2009. Október Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

11 pont

Oldja meg az alábbi egyenleteket!

a

$ 0,5^{2-\log_{0,5} x} = 3 $, ahol $ x > 0 $ és $ x \in \mathbb{R} $.

4 pont

b

$ 7 + 6\log_x \frac{1}{2} = \log_2 x $, ahol $ 1 < x \le 2 $ és $ x \in \mathbb{R} $.

7 pont

a) A hatványozás megfelelő azonosságát alkalmazva:

$$ \frac{0,5^2}{0,5^{\log_{0,5} x}} = 3 $$

A logaritmus definíciója szerint a nevező értéke $ x $:

$$ \frac{0,25}{x} = 3 \implies \mathbf{x = \frac{1}{12}} $$

b) A logaritmus alapjának áttérésével felírható, hogy $ \log_x \frac{1}{2} = -\log_x 2 = -\frac{1}{\log_2 x} $. Ezt behelyettesítve az egyenletbe:

$$ 7 - \frac{6}{\log_2 x} = \log_2 x $$

Mindkét oldalt $ \log_2 x $-szel beszorozva és nullára redukálva másodfokú egyenletet kapunk $ \log_2 x $-re:

$$ \log_2^2 x - 7\log_2 x + 6 = 0 $$

A másodfokú egyenlet megoldásai: $ \log_2 x = 6 $ vagy $ \log_2 x = 1 $.

Ebből $ x = 64 $ vagy $ x = 2 $. Mivel a feltétel szerint $ 1 < x \le 2 $, így az egyetlen érvényes megoldás az $ x = 2 $.

2

13 pont

István örömmel mesélte Péter barátjának, hogy egy négyszög alakú telket vett, amire majd házat akar építeni. Elmondása szerint a négyszög egyik szöge derékszög, és az ezt közrefogó mindkét oldal 20,0 m hosszú. A telek másik két oldala is egymással egyenlő hosszú, ezek 120°-os szöget zárnak be.

a

Hány méter hosszú drót szükséges az üres telek bekerítéséhez?

4 pont

b

„Mekkora házat szeretnél rá építeni?” – kérdezte Péter.
„Négyzet alapú sarokházat, és körülbelül 100 m² alapterületűt. Úgy gondoltuk a párommal, hogy a házat a derékszögű sarokba építtetjük” – válaszolt István.
„Ha jól képzelem el a telek alakját, akkor az nagyon furcsa alakú lehet. Oda még egy kis faház sem fér el” – szólt nevetve Péter.
Rajzolja le, hogy milyen alakú az István által megvett telek, és milyennek képzelte el Péter!

2 pont

c

Legfeljebb mekkora alapterületű, négyzet alapú sarokház férne el a telek derékszögű sarkába az egyik és mekkora a másik esetben? (Válaszát m²-re kerekítve adja meg!)

7 pont

a) Jelöljük a telket $ ABCD $ négyszöggel, ahol a derékszögű csúcs az $ A $. Így $ AB = AD = 20 $. Pitagorasz tételével a $ BD $ átló hossza $ BD = 20\sqrt{2} $.
A $ BDC $ háromszög egyenlő szárú, és csúcsszöge $ \angle BDC = 120^\circ $. Ekkor az alapon fekvő szögek $ 30^\circ $-osak. A $ C $-ből húzott magasság felezi a $ BD $ alapot. A létrejövő derékszögű háromszögben szögfüggvénnyel (vagy a 30-60-90 fokos háromszög tulajdonságaival) felírható az oldal (jelöljük $ b $-vel):

$$ \cos 30^\circ = \frac{10\sqrt{2}}{b} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{b} \implies b = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$

A telek kerülete: $ K = 40 + 2b = 40 + \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \approx \mathbf{72,7 \text{ m}} $.

b) (Az ábra elkészítése a vizsgázó feladata.)
István egy konvex $ ABCD $ deltoidra gondolt (ahol $ C $ csúcs "kifelé" mutat), Péter pedig egy konkáv deltoidra (ahol a $ C $ csúcs "befelé" hajlik).

c) A négyzet alapú ház alapterülete akkor a legnagyobb, ha a négyzet $ A $-val szembeni csúcsa éppen a $ C $ pontba esik. Jelölje a négyzet oldalát a konvex és konkáv esetben is a $ C $ pontból az $ AD $ (vagy $ AB $) oldalra bocsátott merőleges szakasz hossza, legyen ez $ CT $.

