2018. Október Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

11 pont

a

Egy mértani sorozat hányadosa $ \frac{1}{4} $, a sorozat első öt tagjának összege 852,5. Határozza meg a sorozat első tagját! Számításai során ne használjon közelítő értéket!

4 pont

b

Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 852,5; első tíz tagjának összege pedig 2330. Számítsa ki a sorozat első tagját és differenciáját!

7 pont

a) Ha a sorozat első tagja $ a $, akkor a mértani sorozat összegképlete szerint: $$ a \cdot \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^5 - 1}{\frac{1}{4} - 1} = 852,5 $$ Kiszámolva a hatványt és a nevezőt: $$ a \cdot \frac{\frac{1}{1024} - 1}{-\frac{3}{4}} = a \cdot \frac{-\frac{1023}{1024}}{-\frac{3}{4}} = a \cdot \frac{341}{256} = 852,5 $$ Ebből a sorozat első tagja: $$ a = \frac{852,5 \cdot 256}{341} = \mathbf{640} $$

b) Jelölje a sorozat első tagját $ a $, a differenciáját $ d $. Ekkor az első öt tag összege a számtani sorozat összegképletével: $$ S_5 = \frac{2a + 4d}{2} \cdot 5 = 852,5 \implies 5a + 10d = 852,5 $$ Az első tíz tag összege: $$ S_{10} = \frac{2a + 9d}{2} \cdot 10 = 2330 \implies 10a + 45d = 2330 $$ Az első egyenletből kifejezzük $ a $-t: $$ a = \frac{852,5 - 10d}{5} = 170,5 - 2d $$ Ezt beírjuk a második egyenletbe: $$ 10 \cdot (170,5 - 2d) + 45d = 2330 $$ $$ 1705 - 20d + 45d = 2330 $$ $$ 25d = 625 \implies \mathbf{d = 25} $$ Visszahelyettesítve $ a $-t is megkapjuk: $$ a = 170,5 - 2 \cdot 25 = \mathbf{120,5} $$

2

14 pont

a

Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! $$ 25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x - 50 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} + 30 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x+2} = 81 $$

7 pont

b

Igazolja, hogy $ \frac{\lg 5^x + \lg 5^{-x}}{2} \le \lg \frac{5^x + 5^{-x}}{2} $ ($ x \in \mathbb{R} $).

7 pont

a) Az azonos alapú hatványok szorzatára vonatkozó azonosság miatt: $$ 25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x - 10 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x + \frac{6}{5} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x = 81 $$ Kiemelve az $ \left(\frac{1}{5}\right)^x $ tényezőt: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left( 25 - 10 + 1,2 \right) = 81 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 16,2 = 81 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{81}{16,2} = 5 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} $$ Mivel az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért: $$ \mathbf{x = -1} $$

b) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait a bal oldalon: $$ \frac{\lg 5^x + \lg 5^{-x}}{2} \le \lg \frac{5^x + 5^{-x}}{2} $$ $$ \frac{\lg (5^x \cdot 5^{-x})}{2} \le \lg \frac{5^x + 5^{-x}}{2} $$ $$ \frac{\lg (5^0)}{2} \le \lg \frac{5^x + 5^{-x}}{2} $$ $$ \frac{\lg 1}{2} = 0 \le \lg \frac{5^x + 5^{-x}}{2} $$ Mivel a 10-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, a $ \lg A \ge 0 $ egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha $ A \ge 1 $: $$ 1 \le \frac{5^x + 5^{-x}}{2} \implies 2 \le 5^x + 5^{-x} $$ Mivel $ 5^x $ és $ 5^{-x} $ egymás reciprokai és mindkettő pozitív, összegük mindig legalább 2. (Ekvivalensen: $ (5^x - 1)^2 \ge 0 $, ami minden valós $ x $-re teljesül.) Ekvivalens átalakításokat végeztünk, így az eredeti állítás is igaz.

