2020. Októberi Emelt Szintű Matek Érettségi

a) Az \( f(x) = 0 \) egyenletet kell megoldanunk: $$ 900 - 0,25(x - 60)^2 = 0 $$ $$ 0,25(x - 60)^2 = 900 \implies (x - 60)^2 = 3600 $$ Ebből \( x - 60 = 60 \) vagy \( x - 60 = -60 \), tehát \( x = 120 \) vagy \( x = 0 \).
Mivel a 0 nem eleme az értelmezési tartománynak, az egyetlen zérushely az \( x = 120 \).

b) Kiszámítjuk a helyettesítési értékeket: $$ f(20) = 900 - 0,25(20 - 60)^2 = 900 - 0,25(-40)^2 = 900 - 400 = 500 $$ $$ g(20) = 6,4 \cdot 20 = 128 $$ A különbség: \( f(20) - g(20) = 500 - 128 = \) 372.

c) A \( h(x) \) függvény hozzárendelési szabálya: $$ h(x) = 900 - 0,25(x^2 - 120x + 3600) - 6,4x $$ $$ h(x) = 900 - 0,25x^2 + 30x - 900 - 6,4x = -0,25x^2 + 23,6x $$ Ez egy másodfokú függvény, amelynek főegyütthatója negatív (\( a = -0,25 \)), így a függvénynek maximuma van.
A maximum helye a parabola tengelypontjának abszcisszája: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{23,6}{2 \cdot (-0,25)} = \frac{23,6}{0,5} = \mathbf{47,2} $$ A \( 47,2 \in \ ]0; 130[ \), így ez érvényes maximumhely.
A maximum értéke: $$ h(47,2) = -0,25 \cdot 47,2^2 + 23,6 \cdot 47,2 = \mathbf{556,96} $$

a) Jelölje a résztvevők teljes létszámát \( x \). Ekkor életkoruk összege \( 28x \).
Az öt legidősebb személy életkorának összege \( 5 \cdot 40 = 200 \).
A többi \( x - 5 \) személy életkorának összege \( 25,6(x - 5) \).
Ezek alapján felírható az alábbi egyenlet: $$ 200 + 25,6(x - 5) = 28x $$ $$ 200 + 25,6x - 128 = 28x \implies 72 = 2,4x \implies x = 30 $$ A csoport 30 fős. Ha a férfiak száma \( f \), a nők száma \( 1,5f \), akkor: $$ f + 1,5f = 30 \implies 2,5f = 30 \implies f = 12 $$ Tehát a képzésen 12 férfi és 18 nő vett részt.

b) Összesen 3 vagy 4 fűszert tartalmazó lehetséges választások száma (feltételek nélkül): $$ \binom{6}{3} + \binom{6}{4} = 20 + 15 = 35 $$ Ebből le kell vonnunk azokat az eseteket, amikor az édes és a keserű fűszer is szerepel a kiválasztottak között (kedvezőtlen esetek). Ekkor a maradék 4 fűszer közül még 1-et vagy 2-t kell választanunk: $$ \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10 $$ A megfelelő ízesítési lehetőségek száma tehát: $$ 35 - 10 = \mathbf{25} $$

a) Jelölje az érmék számát \( e \). A dobozok száma 6. A feladat szövege alapján kétféleképpen írhatjuk fel az érmék számát:
1. Ha 1 érme kerül minden dobozba, akkor \( m \) kimarad: \( e = 6 \cdot 1 + m \).
2. Ha \( m \) érme kerül minden dobozba, akkor \( m \) doboz üres marad, azaz \( 6 - m \) dobozban lesz érme: \( e = (6 - m) \cdot m \).
A két kifejezést egyenlővé téve: $$ 6 + m = 6m - m^2 \implies m^2 - 5m + 6 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( m = 2 \) és \( m = 3 \). Mindkét esetben kiszámítjuk az érmék számát:
Ha \( m = 2 \), akkor az érmék száma \( e = 6 + 2 = \mathbf{8} \).
Ha \( m = 3 \), akkor az érmék száma \( e = 6 + 3 = \mathbf{9} \).

b) A kiválasztott érmék száma \( n = 80 \), egy érme hibás voltának valószínűsége \( p = 0,03 \). Binomiális eloszlás segítségével számítjuk ki a valószínűséget: $$ P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $$ $$ P(0 \text{ hibás}) = \binom{80}{0} \cdot 0,03^0 \cdot 0,97^{80} \approx 0,087 $$ $$ P(1 \text{ hibás}) = \binom{80}{1} \cdot 0,03^1 \cdot 0,97^{79} \approx 0,216 $$ $$ P(2 \text{ hibás}) = \binom{80}{2} \cdot 0,03^2 \cdot 0,97^{78} \approx 0,264 $$ Összegezve a valószínűségeket: $$ P(X \le 2) \approx 0,087 + 0,216 + 0,264 = \mathbf{0,567} $$

