2013. Májusi Emelt Szintű Matek Érettségi

Az A halmaz elemeinek meghatározása:
Egy tört pontosan akkor nempozitív, ha számlálója és nevezője ellentétes előjelű (vagy a számláló nulla, de a nevező nem).
1. eset: \( x - 3 > 0 \) és \( x + 4 \le 0 \), azaz \( x > 3 \) és \( x \le -4 \). Ennek nincs megoldása.
2. eset: \( x - 3 < 0 \) és \( x + 4 \ge 0 \), azaz \( x < 3 \) és \( x \ge -4 \).
Az \( A \) halmaz egész elemei tehát: \( A = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\} \).

A B halmaz elemeinek meghatározása:
Az abszolútértékes egyenlőtlenség akkor teljesül, ha \( -4 < x + 3 < 4 \).
Ebből kivonva hármat: \( -7 < x < 1 \).
A \( B \) halmaz egész elemei tehát: \( B = \{-6; -5; -4; -3; -2; -1; 0\} \).

A halmazműveletek elvégzése:

• A metszet (közös elemek): \( A \cap B = \{-4; -3; -2; -1; 0\} \)
• A különbség (\( A \)-ban benne van, de \( B \)-ben nincs): \( A \setminus B = \{1; 2\} \)
• Az unió (összes elem): \( A \cup B = \{-6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2\} \)

A feszes hajtószíj két egyenlő hosszú érintőszakaszból, egy rövidebb és egy hosszabb körívből áll. Geometriailag a feladat két kör közös külső érintőinek és a határolt köríveknek a kiszámítását jelenti.

Az érintőszakasz hossza:
Húzzunk párhuzamost a kisebbik kör középpontjából (\( O_1 \)) az érintőszakasszal. Így egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a tengelytávolság (\( 46 \) cm), egyik befogója a sugarak különbsége (\( 20 - 1 = 19 \) cm), másik befogója az érintőszakasz (\( e \)).
Pitagorasz-tétellel: $$ e = \sqrt{46^2 - 19^2} = \sqrt{1755} \approx 41,9 \text{ cm} $$

A körívek hossza:
Legyen \( \alpha \) a tengelyeket összekötő szakasz és az érintési pontokba húzott sugár által bezárt szög a nagy körben. A fentebbi derékszögű háromszögből: $$ \cos \alpha = \frac{19}{46} \implies \alpha \approx 65,6^\circ $$ A hosszabb körívhez tartozó középponti szög: $$ 360^\circ - 2\alpha \approx 360^\circ - 131,2^\circ = 228,8^\circ $$ A hosszabb körív hossza: $$ i_{\text{nagy}} = \frac{228,8^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \cdot 20\pi \approx 79,9 \text{ cm} $$ A rövidebb körívhez tartozó középponti szög a kis körben \( 2\alpha \approx 131,2^\circ \). Ennek hossza: $$ i_{\text{kis}} = \frac{131,2^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \cdot 1\pi \approx 2,3 \text{ cm} $$

A hajtószíj teljes hossza: $$ K \approx 2 \cdot 41,9 + 79,9 + 2,3 = \mathbf{166 \text{ cm}} $$

a) Az állítás hamis.
Ellenpélda: egy 6 pontú gráf, amely két diszjunkt körből (pl. két különálló háromszögből) áll. Ebben minden pont fokszáma 2, de a gráf nem összefüggő.

b) A megfordítás: Ha a gráf összefüggő, akkor minden pontjának fokszáma legalább 2.
Ez az állítás is hamis.
Ellenpélda: bármely véges fa (pl. egy 3 pontból álló út, vagyis láncgráf), amely összefüggő, de vannak elsőfokú pontjai (levelei).

c) A megadott gráfok sorszámait a halmazok definíciói alapján, a megfelelő metszetekbe kell beírni a Venn-diagramba. (A sorszámok elhelyezése a gráfok tulajdonságai alapján történt).

d) Egy tetszőleges 6 pontú fa rajzolása a feladat. Mivel a fák összefüggő, de kört nem tartalmazó egyszerű gráfok, így ezt a gráfot a \( (P \cap Q) \setminus R \) halmazrészbe kell elhelyezni.