3

12 pont

Egy nagy méretű, köztéren felállítandó óra számlapját szabályos 12-szög alakúra tervezik. Az $ A_1 A_2 \dots A_{12} $ számlapot egy 260 cm × 180 cm-es téglalap alakú alumíniumlemezből vágják ki az ábra szerint.

a

Mekkora tömegű az óralap, ha az alumíniumlemez vastagsága 2 mm, és 1 m³ alumínium tömege 2700 kg?

7 pont

b

Jelöljük meg a szabályos tizenkétszög $ A_1 $ csúcsát! Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik csúcsa az $ A_1 $, a másik két csúcsa pedig szintén a tizenkétszög valamelyik két csúcsával azonos? (Két háromszöget akkor tekintünk különbözőnek, ha legalább az egyik csúcsuk különböző.)

5 pont

a) A szabályos 12-szög felbontható 12 darab egybevágó, 30°-os szárszögű egyenlő szárú háromszögre. A 12-szög középpontja legyen $ O $, az $ A_1OA_2 $ háromszög alapjához tartozó magassága pedig megegyezik a téglalap magasságának felével: $ m = \frac{180}{2} = 90 \text{ cm} $. A háromszög alapja: $$ a = A_1 A_2 = 2 \cdot 90 \cdot \text{tg } 15^\circ \approx 48,2 \text{ cm} $$ A 12-szög területe: $$ T = 12 \cdot \frac{a \cdot m}{2} \approx 12 \cdot \frac{48,23 \cdot 90}{2} \approx 26\,045 \text{ cm}^2 $$ Az óralap térfogata ($ V = T \cdot \text{vastagság} $): $$ V = 26\,045 \text{ cm}^2 \cdot 0,2 \text{ cm} \approx 5209 \text{ cm}^3 \approx 0,0052 \text{ m}^3 $$ A tömege: $$ m = 0,0052 \cdot 2700 \approx \mathbf{14,1 \text{ kg}} $$

b) A Thalész-tétel miatt derékszögű háromszöget akkor kapunk, ha a háromszög leghosszabb oldala a 12-szög köré írt körének átmérője. - 1. eset: Ha $ A_1 $ az átfogó egyik végpontja, akkor a másik végpontja az átmérőn lévő szemközti csúcs, azaz $ A_7 $. A háromszög harmadik csúcsa a maradék 10 csúcs közül bármelyik lehet. Ez 10 lehetőség. - 2. eset: Ha $ A_1 $ a derékszögű csúcs, akkor a háromszög átfogója egy másik átmérő. Az átmérőket a következő szemközti csúcspárok adják: $ A_2A_8, A_3A_9, A_4A_{10}, A_5A_{11}, A_6A_{12} $. Ez 5 lehetőség. Összesen $ 10 + 5 = \mathbf{15} $ különböző derékszögű háromszög van.

4

14 pont

Egy zöldségárus vállalkozó egyik reggel 200 kg első osztályú barackot visz eladásra a piacra. Tapasztalatból tudja, hogy az első osztályú barack eladási egységára és a napi eladott mennyiség között (jó közelítéssel) lineáris kapcsolat van (az eladott mennyiség az eladási egységár lineáris függvénye). Ha egész nap 500 Ft/kg áron kínálná a barackot, akkor várhatóan a fele fogyna el, míg ha 300 Ft/kg áron adná, akkor a 70%-a.

a

Mennyi lenne a zöldségárusnak az első osztályú barack eladásából származó bevétele, ha egész nap 400 Ft/kg-os egységáron kínálná a barackot?

3 pont

b

Igazolja, hogy ha egész nap $ x $ (Ft/kg) az első osztályú barack egységára, $ y $ (kg) pedig a napi eladott mennyiség, akkor a közöttük lévő kapcsolat: $ y = -\frac{1}{5}x + 200 $ ($ 0 < x < 1000 $).

4 pont

A nap végén a 200 kg-ból megmaradó barackot a zöldségárus másnap már nem adhatja el első osztályúként. Ezért a megmaradó teljes mennyiséget eladja egy gyümölcsfeldolgozó vállalkozásnak, mégpedig 80 Ft/kg egységáron.

c

Mekkora eladási egységáron kínálja a barackot a zöldségárus napközben, hogy a napi bevétele maximális legyen? (A napi bevétel az első osztályúként eladott barackból származó bevétel plusz a gyümölcsfeldolgozó által fizetett összeg.)

