2014. Májusi Emelt Szintű Matek Érettségi

a) Egy kis téglalap oldalainak hossza \( x \) cm, illetve \( x + 1 \) cm, területe \( x(x + 1) \text{ cm}^2 \).

A feladat szövege alapján felírható a nagy téglalap területe: $$ 720x(x + 1) = 2025 $$ A zárójelet felbontva és nullára rendezve: $$ 720x^2 + 720x - 2025 = 0 $$ (45-tel egyszerűsítve: \( 16x^2 + 16x - 45 = 0 \)).
A megoldóképlettel a gyökök \( x_1 = 1,25 \) és \( x_2 = -2,25 \). A negatív gyök nem megoldása a feladatnak.

A téglalap rövidebb oldala tehát 1,25 cm, hosszabb oldala pedig 2,25 cm hosszú.

b) 12-vel azok a természetes számok oszthatók, amelyek 3-mal és 4-gyel is oszthatók.

Mivel a számjegyek összege \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \), ezért mind a 720 különböző hatjegyű szám osztható 3-mal.

Azok a hatjegyű számok oszthatók 4-gyel, amelyeknél az utolsó két számjegy osztható 4-gyel. A megadott számjegyekből képezhető ilyen végződések: 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56 vagy 64 (összesen 8 darab).

Mindegyik végződés esetén a maradék négy számjegy \( 4! = 24 \)-féleképpen helyezkedhet el, ezért a vizsgált számok között \( 8 \cdot 24 = \mathbf{192} \) darab 12-vel osztható van.

A négyzetgyök értelmezése miatt az \( 5,2 - x \ge 0 \) feltételnek kell teljesülnie. Továbbá a feladat szerint \( \sqrt{5,2 - x} \le 3 \), amiből négyzetre emelve (mivel mindkét oldal nemnegatív): $$ 5,2 - x \le 9 \implies -3,8 \le x $$ Mivel \( x \) pozitív egész szám, a \( H \) halmaz elemei: $$ \mathbf{H = \{1; 2; 3; 4; 5\}} $$

A \( B \) halmaz elemeire felírható, hogy \( \log_b 2^6 = k \), ahol \( k \) pozitív egész szám. A logaritmus definíciója alapján (és figyelembe véve, hogy az alap \( b > 0, b \ne 1 \)): $$ b^k = 2^6 = 64 $$ Mivel \( k \) pozitív egész, a \( b \) olyan pozitív egész szám lehet, amelynek valamely pozitív egész kitevős hatványa 64. A lehetséges esetek: $$ 64^1 = 64, \quad 8^2 = 64, \quad 4^3 = 64, \quad 2^6 = 64 $$ Tehát a \( B \) halmaz: $$ \mathbf{B = \{2; 4; 8; 64\}} $$

Ezek alapján a metszet és a különbséghalmaz: $$ \mathbf{H \cap B = \{2; 4\}} $$ $$ \mathbf{B \setminus H = \{8; 64\}} $$

a) A nehezék térfogata a forgástest szimmetriája alapján egy forgáskúp és egy csonkakúp térfogatának összege.

A szabályos ötszög tulajdonságaiból és a forgástengelyből adódóan a megfelelő derékszögű háromszögek segítségével kiszámíthatjuk a sugarakat és magasságokat. Az alapkör sugara a forgáskúpnál: $$ r = 2 \cdot \sin 54^\circ \approx 1,62 \text{ cm} $$ A forgáskúp magassága: $$ m = 2 \cdot \cos 54^\circ \approx 1,18 \text{ cm} $$ A csonkakúp magassága: $$ h = 2 \cdot \sin 72^\circ \approx 1,90 \text{ cm} $$

