2022. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

11 pont

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!

a

$ 9^{x+1} + 15 \cdot 3^x = 6 $

6 pont

b

$ \frac{1}{4} \cdot \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{8} = 0 $

5 pont

a) Mivel $ 9^x = (3^x)^2 $, ezért az egyenlet $ 3^x $-ben másodfokú: $$ 9 \cdot (3^x)^2 + 15 \cdot 3^x - 6 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldásai $ 3^x $-re: $ 3^x = -2 $ vagy $ 3^x = \frac{1}{3} $.

Az első eset nem lehetséges, mert $ 3^x > 0 $.
A második esetből: $ 3^x = 3^{-1} \implies \mathbf{x = -1} $.

b) Az egyenletet rendezve: $$ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Ebből két ág adódik ($ k \in \mathbb{Z} $): $$ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{vagy} \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi $$ Kifejezve $ x $-et mindkét ágon: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{4} + k \cdot \pi} \quad \text{vagy} \quad \mathbf{x = \frac{7\pi}{12} + k \cdot \pi} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

2

13 pont

a

Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3, az első $ n $ tag összege pedig 4900. Határozza meg $ n $ értékét!

5 pont

b

Egy mértani sorozat első és második tagjának összege 6, harmadik és negyedik tagjának összege pedig 96. Adja meg a sorozat első tagját és hányadosát!

8 pont

a) A számtani sorozat összegképletét használva: $$ S_n = \frac{2 \cdot 5 + 3(n - 1)}{2} \cdot n = 4900 $$ Rendezve az egyenletet: $$ 3n^2 + 7n - 9800 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei $ n_1 = 56 $ és $ n_2 = -\frac{175}{3} \approx -58,3 $. Mivel $ n $-nek pozitív egésznek kell lennie, a megoldás: $ n = 56 $.

b) Jelölje a mértani sorozat első tagját $ a $, hányadosát $ q $. Az egyenletrendszer: $$ \begin{cases} a + aq = 6 \\ aq^2 + aq^3 = 96 \end{cases} $$ A második egyenlet átalakítva: $ q^2(a + aq) = 96 $.
Ezt elosztva az első egyenlettel megkapjuk, hogy: $$ q^2 = 16 \implies q = 4 \quad \text{vagy} \quad q = -4 $$ Visszahelyettesítve az első egyenletbe: Ha $ q = 4 $, akkor $ a(1+4) = 6 \implies \mathbf{a = \frac{6}{5} = 1,2} $.
Ha $ q = -4 $, akkor $ a(1-4) = 6 \implies \mathbf{a = -2} $.

3

13 pont

Egy társasházban 50-en laknak. A lakók 38%-a nő, 32%-a szemüveges.

a

Legalább, illetve legfeljebb hányan lehetnek a lakók között a nem szemüveges férfiak?

5 pont

A társasház kertje egy 15 méter hosszú, 10 méter széles téglalap alakú földterület, amely az egyik átlója mentén ketté van osztva: az egyik fele füvesítve van, a másik felén virágágyás található. A füvesített rész derékszögű csúcsában van egy öntöző, amely egy 10 méter sugarú negyedkör alakú területet locsol a kertben.

b

Mekkora az a füvesített terület, amelyet nem ér el az öntöző?

8 pont

a) A lakók közül $ 50 \cdot 0,38 = 19 $ nő, és $ 50 - 19 = 31 $ férfi. A szemüvegesek száma $ 50 \cdot 0,32 = 16 $, így a nem szemüvegesek száma $ 50 - 16 = 34 $.
A nem szemüveges férfiak száma legfeljebb 31 lehet (ha egyetlen férfi sem szemüveges).
A férfiak és a nem szemüvegesek számának összege $ 31 + 34 = 65 $, de mivel csak 50 lakó van, legalább $ 65 - 50 = 15 $ embert mindkét halmazban megszámoltunk. Tehát a nem szemüveges férfiak száma legalább 15.