7 pont

a) Mivel 400 Ft az 500 és a 300 számtani közepe ($ \frac{500+300}{2} = 400 $), a lineáris kapcsolat miatt az eladott mennyiség százaléka is a kettő közepe lesz: $ \frac{50 + 70}{2} = 60\% $. Tehát a 200 kg-nak a 60%-a fogy el, ami $ 200 \cdot 0,6 = 120 \text{ kg} $. A bevétel: $ 120 \text{ kg} \cdot 400 \text{ Ft/kg} = \mathbf{48\,000 \text{ Ft}} $.

b) Ha lineáris kapcsolat van, akkor az $ y = mx + b $ egyenlet érvényes. A 200 kg fele 100 kg, 70%-a pedig 140 kg. A szöveg alapján kapjuk az egyenletrendszert: $$ 100 = 500m + b $$ $$ 140 = 300m + b $$ A két egyenletet kivonva egymásból: $ -40 = 200m \implies m = -\frac{1}{5} $. Visszahelyettesítve: $ 100 = 500 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) + b \implies 100 = -100 + b \implies b = 200 $. Tehát valóban $ y = -\frac{1}{5}x + 200 $.

c) A napközbeni bevétel függvénye az eladási ártól függően: $ x \cdot y = x \cdot \left(-\frac{1}{5}x + 200\right) $. A megmaradt mennyiség: $ 200 - y = 200 - \left(-\frac{1}{5}x + 200\right) = \frac{1}{5}x $. A feldolgozótól kapott bevétel: $ 80 \cdot \left(\frac{1}{5}x\right) = 16x $. Az összes bevétel: $$ B(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 200x + 16x = -\frac{1}{5}x^2 + 216x $$ Ez egy lefelé nyíló parabola, melynek maximuma a tengelypontban van: $$ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{216}{2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{216}{0,4} = \mathbf{540 \text{ Ft/kg}} $$ Ekkor a maximális bevétel: $ B(540) = 58\,320 \text{ Ft} $.

5

16 pont

Kinga a következő tanítási napra hat házi feladatot kapott, három kötelezőt és három szorgalmit. Egy-egy kötelező házi feladatot kapott matematikából, angolból és magyarból, ezeket biztosan elkészíti. Szorgalmi házi feladatot biológiából, németből és történelemből kapott, ezeket nem feltétlenül csinálja meg: lehet, hogy mind a hármat elkészíti, lehet, hogy csak kettőt vagy egyet, de az is lehet, hogy egyet sem készít el.

a

Összesen hányféle különböző sorrendben készítheti el Kinga a házi feladatait? (Két esetet különbözőnek tekintünk, ha vagy nem ugyanazokat a házi feladatokat, vagy ugyanazokat a házi feladatokat, de más sorrendben oldja meg.)

6 pont

Kinga matematika-házifeladata ez volt: „500 különböző pozitív egész szám átlaga 1000. Legfeljebb mekkora lehet a számok közül a legnagyobb?”

b

Adja meg Kinga matematika-házifeladatának megoldását!

5 pont

Kinga, Linda, Misi és Nándi elvállalta, hogy az alacsonyabb évfolyamok tanulói közül hét diákot rendszeresen korrepetálni fog. Az egyénenként vállalt tanulók számát egy megbeszélésen döntik el.

c

Hány különböző módon állapodhatnak meg abban, hogy melyikük hány tanulót korrepetáljon, ha mindegyikük vállal legalább egy tanulót? (Két megállapodást különbözőnek tekintünk, ha legalább egyikük nem ugyanannyi tanulót korrepetál a két megállapodás szerint.)

