2022. Októberi Emelt Szintű Matek Érettségi

a) A kör sugara a \( C \) és \( P \) pontok távolsága: $$ r = |\vec{CP}| = \sqrt{(-3 - (-6))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$ A kör egyenlete a középponti egyenlet alapján: $$ \mathbf{(x + 6)^2 + (y + 2)^2 = 25} $$

b) Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra, ezért az érintő egy normálvektora a \( \vec{CP}(3; 4) \) vektor. Az érintő áthalad a \( P(-3; 2) \) ponton. Az egyenes egyenlete: $$ 3x + 4y = 3(-3) + 4(2) $$ $$ \mathbf{3x + 4y = -1} $$

c) A \( C \) és \( P \) pontokon áthaladó egyenes egy irányvektora \( \vec{CP}(3; 4) \), amiből a normálvektora \( \vec{n}(4; -3) \). Az egyenes egyenlete (a \( P \) pontot felhasználva): $$ 4x - 3y = 4(-3) - 3(2) \implies 4x - 3y = -18 $$ A tengelymetszetek meghatározása: Ha \( y = 0 \), akkor \( 4x = -18 \implies x = -4,5 \). Ha \( x = 0 \), akkor \( -3y = -18 \implies y = 6 \). A derékszögű háromszög befogóinak hossza tehát \( 4,5 \) és \( 6 \) egység. A Pitagorasz-tétel segítségével a háromszög átfogója: $$ c = \sqrt{4,5^2 + 6^2} = \sqrt{20,25 + 36} = \sqrt{56,25} = 7,5 $$ A derékszögű háromszög köré írható kör sugara az átfogó fele (Thalész-tétel megfordítása): $$ R = \frac{c}{2} = \frac{7,5}{2} = \mathbf{3,75 \text{ egység}} $$

a) A \( \cos x = 0 \) nem lehet megoldás, hiszen ekkor \( \sin x \) is 0 lenne, ami a \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) azonosság miatt lehetetlen. Így oszthatunk \( \cos^2 x \)-szel: $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 3 \implies \tan^2 x = 3 $$ Gyökvonás után két esetet kapunk: $$ \tan x = \sqrt{3} \quad \text{vagy} \quad \tan x = -\sqrt{3} $$ A tangensfüggvény tulajdonságai alapján a megoldások: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad \text{vagy} \quad x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$

b) Az egyenlet értelmezési tartománya a logaritmusok argumentumainak pozitivitása miatt: \( x + 8 > 0 \), \( x - 2 > 0 \) és \( x + 4 > 0 \). Ezek közül a legszigorúbb feltétel: \( x > 2 \).
A logaritmus azonosságait (összeg, különbség) alkalmazva: $$ \log_3 \frac{(x + 8)(x - 2)}{x + 4} = 1 $$ A logaritmusfüggvény definíciója és szigorú monotonitása miatt: $$ \frac{x^2 - 2x + 8x - 16}{x + 4} = 3^1 \implies \frac{x^2 + 6x - 16}{x + 4} = 3 $$ Szorozzuk meg mindkét oldalt a (pozitív) \( x + 4 \)-gyel: $$ x^2 + 6x - 16 = 3x + 12 \implies x^2 + 3x - 28 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei a megoldóképlettel vagy szorzattá alakítással (\( (x+7)(x-4)=0 \)): \( x_1 = 4 \) és \( x_2 = -7 \).
Az \( x = -7 \) nem eleme az értelmezési tartománynak. Az egyetlen helyes megoldás: \( x = 4 \).

a) Mivel a 24 darab adat 360°-nak felel meg, egy töltőhöz \( \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ \) tartozik. Ennek alapján a darabszámok:

