2020. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

11 pont

a

Az $ \{a_n\} $ számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
Adja meg a sorozat ötödik tagját!

5 pont

b

A $ \{b_n\} $ mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 26, a második és negyedik tagjának összege pedig 130.
Adja meg a sorozat ötödik tagját!

6 pont

a) A számtani sorozat tulajdonsága alapján a három szomszédos tag közül a középső a két szélső számtani közepe: $$ a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{26}{2} = 13 $$ Ugyanígy a harmadik tag a második és a negyedik közepe: $$ a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{130}{2} = 65 $$ A sorozat differenciája: $ d = a_3 - a_2 = 65 - 13 = 52 $.
Az ötödik tag: $ a_5 = a_3 + 2d = 65 + 104 = \mathbf{169} $.

b) A mértani sorozat feltételeit felírva az első tagra ($ b_1 $) és a kvóciensre ($ q $): $$ b_1 + b_1 q^2 = 26 \implies b_1(1 + q^2) = 26 $$ $$ b_1 q + b_1 q^3 = 130 \implies b_1 q(1 + q^2) = 130 $$ A második egyenletet elosztva az elsővel kapjuk a kvócienst: $$ q = \frac{130}{26} = 5 $$ Visszahelyettesítve $ q $-t az első egyenletbe: $$ b_1(1 + 25) = 26 \implies b_1 = 1 $$ A sorozat ötödik tagja: $ b_5 = b_1 q^4 = 1 \cdot 5^4 = \mathbf{625} $.

2

14 pont

Marci szeret az autók rendszámában különböző matematikai összefüggéseket felfedezni. (A rendszámok Magyarországon három betűből és az azokat követő három számjegyből állnak.)
Az egyik általa kedvelt típusnak a „prímes” nevet adta: az ilyen rendszámoknál a PRM betűket követő három számjegy szorzata prímszám.

EU

H

PRM - _ _ _

a

Hány különböző „prímes” rendszám készíthető?

3 pont

Egy másik típusnak a „hatos” nevet adta: az ilyen rendszámokban a HAT betűket követő három számjegy összege 6.

EU

H

HAT - _ _ _

b

Hány különböző „hatos” rendszám készíthető?

5 pont

Egy harmadik típus a „logaritmusos”. Ezek általános alakja: LOG-$abc$, ahol az $ a, b $ és $ c $ számjegyekre (ebben a sorrendben) teljesül, hogy $ \log_a b = c $.

EU

H

LOG - a b c

c

Hány különböző „logaritmusos” rendszám készíthető?

6 pont

a) Három számjegy szorzata csak akkor lehet prímszám, ha két számjegy 1-es, a harmadik pedig prím. Az egyjegyű prímszámok: 2, 3, 5, 7 (4 darab).
A prímjegy a három lehetséges hely bármelyikén állhat, így összesen $ 4 \cdot 3 = \mathbf{12} $ különböző „prímes” rendszám van.

b) A 6-ot kell előállítanunk három számjegy összegeként. Írjuk fel az előállítási lehetőségeket (sorrendtől eltekintve) és számoljuk meg a lehetséges sorrendeket (permutációkat):

$ 6 + 0 + 0 \implies \frac{3!}{2!} = 3 $ eset
$ 5 + 1 + 0 \implies 3! = 6 $ eset
$ 4 + 2 + 0 \implies 3! = 6 $ eset
$ 4 + 1 + 1 \implies \frac{3!}{2!} = 3 $ eset
$ 3 + 3 + 0 \implies \frac{3!}{2!} = 3 $ eset
$ 3 + 2 + 1 \implies 3! = 6 $ eset
$ 2 + 2 + 2 \implies 1 $ eset

Összesen $ 3 + 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = \mathbf{28} $-féle „hatos” rendszám készíthető.

c) A logaritmus definíciója szerint $ \log_a b = c \iff a^c = b $.
A logaritmus alapja miatt $ a > 0 $ és $ a \neq 1 $, a numerusz miatt $ b > 0 $. Így $ a \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $ és $ b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $. Vizsgáljuk meg $ c $ értékeit:

Ha $ c = 0 $: akkor $ b = 1 $. Ekkor $ a $ lehet 2-től 9-ig bármi, ami 8 lehetőség.
Ha $ c = 1 $: akkor $ a^1 = b $, vagyis $ a = b $. Ekkor $ a $ lehet 2-től 9-ig bármi, ami ismét 8 lehetőség.
Ha $ c = 2 $: akkor $ a^2 = b $. Ez csak akkor egyjegyű, ha $ a=2 \implies b=4 $ vagy $ a=3 \implies b=9 $. Ez 2 lehetőség.
Ha $ c = 3 $: akkor $ a^3 = b $. Egyetlen megoldás, ha $ a=2 \implies b=8 $. Ez 1 lehetőség.
$ c \ge 4 $-re már kétjegyű lenne a hatvány ($ 2^4 = 16 $), így nincs több eset.

Összesen $ 8 + 8 + 2 + 1 = \mathbf{19} $ „logaritmusos” rendszám készíthető.

3

13 pont

A mellékelt ábrán egy kereszt alakú lemez látható, amely 5 db 10 cm oldalú négyzetből áll. A lemezből egy 10 cm alapélű, szabályos négyoldalú gúla hálóját szeretnénk kivágni úgy, hogy a középső négyzet legyen a gúla alaplapja.

a

Igazolja, hogy a lehetséges hálók kivágása során keletkező hulladék legalább $ 200 \text{ cm}^2 $, de kevesebb $ 300 \text{ cm}^2 $-nél!

6 pont

Tekintsük az ábrán látható nyolcpontú gráfot.

b

A gráfban véletlenszerűen kiválasztunk két csúcsot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két csúcsot él köti össze a gráfban?

4 pont

c

A gráf 9 élét kékre, 3 élét pedig zöldre színezzük. Igazolja, hogy bármelyik ilyen színezésnél lesz a gráfban egyszínű (gráfelméleti) kör!

3 pont

a) Az 5 négyzet összterülete $500 \text{ cm}^2$. Ebből a gúla alaplapja fixen $100 \text{ cm}^2$, a 4 oldallapot pedig a maradék $400 \text{ cm}^2$-ből vágjuk ki.
Az oldallapok háromszögek, amelyek alapja $10 \text{ cm}$. A legnagyobb lehetséges magasságuk $h = 10 \text{ cm}$ (ekkor épp kitöltik a külső négyzeteket). Ekkor az oldallapok területe: $$ 4 \cdot \frac{10 \cdot 10}{2} = 200 \text{ cm}^2 $$ A minimális hulladék ekkor: $500 - 100 - 200 = \mathbf{200 \text{ cm}^2}$.
Ugyanakkor a gúla felépíthetőségéhez a háromszögek magasságának nagyobbnak kell lennie, mint a $10 \text{ cm}$ oldalú alaplap középpontjából az oldalhoz húzott merőleges vetület, azaz $h > 5 \text{ cm}$. Ebből következően a 4 oldallap területe minimálisan: $$ > 4 \cdot \frac{10 \cdot 5}{2} = 100 \text{ cm}^2 $$ Így a hulladék biztosan kevesebb lesz, mint: $$ < 500 - 100 - 100 = \mathbf{300 \text{ cm}^2} $$ Az állítást ezzel igazoltuk.

b) A 8 csúcs közül 2 csúcsot $\binom{8}{2} = 28$-féleképpen választhatunk ki (összes eset).
Ebből kedvező esetek azok, amikor a kiválasztott csúcspárt él köti össze. A gráfnak megszámlálhatóan 12 éle van (4 a középső négyzetben, és $4 \times 2 = 8$ a külső háromszögekben).
A valószínűség tehát: $$ P = \frac{12}{28} = \mathbf{\frac{3}{7}} $$

c) A gráfunk 8 csúccsal rendelkezik. Ismert gráfelméleti tétel, hogy egy 8 csúcsú erdőnek (körmentes gráfnak) legfeljebb 7 éle lehet (ha összefüggő, akkor fa, melynek élszáma $v - 1 = 7$).
Mivel mi 9 élet színeztünk kékre, a kék élek által alkotott részgráfban az élek száma (9) meghaladja a körmentességhez megengedett maximális élszámot (7). Így a kék színű részgráfban biztosan van kör.