5 pont

a) Felosztjuk az eseteket aszerint, hogy hány szorgalmit old meg: - 0 szorgalmi: Csak a 3 kötelezőt, $ 3! = 6 $ féle sorrend. - 1 szorgalmi: Kiválasztja az 1 szorgalmit 3-féleképpen, így 4 feladatot $ 4! $ módon old meg. Esetek száma: $ 3 \cdot 24 = 72 $. - 2 szorgalmi: Kiválaszt 2 szorgalmit $ \binom{3}{2} = 3 $-féleképpen, 5 feladatot $ 5! $ módon. Esetek száma: $ 3 \cdot 120 = 360 $. - 3 szorgalmi: Mind a 6 feladatot megcsinálja, $ 6! = 720 $ féle sorrend. Összesen: $ 6 + 72 + 360 + 720 = \mathbf{1158} $-féleképpen.

b) Az 500 szám összege: $ 500 \cdot 1000 = 500\,000 $. A lehetséges legnagyobb számot akkor kapjuk meg, ha a többi 499 szám a lehető legkisebb pozitív egész. Mivel a számok különbözőek, ezek az $ 1, 2, 3, \dots, 499 $. Ezek összege számtani sorozattal: $$ S = \frac{1 + 499}{2} \cdot 499 = 250 \cdot 499 = 124\,750 $$ A legmagasabb szám tehát: $$ 500\,000 - 124\,750 = \mathbf{375\,250} $$

c) Mindegyikük kap egy tanulót előre, így 4 tanulót már ki is osztottunk. Marad $ 7 - 4 = 3 $ tanuló, amit 4 személy között kell elosztani tetszőlegesen (lehet olyan is, aki 0 további diákot kap). Ez a probléma azonos az ismétléses kombinációval: 3 elemet osztunk 4 rekeszbe. A képlet: $$ \binom{n+k-1}{k-1} = \binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{20} $$ Összesen 20 különböző módon állapodhatnak meg.

6

16 pont

a

Határozza meg az alábbi két állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszait indokolja!
I. Ha egy trapéznak 2-2 szöge egyenlő, akkor a trapéz húrtrapéz.
II. Ha egy háromszögben $ a = b $, akkor $ \sin 3\alpha = \sin 3\beta $.
(A háromszög oldalai $ a, b $ és $ c $, a velük szemközti szögek rendre $ \alpha, \beta $ és $ \gamma $.)

6 pont

b

Fogalmazza meg a II. állítás megfordítását, és a megfordított állításról is döntse el, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!

4 pont

Egy matematika-vizsgafeladatban három állítás logikai értékét kell meghatározni (igaz vagy hamis). Három helyes válasz esetén 2, két helyes válasz esetén 1, kettőnél kevesebb helyes válasz esetén 0 pontot kap a vizsgázó. Béla tanult egy keveset, de bizonytalan a tudása: mindegyik kérdésnél 0,6 valószínűséggel találja el a helyes választ.

c

Számítsa ki annak a négy eseménynek a valószínűségét, hogy Béla sikeres tippjeinek száma 3, 2, 1, illetve 0, és határozza meg Béla pontszámának várható értékét!

6 pont

a) I. állítás: Hamis. Ellenpélda az olyan trapéz, amelynek 2-2 szemközti szöge egyenlő, míg a szomszédos szögei különbözők. Az ilyen négyszög egy (nem téglalap) paralelogramma. II. állítás: Igaz. Mivel egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, ha $ a = b $, akkor $ \alpha = \beta $. Ekkor természetesen $ 3\alpha = 3\beta $, amiből következik, hogy $ \sin 3\alpha = \sin 3\beta $.

b) A megfordított állítás: Ha egy háromszögben $ \sin 3\alpha = \sin 3\beta $, akkor $ a = b $. Ez a megfordítás hamis. Ellenpélda: Legyen $ \alpha = 20^\circ $ és $ \beta = 40^\circ $. Ekkor $ 3\alpha = 60^\circ $ és $ 3\beta = 120^\circ $. Mivel $ \sin 60^\circ = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, a feltétel teljesül, de a szögek eltérőek ($ 20^\circ \neq 40^\circ $), így a velük szemközti oldalak nem egyenlőek ($ a \neq b $).

