2016. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

14 pont

Egy városi piacon a piros almát 5 kg-os csomagolásban árulják. A csomagokon olvasható felirat szerint egy-egy csomag tömege „5 kg $\pm$ 10 dkg”. (Az almák nagy mérete miatt az 5 kg pontosan nem mérhető ki.) A minőség-ellenőrzés során véletlenszerűen kiválasztanak nyolc csomagot, és ezek tömegét méréssel ellenőrzik. Csak akkor engedélyezik az almák árusítását, ha egyik csomag tömege sem kevesebb 4 kg 90 dkg-nál, és a nyolc mérési adat 5 kg-tól mért átlagos abszolút eltérése nem haladja meg a 10 dkg-ot.
A mérések eredménye a következő:

mérés sorszáma	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
mért tömeg (dkg)	506	491	493	512	508	517	493	512

a

A mérési eredmények alapján engedélyezik-e az almák árusítását?

4 pont

b

Határozza meg a nyolc mérési eredmény átlagát és szórását!

3 pont

A piac egyik eladójához friss eper érkezett. Az eladó eredetileg azt tervezte, hogy az I. osztályú epret 800 Ft/kg, a II. osztályút 650 Ft/kg, a III. osztályút pedig 450 Ft/kg egységáron értékesíti. A piacon azonban túlkínálat volt eperből, ezért úgy döntött, hogy az összes epret egy kupacba önti össze, és akciós egységáron árulja. Az akciós eladási egységár kialakításakor úgy számolt, hogy ha az összes epret ezen az egységáron adja el, akkor a bevétele (körülbelül) 15%-kal lesz csak kevesebb, mint azt eredetileg tervezte.

c

Mennyi legyen az akciós egységár, ha az összeöntött eper 35%-a I. osztályú, $\frac{3}{8}$ része II. osztályú, a többi 33 kg pedig III. osztályú volt eredetileg?
Válaszát egész értékre kerekítve adja meg!

7 pont

a) A mért tömegek között nincs 490 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül.
Az 5 kg-tól (500 dkg-tól) való abszolút eltérések rendre (dkg-ban): $6, 9, 7, 12, 8, 17, 7, 12$.
Az eltérések átlaga: $$ \frac{78}{8} = 9,75 \text{ dkg} $$ Mivel $9,75 \le 10$, így az árusítást engedélyezik.

b) A mért adatok átlaga: $$ \bar{x} = \frac{4032}{8} = \mathbf{504 \text{ dkg}} $$ A szórás kiszámítása: $$ \sigma = \sqrt{\frac{2 \cdot 13^2 + 2 \cdot 11^2 + 2 \cdot 8^2 + 4^2 + 2^2}{8}} = \sqrt{\frac{728}{8}} = \sqrt{91} \approx \mathbf{9,54 \text{ dkg}} $$

c) A III. osztályú eper aránya az összesből: $$ 1 - \left( \frac{7}{20} + \frac{3}{8} \right) = \frac{11}{40} $$ Az összes eper együttes tömege: $$ 33 : \frac{11}{40} = 120 \text{ kg} $$ Ebből I. osztályú: $120 \cdot 0,35 = 42$ kg, II. osztályú: $120 - 33 - 42 = 45$ kg.
Az eredetileg tervezett árakkal számolva a bevétel: $$ 42 \cdot 800 + 45 \cdot 650 + 33 \cdot 450 = 77\,700 \text{ Ft} $$ Ennek a 85%-a lesz az új bevétel: $$ 77\,700 \cdot 0,85 = 66\,045 \text{ Ft} $$ Az akciós egységár: $$ \frac{66\,045}{120} = 550,375 \text{ Ft/kg} $$ Kerekítve az akciós egységár 550 Ft/kg legyen.