b) Jelölje a füvesített derékszögű háromszöget $ ADC $, ahol a derékszög $ D $-nél van, az oldalak $ DA = 10 $ m, $ DC = 15 $ m. Az öntöző a $ D $ pontban van, és $ r = 10 $ m sugarú körcikket öntöz.
A füvesített rész teljes területe: $ T_{f\ddot{u}ves} = \frac{10 \cdot 15}{2} = 75 \text{ m}^2 $.
Az átló (az $ AC $ szakasz) metszi az öntözött körcikket egy $ M $ pontban. Mivel $ DM = DA = 10 $ m, a $ DAM $ háromszög egyenlő szárú.
A derékszögű háromszög $ C $ csúcsnál lévő szöge: $ \text{tg} \alpha = \frac{15}{10} \implies \alpha \approx 56,3^\circ $.
Így a $ DAM $ háromszög harmadik szöge az öntözőnél: $ \beta = 180^\circ - 2\alpha \approx 67,4^\circ $.
A $ DAM $ háromszög területe: $ T_{DAM} = \frac{10 \cdot 10 \cdot \sin(67,4^\circ)}{2} \approx 46,2 \text{ m}^2 $.
Az ezen felüli öntözött körcikk (az $ MDC $ részen) középponti szöge $ \gamma = 90^\circ - \beta \approx 22,6^\circ $. Ennek területe: $ T_{cikk} = \frac{22,6^\circ}{360^\circ} \cdot 10^2\pi \approx 19,7 \text{ m}^2 $.
Az öntözött füves rész összesen $ 46,2 + 19,7 = 65,9 \text{ m}^2 $.
A locsolásból kimaradó terület: $ 75 - 65,9 = \mathbf{9,1 \text{ m}^2} $.

4

14 pont

Egy biliárdgolyó készletben található 9 golyó tömegére a következő mérési eredményeket kapták (grammban): 163, 163, 163, 163, 163, 164, 165, 166, 166.
Egy ilyen készletet akkor hitelesítenek a minőségellenőrzésen, ha az alábbi feltételek mindegyikének megfelel:

minden golyó tömege legalább 160 gramm és legfeljebb 170 gramm;
a golyók tömegének terjedelme legfeljebb 3 gramm;
a golyók tömegének szórása legfeljebb 1 gramm.

a

Hitelesíthető-e ez a készlet?

5 pont

Egy dobozban 3 piros és 7 kék golyó található.

b

Kihúzunk a dobozból egymás után két golyót úgy, hogy az elsőként kihúzott golyót a húzás után nem tesszük vissza. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kihúzott két golyó között lesz piros!

4 pont

c

Kihúzunk a 10 golyó közül egymás után három golyót úgy, hogy a kihúzott golyót a következő húzás előtt mindig visszatesszük. Legyen az $ A $ esemény az, hogy a kihúzott három golyó közül pontosan kettő piros, a $ B $ esemény pedig az, hogy a kihúzott golyók között van piros.
Határozza meg a $ P(A \mid B) $ valószínűséget!

5 pont

a) Az első két kritériumnak megfelel a készlet (minden érték 160 és 170 közötti, a terjedelem $ 166 - 163 = 3 $).
A mért tömegek átlaga: $$ \overline{x} = \frac{5 \cdot 163 + 164 + 165 + 2 \cdot 166}{9} = \frac{1476}{9} = 164 \text{ gramm.} $$ A golyók tömegének szórása: $$ \sigma = \sqrt{\frac{5(163-164)^2 + (165-164)^2 + 2(166-164)^2}{9}} = \sqrt{\frac{14}{9}} \approx 1,25 \text{ gramm.} $$ Mivel a szórás nagyobb, mint 1, a készlet nem hitelesíthető.

b) A leggyorsabban komplementer eseménnyel számolhatunk: $$ P(\text{lesz piros}) = 1 - P(\text{mindkettő kék}) = 1 - \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = 1 - \frac{42}{90} = 1 - \frac{7}{15} = \mathbf{\frac{8}{15} \approx 0,533} $$

c) A feltételes valószínűség definíciója szerint $ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $. Mivel az $ A $ esemény (pontosan 2 piros) maga után vonja a $ B $ eseményt (van piros), ezért $ P(A \cap B) = P(A) $.
A visszatevéses húzások miatt binomiális eloszlást használunk ($ p = 0,3 $): $$ P(A) = \binom{3}{2} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^1 = 3 \cdot 0,09 \cdot 0,7 = 0,189 $$ $$ P(B) = 1 - P(\text{nincs piros}) = 1 - 0,7^3 = 1 - 0,343 = 0,657 $$ A feltételes valószínűség: $$ P(A \mid B) = \frac{0,189}{0,657} = \frac{189}{657} \approx \mathbf{0,288} $$

5

16 pont

Lali, Pali és Vali egy palacsintázóban ebédelnek. Lali 3 mogyorókrémes, 1 túrós és 2 fahéjas palacsintáért 1500 Ft-ot, Pali 4 mogyorókrémes, 2 túrós és 1 fahéjas palacsintáért 1740 Ft-ot, Vali pedig 1 mogyorókrémes, 2 túrós és 2 fahéjas palacsintáért 1170 Ft-ot fizetett.

a

Mennyibe kerül 1-1 darab a különböző fajta palacsintákból?

