2017. Októberi Emelt Szintű Matek Érettségi

a) A kör középpontja a téglalap átlóinak felezőpontja: \( K(15; 24) \).
A kör sugara a középpont és az egyik csúcs távolsága: $$ KA = \sqrt{15^2 + 24^2} = \sqrt{801} \approx 28,3 $$ A kör egyenlete így: \( (x - 15)^2 + (y - 24)^2 = 801 \).

b) A díszteret alkotó kör egyenletét teljes négyzetté alakítva: $$ (x - 18)^2 + (y - 24)^2 = 81 \, (= 9^2) $$ A kör sugara \( r = 9 \) egység, területe \( T_{\text{dísztér}} = 9^2 \pi \approx 254,5 \) területegység.
A park területe \( T_{\text{park}} = 30 \cdot 48 = 1440 \) területegység.
A dísztér területe a park területének $$ \frac{81\pi}{1440} \cdot 100 \approx \mathbf{17,7\%}\text{-a.} $$

c) A sétaút átmegy a \( C(30; 48) \) és a \( P(18; 24) \) pontokon. Az irányvektora \( \mathbf{v} = (30 - 18; 48 - 24) = (12; 24) \). Ebből a normálvektora \( \mathbf{n}(2; -1) \) egyszerűsítve.
Az egyenes egyenlete: \( \mathbf{2x - y = 12} \).
A park területét ott hagyja el, ahol az \( y = 0 \) tengelyt (az \( AB \) oldalt) metszi. Behelyettesítve: \( 2x - 0 = 12 \implies x = 6 \). Tehát az \( M(6; 0) \) pontban.
A sétaút parkon belüli szakaszának (\( CM \)) hossza: $$ CM = \sqrt{(30 - 6)^2 + (48 - 0)^2} = \sqrt{24^2 + 48^2} = \sqrt{2880} \approx 53,7 \text{ egység.} $$ Mivel 1 egység 10 méternek felel meg, a valódi hossz: 537 méter.

a) A levágott kisebbik test egy háromszög alapú gúla, melyet a nagyobbik test felszínének kiszámításakor kivonunk a kocka teljes felszínéből, miközben hozzáadjuk a metszősíkban keletkező \( EGP \) háromszög területét.
A levágott (eltűnő) kockalap-részek:
- Az \( EFG \) derékszögű háromszög területe: \( \frac{6 \cdot 6}{2} = 18 \text{ cm}^2 \).
- Az \( EFP \) és az \( FGP \) derékszögű háromszögek egybevágóak, területük: \( \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \text{ cm}^2 \).
A keletkező \( EGP \) háromszög egyenlő szárú: alapja \( EG = 6\sqrt{2} \approx 8,5 \text{ cm} \), szárai \( PE = PG = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,7 \text{ cm} \).
Az alapjához tartozó magassága a kocka \( BH \) testátlójának a fele, vagyis \( \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \).
A metszetháromszög területe: $$ T_{EGP} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{6} \approx 22,0 \text{ cm}^2 $$ A nagyobbik test felszíne tehát: $$ A = A_{\text{kocka}} - T_{EFG} - 2T_{EFP} + T_{EGP} = 6 \cdot 36 - 18 - 18 + 22,0 = 216 - 36 + 22,0 = \mathbf{202,0 \text{ cm}^2} $$

b) Ha az \( EG \) lapátló felezőpontját \( O \)-val jelöljük, akkor a keresett szög az \( FOP\angle \), mivel \( FO \) és \( PO \) is merőleges a két sík metszésvonalára (\( EG \)).
Az \( FOP \) háromszög az \( F \)-nél derékszögű, melyben \( FP = 3 \text{ cm} \) és \( FO \) a lapátló fele, \( 3\sqrt{2} \text{ cm} \).
A szög tangense: $$ \tan(FOP\angle) = \frac{FP}{FO} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7071 $$ Ebből a hajlásszög: \( FOP\angle \approx 35,3^\circ \).

a) Az összes megadott számjegy összege: \( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \). Mivel négy számjegyet használunk, három kimarad. A kimaradó három számjegy összegének \( 21 - 15 = 6 \)-nak kell lennie.
A 6 felbontásai három különböző számjegy összegére a halmazból: $$ 6 = 5 + 1 + 0 $$ $$ 6 = 4 + 2 + 0 $$ $$ 6 = 3 + 2 + 1 $$ Így a felhasználható négyjegyű halmazok: 1) A \( \{0, 1, 5\} \) marad ki \(\implies\) felhasználjuk a \( \{2, 3, 4, 6\} \) számjegyeket. Ebből \( 4! = 24 \) szám készíthető.
2) A \( \{0, 2, 4\} \) marad ki \(\implies\) felhasználjuk az \( \{1, 3, 5, 6\} \) számjegyeket. Ebből is \( 4! = 24 \) szám készíthető.
3) A \( \{1, 2, 3\} \) marad ki \(\implies\) felhasználjuk a \( \{0, 4, 5, 6\} \) számjegyeket. Itt nem állhat 0 az első helyen, így \( 3 \cdot 3! = 18 \) szám készíthető.
Összesen \( 24 + 24 + 18 = \) 66 megfelelő négyjegyű szám van.

b) A feltétel alapján felírható egyenlet: $$ \binom{n}{4} = 11 \cdot \binom{n}{2} $$ A binomiális együtthatókat kifejtve: $$ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} = 11 \cdot \frac{n(n-1)}{2} $$ Mivel \( n \ge 4 \), tudjuk, hogy \( n(n-1) \neq 0 \), így leoszthatunk vele, illetve az egyenletet rendezve 12-vel szorzunk: $$ (n-2)(n-3) = 11 \cdot 12 \implies (n-2)(n-3) = 132 $$ $$ n^2 - 5n + 6 = 132 \implies n^2 - 5n - 126 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldóképletével a gyökök: \( n_1 = 14 \) és \( n_2 = -9 \). Mivel a halmaz elemszáma pozitív egész, a halmaznak 14 eleme van.

a) Alakítsuk szorzattá a függvényt: $$ g(x) = \frac{1}{6}x^2(3 - 2x) $$ Mivel az \( x^2 \) sosem negatív (és ha \( x \neq 0 \), akkor pozitív), a függvény értéke pontosan akkor lesz negatív, ha a második tényező negatív: $$ 3 - 2x < 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1,5 $$ Tehát az \( ]1,5; \infty[ \) intervallum bármely részhalmaza megfelelő válasz, például a \( ]1,5; 2[ \).

b) Az integrál kiszámítása a határok szerint: $$ \int_0^c \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) dx = \left[ -\frac{x^4}{12} + \frac{x^3}{6} \right]_0^c = -\frac{c^4}{12} + \frac{c^3}{6} $$ Ezt egyenlővé tesszük 0-val és kiemelünk \( c^3 \)-t: $$ c^3 \left( \frac{1}{6} - \frac{c}{12} \right) = 0 $$ Ebből \( c = 0 \), vagy \( \frac{1}{6} = \frac{c}{12} \implies c = 2 \). A lehetséges értékek: 0 és 2.

c) Helyi szélsőérték ott lehet, ahol az első derivált nulla: $$ f'(x) = -x^2 + x + 12 $$ A \( -x^2 + x + 12 = 0 \) másodfokú egyenlet gyökei \( -3 \) és \( 4 \). A \( 4 \) nincs a megadott \( ]-4; -1[ \) értelmezési tartományban.
Megvizsgáljuk a derivált előjelváltását a \( -3 \) környezetében: \( x < -3 \) esetén \( f'(x) < 0 \) (a függvény csökken), míg \( x > -3 \) esetén \( f'(x) > 0 \) (a függvény nő). Így az \( \mathbf{x = -3} \) valóban (abszolút) minimumhely.
A függvény minimális értéke ezen a ponton: $$ f(-3) = -\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} + 12(-3) + 20 = 9 + 4,5 - 36 + 20 = \mathbf{-2,5} $$

a) Ha a kapacitás \( 0,06\% \)-kal csökken, akkor minden ciklus után az előző érték \( 100\% - 0,06\% = 99,94\% \)-ára (vagyis \( 0,9994 \)-szeresére) változik.
350 teljes töltés után a kapacitás szorzója: $$ 0,9994^{350} \approx 0,8105 $$ Tehát az eredeti érték \( 81,05\% \)-a marad meg, a csökkenés pedig körülbelül \( 19\% \)-os.

b) Keresünk egy \( n \) ciklusszámot, amelyre a kapacitás a felére csökken: $$ 0,9994^n = 0,5 $$ Logaritmust alkalmazva: $$ n = \log_{0,9994} 0,5 \approx 1155 \text{ ciklus.} $$ Mivel évente 200 töltési ciklust végeznek, az ehhez szükséges idő: $$ t = \frac{1155}{200} = 5,775 $$ A felezési idő tehát körülbelül 5,8 év.

c) A vevő 3 akkumulátort vásárol a 25-ből, ami összesen \( \binom{25}{3} = 2300 \)-féleképpen lehetséges. A "legfeljebb egy" azt jelenti, hogy 0 vagy 1 akkumulátor kapacitása kisebb 70%-nál (ezekből összesen 10 db van, a maradék 15 db kapacitása 70% fölötti).
- Pontosan 0 db 70% alatti kiválasztása: \( \binom{15}{3} = 455 \) lehetőség.
- Pontosan 1 db 70% alatti kiválasztása: \( \binom{10}{1} \cdot \binom{15}{2} = 10 \cdot 105 = 1050 \) lehetőség.
A keresett valószínűség a megfelelő esetek és az összes eset hányadosa: $$ P = \frac{455 + 1050}{2300} = \frac{1505}{2300} \approx \mathbf{0,654} $$

a) Az állítás megfordítása: Ha egy pozitív egész \( a \) szám osztója egy pozitív egész \( b \) szám négyzetének (\( a|b^2 \)), akkor a \( b \) számnak is osztója (\( a|b \)).
Ez a megfordított állítás hamis. Jó ellenpélda például az \( a = 4 \) és \( b = 2 \). A \( 4 \) osztója a \( 2^2 \)-nek (azaz a 4-nek), de a 4 nem osztója a 2-nek.

b) A feladat szerint az \( n^2 - pn = n(n - p) \) szorzatnak egy \( q \) prímszámot kell adnia.
Mivel prímről van szó, a szorzat egyik tényezőjének \( 1 \)-nek, a másiknak egy prímnek kell lennie. Mivel \( n \) és \( p \) is pozitív, ezért \( n > n - p \), tehát a kisebbik tényező az 1. Így \( n - p = 1 \) és \( n = q \) prím.
Ebből következik, hogy \( n = p + 1 \). Tehát a \( p \) és az \( n \) két szomszédos prímszám. Mivel a 2 az egyetlen páros prím, az egyetlen egymást követő prímszám páros a 2 és a 3. Így \( p = 2 \) és \( n = 3 \) az egyetlen megoldás. Összesen 1 ilyen szám létezik.

c) A gráf csúcsait összekötöttük az összes osztójukkal. Mivel minden egész szám önmagának is osztója, a gráf minden csúcsa össze van kötve önmagával is, azaz hurokéleket tartalmaz. Mivel tartalmaz hurokélt, nem lehet egyszerű gráf.

d) Egy adott szám osztóinak száma határozza meg, hány él fut be hozzá az osztók felől. Mivel minden él pontosan egyszer jön létre két csúcs között (a nagyobb osztja kisebbel viszonya miatt), a gráf éleinek teljes száma egyenlő az 1-től 10-ig terjedő számok osztóinak darabszám-összegével.
Tudjuk, hogy minden négyzetszámnak páratlan számú osztója van, az összes többi számnak pedig páros. 1-től 10-ig pontosan három négyzetszám található: az 1, a 4 és a 9.
Az élek összege három páratlan szám és hét páros szám összege lesz, ami egy páratlan számot eredményez. Ezzel igazoltuk, hogy az élek száma páratlan (pontosan 27).

a) Annak a valószínűsége, hogy legalább egy nyer, a komplementer eseménnyel könnyen kiszámolható (egyik sem nyer): $$ P(\text{legalább egy}) = 1 - P(\text{egyik sem}) = 1 - 0,8^5 = 1 - 0,32768 \approx \mathbf{0,672} $$

b) Az I. eseménynél az első öt csokiból pontosan 2 nyer, és a 2 új csoki egyike sem nyer. A binomiális eloszlás alapján: $$ P(\text{I}) = \binom{5}{2} \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^3 \cdot 0,8^2 = 10 \cdot 0,04 \cdot 0,512 \cdot 0,64 \approx \mathbf{0,131} $$ A II. eseménynél az első öt csokiból pontosan 1 nyer, a nyeremény (6.) csoki szintén nyer, a rá kapott (7.) csoki viszont már nem nyer: $$ P(\text{II}) = \binom{5}{1} \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 5 \cdot 0,2 \cdot 0,4096 \cdot 0,16 \approx \mathbf{0,066} $$ Látható, hogy az I. esemény valószínűsége nagyobb.

c) A csokiszelet térfogata 20%-kal nőtt, így az új térfogat az eredeti 1,2-szerese. Mivel a testek hasonlóak, a térfogatok aránya a hasonlósági arány köbével egyezik meg. A hasonlóság aránya tehát: $$ \lambda = \sqrt[3]{1,2} \approx 1,06266 $$ Ha az eredeti szelet hossza \( x \) centiméter, akkor a megnövelté \( x + 1 \). Felírható a képlet: $$ 1,06266x \approx x + 1 \implies 0,06266x \approx 1 \implies x \approx 15,96 $$ A kerekített válasz: az eredeti csokiszelet hossza 16 cm.

a) Jelölje \( n \) a nők számát az eredeti társaságban. Mivel ők tették ki a 25%-ot, a társaság eredeti létszáma \( 4n \) volt.
Az 5 nő és a 4 férfi (összesen 9 fő) csatlakozása után a nők száma \( n+5 \) lett, a teljes létszám pedig \( 4n+9 \). A nők aránya ekkor 36%, azaz 0,36: $$ \frac{n+5}{4n+9} = 0,36 $$ Felszorozva és átrendezve: $$ n + 5 = 1,44n + 3,24 \implies 1,76 = 0,44n \implies n = 4 $$ Tehát az eredeti társaság \( 4 \cdot 4 = \) 16 fős volt.

b) Helyezzük az ábrát egy derékszögű koordináta-rendszerbe, melynek origója az \( AB \) felezőpontja, az \( F(0; 0) \).
Ekkor a megadott távolságokból adódó koordináták: \( A(-4; 0) \), \( C(0; 6) \), \( D(-2; 0) \) és \( E(-2; 2,5) \).
Az \( A, E, C \) pontokon áthaladó bal oldali parabola egyenlete \( y = ax^2 + bx + c \) alakú. Mivel átmegy a \( C(0; 6) \) ponton, \( c = 6 \).
Az \( A(-4; 0) \) és az \( E(-2; 2,5) \) behelyettesítésével két egyenletet kapunk: 1) \( 0 = 16a - 4b + 6 \implies 4a - b = -1,5 \implies b = 4a + 1,5 \) 2) \( 2,5 = 4a - 2b + 6 \implies 4a - 2(4a + 1,5) = -3,5 \implies -4a - 3 = -3,5 \implies 4a = 0,5 \implies a = 0,125 \) Ebből \( b = 4(0,125) + 1,5 = 2 \).
A parabola egyenlete: \( y = 0,125x^2 + 2x + 6 \).
A homlokzat bal oldali felének területét a görbe alatti területtel határozhatjuk meg az \( [-4; 0] \) intervallumon, integrálással: $$ T_{\text{fél}} = \int_{-4}^{0} (0,125x^2 + 2x + 6) \, dx = \left[ 0,125\frac{x^3}{3} + x^2 + 6x \right]_{-4}^{0} $$ A felső határnál az érték 0. Az alsó határnál: $$ \left( 0,125 \cdot \frac{-64}{3} + 16 - 24 \right) = \left( -\frac{8}{3} - 8 \right) = -\frac{32}{3} $$ A bal oldali terület így \( 0 - \left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} \).
Mivel a homlokzat szimmetrikus, a teljes területe ennek kétszerese: $$ T = 2 \cdot \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \approx \mathbf{21,3 \text{ m}^2} $$

a) A 99 az 50. páratlan szám (\( 2k - 1 = 99 \implies k = 50 \)).
Az oszlopok elemeinek száma sorban 1, 2, 3, 4, stb. Az első 9 oszlopban összesen \( 1 + 2 + \dots + 9 = 45 \) szám található.
Az 50. páratlan szám tehát a következő, azaz a 10. oszlopban helyezkedik el. Ezen belül a \( 50 - 45 = 5 \). helyen áll. Tehát a 10. oszlop 5. helyén.

b) Az első 2016 oszlopban összesen \( \frac{2016 \cdot 2017}{2} = 2\,033\,136 \) darab szám van.
A 2017. oszlop legelső eleme a következő, azaz a 2 033 137. páratlan szám. Ennek az értéke: $$ 2 \cdot 2\,033\,137 - 1 = \mathbf{4\,066\,273} $$

c) Ismert tény, hogy az első \( K \) darab pozitív páratlan szám összege \( K^2 \).
Az első \( n \) oszlopban lévő számok darabszáma egy számtani sorozat összegeként: \( K_n = \frac{n(n+1)}{2} \).
Az első \( n \) oszlopban álló összes szám összege így: \( K_n^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \).
Hasonlóan, az első \( n-1 \) oszlopban lévő számok összege: \( K_{n-1}^2 = \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 \).
Az \( n \)-edik oszlopban álló számok összege e két érték különbsége, mivel a számok folyamatosan nőnek: $$ S_n = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n^2(n-1)^2}{4} $$ A kifejezést \( \frac{n^2}{4} \)-et kiemelve rendezhetjük: $$ S_n = \frac{n^2}{4} \left[ (n+1)^2 - (n-1)^2 \right] = \frac{n^2}{4} \left[ (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) \right] = \frac{n^2}{4} \cdot 4n = \mathbf{n^3} $$ Ezzel az állítást elegánsan igazoltuk minden pozitív egész \( n \)-re.