2

10 pont

Egy dobozban 6 fehér és 4 piros golyó van. A 10 golyó közül véletlenszerűen kiválasztanak 5 golyót. Egy tanuló ezt állítja: „Annak a valószínűsége, hogy az 5 kihúzott golyó között 2 fehér lesz, megegyezik annak a valószínűségével, hogy 4 fehér lesz közöttük.”

a

Mutassa meg, hogy ha a golyókat visszatevés nélkül húzzák ki, akkor a tanuló kijelentése igaz!

5 pont

b

A valószínűségek kiszámításával mutassa meg, hogy ha az 5 golyót visszatevéssel húzzák ki, akkor a tanuló kijelentése nem igaz!

5 pont

a) Az összes eset száma $\binom{10}{5} = 252$.
A 2 fehér (és 3 piros) golyó húzásának valószínűsége: $$ P(2 \text{ fehér}) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{3}}{\binom{10}{5}} $$ A 4 fehér (és 1 piros) golyó húzásának valószínűsége: $$ P(4 \text{ fehér}) = \frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{10}{5}} $$ Mivel $\binom{6}{2} = \binom{6}{4}$ és $\binom{4}{3} = \binom{4}{1}$, a két valószínűség egyenlő ($ \frac{60}{252} \approx 0,238 $), tehát a tanuló kijelentése igaz.

b) Visszatevéses húzás esetén a fehér golyó húzásának valószínűsége állandó $p = \frac{6}{10} = 0,6$, a pirosé $q = 0,4$. Binomiális eloszlást alkalmazva:
A 2 fehér golyó húzásának valószínűsége: $$ P(2 \text{ fehér}) = \binom{5}{2} \cdot 0,6^2 \cdot 0,4^3 \approx 0,230 $$ A 4 fehér golyó húzásának valószínűsége: $$ P(4 \text{ fehér}) = \binom{5}{4} \cdot 0,6^4 \cdot 0,4^1 \approx 0,259 $$ Mivel $0,230 \neq 0,259$, a két valószínűség különbözik, így a tanuló kijelentése nem igaz.

3

13 pont

a

Egy számtani sorozat differenciája 1,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorrendben) tekinthetjük egy mértani sorozat első három tagjának is. Határozza meg ezt a három számot!

6 pont

Tekintsük a következő állítást:
Ha az $\{a_n\}$ számsorozat konvergens, akkor az $\{a_n\}$ sorozat értékkészlete véges számhalmaz. (Véges halmaz: elemeinek száma megadható egy természetes számmal.)

b

Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!

3 pont

c

Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!

4 pont

a) Legyen a számtani sorozat első tagja $a$. Ekkor a 3. tag $a + 2 \cdot 1,6 = a + 3,2$, a 7. tag pedig $a + 6 \cdot 1,6 = a + 9,6$.
A mértani sorozat tulajdonsága alapján a középső elem négyzete megegyezik a két szomszéd szorzatával: $$ (a + 3,2)^2 = a \cdot (a + 9,6) $$ $$ a^2 + 6,4a + 10,24 = a^2 + 9,6a $$ Rendezve az egyenletet: $$ 3,2a = 10,24 \implies a = 3,2 $$ A keresett három szám tehát: 3,2; 6,4; 12,8. (A kvóciens $q = 2$).

b) Az állítás hamis.
Ellenpélda: Tekintsük az $a_n = \frac{1}{n}$ sorozatot. Ez a sorozat konvergens (a 0-hoz tart), viszont az értékkészlete végtelen sok különböző elemből áll ($1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$).

c) A megfordított állítás: Ha az $\{a_n\}$ sorozat értékkészlete véges számhalmaz, akkor az $\{a_n\}$ számsorozat konvergens.
A megfordított állítás hamis.
Ellenpélda: Tekintsük az $a_n = (-1)^n$ sorozatot. Ennek értékkészlete véges, mindössze két elemből áll ($\{-1; 1\}$), a sorozat azonban divergens, nincs határértéke.

4

14 pont

a

A $PQRS$ húrnégyszöget a $PR$ és a $QS$ átlók megrajzolásával négy háromszögre bontottuk. Igazolja, hogy ezek közül a két-két szemközti háromszög hasonló egymáshoz!