8 pont

Lali vesz még egy lekváros palacsintát 210 Ft-ért. Lali zsebében 100, 50, 20, 10 és 5 Ft-os érmék vannak, mindegyikből több is. Ezek közül 6 érmét választ ki.

b

Igazolja, hogy 6 érmével három különböző módon fizethető ki 210 Ft! (Két fizetést különbözőnek tekintünk, ha legalább az egyik címletű érméből eltérő számút használunk fel a két fizetés során.)

5 pont

c

Hányféle sorrendben vehet elő Lali 6 olyan érmét a zsebéből, amelyek összege 210 Ft, ha egyesével húzza elő őket? (Az azonos címletű érméket nem különböztetjük meg egymástól.)

3 pont

a) A mogyorókrémes árát $ m $-mel, a túrósét $ t $-vel, a fahéjasét $ f $-fel jelölve a következő egyenletrendszert írhatjuk fel: $$ (1) \quad 3m + t + 2f = 1500 $$ $$ (2) \quad 4m + 2t + f = 1740 $$ $$ (3) \quad m + 2t + 2f = 1170 $$ Kivonva a (3) egyenletet a (2)-ből: $ 3m - f = 570 \implies f = 3m - 570 $.
Kivonva a (3) egyenletet az (1)-ből: $ 2m - t = 330 \implies t = 2m - 330 $.
Ezeket visszahelyettesítve a (3) egyenletbe: $$ m + 2(2m - 330) + 2(3m - 570) = 1170 $$ $$ m + 4m - 660 + 6m - 1140 = 1170 \implies 11m = 2970 \implies m = 270 $$ Ebből $ t = 2 \cdot 270 - 330 = 210 $, és $ f = 3 \cdot 270 - 570 = 240 $.
A palacsinták ára: mogyorókrémes 270 Ft, túrós 210 Ft, fahéjas 240 Ft.

b) A fizetéshez 6 érmét kell kiválasztani a {100, 50, 20, 10, 5} halmazból, melyek összege 210. Szisztematikusan megvizsgálva a lehetőségeket: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{100 Ft} & \text{50 Ft} & \text{20 Ft} & \text{10 Ft} & \text{5 Ft} & \text{Összes darab} \\ \hline 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 6 \\ \hline 0 & 4 & 0 & 0 & 2 & 6 \\ \hline 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & 6 \\ \hline \end{array} $$ (Ha pl. két 100 Ft-ost használnánk, a maradék 10 Ft-ot nem lehetne kifizetni 4 érmével. Ha csak egy 100 Ft-ost és semmi 50 Ft-ost nem használunk, 6 érmével nem tudnánk elérni a hiányzó 110 Ft-ot, mert $ 5 \cdot 20 = 100 < 110 $. Így belátható, hogy valóban csak ez a három eset lehetséges.)

c) A sorrendek száma az egyes esetekben az ismétléses permutációk számával egyezik meg: - 100-50-20-20-10-10 esetén: $ \frac{6!}{1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 2!} = 180 $ lehetőség. - 50-50-50-50-5-5 esetén: $ \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15 $ lehetőség. - 50-50-50-20-20-20 esetén: $ \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20 $ lehetőség. Összesen: $ 180 + 15 + 20 = \mathbf{215} $ különböző sorrend lehetséges.

6

16 pont

Egy egyenlőszárú háromszög csúcsai a derékszögű koordináta-rendszerben $ A(0; 0) $, $ B(82; 0) $ és $ C(41; 71) $. Géza szerint ez a háromszög szabályos.

a

Határozza meg a háromszög szögeit fokban, három tizedesjegyre kerekítve!

5 pont

b

Határozza meg a háromszög $ AC $ és $ AB $ oldalainak arányát négy tizedesjegyre kerekítve!

3 pont

Egy csonkakúp alapkörének sugara 14 cm, fedőkörének sugara 8 cm, alkotója 10 cm hosszú. Géza szeretné gyorsan megbecsülni a csonkakúp térfogatát, ezért azt egy henger térfogatával közelíti. A közelítő henger alapkörének sugara megegyezik a csonkakúp alap- és fedőköre sugarának számtani közepével, magassága pedig egyenlő a csonkakúp magasságával.

c

Határozza meg Géza közelítésének relatív hibáját! (Relatív hibának nevezzük a közelítő értéknek a pontos értéktől mért százalékos eltérését.)

8 pont

a) Az $ AB $ oldal felezőpontja $ F(41; 0) $. Mivel a háromszög szimmetrikus, az $ AFC $ háromszög derékszögű. $$ \text{tg } \alpha = \frac{CF}{AF} = \frac{71}{41} $$ Ebből $ \alpha \approx 59,995^\circ $. Mivel a háromszög egyenlőszárú, $ \beta = \alpha \approx 59,995^\circ $.
A csúcsszög: $ \gamma = 180^\circ - 2\alpha \approx 60,010^\circ $.
A háromszög szögei kerekítve: $ 59,995^\circ $, $ 59,995^\circ $ és $ 60,010^\circ $. (Tehát Gézának nincs igaza, a háromszög nem szabályos.)

b) Az oldalak hossza: $$ AB = 82 $$ $$ AC = \sqrt{41^2 + 71^2} = \sqrt{1681 + 5041} = \sqrt{6722} $$ A keresett arány: $$ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6722}}{82} \approx \mathbf{0,9999} $$

c) A csonkakúp magassága Pitagorasz-tétellel számítható a metszetből: $$ m = \sqrt{a^2 - (R - r)^2} = \sqrt{10^2 - (14 - 8)^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \text{ cm.} $$ A csonkakúp pontos térfogata: $$ V_{cs} = \frac{\pi \cdot m}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{\pi \cdot 8}{3}(14^2 + 14 \cdot 8 + 8^2) = \frac{8\pi}{3}(196 + 112 + 64) = 992\pi \text{ cm}^3 $$ A közelítő henger sugara: $ r_h = \frac{14 + 8}{2} = 11 \text{ cm} $.
A henger térfogata: $$ V_h = \pi \cdot 11^2 \cdot 8 = 968\pi \text{ cm}^3 $$ A relatív hiba kiszámítása: $$ \frac{V_h - V_{cs}}{V_{cs}} = \frac{968\pi - 992\pi}{992\pi} = \frac{-24}{992} \approx -0,0242 $$ A közelítés relatív hibája -2,4%.

7

16 pont

Flóra kétfajta lisztből süt kenyeret. A kenyérhez a recept alapján 5:4 arányban kell búzaliszt és rozsliszt. Eredetileg 450 gramm búzalisztet és 400 gramm rozslisztet kevert össze, de további, összesen 500 gramm liszt hozzáadásával sikerült elérnie a recept által előírt arányt.

a

A hozzáadott 500 gramm lisztből hány gramm volt a búzaliszt?

3 pont

Ha egy cég $ x $ tonna lisztet állít elő egy nap alatt ($ 0 < x < 5 $), és ezt a mennyiséget el is adja, akkor egy elemzés szerint a napi nyereség értékét az $ n(x) = 0,8x^2(x - 3)(1,5 - x) $ képlet adja meg, a nyereséget tízezer tallérban számítva. (Negatív helyettesítési érték veszteséget jelent.)

b

Mutassa meg, hogy csak $ 1,5 < x < 3 $ esetén nyereséges a napi termelés!

4 pont

c

Hány tallér az elérhető legnagyobb napi nyereség, és ezt hány tonna liszt (előállítása és eladása) esetén érik el?

9 pont

a) Az összes felhasznált liszt mennyisége: $ 450 + 400 + 500 = 1350 $ gramm.
Az előírt arány 5:4, így a búzaliszt szükséges mennyisége az egész mennyiség $ \frac{5}{9} $ része: $$ \frac{5}{9} \cdot 1350 = 750 \text{ gramm.} $$ Mivel eredetileg 450 gramm búzalisztet tett bele, a hozzáadott búzaliszt: $$ 750 - 450 = \mathbf{300 \text{ gramm.}} $$

b) A nyereségesség feltétele: $ n(x) > 0 $. Mivel $ x \in (0; 5) $, a $ 0,8x^2 $ tényező mindig pozitív.
Emiatt az $ (x - 3)(1,5 - x) $ szorzatnak kell pozitívnak lennie. Ez akkor teljesül, ha a két tényező azonos előjelű: - Ha $ x < 1,5 $, a szorzat: $ (-) \cdot (+) = (-) $. - Ha $ 1,5 < x < 3 $, a szorzat: $ (-) \cdot (-) = (+) $. - Ha $ x > 3 $, a szorzat: $ (+) \cdot (-) = (-) $. Ezzel beláttuk, hogy csak $ 1,5 < x < 3 $ esetén lesz a termelés nyereséges.

