2015. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

13 pont

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!

a

$ \sin x - \cos^2 x = -1 $

6 pont

b

$ |x - |x|| = 2x + 1 $

7 pont

a) Alkalmazzuk a $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $ helyettesítést:

$$ \sin x - (1 - \sin^2 x) = -1 $$ $$ \sin^2 x + \sin x = 0 $$

Szorzattá alakítva: $ \sin x \cdot (\sin x + 1) = 0 $.

A két lehetséges eset:

$ \sin x = 0 $, amiből $ \mathbf{x = k \cdot \pi} $, ahol $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \sin x = -1 $, amiből $ \mathbf{x = \frac{3\pi}{2} + l \cdot 2\pi} $, ahol $ l \in \mathbb{Z} $.

b) Az abszolútérték miatt két esetet vizsgálunk meg.

1. eset: Ha $ x \ge 0 $, akkor $ |x| = x $.

Ekkor az egyenlet: $ |x - x| = 2x + 1 \implies 0 = 2x + 1 \implies x = -\frac{1}{2} $.

Mivel feltettük, hogy $ x \ge 0 $, ez nem megoldás.

2. eset: Ha $ x < 0 $, akkor $ |x| = -x $.

Ekkor az egyenlet: $ |x - (-x)| = 2x + 1 \implies |2x| = 2x + 1 $.

Mivel $ x < 0 $, ezért $ 2x < 0 $, így $ |2x| = -2x $.

Az egyenlet: $ -2x = 2x + 1 \implies -4x = 1 \implies \mathbf{x = -\frac{1}{4}} $.

Ellenőrzés: bal oldal $ | -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} | = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} $. Jobb oldal: $ 2(-\frac{1}{4}) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $. A megoldás helyes.

2

11 pont

Egy televíziókészülék termékleírásában szereplő „16:9-es típus” azt adja meg, hogy mennyi a téglalap alakú tv-képernyő két szomszédos oldalhosszának aránya, a „40 colos” jellemző pedig a képernyő átlójának a hosszát adja meg col-ban (1 col $ \approx $ 2,54 cm).

a

Számítsa ki a 40 colos, 16:9-es képernyő oldalainak hosszát! Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

6 pont

b

Két 16:9-es képernyő közül az elsőnek 69%-kal nagyobb a területe, mint a másodiknak. Hány százalékkal nagyobb az első képernyő átlója, mint a másodiké?

5 pont

a) Az átló hossza cm-ben: $ 40 \text{ col} = 40 \cdot 2,54 = 101,6 \text{ cm} $.

Jelölje a képernyő oldalainak hosszát cm-ben $ 16x $ és $ 9x $ ($ x > 0 $). A Pitagorasz-tétel szerint:

$$ (16x)^2 + (9x)^2 = 101,6^2 $$ $$ 256x^2 + 81x^2 = 10322,56 $$ $$ 337x^2 = 10322,56 \implies x \approx 5,535 \text{ cm} $$

A képernyő oldalainak hossza tehát: $ 16x \approx \mathbf{88,6 \text{ cm}} $ és $ 9x \approx \mathbf{49,8 \text{ cm}} $.

b) Mivel mindkét képernyő 16:9-es oldalarányú, ezért a két képernyő (mint téglalap) hasonló.

Az első képernyő területe a második területének $ 1 + 0,69 = 1,69 $-szerese. A hasonló síkidomok területének aránya a hasonlósági arányszám ($ \lambda $) négyzete:

$$ \lambda^2 = 1,69 \implies \lambda = \sqrt{1,69} = 1,3 $$

A hasonlósági arány megadja a megfelelő hosszúságok (így az átlók) arányát is. Az első képernyő átlója 1,3-szorosa a másodikénak, azaz 30%-kal nagyobb.

3

13 pont

Egy kisvárosban hét nagyobb üzlet található. A tavalyi évben elért, millió forintra kerekített árbevételeikről tudjuk, hogy az átlaguk 120 millió Ft, és ez megegyezik a mediánjukkal. A hét adat egyetlen módusza 100 millió Ft. Két üzletben éppen átlagos, azaz 120 millió forintos a kerekített bevétel, a legnagyobb bevétel pedig 160 millió forint volt.

a

Számítsa ki a kerekített bevételek szórását!