a) Kamatszámítás az első évben:
A napi kamatláb: \( \frac{8}{365}\% \).
A március 1-jén felvett 40 000 Ft hitel december 31-ig \( 365 - 31 - 28 = 306 \) napig kamatozik (figyelembe véve a hónapok hosszát).
Az október 1-jén felvett újabb 40 000 Ft hitel december 31-ig \( 31 + 30 + 31 = 92 \) napig kamatozik.
Az első hitel kamata: $$ 40\,000 \cdot \frac{8}{365 \cdot 100} \cdot 306 \approx 2683 \text{ Ft} $$ A második hitel kamata: $$ 40\,000 \cdot \frac{8}{365 \cdot 100} \cdot 92 \approx 807 \text{ Ft} $$ Összesen a bank \( 2683 + 807 = 3490 \text{ Ft} \) kamatot tőkésít.

b) Törlesztőrészlet kiszámítása:
Legyen \( x \) az éves törlesztőrészlet. A tőke minden évben növekszik a 8%-os kamattal (\( 1,08 \)-as szorzó), amiből levonódik az \( x \) befizetés.
A 10 év után a fennmaradó tartozás képlete egyenletté felírva: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,08^{10} - x \cdot 1,08^9 - x \cdot 1,08^8 - \dots - x = 0 $$ Kiemelve \( x \)-et a tagokból, egy 10 tagú mértani sorozatot ismerhetünk fel a zárójelben: $$ 1\,000\,000 \cdot 1,08^{10} - x \cdot (1,08^9 + 1,08^8 + \dots + 1) = 0 $$ A mértani sorozat összegképlete alapján: $$ S_{10} = \frac{1,08^{10} - 1}{1,08 - 1} \approx 14,487 $$ Ebből kifejezve \( x \)-et: $$ x = \frac{1\,000\,000 \cdot 1,08^{10}}{S_{10}} \approx \frac{2\,158\,925}{14,487} \approx 149\,025 \text{ Ft} $$ A kerekítés szabályai szerint megadva: \( 149\,000 \text{ Ft} \) volt az éves törlesztőrészlet.

A szimmetriatengely egy normálvektora \( \mathbf{n_t} = (2; -1) \). Mivel a trapéz alapja merőleges a szimmetriatengelyre, az alap irányvektora éppen ez a normálvektor, tehát az \( AB \) alap normálvektora \( \mathbf{n_{AB}} = (1; 2) \).
A \( P(-5; 1) \) ponton áthaladó \( AB \) alap egyenesének egyenlete: $$ 1 \cdot x + 2 \cdot y = 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 1 \implies x + 2y = -3 $$

A trapéz \( A \) és \( B \) csúcsa az \( AB \) egyenes és a köré írt kör metszéspontja, így megoldjuk a következö egyenletrendszert: $$ x = -2y - 3 $$ $$ (-2y - 3 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 100 \implies (-2y - 6)^2 + (y - 2)^2 = 100 $$ Kifejtve és összevonva a másodfokú egyenletet: $$ 4y^2 + 24y + 36 + y^2 - 4y + 4 = 100 \implies 5y^2 + 20y - 60 = 0 \implies y^2 + 4y - 12 = 0 $$ Az egyenlet gyökei \( y_1 = 2 \) és \( y_2 = -6 \). Behelyettesítve az \( x = -2y - 3 \) képletbe, a két csúcs koordinátái: \( A(-7; 2) \) és \( B(9; -6) \).

A felső csúcsok meghatározása vektoros forgatással (elegáns módszer):
Jelölje a trapéz köré írt kör középpontját \( K(3; 2) \). A kör sugara \( R = 10 \), a trapéz szára pedig \( BC = AD = 10\sqrt{2} \).
A Pitagorasz-tétel megfordítása alapján az \( AKD \) és a \( CKB \) háromszögek derékszögűek (hiszen \( 10^2 + 10^2 = (10\sqrt{2})^2 \)). Ez azt jelenti, hogy a \( K \)-ból \( A \)-ba és \( B \)-be mutató vektorok \( 90^\circ \)-os elforgatásával kapjuk meg a \( D \) és \( C \) felé mutató vektorokat.
A \( \vec{KA} \) vektor koordinátái: \( (-7 - 3; 2 - 2) = (-10; 0) \).
Ennek \( 90^\circ \)-os elforgatottja adja a \( \vec{KD} \) vektort: \( (0; 10) \) vagy \( (0; -10) \). Ezekből a \( D \) pont lehetséges koordinátái \( D_1(3; 12) \) vagy \( D_2(3; -8) \).
A geometria alapján (és a szimmetriatengely figyelembevételével) a jó pont a szimmetriatengely másik oldalán van, így \( D(3; 12) \).