a) Az első asztalra érkezés után 0,84 m magasra pattan vissza a labda, majd ugyanekkora távolságot tesz meg a második leérkezésig lefelé. Az első és második érkezés között megtett út hossza tehát $2 \cdot 0,84 = 1,68$ méter.
Az egymás után következő érkezések között megtett utak hossza egy mértani sorozatot alkot, melynek első tagja $a_1 = 1,68$, hányadosa pedig $q = 0,84$.
Az első és 15. asztalra érkezés között pontosan 14 ilyen pattanási szakasz van, tehát a sorozat első 14 tagjának összegét keressük: $$ S_{14} = a_1 \frac{q^{14} - 1}{q - 1} = 1,68 \frac{0,84^{14} - 1}{0,84 - 1} \approx \mathbf{9,59 \text{ méter}} $$

b) Jelölje a labdák számát $x$. Az állítás szerint felírható két egész számokra (ahol $k, m \in \mathbb{N}$): $$ x = 6k + 2 \quad \text{és} \quad x = 15m + 1 $$ A két egyenletből következik, hogy: $$ 6k + 2 = 15m + 1 \implies 1 = 15m - 6k \implies 1 = 3(5m - 2k) $$ A jobb oldal láthatóan osztható 3-mal, a bal oldal (az 1) viszont nem, ami ellentmondás. András állítása tehát valóban hamis.

c) A labdák sugara $r = 20$ mm. A doboz alaplapja felbontható a három kör középpontja által alkotott 40 mm oldalú szabályos háromszögre, e köré illesztett három $40 \times 20$ mm-es téglalapra, valamint három $120^\circ$-os körcikkre (amelyek együtt épp egy teljes kört adnak ki).
Az alapterület így: $$ T_{\text{alap}} = \frac{40^2 \cdot \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot (40 \cdot 20) + 20^2 \pi \approx 692,8 + 2400 + 1256,6 = 4349,4 \text{ mm}^2 $$ A doboz magassága egyenlő a labda átmérőjével ($40$ mm), így térfogata: $$ V_{\text{doboz}} = 4349,4 \cdot 40 = 173\,976 \text{ mm}^3 $$ A három labda együttes térfogata: $$ V_{\text{labdák}} = 3 \cdot \frac{4\pi}{3} r^3 = 4\pi \cdot 20^3 \approx 100\,531 \text{ mm}^3 $$ A kitöltöttség aránya: $$ \frac{100\,531}{173\,976} \approx 0,578 $$ Tehát a labdák a doboz térfogatának körülbelül 58%-át töltik ki.

a) Az $f(x) = g(x)$ egyenlet megoldásával keressük meg a két függvény grafikonjának metszéspontjait: $$ (x + 4)(2 - x) = x + 4 \implies (x + 4)(2 - x - 1) = 0 \implies (x + 4)(1 - x) = 0 $$ A metszéspontok x-koordinátái tehát $-4$ és $1$.
A bezárt területet a határozott integrál adja meg: $$ T = \int_{-4}^{1} ((x+4)(2-x) - (x+4)) \, dx = \int_{-4}^{1} (-x^2 - 3x + 4) \, dx $$ $$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-4}^{1} $$ A határokat behelyettesítve: $$ = \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 \right) - \left( \frac{64}{3} - \frac{48}{2} - 16 \right) = \frac{13}{6} - \left( -\frac{56}{3} \right) = \frac{13 + 112}{6} = \frac{125}{6} \approx \mathbf{20,83} $$

b) A függvények zérushelyei:
$f$: $-4$ és $2$
$g$: $-4$
$h$: $-2$ és $2$
$i$: $-4$ és $4$
A közös zérushelyek alapján a következő élek húzhatók be: $(f, g)$, $(f, i)$ a $-4$ miatt; $(f, h)$ a $2$ miatt; és $(g, i)$ a $-4$ miatt.

c) A megadott három függvény ($k, m, n$) zérushelyei közti kapcsolatok egy fát (utat) alkotnak: $n$ (-5, 5) - $k$ (-5, 3) - $m$ (3, -3).
A gráf akkor marad fagráf, ha az új $p(x) = x + c$ elsőfokú függvény (amelynek egyetlen zérushelye $-c$) pontosan egy meglévő csúcshoz kapcsolódik be új levélként. Ehhez $p$-nek pontosan egy közös zérushelye kell legyen a $k, m, n$ valamelyikével úgy, hogy ne zárjon be kört.
- Ha $p$ zérushelye a $3$ vagy a $-5$ lenne, akkor az a $k$-hoz és egy másik ponthoz is kapcsolódna, így kör jönne létre (nem lenne fagráf).
- A zérushelye tehát csak a kimaradó ágvégek, azaz a $5$ vagy a $-3$ lehet.
Ha a zérushely $5$, akkor $c = -5$; ha $-3$, akkor $c = 3$.
A $c$ konstans tehát 2-féleképpen választható meg.

a) A \( t = 5 \) helyettesítést alkalmazva: $$ B(5) = \frac{1\,500\,000}{1 + \left( \frac{1\,500\,000}{1000} - 1 \right) \cdot 0,75^5} = \frac{1\,500\,000}{1 + 1499 \cdot 0,75^5} \approx \mathbf{4205} $$ A modell szerint kb. 4205 betegre lehet számítani 5 nap múlva.

b) A város lakosságának 10%-a \( 150\,000 \) fő. Az egyenlet a keresett \( t \) napra: $$ 150\,000 = \frac{1\,500\,000}{1 + 1499 \cdot 0,75^t} $$ A megfelelő egyszerűsítések elvégzése után: $$ 1 + 1499 \cdot 0,75^t = 10 \implies 1499 \cdot 0,75^t = 9 \implies 0,75^t = \frac{9}{1499} $$ Mindkét oldal logaritmusát véve kapjuk: $$ t = \log_{0,75} \left( \frac{9}{1499} \right) \approx \mathbf{17,78} $$ Körülbelül 18 nap múlva éri el a fertőzöttek száma a 10%-ot.

c) A sorozat vizsgálata:
1. Korlátosság: Mivel \( L, K > 0 \) és \( 0,75^n > 0 \), a tört számlálója és nevezője is pozitív, azaz \( b_n > 0 \). Mivel a nevező (\( 1 + K \cdot 0,75^n \)) szigorúan nagyobb 1-nél, a tört értéke biztosan kisebb \( L \)-nél. Így a sorozat alulról (0) és felülről ($L$) is korlátos.
2. Monotonitás: A \( 0,75^n \) sorozat (0 és 1 közötti hányadosú mértani sorozat lévén) szigorúan monoton csökkenő. Emiatt a nevező \( 1 + K \cdot 0,75^n \) is szigorúan monoton csökkenő pozitív érték. Ha egy pozitív állandót szigorúan csökkenő pozitív értékkel osztunk, a hányados szigorúan monoton növekvő lesz.
3. Határérték: Tudjuk, hogy \( \lim_{n \to \infty} 0,75^n = 0 \). Ennek felhasználásával a sorozat határértéke: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{L}{1 + K \cdot 0,75^n} = \frac{L}{1 + K \cdot 0} = \mathbf{L} $$

a) A tető alapterülete (a vízszintes vetület területe) $T_{\text{tető}} = 7 \cdot 4 = 28 \text{ m}^2$.
A tetőre lehulló csapadék elméleti térfogata $V = 28 \cdot 0,015 = 0,42 \text{ m}^3$.
Ennek 95%-a kerül a hordókba, azaz $0,42 \cdot 0,95 = 0,399 \text{ m}^3$. Mivel a négy hordóban a víz egyenletesen oszlik el, egy hordóba $\frac{0,399}{4} = 0,09975 \text{ m}^3$ víz kerül.
Egy hordó alapterülete a $d = 40$ cm ($r = 0,2$ m) adatok alapján $T_{\text{hordó}} = 0,2^2 \cdot \pi \approx 0,1257 \text{ m}^2$.
A víz magassága a hordókban: $$ h = \frac{V_{\text{víz}}}{T_{\text{hordó}}} = \frac{0,09975}{0,1257} \approx \mathbf{0,79 \text{ m (79 cm)}} $$

b) Az épület tetőjének összes lapja $30^\circ$-os dőlésszögű a vízszinteshez képest. Ebben az esetben egy lap területe meghatározható a vízszintes vetületének területéből és a hajlásszögéből kiindulva. Ha a tető teljes alapja 28 m$^2$, akkor a felülete: $$ T_{\text{tető}} = \frac{T_{\text{alap}}}{\cos 30^\circ} = \frac{28}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{56}{\sqrt{3}} \approx 32,33 \text{ m}^2 $$ Erre a felületre $32,33 \cdot 30 = 969,9 \approx 970$ darab épen felhasznált cserép kell.
Mivel a megvásárolt mennyiség 8%-a hulladék lesz (tehát a $92\%$-a hasznosul), ezért az összesen megvásárolandó cserepek számát úgy kapjuk, hogy a 970-et elosztjuk a 0,92-es arányszámmal: $$ \text{Vásárolt cserepek száma} = \frac{970}{0,92} \approx \mathbf{1055 \text{ db}} $$

