2011. Májusi Emelt Szintű Matek Érettségi

A feltételnek megfelelően a következő esetek lehetségesek:

1. eset: 6 darab 6-os jegy. Ebből 1 darab hatjegyű szám van.

2. eset: 5 darab 5-ös, 1 darab 1-es jegy. Ebből 6 ilyen szám van (az 1-es 6 különböző helyen állhat).

3. eset: 4 darab 4-es, 2 darab 2-es jegy. Ezekből a számjegyekből \( \binom{6}{4} \), azaz 15 szám képezhető.

4. eset: 3 darab 3-as, 2 darab 2-es, 1 darab 1-es jegy. Ebben az esetben ismétléses permutációval számolva: \( \frac{6!}{3! \cdot 2!} = \) 60 megfelelő szám van.

Más eset nincs, tehát összesen \( 1 + 6 + 15 + 60 = \mathbf{82} \), a feltételnek megfelelő hatjegyű szám képezhető.

Az \( A \) halmaz meghatározása:
Értelmezési tartomány: \( x - 1 \ge 0 \) és \( 5 - x \ge 0 \), ezért az egyenlőtlenség értelmezési tartománya: \( [1; 5] \).
Mindkét oldal nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás: $$ x - 1 \ge 5 - x $$ $$ 2x \ge 6 \implies x \ge 3 $$ Így \( A = \mathbf{[3; 5]} \).

A \( B \) halmaz meghatározása:
Értelmezési tartomány: \( 2x - 4 > 0 \), azaz \( x > 2 \), tehát \( ]2; \infty[ \).
Az \( \frac{1}{2} \) alapú logaritmusfüggvény szigorúan csökkenő, ezért: $$ 2x - 4 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} $$ $$ 2x - 4 < 4 \implies 2x < 8 \implies x < 4 $$ Így \( B = \mathbf{]2; 4[} \).

A kért halmazműveletek eredményei: $$ A \cup B = \mathbf{]2; 5]} $$ $$ A \cap B = \mathbf{[3; 4[} $$ $$ B \setminus A = \mathbf{]2; 3[} $$

Jelölje \( f \) a sportklub felnőtt tagjainak számát. Ekkor a diákok száma a sportklubban \( 640 - f \).
A rendszeresen sportolók száma 640-nek az 55%-a: \( 0,55 \cdot 640 = 352 \) fő.

A rendszeresen sportolók aránya a teljes tagságban \( 0,55 \). Ennek a \( \frac{11}{8} \)-ed része a felnőttek közötti arány, vagyis az egyenlet szerint a rendszeresen sportoló felnőttek aránya: $$ 0,55 \cdot \frac{8}{11} = 0,4 $$

A rendszeresen sportolók aránya a diákok között ennek az arányszámnak a kétszerese, vagyis \( 0,8 \).
A rendszeresen sportoló felnőttek száma: \( 0,4 \cdot f \).
A rendszeresen sportoló diákok száma: \( 0,8 \cdot (640 - f) \).

A rendszeresen sportolók száma e két létszám összege: $$ 0,4f + 0,8 \cdot (640 - f) = 352 $$ $$ 0,4f + 512 - 0,8f = 352 $$ $$ 160 = 0,4f \implies \mathbf{f = 400} $$

Tehát \( 640 - f = 240 \).
A felnőtt tagok száma 400, a diákok száma 240.

a) A binomiális eloszlás paraméterei: \( n = 8 \) és \( p = 0,05 \).
A várható érték: \( n \cdot p = 8 \cdot 0,05 = \mathbf{0,4} \).

b) Minden gép \( 1 - p = 0,95 \) valószínűséggel indul be megfelelően.
Annak a valószínűsége, hogy mind a 8 gép beindul (azaz egyik sem melegszik túl): $$ 0,95^8 \approx \mathbf{0,6634} \; (66,34\%) $$

c) A komplementer esemény (\( B \)) valószínűségét számoljuk ki, azaz hogy legfeljebb 2 gép romlik el (így a gyártósor nem áll le): $$ P(B) = 0,95^8 + \binom{8}{1} \cdot 0,05 \cdot 0,95^7 + \binom{8}{2} \cdot 0,05^2 \cdot 0,95^6 $$ $$ P(B) = 0,95^8 + 8 \cdot 0,05 \cdot 0,95^7 + 28 \cdot 0,05^2 \cdot 0,95^6 $$ $$ P(B) \approx 0,66342 + 0,27933 + 0,05146 \approx 0,9942 $$ A keresett \( A \) esemény (a termelés leáll) valószínűsége: $$ P(A) = 1 - P(B) = 1 - 0,9942 = \mathbf{0,0058} $$ Tehát négy tizedesjegyre kerekítve valóban \( 0,0058 \) (vagyis \( 0,58\% \)) a termelés leállításának valószínűsége.