4 pont

Az $ABCD$ húrnégyszög $AB$ oldala a négyszög körülírt körének egyik átmérője. A négyszög $BC$ oldala 3 cm, a $CD$ oldala 5 cm hosszú, továbbá $BCD\angle = 120^\circ$.

b

Számítsa ki a négyszög $BD$ átlójának, $AB$ oldalának és $AD$ oldalának hosszát, valamint a négyszög többi szögét!

10 pont

a) Jelölje az átlók metszéspontját $E$. A kerületi szögek tétele miatt az azonos ívhez tartozó kerületi szögek egyenlőek. Így a $PQ$ ívhez tartozó szögekre $PSQ\angle = PRQ\angle$, a $SR$ ívhez tartozó szögekre pedig $SQR\angle = SPR\angle$.
Ezen kívül a metszéspontnál lévő szögek (pl. $PEQ\angle$ és $SER\angle$) csúcsszögek, tehát egyenlőek.
Mivel a két szemközti háromszög szögei páronként megegyeznek, ezért hasonlóak egymáshoz. Ugyanígy igazolható a másik két szemközti háromszög hasonlósága is.

b) A $BCD$ háromszögben felírjuk a koszinusztételt a $BD$ oldalra: $$ BD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ $$ $$ BD^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 $$ Ebből $BD = 7 \text{ cm}$.
Mivel $ABCD$ húrnégyszög, a szemközti szögek összege $180^\circ$, ezért $DAB\angle = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Az $AB$ szakasz a körülírt kör átmérője, így a Thalész-tétel miatt az $ADB\angle = 90^\circ$.
Az $ABD$ derékszögű háromszögben alkalmazva a szögfüggvényeket: $$ AD = BD \cdot \cot 60^\circ = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \mathbf{\frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4,04 \text{ cm}} $$ $$ AB = \frac{BD}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \mathbf{\frac{14\sqrt{3}}{3} \approx 8,08 \text{ cm}} $$ (Ugyanezt megkaphatjuk abból, hogy a 60 fokos derékszögű háromszög egy szabályos háromszög fele, így $AB = 2 \cdot AD$.)
A további szögek meghatározásához alkalmazzuk a szinusztételt a $BCD$ háromszögben: $$ \frac{\sin CBD\angle}{\sin 120^\circ} = \frac{5}{7} \implies \sin CBD\angle = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} \approx 0,6186 $$ Mivel $CBD\angle$ csak hegyesszög lehet, $CBD\angle \approx 38,2^\circ$.
Az $ABD$ háromszög harmadik szöge $ABD\angle = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Így a teljes $ABC\angle = 30^\circ + 38,2^\circ = \mathbf{68,2^\circ}$.
Végül a húrnégyszög szemközti szögeire vonatkozó tétel miatt $ADC\angle = 180^\circ - 68,2^\circ = \mathbf{111,8^\circ}$.

5

16 pont

Oldja meg a $[4; 6]$ alaphalmazon az alábbi egyenleteket, illetve egyenlőtlenséget!

a

$ \big| 5 - |x| \big| = 3 $

3 pont

b

$ \sqrt{2x - 3} = \sqrt{x + 10} - 1 $

6 pont

c

$ 2\cos^2 x + \cos x - 1 \le 0 $

7 pont

a) Mivel az alaphalmaz a $[4; 6]$ intervallum, $x$ pozitív, így $|x| = x$. Az egyenlet a következőképpen alakul: $$ |5 - x| = 3 $$ Ebből két eset lehetséges: $$ 5 - x = 3 \implies x = 2 $$ $$ 5 - x = -3 \implies x = 8 $$ Ezen értékek egyike sincs benne a $[4; 6]$ alaphalmazban, ezért az egyenletnek nincs megoldása ezen a halmazon.

b) Mindkét oldalt négyzetre emelve (figyelembe véve, hogy hamis gyökök keletkezhetnek): $$ 2x - 3 = x + 10 + 1 - 2\sqrt{x + 10} $$ $$ x - 14 = -2\sqrt{x + 10} \implies 14 - x = 2\sqrt{x + 10} $$ Újra négyzetre emelve: $$ 196 - 28x + x^2 = 4(x + 10) $$ $$ x^2 - 32x + 156 = 0 $$ A másodfokú egyenlet megoldóképletével: $$ x_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 624}}{2} = \frac{32 \pm 20}{2} \implies x_1 = 26, \quad x_2 = 6 $$ A 26 nem eleme a $[4; 6]$ alaphalmaznak. A 6 eleme, de ellenőriznünk kell: Bal oldal: $\sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3$.
Jobb oldal: $\sqrt{6 + 10} - 1 = 4 - 1 = 3$.
Mivel a két oldal egyenlő, az egyetlen helyes megoldás $x = 6$.

c) Vezessünk be egy új változót: $y = \cos x$. Az egyenlőtlenség: $$ 2y^2 + y - 1 \le 0 $$ A $2y^2 + y - 1 = 0$ egyenlet gyökei $y_1 = -1$ és $y_2 = 0,5$. Az egyenlőtlenség megoldása: $$ -1 \le \cos x \le 0,5 $$ A $\cos x \ge -1$ minden valós $x$-re teljesül, így csak a $\cos x \le 0,5$ feltételt kell vizsgálnunk a $[4; 6]$ intervallumon.
A $[4; 6]$ intervallum a $[\pi; 2\pi]$ tartomány része, ahol a koszinusz függvény szigorúan monoton növekszik. A $ \cos x = 0,5 $ egyenlet megoldása ezen a tartományon $x = \frac{5\pi}{3} \approx 5,24$.
A szigorú monotonitás miatt az egyenlőtlenség megoldáshalmaza az alaphalmazon: $$ \mathbf{4 \le x \le \frac{5\pi}{3}} $$

6

16 pont

a

Legyen $G$ egy nyolcpontú egyszerű gráf, amelynek összesen 9 éle van. Igazolja, hogy $G$ csúcsai között biztosan van olyan, amelynek a fokszáma legalább 3.

4 pont

b

Az $A, B, C, D, E, F, G, H$ pontok egy szabályos nyolcszög csúcsai. Megrajzoljuk a nyolcszög oldalait és átlóit. A megrajzolt szakaszok közül véletlenszerűen kiválasztunk négyet. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mind a négy kiválasztott szakasz az $A$ csúcsból indul ki!

6 pont

c

Nyolc sakkozó részére egyéni bajnokságot szerveznek. Hányféleképpen készíthető el az első forduló párosítása, ha ebben a fordulóban mindenki egy mérkőzést játszik? (Két párosítást különbözőnek tekintünk, ha az egyik tartalmaz olyan mérkőzést, amelyet a másik nem.)

6 pont

a) Alkalmazzunk indirekt bizonyítást. Tegyük fel, hogy minden csúcs fokszáma legfeljebb 2. Ekkor a fokszámok összege maximum $8 \cdot 2 = 16$ lenne.
Tudjuk azonban, hogy bármely gráfban a fokszámok összege az élek számának kétszerese, vagyis jelen esetben $2 \cdot 9 = 18$.
Mivel $18 > 16$, ellentmondásra jutottunk, tehát kell lennie legalább egy olyan csúcsnak, melynek fokszáma legalább 3.

b) A szabályos nyolcszög összes szakaszának (oldalak és átlók együttes) száma a nyolc csúcsból választható kétpontos részhalmazok száma: $\binom{8}{2} = 28$.
Ebből a 28 szakaszból választunk 4-et, így az összes esetek száma: $\binom{28}{4} = 20\,475$.
Egy adott csúcsból (pl. az $A$-ból) pontosan $8 - 1 = 7$ szakasz indul ki. Ahhoz, hogy mind a 4 kiválasztott szakasz az $A$-ból induljon, ebből a 7-ből kell kiválasztanunk 4-et. A kedvező esetek száma: $\binom{7}{4} = 35$.
A keresett valószínűség: $$ P = \frac{\binom{7}{4}}{\binom{28}{4}} = \frac{35}{20\,475} = \mathbf{\frac{1}{585} \approx 0,0017} $$

c) A párosítások számát logikusan lépésenként is felépíthetjük. Válasszunk ki egy tetszőleges sakkozót az első párba, őt 7-féleképpen sorsolhatjuk valakivel. A maradék 6 emberből egyet ismét kiemelve, neki 5-féleképpen választhatunk ellenfelet. A fennmaradó 4-ből egy kiválasztottnak 3 ellenfele lehet, míg az utolsó 2 ember kötelezően egymással játszik (1 lehetőség).
Mivel ez a gondolatmenet a sorrendet nem veszi figyelembe, csak magukat a párokat alakítja ki, a teljes szám egyszerűen a lehetőségek szorzata: $$ 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = \mathbf{105} $$ (Ugyanez megkapható a $\frac{\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{4!}$ formulával is.)

7

16 pont

Adott az $f$, a $g$ és a $h$ függvény:
$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x) = 2^x - 1 $ ;
$ g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; g(x) = 3x + 2 $ ;
$ h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; h(x) = 12 - x^2 $ .

a

Legyen a $k$ összetett függvény belső függvénye az $f$ és külső függvénye a $h$ (vagyis $k(x) = h(f(x))$ minden $x$ valós szám esetén). Igazolja, hogy $ k(x) = 11 + 2^{x+1} - 4^x $ !

3 pont

b

Oldja meg az $f(g(x)) < g(f(x))$ egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

7 pont

c

Mekkora a $h$ és az $x \mapsto -4 \quad (x \in \mathbb{R})$ függvények görbéi által közbezárt (korlátos) terület?

6 pont

a) A kompozíció behelyettesítéssel: $$ k(x) = h(f(x)) = 12 - (2^x - 1)^2 $$ Bontsuk fel a zárójelet a nevezetes azonosság segítségével: $$ k(x) = 12 - (2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 1) = 12 - 4^x + 2^{x+1} - 1 $$ Összevonva a konstansokat megkapjuk a kért alakot: $$ k(x) = \mathbf{11 + 2^{x+1} - 4^x} $$ Az állítást ezzel igazoltuk.

b) Írjuk fel az egyenlőtlenséget az összetett függvényekkel: $$ 2^{3x+2} - 1 < 3(2^x - 1) + 2 $$ Végezzük el az átalakításokat az exponenciális azonosságok felhasználásával: $$ 4 \cdot 2^{3x} - 1 < 3 \cdot 2^x - 1 $$ Rendezzük egy oldalra az egyenletet. Vezessünk be új változót: legyen $ y = 2^x $, ahol $ y > 0 $: $$ 4y^3 < 3y \implies 4y^3 - 3y < 0 \implies y(4y^2 - 3) < 0 $$ Mivel $y > 0$, így oszthatunk vele az egyenlőtlenség irányának változása nélkül: $$ 4y^2 - 3 < 0 \implies y^2 < \frac{3}{4} $$ A pozitív tartományban ez azt jelenti, hogy $ y < \frac{\sqrt{3}}{2} $. Visszahelyettesítve: $$ 2^x < \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Mivel a 2-es alapú exponenciális függvény szigorúan monoton nő, vehetjük mindkét oldal kettes alapú logaritmusát: $$ x < \log_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$ (Ami ekvivalens a $\log_4 0,75$ alakkal is.)

c) Elsőként határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: $$ 12 - x^2 = -4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ A $[-4; 4]$ intervallumon a parabola a konstans $-4$ egyenes fölött halad. A közbezárt területet a határozott integrállal számítjuk ki: $$ T = \int_{-4}^{4} (12 - x^2 - (-4)) \, dx = \int_{-4}^{4} (16 - x^2) \, dx $$ Elvégezve az integrálást: $$ T = \left[ 16x - \frac{x^3}{3} \right]_{-4}^{4} $$ Behelyettesítve a határokat: $$ T = \left( 64 - \frac{64}{3} \right) - \left( -64 - \frac{-64}{3} \right) = \left( \frac{128}{3} \right) - \left( -\frac{128}{3} \right) = \mathbf{\frac{256}{3}} $$

8

16 pont

Egy kisüzemi meggymagozó-adagoló gép 0,01 valószínűséggel nem távolítja el a magot a meggyből, mielőtt a meggyszemet az üvegbe teszi. A magozógépen áthaladt szemek közül 120-120 darab kerül egy-egy üvegbe.

a

Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott üvegben legalább 2 darab magozatlan szem van!

5 pont

A termelés során keletkezett hulladékot nagy méretű konténerbe gyűjtik, melyet minden nap végén kiürítenek és kitisztítanak.
A konténer egyenes hasáb alakú. A hasáb magassága 2 m, alaplapja húrtrapéz (felső alapja 3 m, alsó alapja 1,8 m, szárai 1 m hosszúak). A konténert vízszintes felületen, az $1,8 \text{ m} \times 2 \text{ m}$-es (téglalap alakú) lapjára állítva helyezik el.

b

Számítsa ki a hasáb térfogatát!
Határozza meg, hogy milyen magasan áll a konténerben a tisztításához beletöltött 2,7 m$^3$ térfogatú folyadék!

11 pont

a) Az ilyen típusú feladatokat a legkönnyebb a komplementer esemény segítségével megoldani. A "legalább 2 magozatlan szem" komplementere a "0 vagy 1 magozatlan szem van az üvegben".
A mag bent maradásának valószínűsége $p = 0,01$, a mag eltávolításáé $q = 0,99$. A binomiális eloszlást alkalmazzuk ($n = 120$):
A 0 magozatlan szem valószínűsége: $$ P(X=0) = \binom{120}{0} \cdot 0,01^0 \cdot 0,99^{120} \approx 0,2994 $$ Az 1 magozatlan szem valószínűsége: $$ P(X=1) = \binom{120}{1} \cdot 0,01^1 \cdot 0,99^{119} \approx 0,3629 $$ A keresett valószínűség tehát a kettő összegének komplementere: $$ P(X \ge 2) = 1 - (0,2994 + 0,3629) = 1 - 0,6623 = \mathbf{0,3377} $$

b) Először kiszámoljuk a hasáb húrtrapéz alakú alaplapjának területét. A trapéz magassága Pitagorasz-tétellel számolható a levágott derékszögű háromszögekből: $$ m_{\text{trapéz}} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{3 - 1,8}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 - 0,6^2} = 0,8 \text{ m} $$ A trapéz területe: $$ T = \frac{3 + 1,8}{2} \cdot 0,8 = 1,92 \text{ m}^2 $$ A hasáb térfogata, mivel magassága 2 m: $$ V = T \cdot M = 1,92 \cdot 2 = \mathbf{3,84 \text{ m}^3} $$ Amikor 2,7 m$^3$ folyadékot töltenek a konténerbe (mely az $1,8 \text{ m} \times 2 \text{ m}$-es lapján áll), a folyadék is egy hasábot formáz, amelynek hossza szintén 2 m. Az új "alaplap" (vízszintes trapéz rész) területe: $$ T_{\text{folyadék}} = \frac{2,7}{2} = 1,35 \text{ m}^2 $$ Legyen a folyadék magassága $x$. Az alsó él hossza 1,8 m, a felső vízszint szélessége a hasonlóság miatt $1,8 + 2y$, ahol $\frac{y}{x} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75$, azaz $y = 0,75x$. A felső él hossza tehát $1,8 + 1,5x$.
Ebből felírható a terület képlete $x$-re: $$ \frac{1,8 + (1,8 + 1,5x)}{2} \cdot x = 1,35 $$ $$ (1,8 + 0,75x) \cdot x = 1,35 \implies 0,75x^2 + 1,8x - 1,35 = 0 $$ Megoldva a másodfokú egyenletet: $$ x_{1,2} = \frac{-1,8 \pm \sqrt{1,8^2 - 4 \cdot 0,75 \cdot (-1,35)}}{1,5} = \frac{-1,8 \pm 2,7}{1,5} $$ A pozitív megoldás $x = 0,6 \text{ m}$. A folyadék tehát 60 cm magasan áll.

9

16 pont

A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsített matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömegét az $ f(x) = \frac{1}{20}(x^2 - 1800x + 950\,000) $ összefüggés adja meg. Ebben az összefüggésben $x$ a repülési átlagsebesség km/h-ban ($x > 0$), $f(x)$ pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban.

a

A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg?

5 pont

Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km.

b

Igazolja, hogy $v$ km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyag-felhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) $ 279v - 502\,200 + \frac{265\,050\,000}{v} $ kg lesz! ($v > 0$)

3 pont

A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek $v$ átlagsebességére teljesül, hogy $ 800 \text{ km/h} \le v \le 1100 \text{ km/h} $.

c

A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás?

8 pont

a) Az $ f(x) $ függvény egy másodfokú, felfelé nyíló parabola. Minimumát a derivált nullapontjában, vagy teljes négyzetté kiegészítéssel kaphatjuk meg. Deriválással: $$ f'(x) = \frac{1}{20}(2x - 1800) = 0 \implies x = 900 $$ Tehát a fogyasztás 900 km/h átlagsebesség esetén minimális.
A fogyasztás ekkor: $$ f(900) = \frac{1}{20}(900^2 - 1800 \cdot 900 + 950\,000) = \frac{1}{20}(-810\,000 + 950\,000) = \frac{140\,000}{20} = \mathbf{7000 \text{ kg}} $$

b) A repülési idő $t = \frac{5580}{v}$ óra. A teljes fogyasztás az egy órára eső fogyasztás és az idő szorzata: $$ \text{Fogyasztás} = t \cdot f(v) = \frac{5580}{v} \cdot \frac{1}{20}(v^2 - 1800v + 950\,000) $$ $$ = \frac{279}{v}(v^2 - 1800v + 950\,000) = \mathbf{279v - 502\,200 + \frac{265\,050\,000}{v}} $$ Az igazolás ezzel megtörtént.

c) Legyen $ g(v) = 279v - 502\,200 + \frac{265\,050\,000}{v} $. Vizsgáljuk a függvény szélsőértékeit a derivált segítségével: $$ g'(v) = 279 - \frac{265\,050\,000}{v^2} $$ Szélsőérték ott lehet, ahol a derivált nulla: $$ 279 = \frac{265\,050\,000}{v^2} \implies v^2 = 950\,000 \implies v = \sqrt{950\,000} \approx 974,68 \text{ km/h} $$ Mivel $g''(v) > 0$, ez a pont a függvény (abszolút) minimumhelye. Így a $ [800; 1100] $ intervallumon a függvény a minimumig szigorúan csökken, utána szigorúan növekszik. A legkisebb üzemanyag-felhasználás eszerint a $v = \sqrt{950\,000} \approx \mathbf{975 \text{ km/h}} $ sebesség esetén adódik.
A legnagyobb fogyasztás helye az intervallum valamelyik végpontja lesz, így ellenőrizzük azokat is: $$ g(800) = 279 \cdot 800 - 502\,200 + \frac{265\,050\,000}{800} = 223\,200 - 502\,200 + 331\,312,5 = 52\,312,5 \text{ kg} $$ $$ g(1100) = 279 \cdot 1100 - 502\,200 + \frac{265\,050\,000}{1100} \approx 306\,900 - 502\,200 + 240\,954,5 = 45\,654,5 \text{ kg} $$ Összehasonlítva az értékeket, a legnagyobb fogyasztás 800 km/h sebesség esetén lesz.