A hatványozás fogalma egész kitevőre és a permanencia elv jelentősége a műveletek kiterjesztésében.
A hatványozás fogalmának kiterjesztése a természetes számoktól az egész, majd a racionális és valós számokig a matematika egyik legszebb, logikusan felépülő folyamata. A permanencia elv biztosítja, hogy a korábban megismert azonosságok érvényben maradjanak az új számhalmazokon is. Ebben a modulban az alapoktól a komplex, emelt szintű érettségi típusfeladatokig haladunk, kitérve az exponenciális egyenletekre és a törtkitevős alakokra is.
1
Fejtse ki, mi a $0^0$ értéke a valós számok halmazán, és magyarázza meg, miért vezetne ellentmondásra, ha konkrét numerikus értéket adnánk neki.
A $0^0$ kifejezés a matematikában határozatlan, nincs értelmezve. Ennek oka két, egymásnak ellentmondó hatványozási szabály ütközése. Ha az $a^0 = 1$ (ahol $a \neq 0$) szabályt próbálnánk kiterjeszteni $a = 0$ esetre, az eredmény $1$ lenne. Ha viszont a $0^n = 0$ (ahol $n > 0$) szabályt terjesztenénk ki $n = 0$ esetre, az eredmény $0$ lenne. Az egyértelműség hiánya miatt a kifejezést nem definiáljuk.
2
Számítsa ki a $\frac{2^{-3} \cdot (-4)^2}{8^{-1}}$ kifejezés pontos értékét.
A negatív kitevő definíciója alapján $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
A számlálóban: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. A $(-4)^2 = 16$. Így a számláló értéke: $\frac{1}{8} \cdot 16 = 2$.
A nevezőben: $8^{-1} = \frac{1}{8}$.
A teljes tört értéke tehát az osztás elvégzésével: $\frac{2}{\frac{1}{8}} = 2 \cdot 8 = 16$.
3
Fogalmazza meg, mit jelent a permanencia (maradandóság) elve a hatványozás értelmezési tartományának kiterjesztésekor.
A permanencia elv kimondja, hogy amikor egy matematikai műveletet kiterjesztünk egy szűkebb számhalmazról egy bővebbre (például a hatványozást természetes kitevőkről egész, majd racionális kitevőkre), akkor az új definíciókat úgy kell megválasztani, hogy a korábban érvényes alapvető azonosságok (mint például az $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ vagy az $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$) az új, bővebb halmazon is érvényben maradjanak.
4
Hozza a lehető legegyszerűbb alakra az alábbi kifejezést, ha $x \neq 0$ és $y \neq 0$: $\left(\frac{x^{-3} y^2}{x^2 y^{-4}}\right)^{-2}$.
Először végezzük el a zárójelen belüli osztásokat a hatványozás azonosságai alapján (azonos alapú hatványok osztásakor a kitevőket kivonjuk): $x^{-3-2} \cdot y^{2-(-4)} = x^{-5} y^6$.
Ezt követően emeljük a kapott kifejezést a $-2$-edik hatványra. Szorzat hatványozásakor a tényezőket külön-külön hatványozzuk, a kitevőket pedig összeszorozzuk: $(x^{-5})^{-2} \cdot (y^6)^{-2} = x^{10} y^{-12}$. Pozitív kitevős alakban felírva az eredmény: $\frac{x^{10}}{y^{12}}$.
5
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $3^{x+2} + 3^{x-1} = 252$.
Bontsuk fel a hatványokat a hatványozás azonosságai alapján, majd emeljük ki a legkisebb kitevőjű tagot, a $3^{x-1}$-et:
Mivel $9 = 3^2$, és az exponenciális függvény szigorúan monoton, a kitevőknek egyenlőknek kell lenniük: $x - 1 = 2$, amiből adódik, hogy $x = 3$.
6
Döntse el, melyik szám a nagyobb, és igazolja állítását: $2^{300}$ vagy $3^{200}$.
A két hatványt közvetlenül nehéz összehasonlítani, ezért hozzuk őket közös kitevőre a hatvány hatványozása azonosság segítségével. A $300$ és a $200$ legnagyobb közös osztója $100$.