Konvex esetben: Az $ ABCD $ négyszög félszöge $ 45^\circ $, és az egyenlő szárú $ BDC $ háromszög félszöge $ 60^\circ $. A $ TCD $ derékszögű háromszög szöge $ \angle TCD = 15^\circ $. Így a négyzet oldala: $$ CT = b \cos 15^\circ = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \cos 15^\circ \approx 15,77 \text{ m} $$ Az alapterület: $ 15,77^2 \approx \mathbf{249 \text{ m}^2} $.
Konkáv esetben: A $ TCD $ derékszögű háromszög szöge ekkor $ \angle TCD = 75^\circ $. Így a négyzet oldala: $$ CT = b \cos 75^\circ \approx 4,23 \text{ m} $$ Az alapterület: $ 4,23^2 \approx \mathbf{18 \text{ m}^2} $.

3

14 pont

Az $ \mathbf{a} $ és $ \mathbf{b} $ vektor koordinátái a $ t $ valós paraméter függvényében:
$ \mathbf{a}(\cos t ; \sin t) $ és $ \mathbf{b}(\sin^2 t ; \cos^2 t) $.

a

Adja meg az $ \mathbf{a} $ és $ \mathbf{b} $ vektorok koordinátáinak pontos értékét, ha $ t $ az $ \frac{5\pi}{6} $ számot jelöli!

2 pont

b

Mekkora az $ \mathbf{a} $ és $ \mathbf{b} $ vektorok hajlásszöge $ t = \frac{5\pi}{6} $ esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!)

5 pont

c

Határozza meg a $ t $ olyan valós értékeit, amelyek esetén az $ \mathbf{a} $ és $ \mathbf{b} $ vektorok merőlegesek egymásra!

7 pont

a) Behelyettesítve a $ t = \frac{5\pi}{6} $ (azaz $ 150^\circ $) értéket:

$$ \mathbf{a} = \left( \cos \frac{5\pi}{6} ; \sin \frac{5\pi}{6} \right) = \mathbf{\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)} $$ $$ \mathbf{b} = \left( \sin^2 \frac{5\pi}{6} ; \cos^2 \frac{5\pi}{6} \right) = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 ; \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right) = \mathbf{\left( \frac{1}{4} ; \frac{3}{4} \right)} $$

b) A két vektor hajlásszögét ($ \alpha $) a skaláris szorzatból határozhatjuk meg: $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \alpha $.

A skaláris szorzat: $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 - \sqrt{3}}{8} $.
A vektorok hossza: $ |\mathbf{a}| = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1 $.
$ |\mathbf{b}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4} $.

$$ \cos \alpha = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \approx 0,2005 $$

Ebből a hajlásszög: $ \alpha \approx 78,43^\circ $. Kerekítve a keresett szög $ 78^\circ $.

c) A két vektor akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk nulla:

$$ \cos t \cdot \sin^2 t + \sin t \cdot \cos^2 t = 0 $$

Kiemelve a közös tényezőt:

$$ \sin t \cdot \cos t \cdot (\sin t + \cos t) = 0 $$

Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:

$ \sin t = 0 \implies \mathbf{t = k\pi} \quad (k \in \mathbb{Z}) $
$ \cos t = 0 \implies \mathbf{t = \frac{\pi}{2} + n\pi} \quad (n \in \mathbb{Z}) $
$ \sin t + \cos t = 0 \implies \tan t = -1 \implies \mathbf{t = \frac{3\pi}{4} + m\pi} \quad (m \in \mathbb{Z}) $

4

13 pont

Az $ (a_n) $ mértani és a $ (b_n) $ számtani sorozatnak is 1 az első tagja, és mindkét sorozat hatodik tagja $ (-1) $.

a

Sorolja fel mindkét sorozat első öt tagját!