4

13 pont

Adott az $ x^2 - (4p+1)x + 2p = 0 $ másodfokú egyenlet, ahol $ p $ valós paraméter.

a

Igazolja, hogy bármely valós $ p $ érték esetén az egyenletnek két különböző valós gyöke van!

3 pont

b

Ha az egyenlet egyik gyöke 3, akkor mennyi a másik gyöke?

4 pont

c

Határozza meg a $ p $ paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet gyökeinek négyzetösszege 7 legyen!

6 pont

a) Egy másodfokú egyenletnek pontosan akkor van két különböző valós gyöke, ha a diszkriminánsa pozitív ($ D > 0 $). Írjuk fel az egyenlet diszkriminánsát: $$ D = b^2 - 4ac = (-(4p+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2p = 16p^2 + 8p + 1 - 8p $$ $$ D = 16p^2 + 1 $$ Mivel bármely valós $ p $ esetén $ 16p^2 \ge 0 $, a kifejezés értéke mindig $ \ge 1 $, ami határozottan nagyobb 0-nál. Az állítást ezzel igazoltuk.

b) Ha az $ x = 3 $ gyöke az egyenletnek, helyettesítsük be az egyenletbe: $$ 3^2 - (4p+1) \cdot 3 + 2p = 0 $$ $$ 9 - 12p - 3 + 2p = 0 \implies 6 - 10p = 0 \implies p = 0,6 $$ A feladat az egyenlet másik gyökét kéri. Ezt a Viète-formulák segítségével kapjuk meg a legegyszerűbben. A gyökök összege: $$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4p + 1 $$ Tudjuk, hogy $ p = 0,6 $ és $ x_1 = 3 $: $$ 3 + x_2 = 4 \cdot 0,6 + 1 = 3,4 \implies \mathbf{x_2 = 0,4} $$

c) A gyökök négyzetösszegét fejezzük ki a Viète-formulák segítségével, miszerint $ x_1 + x_2 = 4p + 1 $ és $ x_1 x_2 = 2p $: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$ Helyettesítsük be a formulákba: $$ (4p + 1)^2 - 2(2p) = 7 $$ $$ 16p^2 + 8p + 1 - 4p = 7 $$ $$ 16p^2 + 4p - 6 = 0 \implies 8p^2 + 2p - 3 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva $ p $-re: $$ p_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot (-3)}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{16} = \frac{-2 \pm 10}{16} $$ A két megoldás tehát $ p_1 = \mathbf{0,5} $ és $ p_2 = \mathbf{-0,75} $.

5

16 pont

Az északi félteke 50. szélességi körén egy adott napon a nappal hosszát (a napkelte és a napnyugta között eltelt időt) jó közelítéssel a következő $ f $ függvénnyel lehet modellezni: $$ f(n) = -5,2 \cos\left(\frac{n+8}{58}\right) + 11,2 $$ ahol $ n $ az adott nap sorszámát jelöli egy adott éven belül, $ f(n) $ pedig a nappal hossza órában számolva ($ 1 \le n \le 365, \, n \in \mathbb{N} $).
Az alábbi ábra a $ g : [1;365] \to \mathbb{R}; \; g(x) = -5,2 \cos\left(\frac{x+8}{58}\right) + 11,2 $ függvényt szemlélteti. (A $ g $ függvény az $ f $-nek egy folytonos kiterjesztése.)

a

Ha $ x = 1 $, akkor a $ \frac{x+8}{58} $ helyettesítési értéke $ \frac{9}{58} $. Adja meg a $ \frac{9}{58} $ radián értékét fokban mérve!

2 pont

b

Számítsa ki a modell alapján, hogy az év 50. napján milyen hosszú a nappal! Válaszát óra:perc formátumban, egész percre kerekítve adja meg!

3 pont

c

Igazolja, hogy (a modell szerint) egy évben 164 olyan nappal van, amelyik 12 óránál hosszabb!