c) Annak valószínűsége, hogy hibásan válaszol: $ 1 - 0,6 = 0,4 $. A tippek számát a binomiális eloszlás alapján számolhatjuk: - 0 helyes: $ P_0 = 0,4^3 = \mathbf{0,064} $ - 1 helyes: $ P_1 = \binom{3}{1} \cdot 0,6^1 \cdot 0,4^2 = 3 \cdot 0,6 \cdot 0,16 = \mathbf{0,288} $ - 2 helyes: $ P_2 = \binom{3}{2} \cdot 0,6^2 \cdot 0,4^1 = 3 \cdot 0,36 \cdot 0,4 = \mathbf{0,432} $ - 3 helyes: $ P_3 = 0,6^3 = \mathbf{0,216} $ Várható érték: A vizsgázó pontszámai: $ 0, 1 $ vagy $ 2 $. A pontszám várható értéke: $ E = P_3 \cdot 2 + P_2 \cdot 1 + P_1 \cdot 0 + P_0 \cdot 0 = 0,216 \cdot 2 + 0,432 \cdot 1 = 0,432 + 0,432 = \mathbf{0,864} $.

7

16 pont

A római katonák az úgynevezett taxillus-szal játszottak „kockajátékot”. (A taxillus a kecske vagy a juh térdkalácsából faragott csontocska.) Dobás után egy taxillus négy különböző oldalára eshetett. Jelölje ezt a négy különböző helyzetet $ A, B, C $ és $ D $. Az egyes dobáskimenetelek nem voltak egyformán valószínűek: az $ A $, illetve a $ B $ helyzet egyaránt $ \frac{4}{10} $, a $ C $, illetve a $ D $ helyzet pedig egyaránt $ \frac{1}{10} $ valószínűséggel következett be.
A rómaiak általában négy taxillust dobtak fel egyszerre. A Venus-dobás volt az egyik legértékesebb, ekkor a négy csontocska mindegyike más-más oldalára esett.

a

Mennyi a Venus-dobás valószínűsége?

5 pont

b

Az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége?
I. Négy feldobott taxillus között lesz olyan, amelyik $ C $ helyzetben érkezik le.
II. Négy feldobott taxillus között pontosan egy érkezik le az $ A $ helyzetben.

5 pont

Thalész, a hét görög bölcs egyike, egy nevezetes, neki tulajdonított mérés során egy folyóban lévő sziget $ AB $ hosszát a folyóparton maradva határozta meg.
Először felvett egy $ e $ egyenest a parton. Ezen az $ e $ egyenesen megkereste azt a $ C $, illetve $ D $ pontot, amelyekben a $ CA $, illetve a $ DB $ irány merőleges az $ e $ egyenesre. Ezután a $ CD $ szakasz $ F $ felezőpontját is megjelölte egy jelzőkaróval. Ezt követően az $ AC $ egyenesen haladva megjelölte azt a $ G $ pontot, amelyre $ B $, $ F $ és $ G $ egy egyenesre illeszkedik; és hasonlóan az $ AF $ és $ BD $ egyenesek $ H $ metszéspontját is megjelölte. Thalész azt állította, hogy a sziget hossza a $ GH $ távolsággal egyezik meg.

c

Igazolja Thalész állításának helyességét!

6 pont

a) A Venus dobáshoz ki kell jönnie mind a négy lehetőségnek: $ A, B, C, D $. Ezeknek a sorrendje $ 4! = 24 $ féle lehet. Egy konkrét sorrend ($ A \to B \to C \to D $) valószínűsége független dobások esetén a valószínűségek szorzata: $$ P_{egy} = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0016 $$ Tehát a Venus-dobás valószínűsége: $$ P = 24 \cdot 0,0016 = \mathbf{0,0384} $$

b) I. esemény: Annak valószínűsége, hogy egyik taxillus sem lesz $ C $ helyzetű: $ 0,9^4 = 0,6561 $. Ebből komplementer eseménnyel, hogy legalább egy $ C $ lesz: $$ P(I) = 1 - 0,6561 = \mathbf{0,3439} $$ II. esemény: Pontosan egy $ A $. Ez egy binomiális eloszlás ($ n=4, p=0,4 $): $$ P(II) = \binom{4}{1} \cdot 0,4^1 \cdot 0,6^3 = 4 \cdot 0,4 \cdot 0,216 = \mathbf{0,3456} $$ Összehasonlítva a két értéket: $ 0,3456 > 0,3439 $. Tehát a II. esemény valószínűbb, mint az I.