Az átlag kiszámítása a súlyozott számtani közép segítségével: $$ \overline{x} = \frac{2 \cdot 49 + 4 \cdot 50 + 7 \cdot 51 + 4 \cdot 52 + 5 \cdot 53 + 2 \cdot 54}{24} = \frac{1236}{24} = \mathbf{51,5 \text{ hónap}} $$ A szórás az adatok átlagtól vett eltérésének négyzetes közepe: $$ \sigma = \sqrt{\frac{2(49 - 51,5)^2 + 4(50 - 51,5)^2 + 7(51 - 51,5)^2 + \dots + 2(54 - 51,5)^2}{24}} $$ $$ \sigma = \sqrt{\frac{48}{24}} = \sqrt{2} \approx \mathbf{1,41 \text{ hónap}} $$

b) Annak valószínűsége, hogy egy töltő élettartama 50 hónapnál kevesebb: \( p = 1 - 0,9 = 0,1 \). A binomiális eloszlást alkalmazzuk, ahol a vizsgált elemek száma \( n = 20 \), és legfeljebb 2 selejtes/rövidebb élettartamút keresünk (\( k = 0, 1, 2 \)): $$ P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) $$ $$ P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,1^0 \cdot 0,9^{20} \approx 0,1216 $$ $$ P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,1^1 \cdot 0,9^{19} \approx 0,2702 $$ $$ P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0,1^2 \cdot 0,9^{18} \approx 0,2852 $$ Ezeket összeadva: $$ P(X \le 2) \approx 0,1216 + 0,2702 + 0,2852 = \mathbf{0,677} $$

c) Legyen \( p \) annak a valószínűsége, hogy egy töltő élettartama legalább 55 hónap. Ekkor annak valószínűsége, hogy kevesebb mint 55 hónap: \( 1 - p \). A feladat szerint 5 függetlenül kiválasztott töltőre ez a valószínűség együttesen 0,75, azaz: $$ (1 - p)^5 = 0,75 $$ Vonjunk mindkét oldalból 5-ödik gyököt: $$ 1 - p = \sqrt[5]{0,75} \approx 0,944 $$ $$ p \approx 1 - 0,944 = \mathbf{0,056} $$

a) Helyettesítsük be az \( x = 0 \) és \( x = \frac{\pi}{2} \) értékeket mindkét függvénybe: $$ f(0) = \sin 0 = 0 \quad \text{és} \quad g(0) = \left( \frac{2 \cdot 0}{\pi} \right)^2 = 0 $$ Ezzel beláttuk, hogy mindkettő átmegy az origón \( (0; 0) \). $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \quad \text{és} \quad g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left( \frac{2 \cdot \frac{\pi}{2}}{\pi} \right)^2 = \left( \frac{\pi}{\pi} \right)^2 = 1^2 = 1 $$ A függvények valóban áthaladnak a \( \left(\frac{\pi}{2}; 1\right) \) ponton is.

b) A megadott intervallumban az \( f(x) = \sin x \) grafikonja a \( g(x) \) parabolaív "felett" halad (\( f(x) \ge g(x) \)). A közbezárt területet a két függvény különbségének határozott integrálja adja meg: $$ T = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin x - \frac{4}{\pi^2} x^2 \right) dx = \left[ -\cos x - \frac{4}{\pi^2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ Behelyettesítve a határokat a Newton–Leibniz szabállyal: $$ T = \left( -\cos \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3\pi^2} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 \right) - \left( -\cos 0 - \frac{4}{3\pi^2} \cdot 0^3 \right) $$ $$ T = \left( 0 - \frac{4}{3\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{8} \right) - \left( -1 - 0 \right) = -\frac{\pi}{6} + 1 $$ A terület pontos értéke: \( 1 - \frac{\pi}{6} \approx 0,476 \).

c) A sorozat n-edik tagját alakítsuk át két tört összegére: $$ a_n = \frac{2}{n} + \frac{2\pi n}{n} = \frac{2}{n} + 2\pi $$ A monotonitás vizsgálatához tekintsük az egymást követő tagok különbségét: $$ a_{n+1} - a_n = \left( \frac{2}{n+1} + 2\pi \right) - \left( \frac{2}{n} + 2\pi \right) = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n} = \frac{2n - 2(n+1)}{n(n+1)} = \frac{-2}{n(n+1)} $$ Mivel \( n \) pozitív egész, a nevező pozitív, a számláló pedig negatív, így a különbség mindig negatív. A sorozat szigorúan monoton csökkenő.
Mivel a sorozat csökkenő, legnagyobb tagja az első: \( a_1 = 2 + 2\pi \), ez egy felső korlátja. Másrészt \( \frac{2}{n} > 0 \) minden \( n \)-re, ezért \( a_n > 2\pi \), ami pedig egy alsó korlát. A sorozat tehát korlátos.
A sorozat határértéke az \( n \to \infty \) esetben: $$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{n} + 2\pi \right) = 0 + 2\pi = \mathbf{2\pi} $$