7 pont

d

Adott egy másik, az $ y = -5,2 \cos(x) + 11,2 $ egyenletű görbe, valamint az $ x = 0 $, az $ y = 0 $ és az $ x = 2\pi $ egyenletű egyenesek. Számítsa ki a görbe és a három egyenes által határolt korlátos síkidom területét!

4 pont

a) A radián és fok közötti átváltás formulája alapján szorozzunk $ \frac{180^\circ}{\pi} $-vel: $$ \frac{9}{58} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx \mathbf{8,89^\circ} $$

b) Az $ n = 50 $ értéket a modell képletébe behelyettesítve (a koszinusz argumentuma radiánban értendő): $$ f(50) = -5,2 \cos\left(\frac{50+8}{58}\right) + 11,2 = -5,2 \cos(1) + 11,2 \approx 8,39 \text{ óra} $$ Váltsuk át a törtrészt percekre: $ 0,39 \text{ óra} \approx 23 \text{ perc} $. A nappal hossza tehát körülbelül 8 óra 23 perc.

c) Keressük azokat az $ n $ értékeket, melyekre a nappal hossza nagyobb 12 óránál ($ f(n) > 12 $): $$ -5,2 \cos\left(\frac{n+8}{58}\right) + 11,2 > 12 $$ $$ -5,2 \cos\left(\frac{n+8}{58}\right) > 0,8 $$ $$ \cos\left(\frac{n+8}{58}\right) < -\frac{0,8}{5,2} \approx -0,1538 $$ A koszinuszfüggvény és egy körülbelítő érték ($ \arccos(-0,1538) \approx 1,7253 $) felhasználásával a megoldás intervalluma a $ [1; 365] $ tartományon belül: $$ 1,7253 < \frac{n+8}{58} < 2\pi - 1,7253 \approx 4,5579 $$ A teljes egyenlőtlenséget 58-cal felszorozva és 8-at kivonva: $$ 92,06 < n < 256,36 $$ Ezek a feltételek a 93. naptól a 256. napig teljesülnek (beleértve a határokat is). Az ilyen napok száma: $$ 256 - 93 + 1 = \mathbf{164} $$ Tehát az állítás valóban igaz.

d) A görbe a vizsgált tartományban az $ x $ tengely felett van. A keresett terület kiszámításához határozott integrált alkalmazunk $ x=0 $-tól $ x=2\pi $-ig: $$ \int_0^{2\pi} \left( -5,2\cos(x) + 11,2 \right) dx = \left[ -5,2\sin(x) + 11,2x \right]_0^{2\pi} $$ A Newton–Leibniz-tétel értelmében a határokat behelyettesítve: $$ = \left( -5,2 \cdot 0 + 11,2 \cdot 2\pi \right) - \left( -5,2 \cdot 0 + 11,2 \cdot 0 \right) = 22,4\pi \approx \mathbf{70,37} $$

6

16 pont

a

Hány olyan 90-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely a 2, a 3 és az 5 közül pontosan az egyikkel osztható?

6 pont

Az ötöslottó-játékban az első 90 pozitív egész számból kell öt különbözőt megjelölni. A sorsoláson öt (különböző) nyerőszámot húznak ki. Kati a 7, 9, 14, 64, 68 számokat jelölte meg. A sorsoláson az első három kihúzott nyerőszám a 7, a 9 és a 14 volt. Kati úgy gondolja, hogy most nagy esélye van legalább négy találatot elérni.

b

Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a hátralevő két nyerőszám közül Kati legalább az egyiket eltalálja!

6 pont

Az egyik játékhéten összesen 3 222 831 lottószelvényt küldtek játékba a játékosok. Az alábbi táblázat mutatja a nyertes szelvények számát és nyereményét (2-nél kevesebb találattal nem lehet nyerni).

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text{Találatok} \\ \text{száma} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Nyertes} \\ \text{szelvények} \\ \text{száma} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Nyeremény} \\ \text{(Ft/nyertes szelvény)} \end{array} \\ \hline 5 & 0 & 0 \\ \hline 4 & 17 & 3\,113\,255 \\ \hline 3 & 1617 & 34\,915 \\ \hline 2 & 62\,757 & 1970 \\ \hline \end{array} $$

c

Számítsa ki, hogy mennyi volt a játékosok egy lottószelvényre jutó átlagos vesztesége ezen a héten, ha a játékba küldött szelvények egységára 250 Ft!

4 pont

a) Egy halmazelméleti Venn-diagrammal szemléltetve az oszthatósági halmazokat, induljunk a metszetekből.
A 90-ig vizsgált számok közül:
- Mindhárommal (vagyis 30-cal) osztható: $90 / 30 = 3$ db.
- 2-vel és 3-mal (6-tal) osztható: $90 / 6 = 15$ db. (Csak 2-vel és 3-mal: $15 - 3 = 12$ db).
- 2-vel és 5-tel (10-zel) osztható: $90 / 10 = 9$ db. (Csak 2-vel és 5-tel: $9 - 3 = 6$ db).
- 3-mal és 5-tel (15-tel) osztható: $90 / 15 = 6$ db. (Csak 3-mal és 5-tel: $6 - 3 = 3$ db).
Kizárólag csak 1 osztóval (a három közül) rendelkezők száma: - Csak 2-vel osztható (összesen 45 db): $45 - 12 - 6 - 3 = \mathbf{24}$ db.
- Csak 3-mal osztható (összesen 30 db): $30 - 12 - 3 - 3 = \mathbf{12}$ db.
- Csak 5-tel osztható (összesen 18 db): $18 - 6 - 3 - 3 = \mathbf{6}$ db.
Összesen: $24 + 12 + 6 = \mathbf{42}$ ilyen szám van.

b) A hátralévő 2 nyerőszámot a megmaradt 87 golyó (90 szám - a már kihúzott 3) közül húzzák ki. Az összes lehetséges párosítások száma $\binom{87}{2} = 3741$.
Komplementer eseménnyel könnyebben megoldható: mi az esélye, hogy egyik számot sem találja el (vagyis nem húzzák ki sem a 64-et, sem a 68-at)? Ekkor a maradék 85 számból húzzák mindkettőt, melynek lehetőségeinek száma $\binom{85}{2} = 3570$.
A keresett (legalább egy eltalálásának) valószínűsége a komplementer alapján: $$ P = 1 - \frac{\binom{85}{2}}{\binom{87}{2}} = 1 - \frac{3570}{3741} = \frac{171}{3741} \approx \mathbf{0,046} $$

c) Először határozzuk meg az összes kifizetett nyeremény összegét: $$ \text{Nyeremények} = 17 \cdot 3\,113\,255 + 1617 \cdot 34\,915 + 62\,757 \cdot 1970 = 233\,014\,180 \text{ Ft} $$ Az egy szelvényre visszajutó átlagos nyeremény (várható érték): $$ \frac{233\,014\,180}{3\,222\,831} \approx 72,3 \text{ Ft} $$ Mivel a szelvény 250 Ft-ba kerül, az egy játékosra jutó átlagos veszteség: $$ 250 - 72,3 = \mathbf{177,7 \text{ Ft}} $$

7

16 pont

Az $ ABCD $ húrnégyszögben $ AB = 20 $, $ BC = 18 $, $ \angle ABC = 70^\circ $, $ \angle CAD = 50^\circ $.

a

Milyen hosszú a $ CD $ oldal, és mekkora a húrnégyszög területe?

7 pont

A derékszögű koordináta-rendszerben adottak a $ P(-2; 0) $, $ Q(6; 0) $ és $ R(0; 5) $ pontok, a $ H $ pedig a $ PQ $ szakasz tetszőleges pontja.

b

Számítsa ki a $ \vec{PH} $ és az $ \vec{RH} $ vektorok skaláris szorzatát, ha $ H(-1,8; 0) $.

2 pont

c

Adja meg a $ H $ pont koordinátáit úgy, hogy a $ \vec{PH} $ és az $ \vec{RH} $ vektorok skaláris szorzata maximális, illetve úgy is, hogy minimális legyen!