6 pont

A városban az egyik ruhakereskedéssel foglalkozó kisvállalkozás 80%-os haszonkulccsal dolgozik. Ez azt jelenti, hogy például egy 10 000 Ft-os beszerzési értékű terméket 18 000 Ft-ért árulnak az üzletükben. Amikor akciós időszak van, akkor a „rendes” eladási árból 50%-os árengedményt adnak minden eladott termékre.

b

Mekkora volt az eladásból származó árbevételnek és az eladott áru beszerzési értékének a különbsége (vagyis az „árnyereség”) a tavalyi évben, ha összesen 54 millió Ft volt az éves árbevétel, és ebből 9 millió Ft-ot az akciós időszakban értek el?

4 pont

A kisvállalkozás üzletében az egyik fajta férfizakóból négyféle méretet árusítanak (S, M, L, XL). Nyitáskor egy rögzített állvány egyenes rúdjára mindegyik méretből 4-4 darabot helyeztek el (minden zakót külön vállfára akasztva, egymás mellett). A nap folyamán ezek közül megvettek 4 darab S-es, 3 darab M-es és 2 darab L-es méretűt, a megmaradt zakók pedig összekeveredtek.

c

Az üzlet zárásakor hányféle sorrendben lehetnek (balról jobbra nézve) a rúdra akasztva a megmaradt zakók, ha az azonos méretű zakókat nem különböztetjük meg egymástól?

3 pont

a) Az átlag 120, a 7 adat összege így $ 7 \cdot 120 = 840 $.

A medián 120, és két üzletnek is 120 a bevétele. Mivel a módusz (a leggyakoribb elem) egyetlen szám, és ez 100, ezért a 100-nak legalább háromszor kell szerepelnie (hiszen a 120 már kétszer szerepel). Mivel a medián (a sorbarendezett adatok közül a 4.) 120, a 100 pontosan háromszor szerepelhet.

A legnagyobb elem 160. Tehát az eddigi adatok növekvő sorrendben: 100, 100, 100, 120, 120, $ x $, 160.

Kiszámoljuk a hiányzó $ x $ elemet:

$$ 100 + 100 + 100 + 120 + 120 + x + 160 = 840 $$ $$ 700 + x = 840 \implies x = 140 $$

A hét adat tehát: 100, 100, 100, 120, 120, 140, 160. A szórás kiszámítása:

$$ \sigma = \sqrt{ \frac{3 \cdot (100-120)^2 + 2 \cdot (120-120)^2 + (140-120)^2 + (160-120)^2}{7} } $$ $$ \sigma = \sqrt{ \frac{3 \cdot 400 + 0 + 400 + 1600}{7} } = \sqrt{ \frac{3200}{7} } \approx \mathbf{21,4 \text{ millió Ft}} $$

b) A normál eladási ár az árbevétel alapja. Ha az eladott árukat akció nélkül adták volna el, akkor a 9 millió Ft-os akciós bevétel (ami az 50%-os kedvezmény miatt keletkezett) kétszerese, azaz 18 millió Ft lett volna.

A rendes eladási ár árengedmény nélkül összesen:

$$ (54 - 9) + 18 = 45 + 18 = 63 \text{ millió Ft} $$

A 80%-os haszonkulcs azt jelenti, hogy a rendes eladási ár a beszerzési érték 1,8-szorosa. Tehát az eladott áruk összes beszerzési értéke:

$$ \frac{63}{1,8} = 35 \text{ millió Ft} $$

Az árnyereség (bevétel mínusz beszerzési érték):

$$ 54 - 35 = \mathbf{19 \text{ millió Ft}} $$

c) A megmaradt zakók száma méretenként: S-ből 0 db, M-ből 1 db (4-3), L-ből 2 db (4-2) és XL-ből 4 db (4-0). Ez összesen 7 darab zakó.

Az azonos méretűeket nem különböztetjük meg, így egy ismétléses permutációs feladattal állunk szemben:

$$ P_{7}^{1, 2, 4} = \frac{7!}{1! \cdot 2! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \mathbf{105} \text{ féle sorrend} $$

4

14 pont

Adott a derékszögű koordináta-rendszerben három pont: $ A(-16; 10) $, $ B(2; 4) $, $ C(10; 2) $.

a

Számítsa ki az $ ABC $ háromszög $ B $ csúcsánál fekvő belső szögét!

6 pont

b

A $ K $ pont egyenlő távolságra van $ A $-tól, $ B $-től és $ C $-től. Határozza meg a $ K $ pont koordinátáit!

8 pont

a) Elegánsan vektorok segítségével dolgozunk. A $ B $-nél lévő szöget a $ \vec{BA} $ és $ \vec{BC} $ vektorok zárják be.

A vektorok koordinátái:

$$ \vec{BA} = (-16 - 2; 10 - 4) = (-18; 6) $$ $$ \vec{BC} = (10 - 2; 2 - 4) = (8; -2) $$

A vektorok hosszai:

$$ |\vec{BA}| = \sqrt{(-18)^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} $$ $$ |\vec{BC}| = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} $$

A két vektor skaláris szorzata:

$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-18) \cdot 8 + 6 \cdot (-2) = -144 - 12 = -156 $$

A hajlásszögük koszinusza:

$$ \cos \beta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-156}{\sqrt{360} \cdot \sqrt{68}} \approx -0,9971 $$

Ebből a belső szög: $ \mathbf{\beta \approx 175,6^\circ} $.

b) A $ K $ pont a háromszög köré írható körének középpontja, ami az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Felírjuk két oldal felezőmerőlegesének egyenletét.

Az $ AB $ oldal felezőmerőlegese:
Felezőpontja: $ F_{AB} = \left(\frac{-16+2}{2}; \frac{10+4}{2}\right) = (-7; 7) $.
Normálvektora az $ \vec{AB} = (18; -6) $ vektor. Ezt egyszerűsíthetjük 6-tal: $ \vec{n}_{AB} = (3; -1) $.
Az egyenes egyenlete: $ 3x - y = 3(-7) - 7 \implies 3x - y = -28 $.

A $ BC $ oldal felezőmerőlegese:
Felezőpontja: $ F_{BC} = \left(\frac{2+10}{2}; \frac{4+2}{2}\right) = (6; 3) $.
Normálvektora a $ \vec{BC} = (8; -2) $ vektor. Ezt egyszerűsíthetjük 2-vel: $ \vec{n}_{BC} = (4; -1) $.
Az egyenes egyenlete: $ 4x - y = 4(6) - 3 \implies 4x - y = 21 $.

A két egyenletből álló egyenletrendszer megoldása:

1) $ y = 3x + 28 $
2) $ 4x - (3x + 28) = 21 \implies x - 28 = 21 \implies \mathbf{x = 49} $

Visszahelyettesítve $ y $-ba: $ y = 3(49) + 28 = 147 + 28 = \mathbf{175} $.

A $ K $ pont koordinátái tehát: $ K(49; 175) $.

5

16 pont

Adott az $ f $ és $ g $ függvény:
$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; f(x) = 2x + 1 $;
$ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; g(x) = x^2 - 2 $.

a

Számítsa ki a $ 2f + g $ függvény zérushelyeit!

3 pont

b

Számítsa ki az $ f $ és $ g $ függvények grafikonja által közbezárt területet!

7 pont

c

Számítással igazolja, hogy a $ h: \,\, ]-\infty; -0,5[ \, \to \mathbb{R}; \, h(x) = \frac{g(x)}{f(x)} $ függvény szigorúan monoton növekedő!