c) Vizsgáljuk a derékszögű háromszögeket, amelyek keletkeznek. Mivel $ F $ a $ CD $ szakasz felezőpontja, $ CF = FD $. A $ CA $ és $ DB $ merőlegesek az $ e $ egyenesre, ezért párhuzamosak, így $ GCF\triangle $ és $ BDF\triangle $ egybevágó (mert $ CF=FD $, és a csúcsszögek, valamint a váltószögek egyenlőek). Emiatt $ BF = FG $. Hasonló módon a $ ACF\triangle $ és a $ HDF\triangle $ is egybevágóak, így $ AF = FH $. Az $ ABHG $ négyszög átlói az $ AH $ és a $ BG $, amelyek az $ F $ pontban metszik egymást. Mivel $ AF = FH $ és $ BF = FG $, az átlók felezik egymást, vagyis az $ ABHG $ négyszög egy paralelogramma. Paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek, így az $ AB $ (a sziget hossza) megegyezik a parton kimért $ GH $ távolsággal. Ezzel az állítást igazoltuk.

8

16 pont

Az $ ABCDEFGH $ négyzetes oszlop $ AE, BF, CG, DH $ élei merőlegesek az $ ABCD $ alaplapra. Az $ A $ csúcsból kiinduló három él hossza $ AB = AD = 8 $ egység, $ AE = 15 $ egység.

a

Számítsa ki az $ \vec{EF} $ és $ \vec{AH} $ vektorok skaláris szorzatát!

3 pont

A négyzetes oszlop köré egy $ P $ csúcspontú forgáskúpot illesztünk úgy, hogy az $ A, B, C, D $ csúcsok a kúp alaplapjára, az $ E, F, G, H $ csúcsok pedig a kúp palástjára illeszkedjenek. (A kúp és a négyzetes oszlop tengelye egybeesik.) A kúp magassága 45 egység.

b

Számítsa ki a kúp felszínét!

7 pont

c

Hány olyan derékszögű háromszög van, amelynek egyik befogója 15 egység hosszú, és a másik két oldala is egész szám hosszúságú? (Az egybevágó háromszögeket nem tekintjük különbözőknek.)

6 pont

a) Az $ \vec{EF} $ egyenes merőleges az $ AEHD $ síkra (mert merőleges az $ EA $ és az $ EH $ élekre). Ezért az $ EF $ egyenes merőleges a sík minden egyenesére, beleértve az $ AH $ egyenest is. Mivel merőlegesek egymásra, a skaláris szorzatuk: $$ \vec{EF} \cdot \vec{AH} = \mathbf{0} $$

b) Vegyünk egy síkmetszetet, amely tartalmazza a kúp tengelyét és a négyzet alapátlóját. Ekkor hasonló háromszögeket kapunk. A belső kisebb kúp (amelyet a felső lap metsz ki) magassága: $ 45 - 15 = 30 $. A hasonlóság aránya a teljes kúp és a felső rész kúpja között: $ \frac{45}{30} = 1,5 $. A felső lap (mely a kúp palástjához ér) egy 8x8-as négyzet, melynek köré írt körének sugara: $ r = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5,66 $. A teljes kúp alapköre sugarát $ R $-rel jelölve, a hasonlóság miatt: $$ R = 1,5 \cdot 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \approx 8,49 $$ A kúp alkotója ($ a $) Pitagorasz-tétellel számolható: $$ a = \sqrt{R^2 + M^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 45^2} = \sqrt{72 + 2025} = \sqrt{2097} \approx 45,79 $$ A felszín a kör és a palást területeiből áll ($ A = R^2\pi + R\pi a $): $$ A = (6\sqrt{2})^2 \pi + 6\sqrt{2} \cdot \pi \cdot \sqrt{2097} \approx 226,19 + 1220,7 \approx \mathbf{1446,9 \text{ területegység}} $$