a) Az összes háromjegyű szám száma 900.
Számoljuk ki az $A$ halmaz elemszámát. Ennek legegyszerűbb módja, ha a 900-ból kivonjuk azoknak a számát, amelyekben egyáltalán nincs 1-es. A százas helyiértéken 8-féle számjegy állhat (0 és 1 nem), a másik kettőn 9-9 féle (1 nem). Így $|A| = 900 - 8 \cdot 9 \cdot 9 = 900 - 648 = 252$.
A feladat az $A \setminus (B \cap C)$ elemeit kéri, azaz el kell hagynunk $A$-ból azokat a számokat, amik $B$-ben és $C$-ben is benne vannak. Ezek pont azok a számok, amikben az 1-es, a 2-es és a 3-as is szerepel.
Mivel ezekből a számjegyekből pontosan $3! = 6$ db 3-jegyű szám alkotható, így: $$ |A \setminus (B \cap C)| = 252 - 6 = \mathbf{246} $$

b) Annak az esélye, hogy 1-est dobunk $\frac{1}{6}$, 2-est dobunk $\frac{2}{6}$, 3-ast dobunk $\frac{3}{6}$.
A két dobott szám összege pontosan három esetben lehet 4: 1 és 3, 3 és 1, illetve 2 és 2 dobása esetén.
A megfelelő valószínűségek összegzése: $$ P(\text{összeg} = 4) = P(1)P(3) + P(3)P(1) + P(2)P(2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{3 + 3 + 4}{36} = \frac{10}{36} = \mathbf{\frac{5}{18}} \approx 0,278 $$

c) A játék igazságos, ami azt jelenti, hogy Andi nyereményének (vagy Béla veszteségének) várható értéke nulla. Andi nyereményeit pozitív, veszteségeit negatív előjellel felírva: $$ E = P(1) \cdot (n - 80) + P(2) \cdot 2(n - 80) + P(3) \cdot (-n) = 0 $$ $$ \frac{1}{6} (n - 80) + \frac{2}{6} \cdot 2(n - 80) - \frac{3}{6} n = 0 $$ Szorozzuk be az egyenletet 6-tal és vonjuk össze a tagokat: $$ (n - 80) + 4(n - 80) - 3n = 0 \implies 5n - 400 - 3n = 0 \implies 2n = 400 \implies n = 200 $$ Az 1-es dobása esetén Béla által fizetett összeg: $n - 80 = 200 - 80 = $ 120 forint.

a) A négyszög 4 csúcsát úgy kell kiválasztani a 9 pont közül, hogy mind a 3 oldalra jusson legalább 1 csúcs. Így valamelyik oldalon 2 csúcs lesz, a másik kettőn pedig 1-1.
Kiválaszthatjuk 3-féleképpen, hogy melyik oldal adja a 2 csúcsot. Az ezen az oldalon lévő 3 pontból $\binom{3}{2} = 3$-féleképpen jelölhetünk ki kettőt.
A másik két oldal mindegyikéről 3-3-féleképpen választhatjuk ki a négyszög harmadik és negyedik csúcsát.
Összesen tehát: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = \mathbf{81}$ megfelelő négyszög van.

b) A feladat szimmetriája alapján az $XYZ$ háromszög szintén szabályos, és az $ABX, BCY, CAZ$ háromszögek egybevágóak. Határozzuk meg a belső háromszög területét ezen tulajdonságok segítségével.
Az $ABP$ háromszögben $AB = 4$, $BP = 1$, és a köztük lévő szög $60^\circ$. A koszinusztétel alapján: $$ AP = \sqrt{4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{16 + 1 - 4} = \sqrt{13} $$ Jelölje $\alpha$ a $BAP$ szöget. A szinusz-tételből adódik a szinusza, de ki is számolhatjuk az egybevágóságokból az oldalak metszéspontjaival létrejövő arányokat. Mivel a felosztás aránya az élek körül mindenhol megegyezik, belátható, hogy az $AP$ szakasz a felosztási pontok által $AX : XZ : ZP = 12 : 8 : 1$ arányban (vagy más hasonló származtatással $AZ : ZX : XP = 4 : 8 : 1$ arányban) oszlik meg.
Az elegánsabb megoldás az $ABX$ háromszög alapján lehetséges. $\angle AXB = 120^\circ$ a forgásszimmetriából. Ekkor a szinusztétellel: $$ AX = \frac{4 \cdot \sin(60^\circ - \alpha)}{\sin 120^\circ} = \frac{12}{\sqrt{13}} \quad \text{és} \quad BX = \frac{4 \cdot \sin \alpha}{\sin 120^\circ} = \frac{4}{\sqrt{13}} $$ Szimmetria okokból $AZ = BX = \frac{4}{\sqrt{13}}$, amiből a keresett $ZX$ oldal hossza adódik: $$ ZX = AX - AZ = \frac{12}{\sqrt{13}} - \frac{4}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}} $$ A szabályos $XYZ$ háromszög területe így: $$ T = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot ZX^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{64}{13} = \mathbf{\frac{16\sqrt{3}}{13}} \approx 2,13 $$