Mivel $9 > 8$, és az $x \mapsto x^{100}$ függvény a pozitív valós számok halmazán szigorúan monoton növekvő, biztosan állíthatjuk, hogy $9^{100} > 8^{100}$. Tehát a $3^{200}$ a nagyobb szám.
7
Oldja meg a valós számok halmazán az $x^{-2} - 5x^{-1} + 6 = 0$ egyenletet.
Az egyenlet átírható az $\left(x^{-1}\right)^2 - 5x^{-1} + 6 = 0$ alakra. Vezessünk be egy új változót: $y = x^{-1}$ (ahol $x \neq 0$).
Ekkor egy másodfokú egyenletet kapunk: $y^2 - 5y + 6 = 0$.
A megoldóképlet vagy a Viète-formulák alapján az egyenlet gyökei $y_1 = 2$ és $y_2 = 3$.
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.
Vegye észre, hogy $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Vezessünk be egy új ismeretlent: legyen $y = 2^x$, ahol $y > 0$. Az egyenlet ekkor egy másodfokú egyenletté alakul:
$y^2 - 5y + 4 = 0$
Ennek gyökei a megoldóképlet (vagy Viète-formulák) alapján $y_1 = 1$ és $y_2 = 4$. Mindkét érték pozitív, így mindkettőből valós megoldás születik a visszahelyettesítéskor:
1. eset: $2^x = 1 \implies x = 0$
2. eset: $2^x = 4 \implies x = 2$
A megoldáshalmaz: $\{0; 2\}$.
9
Határozza meg az $x^{x^2-7x+12} = 1$ egyenlet összes valós megoldását.
Egy hatvány értéke három különböző esetben lehet pontosan $1$. Vizsgáljuk meg mindhárom esetet:
1. eset: Az alap 1.
$x = 1$. Ekkor a kitevő $1^2 - 7(1) + 12 = 6$. Mivel $1^6 = 1$, ez egy helyes megoldás.
2. eset: A kitevő 0, miközben az alap nem 0.
$x^2 - 7x + 12 = 0$. A gyökök $x_1 = 3$ és $x_2 = 4$. Egyik esetben sem nulla az alap, így mindkettő helyes megoldás.
3. eset: Az alap -1, miközben a kitevő páros egész szám.
$x = -1$. Ellenőrizzük a kitevőt: $(-1)^2 - 7(-1) + 12 = 1 + 7 + 12 = 20$. Mivel a 20 páros szám, a $(-1)^{20} = 1$ teljesül, tehát ez is jó megoldás.
A megoldáshalmaz: $\{-1; 1; 3; 4\}$.
10
Számítsa ki a $\frac{5^{2025} - 5^{2023}}{5^{2024} + 5^{2023}}$ tört pontos értékét.
Emeljük ki a számlálóból és a nevezőből is a legkisebb előforduló hatványt, ami az $5^{2023}$.
A tört ekkor így néz ki: $\frac{5^{2023} \cdot 24}{5^{2023} \cdot 6}$. Az $5^{2023}$-nal egyszerűsítve a kifejezés értéke $\frac{24}{6} = 4$.
11
Döntse el, melyik szám a nagyobb: $A = \frac{10^{-5} \cdot 10^3}{10^{-4}}$ vagy $B = \left(10^{-1}\right)^{-2}$.
Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait mindkét kifejezésen.
Az $A$ kifejezés számlálójában: $10^{-5} \cdot 10^3 = 10^{-5+3} = 10^{-2}$.
Ezt elosztjuk a nevezővel: $\frac{10^{-2}}{10^{-4}} = 10^{-2 - (-4)} = 10^{-2+4} = 10^2 = 100$.
A $B$ kifejezés esetén a hatvány hatványozása szabályt alkalmazzuk: $\left(10^{-1}\right)^{-2} = 10^{(-1) \cdot (-2)} = 10^2 = 100$.
A két szám tehát egyenlő ($A = B$).
12
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} < 27$.
Először hozzuk közös alapra a két oldalt. A jobb oldali $27$ felírható az $\frac{1}{3}$ hatványaként: $27 = 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$.
Az egyenlőtlenség így alakul: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$.
