2010. Októberi Emelt Szintű Matek Érettségi

a) Elvégezve a köbre emeléseket és összevonva a tagokat: $$ (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) > -8 $$ $$ -6x^2 - 2 > -8 \implies -6x^2 > -6 \implies x^2 < 1 $$ A megoldáshalmaz tehát a \( ]-1; 1[ \) intervallum.

b) A grafikonok megrajzolása után a metszéspont koordinátáit egyenletmegoldással igazoljuk: $$ \sqrt{x + 3} = -0,5x + 2,5 $$ Észrevehető, hogy az \( x = 1 \) megoldása az egyenletnek (hiszen \( \sqrt{4} = -0,5 \cdot 1 + 2,5 \implies 2 = 2 \)). Mivel \( f(x) \) szigorúan monoton nő, \( g(x) \) pedig szigorúan monoton csökken, más metszéspont nem lehet. A metszéspont koordinátái \( (1; 2) \), amelyek valóban egész számok.

c) A megoldandó egyenlőtlenség ekvivalens a \( \sqrt{x + 3} \le -0,5x + 2,5 \) egyenlőtlenséggel. Értelmezési tartomány: \( x \ge -3 \).
A b) feladat grafikonjairól (vagy a monotonitásból) leolvasható, hogy az \( f(x) \le g(x) \) egyenlőtlenség az \( x \le 1 \) értékekre teljesül.
Így a megoldáshalmaz a \( [-3; 1] \) intervallum.

a) A legnagyobb helyi értékű számjegy nem lehet 0, így az csak 8-as lehet (1 lehetőség). A maradék 9 hely mindegyikén 2 lehetőségünk van (0 vagy 8). Így az ilyen számok száma: $$ 1 \cdot 2^9 = \mathbf{512} $$

b) Egy szám akkor és csak akkor osztható 45-tel, ha osztható 5-tel és 9-cel is.
Mivel 5-tel osztható és csak 0-t meg 8-at tartalmazhat, mindenképpen 0-ra kell végződnie.
Mivel 9-cel osztható, a számjegyeinek összegének is oszthatónak kell lennie 9-cel. Csak 8-as számjegyek adják a pozitív összeget, és ahhoz, hogy az összeg osztható legyen 9-cel, legalább kilenc darab 8-as számjegyre van szükség.
A legkisebb ilyen szám tehát 9 darab 8-asból és a végén egy 0-ból áll: 8 888 888 880

a) A gúla felszíne az alaplap és a négy oldallap területének összege.
- Alaplap: \( T_{ABCD} = 12 \cdot 6 = 72 \).
- \( ABP \) háromszög: Egyenlő szárú. A magassága \( P \)-ből az \( AB \) élre vetítve a téglatest \( ADHE \) lapjának átlójával egyezik meg. A magasság hossza: \( \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \). Így \( T_{ABP} = \frac{12 \cdot 10}{2} = 60 \).
- \( DCP \) háromszög: Magassága a téglatest magassága, azaz 8. Területe: \( T_{DCP} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48 \).
- \( PAD \) és \( PBC \) háromszögek: Egybevágó derékszögű háromszögek (befogóik 6 és 10, mivel \( P \) merőleges vetülete a \( CD \) él felezőpontja). Területük egyenként: \( \frac{6 \cdot 10}{2} = 30 \).
A gúla felszíne: \( 72 + 60 + 48 + 2 \cdot 30 = \mathbf{240 \text{ egység}^2} \).

b) Az \( ABP \) lap síkja egybeesik az \( ABGH \) átlós síkmetszettel. A keresett szög az \( ABGH \) sík és az \( ABCD \) sík hajlásszöge, ami az \( ADHE \) lapon látszó \( HAD \angle \)-gel egyenlő.
Egy derékszögű háromszög alapján: $$ \tan \alpha = \frac{HD}{AD} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \implies \alpha \approx \mathbf{53,1^\circ} $$

a) A fiúk számát az oszlopokban lévő adatok és a fiúszám szorzataként kapjuk: $$ 1 \cdot (103+58+15+3+3+0) + 2 \cdot (61+11+3+1+1+1) + \dots $$ $$ 182 + 2 \cdot 78 + 3 \cdot 16 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 4 = 182 + 156 + 48 + 36 + 20 = \mathbf{442} \text{ fiú.} $$

b) A legalább kétgyermekes családoknál a 0 és 1 gyermekes eseteket (pl. a 160-at és a 103, 121-et) kizárjuk. Összegezzük soronként (lányok száma szerint) a maradékot:
0 lány: \( 61 + 8 + 5 = 74 \)
1 lány: \( 58 + 11 + 4 + 1 + 1 = 75 \)
2 lány: \( 54 + 15 + 3 + 2 + 2 + 2 = 78 \)
3 lány: \( 9 + 3 + 1 + 1 + 1 = 15 \) (illetve a táblázat alapján \( 14 \))
4 lány és a felett még kevesebb.
Látható, hogy a leggyakoribb leányszám a 2.

c) A táblázat kitöltéséhez az indexek (fiú+lány) összegét kell nézni legalább 4 esetén:
4 gyermek: 21
5 gyermek: 8
6 gyermek: 5
7 gyermek: 4
8 gyermek: 2
9, 10 gyermek: 0
Támogatott családok száma összesen: \( 21 + 8 + 5 + 4 + 2 = \mathbf{40} \text{ család} \).
Támogatott gyermekek száma: \( 21 \cdot 4 + 8 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + 2 \cdot 8 = 84 + 40 + 30 + 28 + 16 = \mathbf{198} \text{ gyermek} \).

Először meghatározzuk a parabola és a kör metszéspontjait. Helyettesítsük az \( x^2 = 2y \) kifejezést a kör egyenletébe: $$ 2y + y^2 = 8 \implies y^2 + 2y - 8 = 0 $$ A másodfokú egyenlet gyökei \( y_1 = 2 \) és \( y_2 = -4 \). Mivel az \( x^2 = 2y \) parabolán \( y \ge 0 \), csak az \( y = 2 \) ad valós megoldást, ekkor \( x = \pm 2 \).
A metszéspontok tehát \( (2; 2) \) és \( (-2; 2) \).

A konvex részt a kör egy körszelete és a parabola metszéke alkotja az \( y = 2 \) egyenes mentén.
A két metszéspont és az origó (a kör középpontja) derékszögű háromszöget határoz meg (mivel a pontok távolsága az origótól \( \sqrt{8} \), az \( y=2 \) húr hossza 4, \( (\sqrt{8})^2 + (\sqrt{8})^2 = 4^2 \) teljesül). Így a körszelet egy \( 90^\circ \)-os körcikk és egy háromszög különbsége: $$ T_{\text{körszelet}} = \frac{1}{4} r^2 \pi - \frac{1}{2} \cdot \text{alap} \cdot \text{magasság} = \frac{1}{4} \cdot 8 \pi - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 2\pi - 4 $$

A parabolából a húr által levágott szegmens területe integrállal (a felső egyenesből kivonva a parabolát): $$ T_{\text{parabolaszelet}} = \int_{-2}^{2} \left( 2 - \frac{x^2}{2} \right) dx = \left[ 2x - \frac{x^3}{6} \right]_{-2}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{6} \right) - \left( -4 + \frac{8}{6} \right) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} $$

A teljes konvex rész területe ezek összege: $$ T = 2\pi - 4 + \frac{16}{3} = \mathbf{2\pi + \frac{4}{3}} $$

a) Az ábrán összesen 35 darab szabályos metszéspontokból álló háromszög látható. A háromszögek szögei a szabályos ötszög szögeiből adódóan csak kétféle variációt adnak ki: \( (36^\circ, 36^\circ, 108^\circ) \) vagy \( (72^\circ, 72^\circ, 36^\circ) \). Így hasonlóság erejéig mindössze 2 lényegesen különböző háromszög van.

b) Az \( ABCQ \) négyszög egy rombusz, mert szemközti szögei egyenlők (\( 72^\circ \) és \( 108^\circ \)). A területe \( T = a^2 \sin 108^\circ = 120 \), amiből \( a^2 \approx 126,17 \text{ cm}^2 \).
A szabályos ötszög területe öt egybevágó középponti háromszög területéből áll, ami kifejezhető az oldalhosszal: $$ T_{\text{ötszög}} = 5 \cdot \frac{a^2 \tan 54^\circ}{4} \approx \frac{5}{4} \cdot 126,17 \cdot 1,3764 \approx \mathbf{217 \text{ cm}^2} $$

c)
1. állítás: Igaz. A 10 csúcs mindegyikéből pontosan 4 él fut ki (minden csúcs foka 4). Az élek száma a fokszámok összegének a fele: \( \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \).
2. állítás: Igaz. Könnyen bejárható egy nyolc élből álló kör, például az ötszög és a belső csillag peremének vonalán haladva (pl. \( A-B-C-D-E-Q-P-T-A \)).

a) A havi bevétel függvénye az eladott mennyiség és az ár szorzata: $$ B(x) = x(36 - 0,03x) = -0,03x^2 + 36x $$ Ez egy lefelé nyíló parabola, melynek maximumhelye a derivált zérushelye, vagy a parabola csúcsa: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{-0,06} = \mathbf{600 \text{ kg}} $$ A legnagyobb bevétel: \( B(600) = -0,03 \cdot 600^2 + 36 \cdot 600 = \mathbf{10800 \text{ euró}} \).

b) A nyereségfüggvény a bevétel és a kiadás különbsége: $$ Ny(x) = B(x) - K(x) = (-0,03x^2 + 36x) - (0,0001x^3 - 30,12x + 13000) $$ $$ Ny(x) = -0,0001x^3 - 0,03x^2 + 66,12x - 13000 $$ A maximum megkereséséhez deriváljuk a függvényt és egyenlővé tesszük nullával: $$ Ny'(x) = -0,0003x^2 - 0,06x + 66,12 = 0 $$ Ezt felszorozva -10000-rel: $$ 3x^2 + 600x - 661200 = 0 \implies x^2 + 200x - 220400 = 0 $$ A másodfokú egyenlet pozitív gyöke: \( x = 380 \text{ kg} \). (A negatív gyök értelmetlen a feladat szempontjából, és a második derivált itt negatív, tehát maximum).
A legnagyobb nyereség behelyettesítve: $$ Ny(380) = -0,0001 \cdot 380^3 - 0,03 \cdot 380^2 + 66,12 \cdot 380 - 13000 = \mathbf{2306,4 \text{ euró}} $$

a) 240 Ft kifizetése 4 érmével:
- \( 200 + 20 + 10 + 10 \)
- \( 100 + 100 + 20 + 20 \)
Miki tehát 2 féleképpen fizethetett.

240 Ft kifizetése 5 érmével:
- \( 200 + 20 + 10 + 5 + 5 \)
- \( 200 + 10 + 10 + 10 + 10 \)
- \( 100 + 100 + 20 + 10 + 10 \)
- \( 100 + 50 + 50 + 20 + 20 \)
Karcsi 4 féleképpen fizethetett.

b) A legkönnyebb a komplementer esemény valószínűségéből kiindulni: annak esélye, hogy egyszer sem nyer, \( (1-p)^2 \). Tehát annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer nyer: $$ 1 - (1-p)^2 = \mathbf{2p - p^2} $$

c) Ha Bandi két azonos szelvényt tölt ki, akkor a találat esélye \( p \). Ha két különbözőt tölt ki, akkor a két esemény egymást kizáró (mivel egy húzás van, és nem lehet két különböző telitalálata), így a valószínűség \( 2p \). Az optimális játék esetén ez a valószínűség.

d) Mivel \( p > 0 \), a \( p^2 \) is határozottan pozitív, ezért \( 2p - p^2 < 2p \). Ebből következik, hogy a c)-ben leírt játékszabály (két szelvény, egy húzás) kedvezőbb számára.

a) Halmazok segítségével felírva, jelölje \( x \) azoknak a számát, akiknek nincs német vizsgája. Ekkor \( 10580 - x \) főnek van német vizsgája.
A feltételek szerint:
- Nincs angolja a német nélküliek 70%-ának: \( 0,7x \)
- Nincs angolja a némettel rendelkezők 30%-ának: \( 0,3(10580 - x) \)
Az angol vizsgával nem rendelkezők száma összesen: \( 0,7x + 0,3(10580 - x) = 3174 + 0,4x \).
A harmadik feltétel azt mondja, hogy ezen hallgatók 60%-ának németje sincs (ez pont az a \( 0,7x \) csoport, akiknek egyik sincs): $$ 0,6(3174 + 0,4x) = 0,7x \implies 1904,4 + 0,24x = 0,7x $$ $$ 1904,4 = 0,46x \implies x = 4140 $$ Német vizsgája van: \( 10580 - 4140 = \mathbf{6440} \) főnek.
Angol vizsgája nincs: \( 3174 + 0,4 \cdot 4140 = 4830 \) főnek. Angol vizsgája van: \( 10580 - 4830 = \mathbf{5750} \) főnek.

b) Azoknak a száma, akik mindkét vizsgával rendelkeznek, megegyezik a németesek mínusz a németesek közül azok, akiknek nincs angolja (30%). Tehát a németesek 70%-a: $$ 6440 \cdot 0,7 = 4508 \text{ fő.} $$ Százalékosan a teljes hallgatósághoz viszonyítva: $$ \frac{4508}{10580} \cdot 100 = \mathbf{42,6\%} $$