6 pont

a) Felírjuk a $ (2f + g)(x) $ kifejezést:

$$ (2f + g)(x) = 2(2x + 1) + (x^2 - 2) = 4x + 2 + x^2 - 2 = x^2 + 4x $$

A zérushelyek ott találhatók, ahol az érték nulla:

$$ x^2 + 4x = 0 \implies x(x + 4) = 0 $$

A függvény zérushelyei: $ x = 0 $ és $ x = -4 $.

b) Először meghatározzuk a két grafikon metszéspontjait az $ f(x) = g(x) $ egyenlet megoldásával, ezek adják az integrálás határait:

$$ 2x + 1 = x^2 - 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Ennek gyökei $ x = -1 $ és $ x = 3 $. A $ [-1; 3] $ intervallumon az $ f $ grafikonja (az egyenes) van „felül”, így a terület integrálja:

$$ T = \int_{-1}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{3} \left( (2x + 1) - (x^2 - 2) \right) \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx $$

Kiszámolva a primitív függvényt:

$$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3} $$

Behelyettesítve a felső, majd az alsó határt:

$$ T = \left( -\frac{27}{3} + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = (-9 + 18) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \mathbf{\frac{32}{3}} \text{ (vagyis kb. 10,67)} $$

c) A monotonitás vizsgálatához tekintsük a $ h(x) = \frac{x^2 - 2}{2x + 1} $ deriváltját a hányados szabályával:

$$ h'(x) = \frac{2x \cdot (2x + 1) - (x^2 - 2) \cdot 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 2x - 2x^2 + 4}{(2x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + 4}{(2x + 1)^2} $$

A nevező minden $ x \in \, ]-\infty; -0,5[ $ esetén pozitív. A számláló átalakítva (például teljes négyzetté alakítással):

$$ 2x^2 + 2x + 4 = 2(x^2 + x) + 4 = 2\left(x + 0,5\right)^2 - 0,5 + 4 = 2(x + 0,5)^2 + 3,5 $$

Látható, hogy a számláló minden valós $ x $-re (így az adott intervallumon is) szigorúan pozitív, ahogy a nevező is. Így $ h'(x) > 0 $, amiből következik, hogy a függvény a megadott intervallumon valóban szigorúan monoton növekvő.

6

16 pont

Szétgurult 20 darab tojás az asztalon. Közülük 16 tojás ép maradt, de 4 tojásnak alig észrevehetően megrepedt a héja. Bori ezt nem vette észre, így visszarakosgatja a tojásokat a két tojástartóba. Először a sárga tartóba tesz tízet, majd a fehérbe a többit.

a

Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a 4 hibás tojás ugyanabba a tartóba kerül?

5 pont

Csenge sokszor vásárol tojásokat a sarki üzletben. Megfigyelése szerint a tojások közül átlagosan minden ötvenedik törött. (Ezt úgy tekintjük, hogy a tojások mindegyike 0,02 valószínűséggel törött.)

b

Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 10 tojást tartalmazó dobozban egynél több törött tojást talál Csenge?

5 pont

Egy csomagolóüzembe két termelő szállít tojásokat: az összes tojás 60%-a származik az $ A $, 40%-a a $ B $ termelőtől. Az $ A $ termelő árujának 60%-a első osztályú, 40%-a másodosztályú, a $ B $ termelő árujának 30%-a első osztályú és 70%-a másodosztályú.
Az összes beszállított tojás közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet, és azt első osztályúnak találjuk.

c

Mekkora a valószínűsége, hogy az $ A $ termelő árujából való a kiválasztott tojás?

6 pont

a) Az összes lehetséges eset száma, ahányféleképpen a 20 tojásból 10 kiválasztható a sárga tartóba: $ \binom{20}{10} = 184\,756 $.

Annak az esetnek a száma, hogy mind a 4 hibás tojás a sárga tartóba kerül (így a maradék 6 helyre a 16 ép tojásból választunk): $ \binom{4}{4} \cdot \binom{16}{6} = 1 \cdot 8008 = 8008 $.

Ennek a valószínűsége: $ \frac{8008}{184\,756} \approx 0,0433 $.

Mivel a 4 hibás tojás a fehér tartóba is kerülhet ugyanekkora valószínűséggel, a kérdéses valószínűség ennek kétszerese:

$$ P = 2 \cdot \frac{8008}{184\,756} \approx \mathbf{0,087} $$

b) A feladatot binomiális eloszlással oldjuk meg ($ n=10 $, $ p=0,02 $). Annak valószínűségét keressük, hogy a törött tojások száma 1-nél több. Kiszámoljuk a komplementer események (0 vagy 1 törött) valószínűségét, és kivonjuk 1-ből.