7 pont

a) Az $ABC$ háromszögben felírva a koszinusztételt az $AC$ szakaszra: $$ AC^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(70^\circ) \implies AC \approx 21,86 $$ A húrnégyszög egyik alaptulajdonsága, hogy a szemközti szögeinek összege $180^\circ$. Mivel a $\angle B = 70^\circ$, ezért $\angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Az $ACD$ háromszög szögeinek ismeretében ($\angle D = 110^\circ$, $\angle CAD = 50^\circ$) az $\angle ACD = 180^\circ - (110^\circ + 50^\circ) = 20^\circ$. Szinusztétellel kifejezve az oldalt: $$ \frac{CD}{\sin(50^\circ)} = \frac{21,86}{\sin(110^\circ)} \implies CD \approx \mathbf{17,82} $$ A húrnégyszög teljes területét a két felosztott háromszög területeinek összegéből kapjuk: $$ T = T_{ABC} + T_{ACD} = \frac{20 \cdot 18 \cdot \sin(70^\circ)}{2} + \frac{21,86 \cdot 17,82 \cdot \sin(20^\circ)}{2} \approx 169,1 + 66,6 = \mathbf{235,7} $$

b) Ha $H(-1,8; 0)$, a vektorok komponensei (a pontok koordinátáinak különbségei): $$ \vec{PH} = (-1,8 - (-2); 0 - 0) = (0,2; 0) $$ $$ \vec{RH} = (-1,8 - 0; 0 - 5) = (-1,8; -5) $$ A két vektor skaláris szorzata: $$ \vec{PH} \cdot \vec{RH} = 0,2 \cdot (-1,8) + 0 \cdot (-5) = \mathbf{-0,36} $$

c) Legyen a $H$ pont az $(x; 0)$ koordinátákkal megadva, ahol $-2 \le x \le 6$ (a szakasz feltétele). A vektorok általánosan felírva: $$ \vec{PH} = (x + 2; 0) $$ $$ \vec{RH} = (x; -5) $$ Az $f(x)$ függvényünk ezek skaláris szorzata lesz: $$ f(x) = \vec{PH} \cdot \vec{RH} = (x + 2)x + 0 \cdot (-5) = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 $$ A függvény egy felfelé nyitott parabola, melynek csúcspontja az $x = -1$ helyen van. Ezen a ponton a függvény felveszi minimumát, azaz a minimális szorzat a $H_{min}(-1; 0)$ ponthoz tartozik.
Mivel az értelmezési tartomány a $[-2; 6]$ zárt intervallum, a maximális értéket a csúcsponttól legmesszebbre lévő végpontnál, tehát $x = 6$-nál veszi fel, amely a $H_{max}(6; 0)$ ponthoz tartozik.

8

16 pont

Egy étteremben (hatósági engedély birtokában) az érvényes általános forgalmi adótól (áfa) kismértékben eltérő adókulcsok alkalmazásának hatását vizsgálták az ételek és italok fogyasztására nézve. Az ételek esetében 4%, az italok esetében 30% áfát adtak hozzá a nettó árhoz, és az így kapott bruttó árat kellett a vendégnek kifizetnie.
A kísérlet első napján az új számítógépes program hibája miatt a számlán éppen fordítva adták a nettó árakhoz az áfát: az ételek nettó árához 30%-ot, az italok nettó árához pedig 4%-ot számoltak hozzá, és ez a számlán is így, hibásan jelent meg.
Egy család ebben a vendéglőben ebédelt, és a hibás program miatt 8710 Ft-os számlát kapott. A hibát észrevették, így végül a helyes összeget, 7670 Ft-ot kellett kifizetniük.

a

Hány forint volt az elfogyasztott ételek, és hány forint volt az elfogyasztott italok helyes bruttó ára?

7 pont

Egy másik étteremben 12 és 14 óra között 3900 Ft befizetéséért annyit eszik és iszik a vendég, amennyit szeretne.
A befizetendő összeget egy előzetes felmérés alapján állapították meg. A felmérés során minden vendég esetén összeadták az elfogyasztott étel és ital árát az adott fogyasztáshoz tartozó összes egyéb költséggel. Az összesített költségek alapján osztályokba sorolták a vendégeket aszerint, hogy az étteremnek hány forintjába kerültek.
Az alábbi táblázat mutatja a felmérés eredményét. A táblázat első sorában az osztályközepek láthatók.

$$ \begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{l} \text{fejenként ennyi Ft-ba} \\ \text{került az étteremnek} \end{array} & 1000 & 1900 & 2800 & 3600 & 4400 & 5200 \\ \hline \text{a vendégek ennyi \%-a} & 10 & 20 & 25 & 30 & 10 & 5 \\ \hline \end{array} $$

b

A felmérés eredményét felhasználva számítsa ki, hogy ennek az étteremnek 1000 vendég esetén mekkora a várható haszna!