4 pont

b

Milyen pozitív egész $ n $-re lesz a két sorozat első $ n $ tagjának összege ugyanakkora?

9 pont

a) Felírva a sorozatok hatodik elemeit kapjuk a kvócienst ($ q $) és a differenciát ($ d $):

Mértani: $ a_6 = a_1 q^5 \implies 1 \cdot q^5 = -1 \implies q = -1 $.
Számtani: $ b_6 = b_1 + 5d \implies 1 + 5d = -1 \implies d = -\frac{2}{5} $.

A mértani sorozat első öt eleme: 1; -1; 1; -1; 1.
A számtani sorozat első öt eleme: 1; $\frac{3}{5}$; $\frac{1}{5}$; $-\frac{1}{5}$; $-\frac{3}{5}$.

b) Vizsgáljuk meg a sorozatok összegeit az a) rész alapján:

$ n $	1	2	3	4	5	6
$ \sum a_i $ (mértani)	1	0	1	0	1	0
$ \sum b_i $ (számtani)	1	1,6	1,8	1,6	1	0

A táblázatból rögtön látszik, hogy az összegek egyenlőek $ n = 1, n = 5 $ és $ n = 6 $ esetén. De vajon van-e további megoldás?

A számtani sorozat tagjai csökkennek, a hatodik tag már negatív, így az összeg $ n \ge 6 $ után szigorúan monoton csökken és mindig $ < 0 $ lesz. A mértani sorozat összege viszont felváltva csak 1 vagy 0 lehet. Mivel a számtani sorozat összege a továbbiakban már negatív, így az sosem egyezhet meg a mértani sorozat 0 vagy 1 értékű összegével.

Tehát a megoldások: $ n = 1 $, $ n = 5 $ és $ n = 6 $.

5

16 pont

A Kovács családban 4 embernek kezdődik a keresztneve B betűvel. Négyen teniszeznek, és négyen kerékpároznak rendszeresen.
A család tagjairól még a következőket tudjuk:

csak Bea és Barbara jár teniszezni is és kerékpározni is;
egyedül Balázs nem űzi egyik sportágat sem;
Zoli próbálja testvérét, Borit a teniszezőktől hozzájuk, a kerékpározókhoz csábítani – sikertelenül.

a

A fentiek alapján legalább hány tagja van a Kovács családnak?

5 pont

b

Egyik nap Barbara, Bea, Bori és Balázs barátaikkal vonaton utaztak, és hogy jobban teljen az idő, játszottak. A játék kezdetekor a társaság minden tagjának egy-egy olyan háromjegyű pozitív számra kellett gondolnia, amelynek minden számjegye 4-nél nagyobb és 7-nél kisebb. Amikor sorra megmondták a gondolt számot, kiderült, hogy nincs a mondott számok között azonos.
Legfeljebb hány tagú lehetett a társaság?

3 pont

c

Egy másik alkalommal Barbara, Bea, Bori, Balázs és 4 barátjuk (Attila, András, Ali és Anna) moziba ment. Mind a 8 jegy egy sorba, egymás mellé szólt.
A 8 ember hány különböző ülésrendben foglalhat helyet, ha az azonos betűvel kezdődő keresztnevűek közül semelyik kettő nem kerül egymás mellé?

5 pont

d

Mekkora a valószínűsége annak, hogy a c) pont szerinti ülésrend alakul ki, ha minden ülésrend egyenlően valószínű?

