7. Feladat: Végtelen halmazok számossága

Feladat:

Döntse el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis, és indokolja válaszát: 'A természetes számok halmaza (\( \mathbb{N} \)) és az egész számok halmaza (\( \mathbb{Z} \)) egyenlő számosságú.'

Megoldás:

Igaz.

Két halmaz pontosan akkor egyenlő számosságú, ha létesíthető köztük kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (bijekció).

Az egész számokat sorba lehet rendezni úgy, hogy megszámlálhatóak legyenek: \( 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots \)

Így minden egész számhoz egyértelműen hozzárendelhető egy természetes szám (pl. \( f(n) = 2n \) ha \( n \ge 0 \), és \( f(n) = -2n - 1 \) ha \( n < 0 \)), tehát számosságuk megegyezik (mindkettő megszámlálhatóan végtelen, azaz \( \aleph_0 \) számosságú).