Mivel az exponenciális függvény alapja $0 < a < 1$ ($\frac{1}{3}$), a függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért a kitevőkre áttérve az egyenlőtlenség iránya megfordul:
$x^2 - 2x > -3$
$x^2 - 2x + 3 > 0$
Vizsgáljuk meg a kapott másodfokú kifejezést. Diszkriminánsa: $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Mivel a diszkrimináns negatív és a főegyüttható pozitív ($1$), a parabola végig az x-tengely felett halad. Tehát az egyenlőtlenség minden valós számra igaz ($x \in \mathbb{R}$).
13
Hozza a lehető legegyszerűbb alakra az alábbi kifejezést, ha tudjuk, hogy $n$ természetes szám: $(-1)^{2n} - (-1)^{2n+1} + (-1)^{-2n}$.
Vizsgáljuk meg a kitevők paritását (páros vagy páratlan voltát), mivel a negatív alapok esetén ez határozza meg az előjelet.
1. A $2n$ minden természetes $n$ esetén páros szám. Páros kitevő esetén a negatív szám hatványa pozitív, így $(-1)^{2n} = 1$.
2. A $2n+1$ minden esetben páratlan szám. Páratlan kitevő esetén a negatív alap megtartja az előjelét, így $(-1)^{2n+1} = -1$.
3. A $-2n$ szintén páros szám. Ennek megfelelően $(-1)^{-2n} = \frac{1}{(-1)^{2n}} = \frac{1}{1} = 1$.
Behelyettesítve az eredeti kifejezésbe: $1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
14
Bizonyítsa be, hogy a $7^{n+2} - 7^n$ kifejezés értéke osztható 48-cal minden $n$ természetes szám esetén.
Bontsuk szét a $7^{n+2}$ tagot a hatványozás azonosságának visszafelé történő alkalmazásával: $7^n \cdot 7^2$.
A kifejezés így alakul: $7^n \cdot 49 - 7^n$.
Emeljük ki a közös tényezőt, a $7^n$-et:
$7^n(49 - 1) = 7^n \cdot 48$.
Mivel a kifejezés szorzatalakjának egyik tényezője a 48, és $n$ természetes szám lévén a $7^n$ egész szám, a szorzat minden $n$ esetén maradék nélkül osztható 48-cal.
15
Hozza a lehető legegyszerűbb alakra az alábbi kifejezést, feltéve, hogy $a \neq 0$ és $b \neq 0$: $\left( \frac{a^{-2}b^3}{a^3b^{-1}} \right)^{-2} \cdot \left( a^{-5}b^4 \right)^2$.
Kezdjük a bal oldali tört egyszerűsítésével a zárójelen belül. Azonos alapú hatványok osztásakor a kitevőket kivonjuk:
$a^{-2 - 3} \cdot b^{3 - (-1)} = a^{-5}b^4$.
Az első rész tehát: $(a^{-5}b^4)^{-2}$.
A szorzat hatványozásának szabálya szerint a kitevőket összeszorozzuk: $a^{10}b^{-8}$.
Most végezzük el a hatványozást a kifejezés második felén:
$\left( a^{-5}b^4 \right)^2 = a^{-10}b^8$.
Végül szorozzuk össze a két kapott részt:
$a^{10}b^{-8} \cdot a^{-10}b^8 = a^{10-10} \cdot b^{-8+8} = a^0 b^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
A kifejezés értéke a megadott feltételek mellett minden esetben 1.
16
Oldja meg a $2^{x+2} \cdot 5^{x-1} = 2000$ egyenletet.
Bontsuk fel az exponenciális kifejezéseket úgy, hogy mindkét alap kitevője tiszta $x$ legyen:
Szorozzuk be mindkét oldalt $\frac{5}{4}$-del:
$10^x = 2000 \cdot \frac{5}{4} = 2500$
A megoldás tizes alapú logaritmussal adható meg: $x = \lg 2500$ (vagy $x = \log_{10} 2500$). Mivel $2500 = 100 \cdot 25$, felírható úgy is, mint $2 + \lg 25$.
17
Határozza meg a $(x-3)^{x^2-4} = 1$ egyenlet megoldásait a valós számok halmazán.
Egy hatvány kifejezés három esetben lehet 1. Vizsgáljuk meg mindet.
