3-mal osztva ($p^2 \equiv 1 \pmod 3$). Ekkor $p^2 + 8 \equiv 1 + 8 = 9 \equiv 0 \pmod 3$, azaz osztható 3-mal. Mivel $p>3$ esetén $p^2+8 > 3$, ezért biztosan összetett szám. Az egyetlen megoldás a $p=3$.
10
Jellemezze azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek pontosan $3$ pozitív osztójuk van.
Ha egy $n$ számnak pontosan 3 osztója van, akkor $d(n) = 3$. Mivel a 3 prímszám, az egyetlen lehetséges felbontás $d(n) = (2+1)$, ami azt jelenti, hogy a számnak pontosan egy prímtényezője van, és annak a kitevője 2. Tehát ezek a számok a prímszámok négyzetei (pl. 4, 9, 25, 49).
11
Határozza meg a $28$ pozitív osztóinak reciprokösszegét.
Egy szám osztóinak reciprokösszege mindig felírható az osztók összegének és magának a számnak a hányadosaként: $\frac{\sigma(n)}{n}$. A 28 felbontása $2^2 \cdot 7^1$. Osztóinak összege: $\sigma(28) = (1+2+4)(1+7) = 7 \cdot 8 = 56$. Így a reciprokösszeg $\frac{56}{28} = 2$. (Ez azért 2, mert a 28 tökéletes szám).
12
Fogalmazza meg az ikerprím-sejtést és adjon meg egy $20$-nál nagyobb ikerprímpárt.
Az ikerprím-sejtés azt állítja, hogy végtelen sok olyan $(p, p+2)$ számpár létezik, ahol mindkét szám prím. Példa egy 20-nál nagyobb ikerprímpárra: $(29, 31)$ vagy $(41, 43)$.
13
Határozza meg azon $(x, y)$ pozitív egész számpárok számát, amelyekre teljesül az $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10}$ egyenlet.
Beszorozva $10xy$-nal kapjuk: $10y + 10x = xy$. Ezt rendezve és szorzattá alakítva: $xy - 10x - 10y + 100 = 100$, amiből $(x-10)(y-10) = 100$. Mivel $x,y > 0$, az $(x-10)$ és $(y-10)$ tényezők a 100 osztói lehetnek. A 100 osztóinak száma ($100 = 2^2 \cdot 5^2$) összesen $(2+1)(2+1) = 9$. Mivel negatív osztók nem adnak pozitív $x,y$-t, összesen pontosan 9 ilyen számpár létezik.
14
Igazolja, hogy ha $2^n - 1$ prímszám, akkor $n$ is feltétlenül prímszám.
Tegyük fel indirekt módon, hogy $n$ összetett szám, azaz felírható $n = a \cdot b$ alakban, ahol $a, b > 1$ egész számok. Ekkor az algebrai azonosság szerint $2^{ab} - 1 = (2^a)^b - 1$, ami mindig osztható a $(2^a - 1)$ kifejezéssel. Mivel $a > 1$, ezért $2^a - 1 > 1$, tehát a $2^n - 1$ számnak lenne egy 1-től és önmagától különböző osztója, így nem lehetne prím. Ez ellentmondás, tehát $n$-nek prímnek kell lennie.
15
Bizonyítsa be, hogy ha $2^n + 1$ prímszám valamilyen $n>0$ egész esetén, akkor $n$ egy 2-hatvány.
Tegyük fel, hogy $n$ nem kettő-hatvány, vagyis van egy $k > 1$ páratlan osztója. Ekkor $n = m \cdot k$, valamilyen $m \ge 1$ egészre. Kifejezve a számot: $2^{mk} + 1 = (2^m)^k + 1$. Mivel $k$ páratlan, az $x^k + 1$ felbontható $(x+1)$-et kiemelve. Így $(2^m + 1)$ biztosan valódi osztója a $(2^{mk} + 1)$-nek, tehát a szám összetett lenne. Ellentmondásra jutottunk, ezért $n$ nem tartalmazhat páratlan tényezőt, tehát kettő-hatvány.
16
Határozza meg a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelynek pontosan $10$ pozitív osztója van.
Az osztók száma $d(n) = 10 = 10 \cdot 1 = 5 \cdot 2$. Ebből következik, hogy a szám prímtényezős alakja vagy $p^9$, vagy $p^4 \cdot q^1$. A legkisebb értékeket a legkisebb prímek behelyettesítésével kapjuk: $2^9 = 512$, illetve $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$. A kettő közül a 48 a kisebb.
17
Igazolja, hogy minden $3$-nál nagyobb prímszám felírható $6k+1$ vagy $6k-1$ alakban valamilyen $k$ pozitív egész számra.
Bármely egész szám felírható a következő alakok valamelyikében: $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5$. Ebből a $6k, 6k+2, 6k+4$ számok párosak, tehát oszthatók 2-vel. A $6k+3$ osztható 3-mal. Tehát minden 2-nél és 3-nál nagyobb prím csak $6k+1$ vagy $6k+5$ alakú lehet. A $6k+5$ kifejezés algebrailag azonos a $6(k+1)-1$ alakkal, azaz egy $6m-1$ típusú szám. Ezzel az állítást igazoltuk.
18
Milyen $n$ pozitív egész számok esetén lesz az $n^4 + 4$ kifejezés értéke prímszám?
Használjuk a Sophie Germain-azonosságot a kifejezés szorzattá alakítására: $n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 = (n^2+2)^2 - (2n)^2$. A két négyzet különbsége miatt: $(n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$. Ahhoz, hogy a szorzat prím legyen, a kisebbik tényezőnek 1-nek kell lennie (mivel mindkét tényező pozitív, és $n^2+2n+2$ mindig szigorúan nagyobb). Ebből $n^2 - 2n + 2 = 1 \Rightarrow (n-1)^2 = 0 \Rightarrow n=1$. Ha $n=1$, a kifejezés értéke $1^4+4=5$, ami valóban prím. Ezen kívül nincs más megoldás.
19
Írja fel a pozitív osztók szorzatának általános képletét egy $n$ számra, majd alkalmazza ezt $n=12$ esetén.
Az általános képlet: $P_n = n^{\frac{d(n)}{2}}$, ahol $d(n)$ az osztók számát jelöli. Ha $n=12$, az osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezek száma $d(12) = 6$. A képletet behelyettesítve: $P_{12} = 12^{\frac{6}{2}} = 12^3 = 1728$.
20
Bizonyítsa be, hogy ha a $2^p - 1$ kifejezés prímszám, akkor a $2^{p-1}(2^p - 1)$ kifejezés értéke tökéletes szám.
Legyen $q = 2^p - 1$, ami feltétel szerint prím. Vizsgáljuk az $n = 2^{p-1} \cdot q$ számot. Egy szám akkor tökéletes, ha pozitív osztóinak összege pontosan a szám kétszerese, azaz $\sigma(n) = 2n$. Mivel a $2^{p-1}$ és a $q$ relatív prímek, alkalmazhatjuk a multiplikativitást: $\sigma(n) = \sigma(2^{p-1}) \cdot \sigma(q)$.
Ezeket összeszorozva: $\sigma(n) = (2^p - 1) \cdot 2^p = 2 \cdot 2^{p-1} \cdot (2^p - 1) = 2n$. Mivel $\sigma(n) = 2n$, a szám valóban tökéletes. (Ez az Euler-féle tétel a páros tökéletes számokról).