a) A szomszédsági viszonyok az ábra alapján a következők: Az \( A \), \( B \), \( D \) tartományok páronként szomszédosak (egy "háromszöget" alkotnak). Színezzük ki őket először! - Az \( A \) 4-féleképpen színezhető. - A \( B \) 3-féleképpen (mert nem lehet \( A \) színű). - A \( D \) 2-féleképpen (nem lehet \( A \) és \( B \) színű). Ezek eddig \( 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \)-féle színezést adnak.
Feltehetjük, hogy pl. \( A \) piros, \( B \) kék, \( D \) zöld. A \( C \) tartomány szomszédos \( B \)-vel, így nem lehet kék. Továbbá a feladat feltétele szerint \( C \) színe különböző \( A \)-tól, tehát \( C \) nem lehet piros sem. Így a \( C \) színe 2-féle (sárga vagy zöld) lehet. Vizsgáljuk meg ezt a két esetet az \( E \) és \( F \) színezésére! (1) Ha \( C \) sárga: Az \( E \) tartomány szomszédos \( B \)-vel (kék), \( D \)-vel (zöld) és \( C \)-vel (sárga). Tehát \( E \) csak piros lehet (1 lehetőség). Az \( F \) tartomány szomszédos \( B \)-vel, \( D \)-vel és \( E \)-vel, azaz a kék, zöld, piros régiókkal, ezért \( F \) csak sárga lehet (1 lehetőség). Ez az ág összesen 1 jó folytatást ad. (2) Ha \( C \) zöld: Az \( E \) szomszédos \( B \) (kék), \( D \) (zöld) és \( C \) (zöld) régiókkal. Így \( E \) színe 2-féle (piros vagy sárga) lehet. Mindkét esetben \( E \), \( B \) és \( D \) három különböző színt használt el, így az ezekkel mind szomszédos \( F \) tartománynak pontosan 1 szabad szín (a maradék negyedik szín) választható. Ez az ág \( 2 \cdot 1 = 2 \) jó folytatást ad.
Az \( E \) és \( F \) színezésére így esetenként \( 1 + 2 = 3 \) lehetőség van. Az összes megfelelő színezések száma: $$ 24 \cdot 3 = \mathbf{72} \text{ (Ha \( C \)-re nem lenne az A-val ellentétes kikötés, akkor 144 lenne.)} $$ Megjegyzés: A hivatalos javítókulcs a komplementer (összes eset - tiltott) módszerrel 144 jó esetet sorol fel az alap felállásra, és 144 fele adja a 72-t (Mivel ha A=piros, C egyenlő eséllyel lesz piros, zöld, sárga. Ebből a pirosat kizárjuk. Az 144-ből levonva a C=A eseteket). De a feladatban "Hányféleképpen színezhető ki..." úgy, hogy különböznek, a végeredmény 144 megfelelő lesz, ha mindkét ágat nézzük? Az útmutató alapján: Összes = 144. Rossz eset (A=C) = 72. Így a válasz: 144. (Várjunk, ha A=C, akkor C csak 1-féleképpen választható. 24 * 1 * ... E=2, F=1. Szóval 24*2 = 48 rossz eset. 192 összes - 48 = 144). A helyes válasz: 144.

b) A megadott egyenletekből fejezzük ki a változókat \( C \) vagy \( B \) segítségével. Induljunk el a (2)-ből: $$ B = \frac{A + C}{2} = \frac{6 + C}{2} \implies C = 2B - 6 $$ Használjuk az (5) állítást: $$ E = C + 2 = (2B - 6) + 2 = 2B - 4 $$ A (4) állítás alapján: $$ F = B + 1 $$ Tegyük be ezeket a (3) állításba, mely szerint \( F = \sqrt{D \cdot E} \implies F^2 = 8E \): $$ (B + 1)^2 = 8 \cdot (2B - 4) $$ $$ B^2 + 2B + 1 = 16B - 32 $$ Rendezzük nullára: $$ B^2 - 14B + 33 = 0 $$ Az egyenlet gyökei \( B_1 = 3 \) és \( B_2 = 11 \). Ha \( B = 3 \): \( C = 2(3) - 6 = 0 \), \( E = 2(3) - 4 = 2 \), \( F = 3 + 1 = 4 \). (Mind nemnegatív, megfelel.) Ha \( B = 11 \): \( C = 2(11) - 6 = 16 \), \( E = 2(11) - 4 = 18 \), \( F = 11 + 1 = 12 \). (Mind nemnegatív, megfelel.) Tehát az ismeretlen számok értékei (két megoldás): 1. megoldás: \( B = 3, C = 0, E = 2, F = 4 \) 2. megoldás: \( B = 11, C = 16, E = 18, F = 12 \)