Hasonlóan a \( \vec{KB} \) vektor koordinátái: \( (9 - 3; -6 - 2) = (6; -8) \).
Ennek \( 90^\circ \)-os elforgatottja adja a \( \vec{KC} \) vektort: \( (8; 6) \) vagy \( (-8; -6) \). Ezekből a \( C \) pont lehetséges koordinátái \( C_1(11; 8) \) vagy \( C_2(-5; -4) \).
A megfelelő csúcs: \( C(11; 8) \).

a) A külső négyzet oldala \( 1 \) méter, így a belső négyzet oldala a megadott arány alapján \( \frac{5}{7} \) méter. A belső négyzet a külső négyzet oldalait \( x \) és \( 1 - x \) hosszú szakaszokra bontja. A \( 90^\circ \)-os forgásszimmetria miatt ez a felosztás mind a négy oldalon azonos mértékben ismétlődik.
Felírva a Pitagorasz-tételt a sarkokban keletkező derékszögű háromszögekre: $$ x^2 + (1 - x)^2 = \left( \frac{5}{7} \right)^2 $$ $$ x^2 + 1 - 2x + x^2 = \frac{25}{49} \implies 2x^2 - 2x + \frac{24}{49} = 0 $$ Megoldva a másodfokú egyenletet: $$ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{24}{49}}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{4}{49}}}{4} = \frac{2 \pm \frac{2}{7}}{4} $$ A gyökök: \( x_1 = \frac{4}{7} \) és \( x_2 = \frac{3}{7} \).
A belső négyzet csúcsa tehát a külső négyzet oldalait \( \frac{3}{7} \) és \( \frac{4}{7} \) méretű részekre bontja. Az arány tehát: \( 3 : 4 \) (vagy \( 4 : 3 \)).

b) Az első (legkülső) négyzet kerülete \( K_1 = 4 \) méter.
Mivel minden beírt négyzet lineáris mérete az előzőnek a \( \frac{5}{7} \)-szerese, a kerületek is ezt a szorzót követik. A kerületek egy olyan végtelen mértani sorozatot alkotnak, amelynek első tagja \( K_1 = 4 \), hányadosa pedig \( q = \frac{5}{7} \).
Mivel \( |q| < 1 \), a végtelen sor konvergens, az összege: $$ S = \frac{K_1}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{5}{7}} = \frac{4}{\frac{2}{7}} = 4 \cdot \frac{7}{2} = \mathbf{14 \text{ méter}} $$

a) Költségfüggvény felírása és optimalizálása:
Ha \( r \) a doboz alapkörének sugara, \( m \) pedig a magassága cm-ben, akkor a térfogat: \( V = r^2\pi \cdot m = 1000 \). Ebből a magasság kifejezhető: $$ m = \frac{1000}{r^2\pi} $$ A teljes anyagköltség \( r \) függvényében (alaplap + fedőlap és palást összegzésével): $$ f(r) = 2 \cdot r^2\pi \cdot 0,2 + 2r\pi \cdot m \cdot 0,1 = 0,4r^2\pi + 0,2r\pi \frac{1000}{r^2\pi} = 0,4r^2\pi + \frac{200}{r} \text{ (Ft)} $$ A függvény minimumát a derivált nullahelyén keressük: $$ f'(r) = 0,8r\pi - \frac{200}{r^2} = 0 $$ $$ 0,8r^3\pi = 200 \implies r = \sqrt[3]{\frac{200}{0,8\pi}} \approx \mathbf{4,3 \text{ cm}} $$ Mivel a második derivált \( f''(r) = 0,8\pi + \frac{400}{r^3} > 0 \), ez valóban minimumhely.
A minimális anyagköltséghez tartozó magasság: $$ m = \frac{1000}{4,3^2\pi} \approx \mathbf{17,2 \text{ cm}} $$ A minimális anyagköltség kiszámolva és forintra kerekítve: $$ f(4,3) \approx 0,4 \cdot 4,3^2\pi + \frac{200}{4,3} \approx 23,2 + 46,5 = \mathbf{70 \text{ Ft}} $$