A forgáskúp térfogata: $$ V_{\text{kúp}} \approx \frac{1,62^2 \cdot \pi \cdot 1,18}{3} \approx 3,24 \text{ cm}^3 $$ A csonkakúp térfogata (a fedőkör sugara 1 cm, mivel az ötszög felső vízszintes oldalának fele): $$ V_{\text{cskúp}} \approx \frac{1,90 \cdot \pi}{3} \cdot (1,62^2 + 1,62 \cdot 1 + 1^2) \approx 10,39 \text{ cm}^3 $$ A nehezék teljes térfogata: $$ V = V_{\text{kúp}} + V_{\text{cskúp}} \approx 3,24 + 10,39 \approx \mathbf{13,6 \text{ cm}^3} $$

b) A relatív gyakoriságok alapján a gyakorisági táblázat (az adatok számát, 120-at megszorozva a relatív gyakoriságokkal):

tömeg (gramm)	105	106	107	108	109	110
gyakoriság	12	36	36	18	12	6

A 120 adat átlaga a súlyozott számtani közép képletével: $$ \overline{x} = \frac{12 \cdot 105 + 36 \cdot 106 + 36 \cdot 107 + 18 \cdot 108 + 12 \cdot 109 + 6 \cdot 110}{120} = \mathbf{107 \text{ gramm}} $$ A szórás az átlagtól vett eltérések négyzetes közepe: $$ \sigma = \sqrt{\frac{12 \cdot (-2)^2 + 36 \cdot (-1)^2 + 36 \cdot 0^2 + 18 \cdot 1^2 + 12 \cdot 2^2 + 6 \cdot 3^2}{120}} = \sqrt{\frac{204}{120}} = \sqrt{1,7} \approx \mathbf{1,3 \text{ gramm}} $$

a) Az \( f \) deriváltfüggvénye: $$ f'(x) = 3x^2 - 3x - 6 $$ Az \( f' \) zérushelyei a \( 3x^2 - 3x - 6 = 0 \) egyenletből: $$ x^2 - x - 2 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$

Az \( f' \) másodfokú függvény főegyütthatója pozitív (felfelé nyíló parabola), ezért \( f' \) értékei \( x < -1 \) esetén pozitívak, \( -1 < x < 2 \) esetén negatívak, \( 2 < x \) esetén pozitívak.

Az \( f \) függvény menete és szélsőértékei az értelmezési tartományon (\( ]-2; 3[ \)):

• a \( ]-2; -1] \) intervallumon az \( f' > 0 \), így a függvény szigorúan monoton növekvő;
• az \( x = -1 \) helyen a derivált előjelet vált pozitívból negatívba, így itt helyi maximuma van. A maximum értéke: \( f(-1) = (-1)^3 - 1,5(-1)^2 - 6(-1) = \mathbf{3,5} \);
• a \( [-1; 2] \) intervallumon az \( f' < 0 \), így a függvény szigorúan monoton csökkenő;
• az \( x = 2 \) helyen a derivált előjelet vált negatívból pozitívba, így itt helyi minimuma van. A minimum értéke: \( f(2) = 2^3 - 1,5(2)^2 - 6(2) = \mathbf{-10} \);
• a \( [2; 3[ \) intervallumon az \( f' > 0 \), így a függvény szigorúan monoton növekvő.

b) Mivel \( g' = f \), a \( g \) az \( f \)-nek egy primitív függvénye. Integrálással kapjuk: $$ g(x) = \int (x^3 - 1,5x^2 - 6x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{1,5x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + c = \frac{x^4}{4} - 0,5x^3 - 3x^2 + c \quad (c \in \mathbb{R}) $$ A \( g(2) = 0 \) feltételt felhasználva: $$ \frac{2^4}{4} - 0,5 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + c = 0 \implies 4 - 4 - 12 + c = 0 \implies c = 12 $$ Így a keresett függvény: $$ \mathbf{g(x) = \frac{x^4}{4} - 0,5x^3 - 3x^2 + 12} \quad (x \in ]-2; 3[) $$

a) Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: $$ 2x^3 - 5x^2 - 3x = x(2x^2 - 5x - 3) = 0 $$ Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ebből azonnal adódik, hogy \( x_1 = 0 \). A többi gyököt a másodfokú egyenletből kapjuk: $$ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \implies x_{2,3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4} $$ Így \( x_2 = 3 \) és \( x_3 = -\frac{1}{2} \). A szorzat alakból látható, hogy a megadott három szám valóban gyöke az egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két valós gyöke lehet, ezért a kiemelt \( x = 0 \) gyökkel együtt összesen pontosan ez a három gyöke van az egyenletnek.

b) Legyen \( y = \cos x \). Ekkor az a) feladat egyenletét kapjuk: $$ 2y^3 - 5y^2 - 3y = 0 $$ Melynek gyökei az a) rész alapján \( y_1 = 0 \), \( y_2 = -\frac{1}{2} \) és \( y_3 = 3 \). Mivel \( -1 \le \cos x \le 1 \), a \( \cos x = 3 \) egyenletnek nincs valós megoldása. A \( \cos x = 0 \) egyenlet megoldásai: $$ \mathbf{x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})} $$ A \( \cos x = -\frac{1}{2} \) egyenlet megoldásai: $$ \mathbf{x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi \quad (m \in \mathbb{Z})} $$

c) Az exponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. Emiatt bármely valós \( x \) esetén: $$ 2 \cdot 8^x > 0, \quad 7 \cdot 4^x > 0, \quad \text{és} \quad 3 \cdot 2^x > 0 $$ Az egyenlet bal oldalán álló összeg így három pozitív szám összegeként maga is szigorúan pozitív. Tehát az összeg sosem lehet nulla, az egyenletnek valóban nincs valós gyöke.

a) A feladat szövege alapján a műszerek 7%-a méri hibásan a szöget, 5%-a a távolságot. Mivel 2% mindkét adatot hibásan méri, a szitakötő-elv (logikai szita) alapján a hibás műszerek aránya: $$ P(\text{hibás}) = 0,07 + 0,05 - 0,02 = 0,10 $$ Egy hibátlan műszer választásának valószínűsége tehát \( 1 - 0,10 = 0,9 \).

A minőségellenőr 20 műszert vizsgál visszatevéssel. A hibás darabok száma binomiális eloszlást követ \( n=20 \) és \( p=0,1 \) paraméterekkel. Annak valószínűsége, hogy legfeljebb 2 darab hibás lesz (azaz 0, 1 vagy 2): $$ P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) $$ $$ P(X \le 2) = \binom{20}{0} 0,9^{20} + \binom{20}{1} 0,1^1 \cdot 0,9^{19} + \binom{20}{2} 0,1^2 \cdot 0,9^{18} $$ $$ P(X \le 2) \approx 0,1216 + 0,2702 + 0,2852 \approx \mathbf{0,677} $$

b) Jelölje a fa magasságát \( h \). A vízszintes síkon lévő \( ATP \) és \( BTP \) derékszögű háromszögekben (ahol \( P \) a fa csúcsa) a tangens szögfüggvényt alkalmazva felírhatjuk a távolságokat: $$ \operatorname{tg} 55^\circ = \frac{h}{AT} \implies AT = \frac{h}{\operatorname{tg} 55^\circ} \approx 0,7002h $$ $$ \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{h}{BT} \implies BT = \frac{h}{\operatorname{tg} 60^\circ} \approx 0,5774h $$ Tudjuk, hogy az \( ATB \) szög \( 90^\circ \)-os, így az \( ATB \) derékszögű háromszögre alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt: $$ AT^2 + BT^2 = AB^2 $$ $$ \left( \frac{h}{\operatorname{tg} 55^\circ} \right)^2 + \left( \frac{h}{\operatorname{tg} 60^\circ} \right)^2 = 10^2 $$ $$ h^2 \left( \frac{1}{\operatorname{tg}^2 55^\circ} + \frac{1}{\operatorname{tg}^2 60^\circ} \right) = 100 $$ $$ h^2 \left( 0,7002^2 + 0,5774^2 \right) \approx 100 \implies h^2 (0,4903 + 0,3333) \approx 100 \implies 0,8236 h^2 \approx 100 $$ $$ h^2 \approx 121,4 \implies h \approx 11 $$ A fa magassága tehát körülbelül 11 méter.

a) Jelölje a számtani sorozat első három tagját \( a_2 - d \), \( a_2 \) és \( a_2 + d \), ahol \( d \) a differencia. A sorozat ismert tulajdonsága miatt az első három tag átlaga éppen a középső tag, azaz \( a_2 \).

A szórásnégyzet az átlagtól vett eltérések négyzetének átlaga: $$ \sigma^2 = \frac{((a_2 - d) - a_2)^2 + (a_2 - a_2)^2 + ((a_2 + d) - a_2)^2}{3} = 6 $$ $$ \frac{(-d)^2 + 0^2 + d^2}{3} = 6 \implies \frac{2d^2}{3} = 6 \implies 2d^2 = 18 \implies d^2 = 9 $$ Mivel a sorozat növekvő, a differencia pozitív, így \( \mathbf{d = 3} \). Ezt kellett igazolnunk.

b) Fejezzük ki a rokonok életkorát Barbara életkorának (\( x \)) függvényében:

• Barbara: \( x \) éves
• Cili: \( x + 3 \) éves
• Dezső: \( x - 6 \) éves
• Edit: Cili kora + 9 = \( (x + 3) + 9 = x + 12 \) éves

Dezső, Barbara és Edit életkora (\( x - 6 \), \( x \), \( x + 12 \)) egy mértani sorozat három egymást követő tagja, így a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédjának szorzatával: $$ x^2 = (x - 6)(x + 12) $$ $$ x^2 = x^2 + 6x - 72 \implies 0 = 6x - 72 \implies x = 12 $$ Barbara tehát 12 éves, Cili pedig \( 12 + 3 = 15 \) éves. András, Barbara és Cili életkora egy számtani sorozat három szomszédos tagja. Mivel Barbara 12, Cili 15 éves, a differencia 3. András kora így \( 12 - 3 = 9 \).
András tehát 9 éves.

c) A feladatot komplementer eseménnyel érdemes megoldani: az összes lehetséges sorrendből kivonjuk azokat, amikor a három lány egymás mellett ül.

Hatan a hat egymás melletti székre \( 6! = 720 \)-féleképpen ülhetnek le. Ha a három lány egymás mellett ül, tekintsük őket egyetlen "egységnek". Ekkor ez az egység és a három fiú \( 4! = 24 \)-féleképpen helyezhető el a székeken. Egy-egy ilyen elrendezésen belül a három lány \( 3! = 6 \)-féle sorrendben ülhet. A nem megfelelő (három lány egymás mellett van) elhelyezkedések száma tehát \( 4! \cdot 3! = 24 \cdot 6 = 144 \).

A megfelelő elhelyezkedések száma: $$ 720 - 144 = \mathbf{576} $$

a) Legyen az \( A \) csúcs koordinátája \( A(0; a) \), a \( B \) csúcsé pedig \( B(b; 0) \), ahol \( a^2 + b^2 \ne 0 \). Ekkor az \( \overrightarrow{AB} \) vektor koordinátái: \( (b; -a) \).

Mivel a négyzet szomszédos oldalai merőlegesek egymásra és egyenlő hosszúak, a \( \overrightarrow{BC} \) vektor az \( \overrightarrow{AB} \) vektor \( +90^\circ \)-os vagy \( -90^\circ \)-os elforgatottja. Így a \( \overrightarrow{BC} \) vektor koordinátái \( (a; b) \) vagy \( (-a; -b) \) lehetnek.

A négyzet \( C \) csúcsának helyvektora \( \mathbf{c} = \mathbf{b} + \overrightarrow{BC} \), azaz a \( C \) csúcs koordinátái: 1. esetben: \( C_1(b + a; 0 + b) = (a + b; b) \) 2. esetben: \( C_2(b - a; 0 - b) = (b - a; -b) \)

A négyzet \( K \) középpontja az \( AC \) átló felezőpontja. Ennek koordinátái: 1. esetben: \( K_1 \left( \frac{0 + (a + b)}{2}; \frac{a + b}{2} \right) = \left( \frac{a + b}{2}; \frac{a + b}{2} \right) \) 2. esetben: \( K_2 \left( \frac{0 + (b - a)}{2}; \frac{a - b}{2} \right) = \left( \frac{b - a}{2}; \frac{a - b}{2} \right) \)

Látható, hogy az első esetben a \( K \) középpont koordinátái egyenlők, a második esetben pedig egymás ellentettjei (\( \frac{b-a}{2} = - \frac{a-b}{2} \)). Ezt kellett bizonyítani.

b) Mivel a négyzet középpontja a \( (7; 7) \) pont, az a) feladatrész alapján a két koordináta egyenlő, így az első esettel van dolgunk: $$ \frac{a + b}{2} = 7 \implies a + b = 14 \implies a = 14 - b $$ A négyzet oldala 10 egység hosszú, tehát az \( AB \) szakasz hossza is 10: $$ \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - a)^2} = 10 \implies a^2 + b^2 = 100 $$ Helyettesítsük be \( a \)-t: $$ (14 - b)^2 + b^2 = 100 \implies 196 - 28b + 2b^2 = 100 \implies 2b^2 - 28b + 96 = 0 $$ Kettővel osztva: \( b^2 - 14b + 48 = 0 \). Ebből a másodfokú egyenletből: $$ b_1 = 6 \quad \text{és} \quad b_2 = 8 $$ A hozzájuk tartozó \( a \) értékek: \( a_1 = 8 \) és \( a_2 = 6 \).

Tehát két ilyen négyzet van, a koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsuk: \( A_1(0; 8) \) és \( B_1(6; 0) \), illetve \( A_2(0; 6) \) és \( B_2(8; 0) \).

a) Jelölje \( x \) a szekrény függőleges méretét (magasságát) méterben. A tetőtér keresztmetszetét egy egyenlő szárú derékszögű háromszög alkotja, melynek átfogója fekszik a padlón. A háromszög befogói 4 méteresek, így az átfogója (a padlón lévő alap) \( 4\sqrt{2} \approx 5,66 \) méter hosszú.

A szekrény előlapja egy olyan téglalap, amely szimmetrikusan helyezkedik el ebben a háromszögben. A téglalap felett a bal és jobb oldalon egy-egy kisebb egyenlő szárú derékszögű háromszög marad ki, melyek magassága és alapja is \( x \), illetve \( x \) (mivel a szög \( 45^\circ \)). Emiatt a szekrény szélessége az alap hosszából levonva ezt a két levágást: $$ \text{szélesség} = 4\sqrt{2} - 2x \quad (0 < x < 2\sqrt{2}) $$ A szekrény mélysége 60 cm, azaz 0,6 m. A szekrény térfogata \( x \) függvényében: $$ V(x) = 0,6x(4\sqrt{2} - 2x) = 2,4\sqrt{2}x - 1,2x^2 $$

Ennek a lefelé nyíló másodfokú függvénynek ott van maximuma, ahol a deriváltja nulla (vagy a zérushelyek számtani közepénél). $$ V'(x) = 2,4\sqrt{2} - 2,4x = 0 \implies 2,4x = 2,4\sqrt{2} \implies x = \sqrt{2} $$ A szekrény optimális méretei tehát: Magasság: \( \sqrt{2} \approx 1,41 \text{ m} \) Szélesség: \( 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx \mathbf{2,83 \text{ m}} \).

b) Ha csak az ingek színeit tekintjük (2 fehér, 2 világoskék, 3 sárga), a lehetséges sorrendek száma ismétléses permutációval: $$ \frac{7!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} = \frac{5040}{2 \cdot 2 \cdot 6} = 210 $$

A kedvező esetek két diszjunkt halmazra bonthatók: 1. Az első három napon három különböző színű inget választ: Ekkor az első három helyre a 3 különböző szín (fehér, világoskék, sárga) \( 3! = 6 \)-féleképpen kerülhet. A fennmaradó 4 ing (1 fehér, 1 világoskék, 2 sárga) a maradék 4 helyre \( \frac{4!}{2!} = 12 \)-féleképpen kerülhet. Ez összesen \( 6 \cdot 12 = 72 \) lehetőség.
2. Az első három napon három egyforma színű inget választ: Ez csak úgy lehetséges, ha mind a három ing sárga. A maradék 4 helyre a 2 fehér és 2 világoskék ing \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \)-féleképpen osztható el.

A kedvező esetek száma összesen: \( 72 + 6 = 78 \). A keresett valószínűség: $$ P = \frac{78}{210} = \frac{13}{35} \approx \mathbf{0,371} $$