3 pont

a) Jelöljük a teniszezők halmazát $ T $-vel, a kerékpározókét $ K $-val. A metszet $ T \cap K $ elemei: Barbara és Bea. Az unióba nem tartozik: Balázs. Zoli csak kerékpározik, tehát $ K \setminus T $ eleme. Bori csak teniszezik, tehát $ T \setminus K $ eleme. Ezzel megvan a 4 "B" betűs családtag.
Ahhoz, hogy 4 teniszező legyen, kell még legalább egy személy a $ T \setminus K $ halmazba. Ahhoz, hogy 4 kerékpáros legyen, kell még egy személy a $ K \setminus T $ halmazba. Így összesen: 2 (metszet) + 1 (Balázs) + 2 (Zoli, Bori) + 1 (ismeretlen teniszező) + 1 (ismeretlen kerékpáros) = 7 tagja van legalább a családnak.

b) A feladat szerint a háromjegyű szám minden számjegye 5 vagy 6 lehet csak. Mivel minden számjegy kétféle lehet, és a szám 3 jegyű, a lehetséges különböző számok száma: $$ 2 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{8} $$ Mivel mindenki különböző számot mondott, legfeljebb 8 tagú lehetett a társaság.

c) A feladat szerint 4 "B" betűs és 4 "A" betűs ember van. Azonos kezdőbetűsek nem ülhetnek egymás mellett, tehát a sorrend csak ABABABAB vagy BABABABA lehet. Mindkét esetben a "B"-sek és az "A"-sok egymás közötti sorrendje 4!-4! féleképpen alakulhat.
Az összes megfelelő ülésrend száma: $$ 2 \cdot 4! \cdot 4! = 2 \cdot 24 \cdot 24 = \mathbf{1152} $$

d) A 8 ember összes lehetséges ülésrendje 8!. Mivel minden sorrend egyenlően valószínű, a keresett valószínűség: $$ P = \frac{\text{kedvező esetek}}{\text{összes eset}} = \frac{1152}{8!} = \frac{1152}{40320} = \mathbf{\frac{1}{35}} \approx \mathbf{0,0286} $$

6

16 pont

Egy üzletben háromféle palackozott ecet van a polcon: 12 db 10%-os, 8 db 15%-os és 5 db 20%-os. Mindegyiket azonos csomagolásban, 1 literes kiszerelésben árulják.

a

Hány százalékos ecetet kapnánk, ha a polcon lévő összes ecetet összeöntenénk?

3 pont

b

Kázmér elképzelése az, hogy egy palack ecet árát az üres palack árából, a tömény ecet, valamint a tiszta víz literenkénti árából kalkulálják ki. Az üres palack ára 30 Ft, a tömény ecet literje 500 Ft és a tiszta víz literje 10 Ft. Mennyibe kerülne a három különböző töménységű palackozott ecet az üzletben, ha a fogyasztói ár a Kázmér elképzelése szerint kalkulált ár 120%-a? (A fogyasztói árat a végén kerekítik egész forintra!)

5 pont

c

Kázmér felírta a literes palackok bolti árait: a 10%-os ecet 144 Ft, a 15%-os 150 Ft, a 20%-os 156 Ft. Ha ezeket az árakat a b) részben leírtak szerint kalkulálták, akkor ki lehet-e mindezekből számítani az üres palack, a tömény ecet és a tiszta víz árát?

8 pont

a) Az összeöntött 25 liter keverékben a tömény ecet mennyisége literben:

$$ 12 \cdot 0,1 + 8 \cdot 0,15 + 5 \cdot 0,2 = 1,2 + 1,2 + 1 = 3,4 \text{ liter} $$

A keverék százalékos összetétele: $ \frac{3,4}{25} = 0,136 $, azaz 13,6%-os ecetet kapnánk.

b) Ha a palackban a tömény ecet mennyisége $ a $, a tiszta vízé $ b $ liter, a kalkulált alapár: $ 30 + 500a + 10b $ Ft. A fogyasztói ár ennek 120%-a ($ 1,2 $-szerese).