3 pont

c

A fenti táblázat értékeivel számolva mennyi a valószínűsége, hogy két (ebédre betérő) vendég együttes fogyasztása veszteséget jelent az étteremnek?
(A táblázatba foglalt információkat tekinthetjük úgy, hogy egy véletlenszerűen betérő vendég esetén pl. 0,25 annak a valószínűsége, hogy a vendég 2800 Ft-ba kerül az étteremnek.)

6 pont

a) Legyen az elfogyasztott ételek nettó ára $x$ Ft, az italoké pedig $y$ Ft. A helyes, illetve a hibás adózási struktúrával felírhatjuk a következőt: $$ 1,04x + 1,3y = 7670 \quad \text{(Helyes számla)} $$ $$ 1,3x + 1,04y = 8710 \quad \text{(Hibás számla)} $$ Összeadva a két egyenletet: $$ 2,34(x + y) = 16\,380 \implies x + y = 7000 $$ Kivonva a helyes egyenletet a hibásból: $$ 0,26(x - y) = 1040 \implies x - y = 4000 $$ Ezt az új, letisztult egyenletrendszert megoldva a két egyenlet összegzésével: $$ 2x = 11\,000 \implies x = 5500 $$ Ebből visszahelyettesítve $y = 1500$.
A feladat a helyes bruttó árakra kérdezett rá, így felszorozzuk őket az eredeti adókulccsal: Helyes bruttó étel: $5500 \cdot 1,04 = \mathbf{5720 \text{ Ft}}$.
Helyes bruttó ital: $1500 \cdot 1,3 = \mathbf{1950 \text{ Ft}}$.

b) A táblázat alapján egy vendég átlagos költsége az étterem számára a várható érték képletével számítható ki: $$ \text{Átlagköltség} = 1000 \cdot 0,1 + 1900 \cdot 0,2 + 2800 \cdot 0,25 + 3600 \cdot 0,3 + 4400 \cdot 0,1 + 5200 \cdot 0,05 = 2960 \text{ Ft} $$ Mivel minden vendég $3900 \text{ Ft}$-ot fizet, az étterem egy vendégen elérhető átlagos haszna $3900 - 2960 = 940 \text{ Ft}$.
1000 vendég esetén a várható haszon $1000 \cdot 940 = \mathbf{940\,000 \text{ Ft}}$.

c) A két vendég esetén akkor van az étteremnek vesztesége, ha a költségük együttesen meghaladja a két vendég által befizetett bruttó $2 \cdot 3900 = 7800 \text{ Ft}$-ot.
Listázzuk és összegezzük azokat a független (kombinált) eseményeket (a sorrendet is figyelembe véve), melyek költsége $ > 7800 \text{ Ft}$:

$5200 + 5200$: \quad $0,05 \cdot 0,05 = 0,0025$
$5200 + 4400$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,05 \cdot 0,10 = 0,010$
$5200 + 3600$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,05 \cdot 0,30 = 0,030$
$5200 + 2800$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,05 \cdot 0,25 = 0,025$
$4400 + 4400$: \quad $0,10 \cdot 0,10 = 0,010$
$4400 + 3600$ és fordítva: \quad $2 \cdot 0,10 \cdot 0,30 = 0,060$

Az összes kedvező (veszteséget jelentő) eset valószínűsége ezen értékek összege: $$ 0,0025 + 0,010 + 0,030 + 0,025 + 0,010 + 0,060 = \mathbf{0,1375} $$