c) Keressük az $ n(x) = -0,8x^4 + 3,6x^3 - 3,6x^2 $ függvény maximumát.
A deriváltfüggvény: $$ n'(x) = -3,2x^3 + 10,8x^2 - 7,2x $$ A lehetséges szélsőérték helyei, ahol $ n'(x) = 0 $: $$ -x(3,2x^2 - 10,8x + 7,2) = 0 $$ Ennek az egyenletnek a gyökei: $ x_1 = 0 $, valamint a másodfokú tényezőből $ x_2 \approx 0,91 $ és $ x_3 \approx 2,46 $.
Mivel csak az $ 1,5 < x < 3 $ intervallumon van nyereség, az $ x \approx 2,46 $ helyet vizsgáljuk. A második derivált: $$ n''(x) = -9,6x^2 + 21,6x - 7,2 $$ $ n''(2,46) < 0 $, tehát itt valóban (abszolút) maximuma van a függvénynek.
A legnagyobb nyereség értéke: $$ n(2,46) = 0,8 \cdot 2,46^2 \cdot (2,46 - 3) \cdot (1,5 - 2,46) \approx 2,51 $$ A legnagyobb elérhető napi nyereség tehát kb. 25 100 tallér, amit kb. 2,46 tonna liszt eladásával érhetnek el.

8

16 pont

Egy baráti összejövetelen 7 fiú és 5 lány vett részt, találkozáskor mindenki üdvözölte a többieket. A fiúk kézfogással köszöntek egymásnak, két lány, illetve egy fiú és egy lány pedig öleléssel köszöntötte egymást.

a

Hány olyan találkozás volt, ahol öleléssel köszöntötték egymást?

3 pont

Egy hatfős baráti társaság tagjai András, Bori, Csaba, Dóra, Ervin és Fanni bajnokságon döntik el, hogy ki a legjobb pingpongos közülük. Mindenki mindenki ellen egy mérkőzést játszik. Amikor 9 mérkőzést már lejátszottak, akkor kiderült, hogy mindegyikük páratlan számú mérkőzésen van túl. András az eddigi egyetlen meccsét Bori ellen játszotta, Csaba még nem játszott Ervin ellen.

b

Játszott-e már Dóra Fanni ellen?

7 pont

András, Bori, Csaba és Dóra egy szabályos dobókockával dobnak egyet-egyet, és az nyer, aki a legnagyobb olyan számot dobta, amit a többiek nem dobtak (például 6, 6, 4, 1 dobások esetén a 4-est dobó játékos nyer). Ha nincs ilyen szám, akkor nem nyer senki.
Bori 5-öst dobott, a többiek ezután fognak dobni.

c

Mennyi a valószínűsége annak, hogy Bori nyer?

6 pont

a) Az összes találkozás száma: $ \binom{12}{2} = 66 $. Ebből a fiúk egymás közti kézfogásainak száma: $ \binom{7}{2} = 21 $. A maradék mind ölelés volt, így $ 66 - 21 = \mathbf{45} $ találkozás volt öleléssel. (Vagy összeadva: lányok egymás közt $ \binom{5}{2} = 10 $, plusz lány-fiú párosítások $ 5 \cdot 7 = 35 $, ami szintén 45.)

b) Modellezzük a lejátszott mérkőzéseket egy 6 csúcsú egyszerű gráffal. A 9 mérkőzés miatt a fokszámok összege $ 2 \cdot 9 = 18 $. Mivel mindenki páratlan számú meccset játszott (a fokszámok 1, 3 vagy 5 lehetnek), és András (A) fokszáma 1, a többiek fokszámainak összege $ 18 - 1 = 17 $.
Ahhoz, hogy az 5 maradék csúcs fokszámainak összege 17 legyen, legalább egy 5-ös fokszámú csúcsnak lennie kell. Csak Bori (B) lehet az (mivel A csak vele játszott, így A másokhoz nem fut be élként, másnak nem lehet mindenkihez éle).
Ebből adódóan a maradék négy ember (C, D, E, F) fokszámösszege $ 17 - 5 = 12 $. Páratlanságuk miatt mindannyiuknak kötelezően 3 a fokszáma.
A feltételek szerint C és E még nem játszott egymással (nincs él közöttük). Mivel C-nek és E-nek is 3 éle van, ezek az élek szükségképpen B-hez, D-hez és F-hez futnak.
Tehát a D csúcsba be van húzva él B-től, C-től és E-től is. Így meg is van D mind a 3 éle, ami azt jelenti, hogy az F-hez már nem fut be éle.
Tehát Dóra és Fanni még nem játszott egymás ellen.