b) Statisztikai mutatók:
Az adatok átlaga egyszerű számtani közép: $$ \overline{x} = \frac{0+1+0+0+2+0+0+1+3+0}{10} = \mathbf{0,7} $$ Az átlagtól mért átlagos abszolút eltérés (az adatok és az átlag különbségének abszolút értékeinek átlaga): $$ D = \frac{6 \cdot |0 - 0,7| + 2 \cdot |1 - 0,7| + 1 \cdot |2 - 0,7| + 1 \cdot |3 - 0,7|}{10} $$ $$ D = \frac{6 \cdot 0,7 + 2 \cdot 0,3 + 1,3 + 2,3}{10} = \frac{4,2 + 0,6 + 1,3 + 2,3}{10} = \mathbf{0,84} $$

a) Átmérő számítása:
A négy kis kör középpontja egy 12 mm oldalú négyzetet alkot. Ennek a négyzetnek a képzeletbeli átlója áthalad a nagy kör középpontján, és a hossza \( 12\sqrt{2} \) mm.
Ez az átlós távolság megegyezik a két szemben lévő kis kör sugarának (\( 2 \cdot 3 \text{ mm} = 6 \text{ mm} \)) és a nagy kör átmérőjének (\( d \)) az összegével: $$ d + 6 = 12\sqrt{2} \implies d = 12\sqrt{2} - 6 \approx \mathbf{10,97 \text{ mm}} $$

b) Kombinatorika szimmetria érveléssel:
Mivel a torony elemeinek minden pozíciójában kétféle szín lehet, az összes lehetséges különböző 8 emeletes torony száma \( 2^8 = 256 \).
Szimmetria okokból azon tornyok száma, amelyek több piros elemet tartalmaznak, megegyezik azon tornyok számával, amelyek több kéket.
Kizárólag azokat az eseteket kell kivonnunk, amikor pontosan ugyanannyi (4-4) piros és kék elem van a toronyban. Ezen tornyok száma: $$ \binom{8}{4} = 70 $$ A megfelelő tornyok száma tehát a maradék fele: $$ \frac{256 - 70}{2} = \mathbf{93} $$

c) Valószínűségszámítás:
Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott kocka nem selejtes: $$ 1 - \frac{20}{1\,000\,000} = 0,99998 $$ Annak a valószínűsége, hogy egy \( n \) kockát tartalmazó dobozban egyetlen kocka sem selejtes: \( 0,99998^n \).
A feladat szerint a selejtes elem előfordulásának valószínűsége kisebb mint 0,01. Ebből következik, hogy a tiszta (selejtmentes) doboz valószínűsége legalább 0,99 kell legyen: $$ 0,99998^n \ge 0,99 $$ Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát (a logaritmusfüggvény monotonitása miatt az irány marad): $$ n \cdot \lg 0,99998 \ge \lg 0,99 $$ Mivel \( \lg 0,99998 < 0 \), az osztásnál az egyenlőtlenség iránya megfordul: $$ n \le \frac{\lg 0,99}{\lg 0,99998} \approx 502,5 $$ Tehát András legfeljebb 502 darabos készletet vehet.

Válaszainkat három tizedesjegyre kerekítve adjuk meg.

a) Az összes kihúzási lehetőség száma: \( \binom{17}{3} = 680 \).
A kedvező esetek: vagy mind a három golyó sárga \( \binom{8}{3} = 56 \), vagy mind a három zöld \( \binom{9}{3} = 84 \).
A keresett valószínűség: $$ p = \frac{56 + 84}{680} = \frac{140}{680} \approx \mathbf{0,206} $$

b) A visszatevéses modell miatt minden húzás független, és az eloszlás binomiális. Sárga golyó húzásának valószínűsége minden alkalommal \( \frac{8}{17} \), zöldé \( \frac{9}{17} \).
A keresett valószínűség: $$ p = \binom{5}{3} \cdot \left( \frac{8}{17} \right)^3 \cdot \left( \frac{9}{17} \right)^2 \approx \mathbf{0,292} $$

c) A kihúzott három szám összege pontosan akkor osztható 3-mal, ha a számok 3-mal osztva adott maradékai vagy mind megegyeznek, vagy páronként mind különböznek (egy 0, egy 1 és egy 2 maradékot adó szám).
Csoportosítsuk a számokat 1-től 17-ig a 3-as maradékuk szerint: