2023. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

14 pont

a

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! $$ \log_3 x + \log_3 (x + 2) = 1 $$

7 pont

b

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! $$ 4\sin^2 x - 16\cos^2 x = -1 $$

7 pont

a) Az értelmezési tartomány: $ x > 0 $. A logaritmus azonosságát alkalmazva:

$$ \log_3(x(x + 2)) = 1 $$

A logaritmus definíciója alapján:

$$ x(x + 2) = 3^1 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei $ x = -3 $ és $ x = 1 $. A $ -3 $ nem eleme az értelmezési tartománynak, így az egyetlen helyes megoldás az $ x = 1 $.

b) A $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ azonosság felhasználásával helyettesítsük a koszinusz négyzetét:

$$ 4\sin^2 x - 16(1 - \sin^2 x) = -1 $$

$$ 4\sin^2 x - 16 + 16\sin^2 x = -1 \implies 20\sin^2 x = 15 $$

$$ \sin^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{vagy} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

A megoldások:

$ x = \frac{\pi}{3} + k\pi $ vagy $ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi $, ahol $ k \in \mathbb{Z} $.

2

12 pont

Európában az autók üzemanyag-fogyasztását $ \frac{\text{liter}}{100\text{ km}} $ mértékegységben szokás megadni. (Például a $ 8 \frac{\text{liter}}{100\text{ km}} $ azt jelenti, hogy az autó 100 kilométerenként átlagosan 8 liter üzemanyagot fogyaszt.)

Az Egyesült Államokban viszont $ \frac{\text{mérföld}}{\text{gallon}} $ mértékegységben adják meg a fogyasztást. (Például a $ 20 \frac{\text{mérföld}}{\text{gallon}} $ azt jelenti, hogy 1 gallon üzemanyaggal átlagosan 20 mérföldet tudunk megtenni.)

Az Egyesült Államokban a 2020-ban gyártott autók átlagfogyasztása $ 25{,}4 \frac{\text{mérföld}}{\text{gallon}} $ volt.

a

Fejezze ki ezt a fogyasztást $ \frac{\text{liter}}{100\text{ km}} $-ben! Válaszát 1 tizedesjegyre kerekítve adja meg! (1 gallon $ \approx $ 3,79 liter, és 1 mérföld $ \approx $ 1,61 km.)

4 pont

A 2022. július 1-jétől Magyarországon kiadott gépjárműrendszámok formátuma a következő:

Összetétele: 4 betű a latin ábécéből, majd 3 számjegy. (A latin ábécé 26 betűből áll, melyek közül 5 magánhangzó és 21 mássalhangzó.)
Az első két betűből vagy mindkettő magánhangzó, vagy mindkettő mássalhangzó, de az első betűpár nem lehet CS, GY, LY, NY, SZ, TY, ZS.
A harmadik és negyedik betű tetszőleges lehet.
A három számjegy mindegyike tetszőleges lehet, de 000-ra nem végződhet rendszám.

b

Hány különböző, a fenti szabályok mindegyikének megfelelő rendszám készíthető?

6 pont

c

Jelölje meg annak az állításnak a betűjelét, amely tagadása a következő állításnak: „Bármely két magyar rendszám különböző.”
A) Minden magyar rendszám egyforma.
B) Van pontosan két egyforma magyar rendszám.
C) Van legalább két egyforma magyar rendszám.
D) Nincs két egyforma magyar rendszám.

2 pont

a) 1 gallon üzemanyaggal $ 25{,}4 $ mérföld, azaz $ 25{,}4 \cdot 1{,}61 \approx 40{,}89 $ km tehető meg.
Ezért 100 km megtételéhez $ \frac{100}{40{,}89} \approx 2{,}45 $ gallon üzemanyag szükséges.
Ez literben kifejezve: $ 2{,}45 \cdot 3{,}79 \approx 9{,}29 $ liter.
Tehát a kért kerekítéssel $ 9{,}3 $ liter/100 km az átlagfogyasztás.

b) Ha a rendszám két magánhangzóval kezdődik: $ 5 \cdot 5 = 25 $ eset lehetséges.
Ha a rendszám két mássalhangzóval kezdődik (az összes elvileg lehetséges esetből a felsorolt nem előforduló esetek számát kivonva): $ 21 \cdot 21 - 7 = 434 $ eset.
Ez összesen $ 25 + 434 = 459 $ lehetőség az első két betűre.
A rendszám további része (két tetszőleges betű és három számjegy, ami nem 000) $ 26 \cdot 26 \cdot 999 = 675\,324 $-féleképpen folytatható.
Összesen: $ 459 \cdot 675\,324 = $ $ 309\,973\,716 $ rendszám felel meg a feltételeknek.

c) A „bármely két...” (azaz minden pár) állítás tagadása az, hogy létezik legalább egy olyan pár, amelyre nem igaz (azaz egyformák).
A helyes válasz a C (Van legalább két egyforma magyar rendszám).

3

13 pont

Az ábrán látható trapéz alakú kert alapjainak hossza: $ AB = 36 $ m, $ CD = 8 $ m. A 11 méter hosszú $ AC $ átló merőleges a trapéz alapjaira.

a

Mekkora a kert kerülete és területe?

4 pont

A kert tulajdonosa egy 10 cm átmérőjű, henger alakú kutat fúratott a kertben.

b

Hány méter mély lett a kút, ha a térfogata 0,1 köbméter?

3 pont

Az $ e $ egyenes párhuzamos a fenti $ ABCD $ trapéz alapjaival, és az $ AD $ szárat az $ E $ pontban, a $ BC $ szárat pedig az $ F $ pontban metszi. Az $ AC $ átló felezi az $ EF $ szakaszt.

c

Az $ A $ ponttól mekkora távolságra metszi az $ e $ egyenes az $ AC $ átlót?

6 pont

a) Mivel $ AC $ merőleges az alapokra, az $ ACD $ és $ CAB $ derékszögű háromszögek. A trapéz szárainak hossza Pitagorasz-tétellel számolva:

$$ BC = \sqrt{36^2 + 11^2} \approx 37{,}6 \text{ m}, \quad AD = \sqrt{8^2 + 11^2} \approx 13{,}6 \text{ m} $$

A kert kerülete: $ 36 + 37{,}6 + 8 + 13{,}6 = $ $ 95{,}2 \text{ m} $.

A kert területe: $ T = \frac{36 + 8}{2} \cdot 11 = $ $ 242 \text{ m}^2 $.

b) A henger alakú kút sugara $ r = 0{,}05 $ méter. Ha a kút mélysége $ h $, akkor a térfogatára felírható:

$$ 0{,}1 = 0{,}05^2 \cdot \pi \cdot h \implies h = \frac{0{,}1}{0{,}0025\pi} \approx \mathbf{12{,}7 \text{ m}} $$

c) Jelölje $ M $ az $ e $ egyenes és az $ AC $ átló metszéspontját. A feltétel szerint az átló felezi $ EF $-et, tehát $ EM = MF = x $. Keressük az $ AM = y $ távolságot.

Az $ AME $ háromszög hasonló az $ ACD $ háromszöghöz, így:

$$ \frac{x}{8} = \frac{y}{11} \implies x = \frac{8y}{11} $$

A $ CMF $ háromszög hasonló a $ CAB $ háromszöghöz (mivel a megfelelő oldalaik párhuzamosak), így a hasonlóság aránya:

$$ \frac{x}{36} = \frac{11-y}{11} $$

A kapott $ x $-et behelyettesítve a második egyenletbe:

$$ \frac{8y}{11} \cdot \frac{1}{36} = \frac{11-y}{11} \implies 8y = 36(11 - y) $$

$$ 8y = 396 - 36y \implies 44y = 396 \implies \mathbf{y = 9} $$

Tehát az $ e $ egyenes az $ A $ ponttól 9 méter távolságra metszi az $ AC $ átlót.

4

12 pont

a

Egy számtani sorozat 20. tagja 108. A sorozat első 20 tagjának összege 1115.
Számítsa ki a sorozat első tagját és differenciáját!

5 pont

b

Egy mértani sorozat első tagja 3, és hányadosa is 3. A sorozat első $ n $ tagjának szorzata $ 3^{435} $.
Számítsa ki $ n $ értékét!