0 törött tojás (mind ép, aminek valószínűsége 0,98):

$$ P(0) = 0,98^{10} \approx 0,8171 $$

Pontosan 1 törött tojás:

$$ P(1) = \binom{10}{1} \cdot 0,02^1 \cdot 0,98^9 = 10 \cdot 0,02 \cdot 0,8337 \approx 0,1667 $$

A keresett valószínűség:

$$ P(>1) = 1 - (P(0) + P(1)) = 1 - (0,8171 + 0,1667) = 1 - 0,9838 = \mathbf{0,0162} $$

c) Jelölje $ A $ azt az eseményt, hogy az A termelőtől jön, $ B $, hogy a B termelőtől. Legyen $ E $ az az esemény, hogy a tojás első osztályú. A Bayes-tételt alkalmazzuk.

Adottak: $ P(A) = 0,6 $, $ P(B) = 0,4 $. A feltételes valószínűségek: $ P(E|A) = 0,6 $, $ P(E|B) = 0,3 $.

Először a teljes valószínűség tételével meghatározzuk, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy egy tojás első osztályú:

$$ P(E) = P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B) = 0,6 \cdot 0,6 + 0,4 \cdot 0,3 = 0,36 + 0,12 = 0,48 $$

A kérdéses valószínűség ($ P(A|E) $) a feltételes valószínűség definíciójából:

$$ P(A|E) = \frac{P(A) \cdot P(E|A)}{P(E)} = \frac{0,36}{0,48} = \frac{3}{4} = \mathbf{0,75} $$

7

16 pont

Egy pénzintézet a tőle felvett $ H $ forint összegű hitel visszafizetésekor havi $ p \text{ \%} $-os kamattal számol ($ p > 0 $), ezért az adós havi törlesztőrészletét a $$ t_n = H \cdot \frac{q^n (q - 1)}{q^n - 1} $$ képlettel számítja ki (minden hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben $ q = 1 + \frac{p}{100} $, az $ n $ pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig fizetjük a törlesztőrészleteket (ez a hitel futamideje).

a

Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől; a havi kamat 2%. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 72 hónap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg!

4 pont

b

Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy 2 millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat 2%-os?

8 pont

c

Számítsa ki a $ \lim_{n \to \infty} t_n $ határértéket, ha $ q = 1,02 $ és $ H = 2\,000\,000 $.

4 pont

a) Az adatok behelyettesítése a képletbe: $ H = 1\,600\,000 $, $ p = 2 $ így $ q = 1,02 $, és $ n = 72 $.

A havi törlesztőrészlet:

$$ t_{72} = 1\,600\,000 \cdot \frac{1,02^{72} \cdot 0,02}{1,02^{72} - 1} \approx 42\,123 \text{ Ft} $$

Összesen 72 hónapig fizetünk, tehát a teljes visszafizetett összeg:

$$ 72 \cdot 42\,123 = 3\,032\,856 \text{ Ft} $$

Ezer forintra kerekítve a válasz: 3 033 000 Ft.

b) A felírt egyenlőtlenség alapján az a legkisebb $ n $ pozitív egész a keresett, amelyre:

$$ 60\,000 \ge 2\,000\,000 \cdot \frac{1,02^n \cdot 0,02}{1,02^n - 1} $$

Rendezzük az egyenlőtlenséget:

$$ 60\,000 \ge 40\,000 \cdot \frac{1,02^n}{1,02^n - 1} $$ $$ 1,5 \ge \frac{1,02^n}{1,02^n - 1} $$

Mivel $ 1,02^n - 1 > 0 $, beszorozhatunk vele:

$$ 1,5 \cdot (1,02^n - 1) \ge 1,02^n $$ $$ 1,5 \cdot 1,02^n - 1,5 \ge 1,02^n $$ $$ 0,5 \cdot 1,02^n \ge 1,5 $$ $$ 1,02^n \ge 3 $$

Az 1,02 alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekvő, így:

$$ n \ge \log_{1,02} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 1,02} \approx 55,48 $$

Tehát a futamidőnek legalább 56 hónaposnak kell lennie.

c) Számítsuk ki a határértéket, ahol $ H $ és $ q $ konstans. Hozzuk egyszerűbb alakra a törtet (elosztva a számlálót és nevezőt $ q^n $-nel):

$$ \lim_{n \to \infty} H \cdot \frac{q^n(q - 1)}{q^n - 1} = \lim_{n \to \infty} H \cdot (q - 1) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{q^n}} $$

Mivel $ q = 1,02 > 1 $, így $ \lim_{n \to \infty} q^n = \infty $, és $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{q^n} = 0 $.