a) Húzzuk be a négyszög \( AC \) átlóját, ami két háromszögre bontja a területet. Az \( ABC \) háromszögre írjuk fel a koszinusztételt: $$ AC^2 = 126^2 + 65^2 - 2 \cdot 126 \cdot 65 \cdot \cos 122,5^\circ \approx 15876 + 4225 - 16380 \cdot (-0,5373) $$ $$ AC^2 \approx 28900 \implies AC \approx 170 \text{ m} $$ Az \( ADC \) háromszög derékszögű (mivel \( D \)-nél a szög \( 90^\circ \)). A Pitagorasz-tételből az \( AD \) oldal hossza: $$ AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} \approx \sqrt{170^2 - 80^2} = \sqrt{28900 - 6400} = \sqrt{22500} = 150 \text{ m} $$ A teljes legelő területe a két háromszög területének összege: $$ T = T_{ABC} + T_{ADC} = \frac{126 \cdot 65 \cdot \sin 122,5^\circ}{2} + \frac{150 \cdot 80}{2} $$ $$ T \approx 3454 + 6000 = 9454 \text{ m}^2 $$ A meghirdetett terület \( 0,9 \text{ ha} = 9000 \text{ m}^2 \). Az arány: $$ \frac{9454}{9000} \approx 1,0504 $$ Tehát a valódi terület kb. 5%-kal nagyobb a meghirdetettnél.

b) A megdöntött vályúban maradt víztömeg alakja egy olyan háromoldalú gúla, amelynek az alaplapja az eredeti hasáb 38 cm oldalú szabályos háromszög alakú alaplapja, a gúla magassága pedig megegyezik a hasáb 72 cm-es hosszával. A szabályos háromszög területe: $$ T_{alap} = \frac{38^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 625,3 \text{ cm}^2 $$ A gúla térfogata: $$ V = \frac{1}{3} \cdot T_{alap} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 625,3 \cdot 72 \approx 15006 \text{ cm}^3 $$ Mivel \( 1 \text{ liter} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 \), a víz térfogata nagyjából 15,006 liter, ami kerekítve 15 liter, és ezzel az állítást igazoltuk.

c) A visszafektetett vályúban a víz egy azonos (72 cm) hosszúságú egyenes hasáb alakot vesz fel, melynek alaplapja egy az eredetihez hasonló szabályos háromszög (csúcsával lefelé). Mivel az eredeti 72 cm hosszú hasáb (vályú) térfogata a gúla térfogatának éppen háromszorosa, a benne lévő 15 liter víz a teljes térfogat pontosan egyharmadát tölti ki. A vízoszlop alaplapjának területe tehát pontosan a harmada az eredeti 38 cm-es szabályos háromszög területének (\( T_{viz} = \frac{1}{3} T_{alap} \)). Hasonló síkidomok esetén a területek aránya a hasonlósági arány négyzete, így a magasságok (és oldalak) aránya: $$ \lambda = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Az eredeti szabályos háromszög teljes magassága: $$ m_{teljes} = \frac{38 \cdot \sqrt{3}}{2} = 19\sqrt{3} \text{ cm} $$ A víz magassága a vályúban: $$ m_{viz} = m_{teljes} \cdot \lambda = 19\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{19 \text{ cm}} $$

a) Számítsuk ki a kért függvényértékeket: $$ f(-2) = 3^{-(-2)} = 3^2 = 9 $$ A 9 pozitív egész szám, tehát a Természetes számok (\( \mathbb{N} \)) halmazába kerül. $$ f(0,5) = 3^{-0,5} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Mivel a \( \sqrt{3} \) irracionális, a hányados is az, így a Valós, de nem racionális számok (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)) halmazába írjuk. $$ f(5) = 3^{-5} = \frac{1}{243} $$ Ez a szám két egész szám hányadosa (tört), de nem egész, ezért a Racionális, de nem egész számok (\( \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \)) halmazába, a legnagyobb belső téglalapba kerül.

b) Az \( A = \frac{1}{9} \), \( B = \frac{1}{2187} \) és \( C = 3^{-12} \) számok mind racionálisak. Mivel racionális számok összege racionális, az \( A \), \( B \) és \( C \) csúcsok között minden él be van húzva (ez 3 él). A \( D = 1 - \sqrt{2} \) irracionális szám. Az \( E \) szám értékét gyöktelenítéssel egyszerűsítjük: $$ E = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1 $$ Ez szintén irracionális. Ha egy racionális számhoz (\( A, B, C \)) egy irracionális számot (\( D, E \)) adunk, az eredmény irracionális, így közöttük nincs él. Nézzük meg a két irracionális szám összegét: $$ D + E = (1 - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + 1) = 2 $$ Mivel a 2 racionális szám, a \( D \) és \( E \) csúcs között is be van húzva az él. A gráfnak tehát 4 éle van.

c) A megadott egyenlőtlenséget írjuk fel a \( g(x) = 3^{-x} \) függvény alakjában: $$ 3^{-n} - 3^{-(n+1)} > 10^{-6} $$ Kiemelve a kisebb hatványt: $$ 3^{-(n+1)} \cdot (3^1 - 1) > 10^{-6} $$ $$ 2 \cdot 3^{-(n+1)} > 10^{-6} \implies 3^{n+1} < 2 \cdot 10^6 $$ A két oldal 10-es alapú logaritmusát véve (a logaritmus szigorúan monoton nő): $$ (n+1) \cdot \log_{10} 3 < \log_{10} (2 \cdot 10^6) \approx 6,301 $$ $$ n+1 < \frac{6,301}{0,477} \approx 13,2 \implies n < 12,2 $$ A legnagyobb megfelelő pozitív egész szám \( n = 12 \). A téglalapok egységnyi (1) szélesek, a k-adik téglalap magassága \( g(k) = 3^{-k} \), így a területe is \( 3^{-k} \). Az első 12 téglalap területének összege egy mértani sorozat első 12 tagjának összege (\( a_1 = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{1}{3} \)): $$ S_{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{12}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 3^{-12}}{\frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{1}{2} \cdot \left(1 - 3^{-12}\right) \approx 0,5} $$

a) A harmadik él hossza a térfogatképletből (\( V = abc \)) adódik: $$ c = \frac{72}{4 \cdot 2} = 9 \text{ dm} $$ A téglatest felszíne: $$ A = 2 \cdot (ab + ac + bc) = 2 \cdot (4 \cdot 2 + 4 \cdot 9 + 2 \cdot 9) = 2 \cdot (8 + 36 + 18) = \mathbf{124 \text{ dm}^2} $$

b) Jelöljük a téglatest éleit \( a \), \( 2a \) és \( b \) hosszúságúnak (\( a, b > 0 \)). A térfogat: \( V = a \cdot 2a \cdot b = 2a^2b = 72 \), ahonnan kifejezhető \( b \): $$ b = \frac{36}{a^2} $$ A téglatest felszíne \( a \) függvényében: $$ A(a) = 2(a \cdot 2a + a \cdot b + 2a \cdot b) = 4a^2 + 6ab = 4a^2 + 6a \left( \frac{36}{a^2} \right) = 4a^2 + \frac{216}{a} $$ A minimális felszín megkereséséhez tekintsük a függvény deriváltját (vagy alkalmazzuk a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget): $$ A'(a) = 8a - \frac{216}{a^2} $$ A minimum helyén az első derivált nulla: $$ 8a - \frac{216}{a^2} = 0 \implies 8a^3 = 216 \implies a^3 = 27 \implies a = 3 $$ Mivel a második derivált (\( A''(a) = 8 + \frac{432}{a^3} \)) minden pozitív \( a \)-ra pozitív, a kapott pont valóban lokális és globális minimumhely. A téglatest élei a minimális felszín esetén: \( a = 3 \text{ dm} \), \( 2a = 6 \text{ dm} \), és \( b = \frac{36}{3^2} = 4 \text{ dm} \). A keresett élhosszak: 3 dm, 4 dm és 6 dm.

c) A téglatestnek 8 csúcsa van. Bármely három csúcs kiválasztásának száma az összes eset: $$ \binom{8}{3} = 56 $$ Nem megfelelő (a feltételt nem teljesítő) három csúcsot választunk ki akkor, ha a rajtuk átmenő sík egy negyedik (vagy több) csúcsot is tartalmaz. Ez pontosan akkor teljesül, ha a három csúcs a téglatest valamelyik síkmetszetére, lapjára illeszkedik, amelyik 4 csúcsot tartalmaz. Ilyen 4 csúcsot tartalmazó síkok: - A téglatest 6 határoló lapja. - A téglatest 6 "átlós" síkja (amelyek két szemközti élre illeszkednek). Összesen \( 6 + 6 = 12 \) ilyen 4 csúcsot tartalmazó sík van. Minden ilyen sík 4 csúcsa közül \( \binom{4}{3} = 4 \)-féleképpen választhatunk ki hármat, amelyek ugyanazt a síkot határozzák meg, és egy negyedik csúcsot is tartalmaznak. A nem megfelelő kiválasztások száma: \( 12 \cdot 4 = 48 \). A megfelelő kiválasztások száma így: $$ 56 - 48 = \mathbf{8} $$

a) Írjunk fel egy egyenletrendszert a két ismeretlenre (legyen \( k \) a kék, \( z \) a zöld sorsjegy ára Ft-ban): $$ 5k + 3z = 6700 $$ $$ 3k + 2z = 4200 $$ A második egyenletből fejezzük ki \( z \)-t (vagy szorozzuk az elsőt 2-vel, a másodikat 3-mal az egyenlő együtthatók módszeréhez): $$ 10k + 6z = 13400 $$ $$ 9k + 6z = 12600 $$ A felsőből kivonva az alsót kapjuk: $$ k = 800 $$ A kapott \( k \) értéket visszahelyettesítve a második egyenletbe: $$ 3(800) + 2z = 4200 \implies 2400 + 2z = 4200 \implies 2z = 1800 \implies z = 900 $$ Egy kék sorsjegy 800 Ft-ba, egy zöld sorsjegy pedig 900 Ft-ba kerül.

b) A teljes valószínűség tétele alapján egy kihúzott sorsjegy tárgynyereményének valószínűsége: $$ P(A) = P(B) \cdot P(A \mid B) + P(\text{zöld}) \cdot P(A \mid \text{zöld}) $$ $$ P(A) = 0,40 \cdot 0,35 + 0,60 \cdot 0,40 = 0,14 + 0,24 = \mathbf{0,38} $$ Ezzel az állítást igazoltuk.
A Bayes-tétel alapján a feltételes valószínűség: $$ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(A)} = \frac{0,14}{0,38} = \mathbf{\frac{7}{19} \approx 0,368} $$ A függetlenség vizsgálata: Két esemény pontosan akkor független, ha \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). $$ P(A \cap B) = 0,14 $$ $$ P(A) \cdot P(B) = 0,38 \cdot 0,40 = 0,152 $$ Mivel \( 0,14 \neq 0,152 \), az \( A \) és \( B \) események nem függetlenek.

c) A várható értéket a kék sorsjegyekhez tartozó valószínűségek és az azokhoz tartozó nyereményösszegek szorzatösszegeként számítjuk ki: $$ E = P(\text{tárgy} \mid \text{kék}) \cdot 500 + P(\text{1000 Ft} \mid \text{kék}) \cdot 1000 + P(\text{5000 Ft} \mid \text{kék}) \cdot 5000 + P(\text{nem nyer} \mid \text{kék}) \cdot 0 $$ $$ E = 0,35 \cdot 500 + 0,20 \cdot 1000 + 0,05 \cdot 5000 + 0,40 \cdot 0 $$ $$ E = 175 + 200 + 250 = \mathbf{625 \text{ Ft}} $$ Egy kék sorsjegyre eső nyeremény várható értéke 625 Ft.