10%-os ecet esetén: $ 1,2 \cdot (30 + 500 \cdot 0,1 + 10 \cdot 0,9) = 1,2 \cdot (30 + 50 + 9) = 1,2 \cdot 89 = \mathbf{107 \text{ Ft}} $.
15%-os ecet esetén: $ 1,2 \cdot (30 + 500 \cdot 0,15 + 10 \cdot 0,85) = 1,2 \cdot (30 + 75 + 8,5) = 1,2 \cdot 113,5 \approx \mathbf{136 \text{ Ft}} $.
20%-os ecet esetén: $ 1,2 \cdot (30 + 500 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,8) = 1,2 \cdot (30 + 100 + 8) = 1,2 \cdot 138 \approx \mathbf{166 \text{ Ft}} $.

c) Jelölje a keresett mennyiségeket egy-egy ismeretlen (kereskedelmi árrés most nincs az árakban feladat szerint): palack ára $ p $, tömény ecet $ t $, víz $ v $. Felírható a három egyenlet:

(1)	$ p + 0,1t + 0,9v = 144 $
(2)	$ p + 0,15t + 0.85v = 150 $
(3)	$ p + 0,2t + 0,8v = 156 $

Ha a (2) egyenletből kivonjuk az (1)-est, kapjuk: $ 0,05t - 0,05v = 6 $.
Ha a (3) egyenletből kivonjuk a (2)-est, szintén ezt kapjuk: $ 0,05t - 0,05v = 6 $.

Mivel a három egyenlet nem független egymástól (lineárisan összefüggőek), az ismeretlenek egyértelmű értéke nem határozható meg belőlük.

7

16 pont

Egy matematikus három német és négy magyar matematikust hívott vendégségbe szombat délutánra. Csütörtökön a házigazda és a 7 meghívott közül néhányan telefonon egyeztettek. A házigazda mindenkivel beszélt. Az azonos nemzetiségű vendégek egymást nem hívták, de a többiekkel mind beszéltek telefonon. Senki sem beszélt egy másik emberrel egynél többször, és minden beszélgetés pontosan két ember között zajlott.

a

Hány telefonbeszélgetést bonyolított le egymás között a 8 matematikus csütörtökön?

5 pont

b

A telefonbeszélgetéskor minden meghívott vendég megmondta, hogy mekkora valószínűséggel megy el a szombati vendégségbe. Mindannyian ugyanazt a valószínűséget mondták. A házigazda tudta, hogy a meghívottak egymástól függetlenül döntenek arról, hogy eljönnek-e. Kiszámolta, hogy 0,028 annak a valószínűsége, hogy mindannyian eljönnek. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább egy meghívott elmegy a vendégségbe? (Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

11 pont

a) Értelmezzük gráfelméleti modellben a feladatot. A 8 személy a gráf csúcsai, a beszélgetések az élek. Ha a 8 fős társaság minden tagja mindenkivel beszélt volna egy alkalommal, akkor a teljes gráf éleinek száma: $ \binom{8}{2} = 28 $ beszélgetés lenne.
Mivel az azonos nemzetiségű vendégek nem beszéltek egymással, ezeket a (nem létező) éleket le kell vonnunk. A 3 német egymással nem beszélt, ez $ \binom{3}{2} = 3 $ beszélgetés mínuszt jelent. A 4 magyar egymással nem beszélt, ez $ \binom{4}{2} = 6 $ beszélgetés levonását jelenti.
Az összes megvalósult telefonbeszélgetések száma: $$ 28 - 3 - 6 = \mathbf{19} $$

b) Legyen $ p $ az a valószínűség, amit mindannyian mondtak a részvételükre. Mivel egymástól függetlenül döntenek, annak a valószínűsége, hogy mind a 7 meghívott elmegy:

$$ p^7 = 0,028 $$

Ebből gyökvonással kapjuk: $ p = \sqrt[7]{0,028} \approx 0,600 $.

Annak valószínűségét keressük, hogy legalább egy meghívott elmegy. Komplementer eseménnyel könnyebben számolható: a keresett valószínűség egyenlő azzal, hogy $ 1 - $ annak valószínűsége, hogy senki sem megy el.
Annak a valószínűsége, hogy egy adott személy nem megy el: $ 1 - p \approx 0,400 $.
Annak valószínűsége, hogy mind a 7 személy otthon marad: $ (1 - p)^7 \approx 0,4^7 \approx 0,0016 $.
Így a keresett valószínűség:

$$ P(\text{legalább egy}) = 1 - (1 - p)^7 = 1 - 0,0016 = \mathbf{0,998} $$

8

16 pont

Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja a $ C(0 ; 7) $ pont, a szárak hossza $ \sqrt{53} $ egység. A háromszög másik két csúcsa ($ A $ és $ B $) illeszkedik az $ y = -\frac{1}{4}x^2 + 1 $ egyenletű parabolára.

a

Számítsa ki az $ A $ és a $ B $ pont koordinátáit!

6 pont

b

Írja fel az $ ABC $ háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának a további közös pontja $ D $. Határozza meg a $ D $ pont koordinátáit!

4 pont

c

Mekkora területű részekre bontja az $ ABC $ háromszöget a parabola íve?

6 pont

a) Mivel a szárak hossza $ \sqrt{53} $, ezért a keresett két csúcs ($ A $ és $ B $) rajta van a $ C $ középpontú $ \sqrt{53} $ egység sugarú körön, melynek egyenlete: $ x^2 + (y-7)^2 = 53 $. A pontokat az egyenletrendszer megoldása adja meg:

$$ \begin{cases} y = -\frac{1}{4}x^2 + 1 \\ x^2 + (y-7)^2 = 53 \end{cases} $$

Az első egyenletből kifejezhetjük $ x^2 $-et: $ x^2 = -4y + 4 $. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe:

$$ (-4y + 4) + y^2 - 14y + 49 = 53 \implies y^2 - 18y = 0 $$

A másodfokú egyenlet megoldásai $ y_1 = 0 $ és $ y_2 = 18 $. Mivel a parabola csúcspontja az $ (0 ; 1) $ helyen van, és lefelé nyitott, így az $ y_2 = 18 $ nem ad valós $ x $ gyököt. Marad az $ y_1 = 0 $ eset. Ekkor:

$$ x^2 = 4 \implies x_1 = -2, \; x_2 = 2 $$

A keresett két csúcs tehát: $ A(-2 ; 0) $ és $ B(2 ; 0) $.

b) Írjuk fel az $ AC $ száregyenes egyenletét. $ A(-2; 0) $, $ C(0; 7) $. A meredekség $ m = \frac{7 - 0}{0 - (-2)} = \frac{7}{2} $. Az $ y $-metszet $ 7 $, így az egyenes egyenlete: $ y = \frac{7}{2}x + 7 $.
Keressük az egyenes és a parabola másik metszéspontját:

$$ -\frac{1}{4}x^2 + 1 = \frac{7}{2}x + 7 \implies x^2 + 14x + 24 = 0 $$

A másodfokú egyenlet gyökei $ x_1 = -2 $ (ez az $ A $ pont) és $ x_2 = -12 $. Ekkor $ y_2 = \frac{7}{2}(-12) + 7 = -35 $. A keresett metszéspont: $ D(-12 ; -35) $.

c) A parabola az y tengelyre nézve szimmetrikus módon osztja ketté az $ ABC $ háromszöget. Az $ ABC $ háromszög alapja $ AB = 4 $, magassága $ 7 $, így teljes területe: $ T = \frac{4 \cdot 7}{2} = 14 $.
A parabola és az $ x $ tengely által bezárt terület határozott integrállal számolható, ami megadja a háromszög alsó, kisebb területű részét:

$$ T_{\text{alsó}} = \int_{-2}^{2} \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right) dx = \left[ -\frac{x^3}{12} + x \right]_{-2}^{2} = \left(-\frac{8}{12} + 2\right) - \left(\frac{8}{12} - 2\right) = 2 \left(2 - \frac{2}{3}\right) = \mathbf{\frac{8}{3}} $$

A háromszög parabola fölötti (nagyobbik) részének területe a kettő különbsége:

$$ T_{\text{felső}} = 14 - \frac{8}{3} = \frac{42 - 8}{3} = \mathbf{\frac{34}{3}} \approx \mathbf{11,33} $$

9

16 pont

Jancsi vázát készít. Egy 10 cm sugarú, belül üreges gömbből levágott $ m $ magasságú ($ m > 10 $) gömbszelet határoló köréhez egy szintén $ m $ magasságú hengerpalástot ragaszt. A henger sugara megegyezik a gömbszeletet határoló kör sugarával.
Mekkorának válassza Jancsi a gömbszelet $ m $ magasságát, hogy a vázába a lehető legtöbb víz férjen? (A váza anyaga vékony, ezért a vastagságától eltekintünk, s hogy ne boruljon fel, egy megfelelő formájú üreges fatalpra fogják állítani.)

Tudjuk, hogy ha a gömbszelet magassága $ m $, a határoló kör sugara pedig $ r $, akkor a térfogata: $ V = \frac{\pi}{6}m \cdot (3r^2 + m^2) $.

Jelölje $ r $ a gömbszelet és a hozzá illeszkedő henger közös alapkörének sugarát. A gömb sugarára és ezekre az adatokra felírható egy derékszögű háromszög Pitagorasz-tétele a gömb középpontja körül. Ennek átfogója 10, befogói $ r $ és $ m - 10 $. Ez alapján:

$$ r^2 + (m - 10)^2 = 10^2 \implies r^2 = 100 - (m^2 - 20m + 100) = 20m - m^2 $$

A váza teljes térfogata a gömbszelet és a henger térfogatának összege: $ V = V_{\text{gömbszelet}} + V_{\text{henger}} $.

$$ V(m) = \frac{\pi}{6}m(3r^2 + m^2) + \pi r^2 m $$

Behelyettesítve $ r^2 $ kapott kifejezését az $ m $ függvényében:

$$ V(m) = \frac{\pi}{6}m \cdot [3(20m - m^2) + m^2] + \pi m(20m - m^2) $$ $$ V(m) = \frac{\pi}{6}m(60m - 2m^2) + 20\pi m^2 - \pi m^3 $$ $$ V(m) = 10\pi m^2 - \frac{\pi}{3}m^3 + 20\pi m^2 - \pi m^3 $$ $$ V(m) = 30\pi m^2 - \frac{4\pi}{3}m^3 $$

Ennek a köbös polinomfüggvénynek keressük a maximumát a $ ]10; 20[ $ nyílt intervallumon. Deriváljuk az $ m $ függvényében:

$$ V'(m) = 60\pi m - 4\pi m^2 = 4\pi m (15 - m) $$

A derivált zérushelye $ V'(m) = 0 $, ami az adott intervallumon akkor teljesül, ha $ m = 15 $.

Mivel a derivált függvény grafikonja (mint másodfokú lefelé nyitott parabola) 15-ig pozitív (a térfogat nő), 15 után negatív (a térfogat csökken), az $ m = 15 $ értéknél valóban abszolút maximuma van a függvénynek.

Jancsinak tehát 15 cm magasságot kell választania ahhoz, hogy a vázába a lehető legtöbb víz férjen.

\( n \)	1	2	3	4	5	6
\( \sum a_i \) (mértani)	1	0	1	0	1	0
\( \sum b_i \) (számtani)	1	1,6	1,8	1,6	1	0

(1)	\( p + 0,1t + 0,9v = 144 \)
(2)	\( p + 0,15t + 0.85v = 150 \)
(3)	\( p + 0,2t + 0,8v = 156 \)