A határérték tehát:

$$ = H \cdot (q - 1) \cdot \frac{1}{1 - 0} = H \cdot (q - 1) $$

A megadott értékekkel:

$$ 2\,000\,000 \cdot (1,02 - 1) = 2\,000\,000 \cdot 0,02 = \mathbf{40\,000} $$

8

16 pont

a

Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz!

6 pont

b

Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!

3 pont

Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centiméterben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.)

c

Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni?
(Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ pozitív számok, és $ a + c = b + d $, akkor az $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ hosszúságú szakaszokból szerkeszthető négyszög.)

7 pont

a) Jelölje a négyszög legkisebb szögét $ \alpha $, a számtani sorozat differenciáját pedig $ d $ ($ d \ge 0 $). Ekkor a négyszög szögei valamilyen sorrendben: $ \alpha, \alpha+d, \alpha+2d, \alpha+3d $.

A négyszög belső szögeinek összege $ 360^\circ $:

$$ \alpha + (\alpha + d) + (\alpha + 2d) + (\alpha + 3d) = 360^\circ $$ $$ 4\alpha + 6d = 360^\circ \implies 2\alpha + 3d = 180^\circ $$

Figyeljük meg a szögek bizonyos párjainak összegét. A legkisebb és a legnagyobb szög összege:

$$ \alpha + (\alpha + 3d) = 2\alpha + 3d = 180^\circ $$

A középső kettő összege szintén:

$$ (\alpha + d) + (\alpha + 2d) = 2\alpha + 3d = 180^\circ $$

Vagyis a négyszögnek biztosan van két olyan szöge, melyek összege $ 180^\circ $. Két lehetőség van arra, hogy ezek hol helyezkednek el a négyszögben:

Ha a két szög szomszédos, akkor a mellettük levő oldalak párhuzamosak, vagyis a négyszög trapéz.
Ha a két szög szemközti, akkor a szemközti szögek összege $ 180^\circ $, ami a húrnégyszögek jellegzetessége.

Ezzel az állítást igazoltuk.

b) A megfordítás: Ha egy négyszög húrnégyszög vagy trapéz, akkor a szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat szomszédos tagjai.

A megfordított állítás hamis. Elegendő egy ellenpéldát mutatni: egy olyan trapéz, amelynek a párhuzamos szárain fekvő szögek összege $ 180^\circ $, de nem alkotnak számtani sorozatot. Például egy trapéz a $ 50^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 130^\circ $ szögekkel megfelelő (mivel $ 50+130=180 $ és $ 70+110=180 $), de ezek rendezve sem alkotnak számtani sorozatot.

c) A négy kiválasztott pálcikából ($ a, b, c, d $) pontosan akkor építhető érintőnégyszög, ha a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, azaz $ a + c = b + d $.

Mivel a kerület 24 cm, így mindkét összeg 12 cm kell legyen ($ a + c = 12 $ és $ b + d = 12 $).

Határozzuk meg, mely 1 és 12 közötti egész számpárok összege 12:

$ (1; 11), (2; 10), (3; 9), (4; 8), (5; 7), (6; 6) $.

Ez összesen 6 különböző pár. A 4 pálcika kiválasztása tehát ezen 6 számpárból két pár kiválasztását jelenti, ahol egy számpárt kétszer is kiválaszthatunk (hiszen a készletben elegendően sok van). A sorrendre nem vagyunk tekintettel, tehát ismétléses kombinációval számolunk ($ n=6 $ elem, $ k=2 $ választás):

$$ C_{6,2}^{ism} = \binom{n+k-1}{k} = \binom{6+2-1}{2} = \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \mathbf{21} $$

Tehát 21 különböző módon választhatunk ki 4 megfelelő pálcikát.