a) Az \( A_1 C_0 C_1 \) háromszög befogója \( C_0 C_1 = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), így területe: \( t_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \).
Az \( A_n C_{n-1} C_n \) háromszöget \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) arányú hasonlósággal lehet átvinni az \( A_{n+1} C_n C_{n+1} \) háromszögbe, hiszen az új háromszög alapja az előző átfogójának a fele (átfogó hossza \( \frac{1}{\cos 30^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \), felének hossza \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), az eredeti befogóhoz (1) viszonyítva ez a hasonlóság aránya).
A hasonló síkidomok területének arányára vonatkozó tétel szerint a területek egy \( q = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \) hányadosú mértani sorozatot alkotnak.
A végtelen sok háromszög területének összege: $$ T = \frac{t_1}{1 - q} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{2}{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}} \; (\approx 0,433) $$

b) (A rövidebb, elegánsabb megoldás)
Jelölje \( d_n \) a \( C_{n-1} C_n \) szakasz hosszát. Az első szakasz hossza \( d_1 = C_0 C_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
A hasonlóság miatt minden \( n > 1 \) esetén \( d_n = \frac{1}{\sqrt{3}} d_{n-1} \).
A \( \{ d_n \} \) sorozat tehát egy olyan mértani sorozat, amelynek első tagja és hányadosa is \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).
A töröttvonal hossza a sorozat első \( n \) tagjának az összege: \( S_n = d_1 + d_2 + \dots + d_n \).
A végtelen mértani sor összege (a határérték): $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} $$ Mivel \( \sqrt{3} < 1,733 \), ezért a határérték: $$ \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366 < 1,4 $$ Mivel a sorozat tagjai pozitívak, az \( \{S_n\} \) sorozat szigorúan monoton növekvő, így a részletösszegek mindig kisebbek a határértéknél, tehát valóban \( S_n < 1,4 \).

a) (A legelegánsabb megoldás vektorok forgatásával)
Teljes négyzetté kiegészítéssel adódik a kör egyenletének másik alakja: $$ (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 $$ Ahonnan a kör középpontja \( K(-3; -2) \), sugara \( r = 4 \).
A körbe írt \( ABC \) szabályos háromszög \( B \), illetve \( C \) csúcsát megkapjuk, ha az adott kör \( K \) középpontja körül elforgatjuk az \( A \) csúcsot \( +120^\circ \)-kal, illetve \( +240^\circ \)-kal.
Forgassuk a \( \vec{KA} \) vektort. Mivel \( A(1; -2) \), \( \vec{KA} = (1 - (-3); -2 - (-2)) = (4; 0) \), azaz \( \vec{KA} = 4\mathbf{i} \).
A \( 120^\circ \)-os elforgatás után: $$ \vec{KB} = 4 \cdot \left( \cos 120^\circ \mathbf{i} + \sin 120^\circ \mathbf{j} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j} \right) = -2\mathbf{i} + 2\sqrt{3}\mathbf{j} $$ A \( 240^\circ \)-os elforgatás után: $$ \vec{KC} = 4 \cdot \left( \cos 240^\circ \mathbf{i} + \sin 240^\circ \mathbf{j} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j} \right) = -2\mathbf{i} - 2\sqrt{3}\mathbf{j} $$ Így a \( B \) csúcs helyvektora \( \vec{OB} = \vec{OK} + \vec{KB} = -3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 2\mathbf{i} + 2\sqrt{3}\mathbf{j} = -5\mathbf{i} + (2\sqrt{3}-2)\mathbf{j} \), azaz: $$ \mathbf{B \left(-5; 2\sqrt{3}-2\right)} $$ Hasonlóan a \( C \) csúcs helyvektora \( \vec{OC} = \vec{OK} + \vec{KC} = -5\mathbf{i} - (2\sqrt{3}+2)\mathbf{j} \), azaz: $$ \mathbf{C \left(-5; -2\sqrt{3}-2\right)} $$

b) A keresett valószínűség a beírt szabályos háromszög és a kör területének hányadosa (geometriai valószínűség).
A kör területe: \( T_k = r^2\pi = 16\pi \).
Az \( r=4 \) sugarú körbe írt szabályos háromszög területe a szinuszos területképlettel: $$ T_h = 3 \cdot \frac{r^2 \sin 120^\circ}{2} = 3 \cdot \frac{16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 12\sqrt{3} $$ A keresett valószínűség: $$ P = \frac{T_h}{T_k} = \frac{12\sqrt{3}}{16\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx \mathbf{0,41} $$

a) 16 nyomólemez óránként \( 16 \cdot 100 = 1600 \) plakát elkészítését teszi lehetővé.
Ezért a teljes mennyiséghez \( \frac{14400}{1600} = 9 \) óra szükséges.
A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: $$ 16 \cdot 2500 + 9 \cdot 40000 = 40000 + 360000 = \mathbf{400\,000 \text{ Ft}} $$

b) Ha a nyomda \( x \) db nyomólemezt alkalmaz, akkor ezek ára \( 2500x \) forint.
Az \( x \) db lemezzel óránként \( 100x \) darab plakát készül el, ezért a 14 400 darab kinyomtatása \( \frac{14400}{100x} = \frac{144}{x} \) órát vesz igénybe.
Ez további \( \frac{144}{x} \cdot 40000 = \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} \) forint költséget jelent.
A két költség összege egy \( x > 0 \) függvényként felírva: $$ K(x) = 2500x + \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} $$ A minimumot a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel elegantán megkaphatjuk (\( A + B \ge 2\sqrt{AB} \)): $$ 2500x + \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} \ge 2 \cdot \sqrt{2500x \cdot \frac{5,76 \cdot 10^6}{x}} $$ $$ 2 \cdot \sqrt{1,44 \cdot 10^{10}} = 2 \cdot 1,2 \cdot 10^5 = 240\,000 $$ A két költség összege tehát nem lehet kevesebb 240 000 forintnál.
Az egyenlőség akkor teljesül (a minimum helye), amikor a két tag egyenlő: $$ 2500x = \frac{5,76 \cdot 10^6}{x} \implies x^2 = \frac{5\,760\,000}{2500} = 2304 $$ Mivel \( x > 0 \), ebből \( \mathbf{x = 48} \) adódik.
A legkisebb költség eléréséhez tehát 48 darab nyomólemezt kell alkalmazni, és a költségek összege ekkor 240 000 Ft.

Legyen a négyzetes oszlop alapéleinek hossza \( a \) (cm) és a magasság hossza \( b \) (cm). A feltétel szerint \( a > 2 \) és \( b > 2 \) egészek.

Azoknak az egységkockáknak lesz pontosan két lapja piros, melyek a nagy oszlop élei mentén helyezkednek el, de nem a csúcsokban (a csúcskockáknak 3 piros lapja van).
A testnek 8 olyan éle van (az alaplapokon), amelynek hossza \( a \). Ezeken élenként \( a - 2 \) kocka van. További 4 oldaléle van, amelynek hossza \( b \), itt élenként \( b - 2 \) ilyen festett kocka található.

Összesítve, az ilyen kockák száma: $$ 8 \cdot (a - 2) + 4 \cdot (b - 2) = 28 $$ Ezt rendezve és egyszerűsítve a diophantikus egyenletet kapjuk: $$ 8a - 16 + 4b - 8 = 28 $$ $$ 8a + 4b = 52 \implies \mathbf{2a + b = 13} $$

Keresünk olyan \( (a; b) \) számpárokat, ahol \( a \ge 3 \) és \( b \ge 3 \) egészek. A lehetséges értékek táblázatban összefoglalva:

A három lehetséges négyzetes oszlop térfogata (\( V = a^2 \cdot b \)):

• Ha \( a = 5 \) és \( b = 3 \), akkor \( V = 5^2 \cdot 3 = \mathbf{75 \text{ cm}^3} \).
• Ha \( a = 4 \) és \( b = 5 \), akkor \( V = 4^2 \cdot 5 = \mathbf{80 \text{ cm}^3} \).
• Ha \( a = 3 \) és \( b = 7 \), akkor \( V = 3^2 \cdot 7 = \mathbf{63 \text{ cm}^3} \).

Az első egyenletből, felhasználva, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha legalább az egyik szorzótényezője 0, adódnak a következő esetek:

a) eset: \( \sin x = 0 \)
Az \( x \in [0; 2\pi] \) intervallumban három \( x \) érték tesz eleget ennek az egyenletnek: $$ x_1 = 0; \quad x_2 = \pi; \quad x_3 = 2\pi $$ A \( \sin x = 0 \) feltételt behelyettesítve a második egyenletbe: $$ \sin^2 y = \frac{1}{4} $$ Ebből \( \sin y = \frac{1}{2} \) vagy \( \sin y = -\frac{1}{2} \).
Az első egyenletnek az intervallumon két \( y \) érték felel meg: \( y = \frac{\pi}{6} \) és \( y = \frac{5\pi}{6} \).
A második egyenletnek szintén két \( y \) érték felel meg: \( y = \frac{7\pi}{6} \) és \( y = \frac{11\pi}{6} \).
Így összesen négy \( y \) érték tesz eleget az egyenletrendszernek ebben az ágban.
Ebben az esetben összesen \( 3 \cdot 4 = \mathbf{12} \) darab \( (x; y) \) rendezett számpár megoldás van.

b) eset: \( \cos y = 0 \)
Az \( y \in [0; 2\pi] \) intervallumban két \( y \) érték tesz eleget ennek: $$ y_5 = \frac{\pi}{2}; \quad y_6 = \frac{3\pi}{2} $$ Ha \( \cos y = 0 \), akkor \( \sin^2 y = 1 \). Amit behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk: $$ \sin x + 1 = \frac{1}{4} \implies \sin x = -\frac{3}{4} $$ Ez a \( [0; 2\pi] \) intervallumban két \( x \) értékre teljesül (\( x_1 \approx 3,9897 \) és \( x_2 \approx 5,4351 \)).
Ebben az esetben \( 2 \cdot 2 = \mathbf{4} \) rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek.

Az a) és b) esetben egymástól különböző számpárokat kaptunk, így összesen \( 12 + 4 = \mathbf{16} \) darab rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek.