16. Feladat: Halmazműveletek és számosságok
Feladat:
Legyenek \( A \) és \( B \) halmazok. Tudjuk, hogy \( |A \setminus B| = 12 \), \( |B \setminus A| = 18 \) és \( |A \cup B| = 40 \). Mennyi \( |A| \), \( |B| \) és \( |A \cap B| \) értéke?
Megoldás:
Az uniót felbonthatjuk három diszjunkt részre:
\( |A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A| \)
Behelyettesítve a megadott értékeket: \[ 40 = 12 + |A \cap B| + 18 \] \[ 40 = 30 + |A \cap B| \implies |A \cap B| = 10 \]
Most már kiszámolhatjuk az \( A \) és \( B \) számosságát:
- \( |A| = |A \setminus B| + |A \cap B| = 12 + 10 = 22 \)
- \( |B| = |B \setminus A| + |A \cap B| = 18 + 10 = 28 \)