1. eset: Az alap 1.
$x - 3 = 1 \implies x = 4$. (Az alap tetszőleges hatványa 1).
2. eset: A kitevő 0 (és az alap nem 0).
$x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ vagy $x = -2$.
Ellenőrizzük az alapot: $x=2$ esetén $2-3 = -1 \neq 0$. $x=-2$ esetén $-2-3 = -5 \neq 0$. Mindkét megoldás jó.
3. eset: Az alap -1, a kitevő pedig páros egész szám.
$x - 3 = -1 \implies x = 2$. Ezt az értéket már megkaptuk a 2. esetnél, és behelyettesítve a kitevőbe ($2^2-4 = 0$) látható, hogy a 0 páros szám, így a feltétel teljesül.
A megoldáshalmaz: $\{-2; 2; 4\}$.
18
Oldja meg a valós számok halmazán a $2^x \cdot 3^{x-1} = 72$ egyenletet.
Bontsuk szét a $3^{x-1}$ hatványt, hogy azonos kitevőjű tényezőket kapjunk:
$2^x \cdot 3^x \cdot 3^{-1} = 72$
Azonos kitevőjű hatványok szorzási szabálya alapján $2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$. A $3^{-1}$ felírható $\frac{1}{3}$ alakban.
$6^x \cdot \frac{1}{3} = 72$
Szorozzuk meg mindkét oldalt 3-mal:
$6^x = 216$
Mivel $216 = 6^3$, és az exponenciális függvény szigorúan monoton, az egyenlet egyetlen megoldása: $x = 3$.
19
Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert: $\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 108 \\ 2^y \cdot 3^x = 72 \end{cases}$
Alkalmazzunk két szimmetrikus műveletet: összeszorozzuk, majd elosztjuk a két egyenletet.
1. lépés: A két egyenlet összeszorzása
$(2^x \cdot 3^y) \cdot (2^y \cdot 3^x) = 108 \cdot 72$
Rendezve a hatványokat: $2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 7776$.
Azonos kitevő miatt: $6^{x+y} = 7776$. Mivel $6^5 = 7776$, ebből következik, hogy $x + y = 5$.
2. lépés: Az első egyenlet osztása a másodikkal
$\frac{2^x \cdot 3^y}{2^y \cdot 3^x} = \frac{108}{72}$
Azonos alapú hatványok osztása: $2^{x-y} \cdot 3^{y-x} = \frac{3}{2}$ (a törtet 36-tal egyszerűsítve).
Mivel $3^{y-x} = (3^{-1})^{x-y} = \frac{1}{3^{x-y}}$, felírható, hogy:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-y} = \frac{3}{2}$.
Mivel $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$, következik, hogy $x - y = -1$.
3. lépés: A kapott lineáris rendszer megoldása
$x + y = 5$
$x - y = -1$
A két egyenletet összeadva: $2x = 4 \implies x = 2$.
Visszahelyettesítve: $2 + y = 5 \implies y = 3$. A megoldás: $x = 2$, $y = 3$.
20
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $4^x - 9 \cdot 2^{x-1} + 2 = 0$.
Kezdjük az egyenlet átalakításával úgy, hogy minden hatvány alapja $2$, a kitevő pedig $x$ legyen. A $4^x$ felírható $(2^2)^x = (2^x)^2$ alakban, a $2^{x-1}$ pedig $2^x \cdot 2^{-1} = 2^x \cdot \frac{1}{2}$ formában.
Helyettesítsük ezeket vissza az eredeti egyenletbe:
$(2^x)^2 - 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x + 2 = 0$
A törtek elkerülése érdekében szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát $2$-vel:
$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$
Vezessünk be egy új ismeretlent: legyen $y = 2^x$ (ahol $y > 0$). Ekkor egy másodfokú egyenletet kapunk:
$2y^2 - 9y + 4 = 0$
Oldjuk meg a másodfokú egyenletet a megoldóképlettel:
$y_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4}$
Ebből a két gyök: $y_1 = \frac{16}{4} = 4$ és $y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Mivel mindkét érték pozitív, mindkettő szolgáltat valós megoldást.
Térjünk vissza az eredeti $x$ változóra:
1. eset: $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$
2. eset: $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$