9

16 pont

Egy városban a közösségi közlekedést kizárólag vonaljeggyel lehet igénybe venni, minden utazáshoz egy vonaljegyet kell váltani. A vonaljegy ára jelenleg 300 tallér. Az utazások száma naponta átlagosan 100 ezer. Ismert az is, hogy ennek kb. 10%-ában nem váltanak jegyet (bliccelnek).
A városi közlekedési társaság vezetői hatástanulmányt készíttettek a vonaljegy árának esetleges megváltoztatásáról. A vonaljegy árát 5 talléronként lehet emelni vagy csökkenteni. A hatástanulmány szerint a vonaljegy árának 5 talléros emelése várhatóan 1000-rel csökkenti a napi utazások számát, és 1 százalékponttal növeli a jegy nélküli utazások (bliccelések) arányát.
Ugyanez fordítva is igaz: a vonaljegy árának minden 5 talléros csökkentése 1000-rel növelné a napi utazások számát, és 1 százalékponttal csökkentené a bliccelések arányát. A tanulmány az alkalmazott modellben csak a 245 tallérnál drágább, de 455 tallérnál olcsóbb lehetséges jegyárakat vizsgálta.

a

Mekkora lenne a közlekedési társaság vonaljegyekből származó napi bevétele a hatástanulmány becslései alapján, ha 350 tallérra emelnék a vonaljegyek árát?

4 pont

b

Hány talléros vonaljegy esetén lenne maximális a napi bevétel?

12 pont

a) A jegyárat 300-ról 350 tallérra emelték, ami $50 / 5 = 10$ egységnyi emelést jelent.
Az utasok száma ekkor $100\,000 - 10 \cdot 1000 = 90\,000$-re csökken.
A bliccelők aránya a bázis $10\%$-ról megemelkedik $10 \cdot 1 = 10$ százalékponttal, így az új arányuk $20\%$.
Fizető utasok száma: a $90\,000$ fős tömeg $80\%$-a, ami $72\,000$ utas.
A társaság napi bevétele: $$ 72\,000 \cdot 350 = \mathbf{25\,200\,000 \text{ tallér}} $$

b) Legyen $x$ az 5 talléros emelések (vagy negatív érték esetén a csökkentések) száma. Ekkor a bevételt egy függvény adja meg a változás tükrében:
A jegy ára: $300 + 5x$.
Az utazások száma: $100\,000 - 1000x$.
A jegyet nem váltók (bliccelők) aránya: $10 + x$ (százalékban értve), így a fizető utasok aránya: $\frac{90 - x}{100}$.
A fizető utasok száma: $(100\,000 - 1000x) \cdot \frac{90 - x}{100} = 10(100 - x)(90 - x)$.
A napi bevételt leíró függvény: $$ B(x) = (300 + 5x) \cdot 10(100 - x)(90 - x) = 50(x + 60)(x^2 - 190x + 9000) $$ Keressük a bevétel szélsőértékét a függvény deriváltjának zérushelyénél. Az előállított polinom beszorzása után könnyebben tudunk deriválni: $$ B(x) = 50(x^3 - 130x^2 - 2400x + 540\,000) $$ $$ B'(x) = 50(3x^2 - 260x - 2400) = 0 \implies 3x^2 - 260x - 2400 = 0 $$ A másodfokú megoldóképlettel a derivált gyökei: $$ x_{1,2} = \frac{260 \pm \sqrt{67\,600 - 4 \cdot 3 \cdot (-2400)}}{6} = \frac{260 \pm \sqrt{96\,400}}{6} \approx \frac{260 \pm 310,48}{6} $$ Két szélsőérték helyet kapunk: $x_1 \approx 95,08$ és $x_2 \approx -8,41$. A modelltartomány határaiba az $x_2$ (csökkentés) illik bele, amely ráadásul (a derivált előjelváltásai miatt) egy maximumhely.
Mivel $x$-nek (a tallérváltozások miatt) egésznek kell lennie, vizsgáljuk meg az egész oldali szomszédait ($-8$ és $-9$):

$x = -8$ esetén a jegyár 260 tallér, a bevétel: $B(-8) = 27\,518\,400 \text{ tallér}$.
$x = -9$ esetén a jegyár 255 tallér, a bevétel: $B(-9) = 27\,517\,050 \text{ tallér}$.

Mivel $B(-8) > B(-9)$, a maximális napi bevételt 260 talléros vonaljegy esetén kapjuk meg.