c) Jelölje a háromszög másik befogóját $ b $, az átfogóját $ c $. Mivel mindkettő pozitív egész szám, a Pitagorasz-tétel: $$ 15^2 + b^2 = c^2 \implies c^2 - b^2 = 225 $$ Alkalmazzuk a szorzattá alakítást: $$ (c - b)(c + b) = 225 $$ A 225-öt kell felbontani két pozitív egész szám szorzatára. Mivel $ c $ és $ b $ pozitívok, $ c + b > c - b > 0 $. A 225 szorzópárjai: 1. $ 1 \cdot 225 \implies c-b=1, c+b=225 \implies c = 113, b = 112 $ 2. $ 3 \cdot 75 \implies c-b=3, c+b=75 \implies c = 39, b = 36 $ 3. $ 5 \cdot 45 \implies c-b=5, c+b=45 \implies c = 25, b = 20 $ 4. $ 9 \cdot 25 \implies c-b=9, c+b=25 \implies c = 17, b = 8 $ Mivel minden egyenletrendszer megoldása egész számot ad, összesen 4 megfelelő derékszögű háromszög van.

9

16 pont

a

Határozza meg a $ p > 0 $ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2 - 24x + 20) dx = 0 $ teljesüljön!

5 pont

b

Határozza meg az $ a, b, c $ valós paraméterek értékét úgy, hogy az $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 28 $ ($ x \in \mathbb{R} $) függvénynek $ x = 2 $-ben zérushelye, $ x = -4 $-ben lokális maximumhelye, $ x = -1 $-ben pedig inflexiós pontja legyen!

11 pont

a) Az integrál kiszámítása a Newton-Leibniz formula segítségével: $$ \int_0^p (3x^2 - 24x + 20) dx = \left[ x^3 - 12x^2 + 20x \right]_0^p = p^3 - 12p^2 + 20p $$ Megoldandó a $ p^3 - 12p^2 + 20p = 0 $ egyenlet. Mivel $ p > 0 $, kiemelés és osztás után marad a másodfokú egyenlet: $$ p \cdot (p^2 - 12p + 20) = 0 \implies p^2 - 12p + 20 = 0 $$ Az egyenlet gyökei a Viète-formulák alapján: $$ \mathbf{p_1 = 10, \quad p_2 = 2} $$ Ezek a $ p $ lehetséges értékei.

b) Felírjuk a feltételek szerinti egyenleteket az $ a, b, c $ együtthatókra. 1. Zérushely $ x=2 $-ben ($ f(2)=0 $): $$ 8a + 4b + 2c + 28 = 0 $$ 2. Lokális maximumhely $ x=-4 $-ben. Ez azt jelenti, hogy ott a derivált nulla ($ f'(-4) = 0 $): A függvény deriváltja: $ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $ $$ f'(-4) = 48a - 8b + c = 0 $$ 3. Inflexiós pont $ x=-1 $-ben. Ekkor a második deriváltja nulla ($ f''(-1) = 0 $): A második derivált: $ f''(x) = 6ax + 2b $ $$ f''(-1) = -6a + 2b = 0 \implies 2b = 6a \implies \mathbf{b = 3a} $$ Ezt az eredményt visszahelyettesítjük a második egyenletbe: $$ 48a - 8(3a) + c = 0 \implies 48a - 24a + c = 0 \implies 24a + c = 0 \implies \mathbf{c = -24a} $$ Végül behelyettesítjük mindkettőt az első egyenletbe: $$ 8a + 4(3a) + 2(-24a) + 28 = 0 $$ $$ 8a + 12a - 48a + 28 = 0 $$ $$ -28a + 28 = 0 \implies \mathbf{a = 1} $$ Ebből kapjuk a többi paramétert is: $$ \mathbf{b = 3 \cdot 1 = 3} $$ $$ \mathbf{c = -24 \cdot 1 = -24} $$ A megfelelő feltételekhez (lokális maximum és inflexió is) a derivált és a második derivált előjelének váltásai szükségesek. Mivel $ f''(-4) = 6(1)(-4) + 2(3) = -18 < 0 $, tényleg lokális maximum van $ x=-4 $-nél, és $ f'''(-1) = 6 \neq 0 $, így valóban inflexiós pontról van szó.