9

16 pont

a

Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé!

6 pont

Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza $ p $, a másiké pedig $ q $ ($ p > 0, q > 0 $). (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.)

b

Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne $ 6 \cdot \sqrt[3]{(p^3 + q^3)^2} $.

2 pont

c

Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege!

8 pont

a) Legyen a két test felszíne $ A $. Írjuk fel a térfogatokat ezen felszín alapján. A kocka éle $ a $, felszíne $ A = 6a^2 $, így az éle $ a = \sqrt{\frac{A}{6}} $. A kocka térfogata négyzetre emelve (az összehasonlítás megkönnyítése végett):

$$ V_{kocka}^2 = (a^3)^2 = a^6 = \left( \sqrt{\frac{A}{6}} \right)^6 = \frac{A^3}{216} $$

A gömb sugara $ r $, felszíne $ A = 4\pi r^2 $, amiből $ r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}} $. A gömb térfogata a négyzeten:

$$ V_{gomb}^2 = \left( \frac{4\pi}{3} r^3 \right)^2 = \frac{16\pi^2}{9} r^6 = \frac{16\pi^2}{9} \left( \sqrt{\frac{A}{4\pi}} \right)^6 = \frac{16\pi^2}{9} \cdot \frac{A^3}{64\pi^3} = \frac{A^3}{36\pi} $$

Összehasonlítva a két mennyiséget: $ 36\pi \approx 113,1 $, ami kisebb, mint 216.

$$ 36\pi < 216 \implies \frac{A^3}{36\pi} > \frac{A^3}{216} \implies V_{gomb}^2 > V_{kocka}^2 $$

Mivel a térfogatok pozitívak, ezért $ V_{gomb} > V_{kocka} $, a gömb térfogata valóban nagyobb.

b) A két kis kocka térfogata $ p^3 $ és $ q^3 $, így az új kocka térfogata $ V = p^3 + q^3 $.

Az új kocka éle így: $ a = \sqrt[3]{p^3 + q^3} $.

A kapott kocka felszíne $ 6a^2 $, azaz:

$$ A = 6 \cdot \left( \sqrt[3]{p^3 + q^3} \right)^2 = 6 \cdot \sqrt[3]{(p^3 + q^3)^2} $$

c) Azt kell bizonyítani, hogy az új kocka felszíne kisebb a két eredeti kocka felszínének összegénél ($ 6p^2 + 6q^2 $):

$$ 6 \cdot \sqrt[3]{(p^3 + q^3)^2} < 6p^2 + 6q^2 $$

Osztjuk mindkét oldalt 6-tal, majd mindkét oldalt (melyek pozitívak) köbre emeljük (az $ x^3 $ függvény szigorú monotonitása miatt ez ekvivalens lépés):

$$ (p^3 + q^3)^2 < (p^2 + q^2)^3 $$

Elvégezve a hatványozásokat:

$$ p^6 + 2p^3q^3 + q^6 < p^6 + 3p^4q^2 + 3p^2q^4 + q^6 $$

Rendezve és a mindkét oldalon szereplő $ p^6 $-t és $ q^6 $-t kivonva:

$$ 2p^3q^3 < 3p^4q^2 + 3p^2q^4 $$

Mivel $ p, q > 0 $, a kifejezés osztható $ p^2q^2 $-tel anélkül, hogy a reláció megváltozna:

$$ 2pq < 3p^2 + 3q^2 $$ $$ 0 < 3p^2 - 2pq + 3q^2 $$

A jobb oldalt felbonthatjuk: $ 3p^2 - 2pq + 3q^2 = 2p^2 + 2q^2 + (p^2 - 2pq + q^2) = 2p^2 + 2q^2 + (p - q)^2 $.

$$ 0 < 2p^2 + 2q^2 + (p - q)^2 $$

Mivel a jobb oldalon szigorúan pozitív ($ 2p^2 + 2q^2 $) és nemnegatív ($ (p-q)^2 $) számok összege áll, az egyenlőtlenség minden esetben igaz. Mivel az átalakítások ekvivalensek voltak, az eredeti állítás is igaz volt.