7 pont

a) A számtani sorozat első 20 tagjának összegképletét alkalmazva:

$$ S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = 1115 $$

$$ \frac{a_1 + 108}{2} \cdot 20 = 1115 \implies 10(a_1 + 108) = 1115 \implies a_1 + 108 = 111{,}5 $$

Így a sorozat első tagja: $ a_1 = 3{,}5 $.

Mivel $ a_{20} = a_1 + 19d $, a sorozat differenciája:

$$ d = \frac{108 - 3{,}5}{19} = \mathbf{5{,}5} $$

b) A mértani sorozat tagjai $ 3^1, 3^2, 3^3, \dots $, így az első $ n $ tag szorzata:

$$ P_n = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot \dots \cdot 3^n = 3^{1+2+\dots+n} $$

A feltétel szerint ez egyenlő $ 3^{435} $-tel. Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kitevők egyenlőek:

$$ 1 + 2 + \dots + n = 435 \implies \frac{n(n+1)}{2} = 435 $$

$$ n^2 + n - 870 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei $ n = 29 $ és $ n = -30 $. Mivel $ n $ csak pozitív egész lehet, a megoldás: $ n = 29 $.

5

16 pont

Pali és a testvére, Lilla együtt szeretnének filmet nézni. Három film közül választanak: az egyik a Kocka, a másik A kör, a harmadik pedig a Képlet című film. Pali ezek közül az egyik filmnek 1 pontot, egy másiknak 2 pontot, a harmadiknak pedig 3 pontot ad, majd (Palitól függetlenül) ugyanezt teszi Lilla is. A két pontszámot mindegyik film esetében összeadják, majd a legkisebb pontösszegű filmet nézik meg. Ha több ilyen film is van, akkor filmnézés helyett társasjátékoznak.

a

Melyik filmet néznék meg a testvérek, ha az alábbi táblázat szerint adnák a pontjaikat?

	Pali	Lilla
1 pont	A kör	Képlet
2 pont	Kocka	A kör
3 pont	Képlet	Kocka

2 pont

b

Hányféleképpen oszthatják ki a pontokat a testvérek úgy, hogy mindhárom film pontösszege ugyanannyi legyen?

3 pont

c

Ha Pali és Lilla is véletlenszerűen osztja ki a pontszámokat a filmek között, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy filmnézés lesz a pontozás eredménye?

6 pont

Egy filmes portálon a Parabola című filmet 83-an értékelték 1-10-ig egy-egy egész számmal. A film erősen megosztotta a nézőket: 46-an 1-essel értékelték azt, ugyanakkor a kapott értékelések átlaga pontosan 5 lett.

d

Számítsa ki a 83 értékelés szórását!

5 pont

a) A pontszámok összege az egyes filmeknél: Kocka = 2 + 3 = 5 pont, A kör = 1 + 2 = 3 pont, Képlet = 3 + 1 = 4 pont. A legkisebb pontszámot kapott A kör című filmet néznék meg.

b) A három filmre adott pontszámok összege mindkét féltől $ 1+2+3 = 6 $, összesen 12 pont. Ha mindhárom film egyenlő pontszámot kap, akkor mindegyiknek 4 pontot kell elérnie. Ezt csak úgy lehet, ha az egyik 1 és 3, a másik 2 és 2, a harmadik 3 és 1 pontot kap. Pali a pontszámokat 3! = 6-féleképpen oszthatja ki. Ha ő döntött, Lilla pontjai már egyértelműen meghatározottak a 4-es összeg eléréséhez. Tehát 6 ilyen eset van.

c) Az összes lehetséges kiosztás száma $ 3! \cdot 3! = 36 $. Akkor nem néznek filmet, ha holtverseny alakul ki az első helyen (a legkisebb pontszámon). Az összes pont 12, így a pontösszegek csak a következők lehetnek: {4, 4, 4} vagy {3, 3, 6} valamilyen sorrendben.
Az {4, 4, 4} eloszlás a b) feladat alapján 6-féleképpen jöhet létre.
A {3, 3, 6} eloszlás esetén az a film, amelyik 6 pontot kap (mindkettőjüktől 3-at), 3-féle lehet. A másik két film 2-féleképpen kaphatja meg a maradék 1 és 2 pontokat, ami szintén $ 3 \cdot 2 = 6 $ lehetőség.
Tehát $ 6 + 6 = 12 $ esetben nincs filmnézés. Ennek valószínűsége $ \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $, így a filmnézés valószínűsége: $ \frac{2}{3} $.

d) A 83 értékelés összege $ 83 \cdot 5 = 415 $.
46 darab 1-es értékelés összege 46, így a maradék 37 értékelés összege $ 415 - 46 = 369 $.
Ez az összeg (mivel a maximum értékelés 10) csak úgy adódhat 37 értékből, ha 36 darab 10-es és 1 darab 9-es született ($ 36 \cdot 10 + 9 = 369 $).
A szórás a definíció alapján:

$$ \sigma = \sqrt{\frac{46 \cdot (1 - 5)^2 + 1 \cdot (9 - 5)^2 + 36 \cdot (10 - 5)^2}{83}} = \sqrt{\frac{736 + 16 + 900}{83}} = \sqrt{\frac{1652}{83}} \approx \mathbf{4{,}46} $$

6

16 pont

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja. A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja $ 8\text{ cm} \times 6\text{ cm} $ méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig $ 6\text{ cm} \times 5\text{ cm} $, illetve $ 6\text{ cm} \times 2\text{ cm} $ méretű téglalap.

a

Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát!

3 pont

A test kiterített hálóját az alábbi ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy $ 15\text{ cm} \times 16\text{ cm} $-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test $ 8\text{ cm} \times 6\text{ cm} $-es alaplapjának oldalaival).

b

Hány százalék hulladék keletkezik?

5 pont

Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület $ 50\text{ cm}^2 $ nagyságú legyen.

c

Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

8 pont

a) A test szimmetrikus, így kétféle testátlója van. Az egyik a $ 6 \times 8 \times 2 $ téglatest testátlójával, a másik a $ 6 \times 8 \times 5 $ téglatest testátlójával egyezik meg.
A rövidebb testátló: $ \sqrt{6^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{104} \approx \mathbf{10{,}2 \text{ cm}} $.
A hosszabb testátló: $ \sqrt{6^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx \mathbf{11{,}2 \text{ cm}} $.

b) A teljes $ 15 \times 16 $-os téglalap területe $ 240 \text{ cm}^2 $.
A test hálójának területe az 5 lap összegéből áll: az alaplap ($ 6 \cdot 8 = 48 $), a két téglalap ($ 6 \cdot 2 = 12 $ és $ 6 \cdot 5 = 30 $), valamint a két derékszögű trapéz ($ 2 \cdot \frac{5+2}{2} \cdot 8 = 56 $).
A háló területe $ 48 + 12 + 30 + 56 = 146 \text{ cm}^2 $.
A keletkező hulladék területe $ 240 - 146 = 94 \text{ cm}^2 $, ami a teljes lap $ \frac{94}{240} \cdot 100 \approx $ $ 39{,}2\% $-a.

c) Legyen a belső téglalap szélessége $ x $, magassága pedig $ \frac{50}{x} $.
Ekkor a teljes kartonlap oldalai $ x + 4 $ és $ \frac{50}{x} + 8 $ hosszúak. A teljes terület:

$$ T(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 50 + 8x + \frac{200}{x} + 32 = 82 + 8x + \frac{200}{x} $$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva a két pozitív, $ x $-től függő tagra:

$$ 8x + \frac{200}{x} \ge 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80 $$

Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a két tag egyenlő: $ 8x = \frac{200}{x} \implies 8x^2 = 200 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 $.
Tehát a belső téglalap optimális méretei 5 cm és 10 cm, így a kartonlap oldalainak hossza $ 5+4 = $ 9 cm, illetve $ 10+8 = $ 18 cm.

7

16 pont

a

Egy gyár a beszállítójától 600 darab terméket rendelt. A gyár csak akkor veszi át a 600 darabot, ha egy visszatevés nélküli mintavétellel adódó 15 elemű mintában egyetlen hibás termék sincs.
Ha a 600 termék között 6 hibás van, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy a mintavétel után a gyár átveszi a termékeket?

3 pont

b

Egy cég reklámja szerint a termékeik legfeljebb 0,5%-a lehet hibás. A minőséget visszatevéssel előállított 15 elemű minta alapján ellenőrizték, amelyben 2-szer fordult elő hibás termék.
Tegyük fel, hogy a cég termékeinek pontosan 0,5%-a hibás!
Igazolja, hogy ekkor 1%-nál kisebb annak a valószínűsége, hogy a cég termékei közül visszatevéssel előállított 15 elemű mintában legalább 2-szer fordul elő hibás termék!

6 pont

Egy szivattyúkat gyártó cég a selejtes termékeket visszavásárolja a forgalmazóktól, és a selejtraktárban tárolja. A selejtes termékek hibájuk alapján háromféle hibakódot kaphatnak. A törött termékek „T”, a hiányos termékek „H” és az egyéb hibával rendelkező termékek „E” kódot kapnak. Egy termék többféle hibakódot is kaphat a hibái alapján.
A selejtraktárban az év végi nyilvántartás szerint a csak T kóddal, a csak H kóddal és a csak E kóddal rendelkező termékek darabszáma megegyezik. Olyan selejtes termék nincs, amelynek háromféle kódja is van. T kódja 35 terméknek, H kódja 40, E kódja pedig 45 terméknek van. Kétszer annyi terméknek van T és E kódja is, mint ahánynak T és H kódja is.

c

Hány selejtes termék van a selejtraktárban?

7 pont

a) A gyár átveszi a terméket, ha a kiválasztott 15 elem mindegyike a $ 600 - 6 = 594 $ hibátlan termék közül való. A visszatevés nélküli valószínűség:

$$ P = \frac{\binom{594}{15}}{\binom{600}{15}} \approx \mathbf{0{,}859} $$

b) Mivel visszatevéssel vesznek mintát, az eloszlás binomiális ($ n = 15 $, $ p = 0{,}005 $). A komplementer eseménnyel érdemes számolni (legfeljebb 1 hibás van a mintában):

$$ P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) $$

$$ P(X = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}005^0 \cdot 0{,}995^{15} \approx 0{,}9276 $$

$$ P(X = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}005^1 \cdot 0{,}995^{14} \approx 0{,}0699 $$

$$ P(X \ge 2) \approx 1 - 0{,}9276 - 0{,}0699 = \mathbf{0{,}0025} $$

A kapott érték $ 0{,}25\% $, ami valóban kisebb 1%-nál.

c) Készítsünk egy Venn-diagramot a feltételek alapján!

Jelölje $ x $ a csak egyféle hibakóddal rendelkezők számát, $ y $ a T és H, $ 2y $ a T és E, valamint $ z $ a H és E metszetében lévők számát. A T, H, E halmazokElemszáma alapján a következő egyenletrendszert írhatjuk fel:

(1) $ x + y + 2y = 35 \implies x + 3y = 35 $

(2) $ x + y + z = 40 $

(3) $ x + 2y + z = 45 $

A (3) egyenletből kivonva a (2) egyenletet kapjuk, hogy $ y = 5 $.
Ezt az (1)-be helyettesítve $ x = 20 $. Végül a (2) alapján $ 20 + 5 + z = 40 \implies z = 15 $.
A selejtraktárban összesen $ 3x + y + 2y + z = 3 \cdot 20 + 3 \cdot 5 + 15 = $ 90 selejtes termék van.

8

16 pont

a

Legyen $ f: [1; \infty[ \to [1; \infty[, x \mapsto 2x-1 $,
és $ g: [1; \infty[ \to [1; \infty[, x \mapsto \sqrt{x} $.
Oldja meg az $ f(g(x)) = g(f(x)) $ egyenletet!

7 pont

b

Igazolja, hogy tetszőleges $ a < b $ paraméterek esetén $ \int_a^b (2x - 1) \,dx = (b - a)(b + a - 1) $.

4 pont

c

Határozza meg az $ a $ és $ b $ egész paraméterek lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy
$ \int_a^b (2x - 1) \,dx = 8 $ ($ a < b $).

5 pont

a) Az összetett függvények felírása és az egyenlet:

$$ 2\sqrt{x} - 1 = \sqrt{2x - 1} $$

Mindkét oldal az értelmezési tartományon pozitív, négyzetre emelve kapjuk:

$$ 4x - 4\sqrt{x} + 1 = 2x - 1 \implies 2x + 2 = 4\sqrt{x} \implies x + 1 = 2\sqrt{x} $$

Újbóli négyzetre emeléssel:

$$ x^2 + 2x + 1 = 4x \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 $$

Ennek az egyenletnek egyetlen megoldása van: $ x = 1 $. Ellenőrzéssel könnyen megbizonyosodhatunk a helyességéről ($ f(g(1)) = 1 $ és $ g(f(1)) = 1 $).

b) A Newton-Leibniz formula alapján:

$$ \int_a^b (2x - 1) \,dx = \left[ x^2 - x \right]_a^b = (b^2 - b) - (a^2 - a) = (b^2 - a^2) - (b - a) $$

A különbséget szorzattá alakítva:

$$ = (b - a)(b + a) - (b - a) = \mathbf{(b - a)(b + a - 1)} $$

c) A b) feladat alapján a megoldandó diofantikus egyenlet:

$$ (b - a)(b + a - 1) = 8 $$

Mivel $ a < b $, így $ b - a > 0 $, azaz mindkét tényezőnek pozitív egész számnak kell lennie (mivel 8 pozitív). A 8 lehetséges felbontásai szorzatokra: $ 1 \cdot 8, 2 \cdot 4, 4 \cdot 2, 8 \cdot 1 $.
Megvizsgálva az egyenletrendszereket, csak két esetben kapunk egész megoldást:
1. eset: $ b - a = 1 $ és $ b + a - 1 = 8 \implies a = 4, b = 5 $.
2. eset: $ b - a = 8 $ és $ b + a - 1 = 1 \implies a = -3, b = 5 $.
Tehát a paraméterek lehetséges értékei: $ a=4, b=5 $ vagy $ a=-3, b=5 $.

9

16 pont

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az $ y = x $ és az $ y = -2x + 2 $ egyenletű egyenes, valamint az $ y = x^3 - x $ ($ 0 \le x \le 1 $) egyenletű görbe fogja közre.

a

Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0; 0) és (1; 0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!

8 pont

Adott az $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}; \; f(x) = -x^3 + kx $ függvény ($ k $ valós paraméter). Az $ f $ függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az $ x = 1 $, illetve az $ x = 2 $ abszcisszájú pontjában.

b

Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a $ k $ paraméter értékétől függetlenül) $ \frac{14}{9} $.

8 pont

a) A medence tervrajzának x-tengely feletti része egy háromszög, amelynek csúcsa az $ y = x $ és az $ y = -2x + 2 $ egyenesek metszéspontja: $ x = -2x + 2 \implies x = \frac{2}{3} $, azaz a magassága $ y = \frac{2}{3} $.
A háromszög területe: $ T_1 = \frac{1 \cdot \frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} $.

Az x-tengely alatti görbe alatti terület nagysága az integrál mínusz egyszereséből adódik:

$$ T_2 = -\int_0^1 (x^3 - x) \,dx = -\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = -\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} $$

A tervrajzon a medence teljes területe: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} $ területegység.
Mivel 1 egység a valóságban 12 méter, 1 területegység $ 12^2 = 144\text{ m}^2 $.
A medence valóságos területe: $ \frac{7}{12} \cdot 144 = $ $ 84\text{ m}^2 $.

b) A függvény deriváltja: $ f'(x) = -3x^2 + k $.

Az $ x = 1 $ pontban az érintési pont koordinátái: $ (1; k - 1) $, a meredekség $ m_1 = k - 3 $.
Az érintő egyenlete: $ y = (k - 3)(x - 1) + k - 1 \implies y = kx - 3x + 2 $.

Az $ x = 2 $ pontban az érintési pont koordinátái: $ (2; 2k - 8) $, a meredekség $ m_2 = k - 12 $.
Az érintő egyenlete: $ y = (k - 12)(x - 2) + 2k - 8 \implies y = kx - 12x + 16 $.

A két egyenest egyenlővé téve a metszéspont x-koordinátájához:

$$ kx - 3x + 2 = kx - 12x + 16 $$

$$ 9x = 14 \implies \mathbf{x = \frac{14}{9}} $$

Ezzel az állítást igazoltuk, mivel az eredmény valóban független $ k $-tól.