c) A három másik dobó (András, Csaba, Dóra) összes lehetséges dobáskombinációjának száma $ 6^3 = 216 $.
Bori pontosan akkor nyer, ha:

a többiek mindhárman kisebbet dobnak 5-nél (tehát csak 1, 2, 3 vagy 4-est). Ennek esetek száma: $ 4^3 = 64 $.
a többiek mindhárman 6-ost dobnak (ekkor a 6-osok kiejtik egymást, és az 5 a legnagyobb egyedi). Ez $ 1^3 = 1 $ eset.
pontosan ketten dobnak 6-ost, egy valaki pedig kisebbet 5-nél (ekkor szintén a 6-osok érvénytelenek). A két 6-ost dobó kiválasztása 3-féleképpen történhet, a harmadik dobása 4-féle lehet, így ez $ 3 \cdot 1^2 \cdot 4 = 12 $ eset.

Összesen $ 64 + 1 + 12 = 77 $ kedvező eset van.
A valószínűség: $ P = \frac{77}{216} \approx 0,356 $.

9

16 pont

Adott az $ x^2 + 2y = 16 $ egyenletű parabola és az $ x^2 + (y - 3)^2 = 9 $ egyenletű kör.

a

Határozza meg a parabola fókuszpontjának és a kör középpontjának a koordinátáit!

4 pont

b

Igazolja, hogy a $ Q(2\sqrt{2}; 4) $ pont a parabolának és a körnek is pontja, és a kör $ Q $-ban húzott érintője érinti a parabolát is!

7 pont

c

Határozza meg a parabola és az $ x $ tengely által közrezárt korlátos síkidom területét!

5 pont

a) A parabola egyenlete átrendezve: $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 8 $. Ennek tengelypontja $ (0; 8) $, paramétere $ p = 1 $ (a másodfokú tag együtthatója $ -\frac{1}{2p} $). A "lefelé nyíló" parabola fókusza ezért a $ (0; 7,5) $ pont.
A kör egyenletéből közvetlenül kiolvasható, hogy a középpontja a $ C(0; 3) $ pont.

b) A pont behelyettesítésével mindkét egyenletbe:
Parabola: $ (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 $, igaz.
Kör: $ (2\sqrt{2})^2 + (4 - 3)^2 = 8 + 1 = 9 $, igaz. Tehát a pont közös.
A kör érintőjének normálvektora a $ \mathbf{n} = \overrightarrow{CQ} $ vektor: $ \overrightarrow{CQ}(2\sqrt{2} - 0; 4 - 3) = (2\sqrt{2}; 1) $.
Az érintő egyenlete: $ 2\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1 \cdot 4 = 12 $, amiből $ y = -2\sqrt{2}x + 12 $.
A parabola differenciálása: $ y'(x) = -x $. Az érintési pontban a meredekség: $ y'(2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} $.
A parabola érintőjének egyenlete a $ Q $ pontban: $$ y - 4 = -2\sqrt{2}(x - 2\sqrt{2}) \implies y = -2\sqrt{2}x + 8 + 4 = -2\sqrt{2}x + 12 $$ A két egyenes egyenlete megegyezik, tehát a két görbének közös az érintője a $ Q $ pontban.

c) A parabola zérushelyei az $ x $ tengelyen ($ y = 0 $): $ -\frac{1}{2}x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $.
A terület meghatározásához integrálunk a zérushelyek között: $$ T = \int_{-4}^{4} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 8 \right) dx = \left[ -\frac{1}{6}x^3 + 8x \right]_{-4}^{4} $$ A Newton-Leibniz szabályt alkalmazva: $$ T = \left( -\frac{64}{6} + 32 \right) - \left( \frac{64}{6} - 32 \right) = 64 - \frac{128}{6} = \frac{384 - 128}{6} = \frac{256}{6} = \mathbf{\frac{128}{3}} \approx 42,67 $$