2009. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

11 pont

Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója $ 36\sqrt{2} $ egység.

a

Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával?

4 pont

b

Hány területegység a hasáb felszíne? (A felszín mérőszámát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

3 pont

c

Az alapél és a testátló hosszát - ebben a sorrendben – tekintsük egy mértani sorozat első és negyedik tagjának! Igazolja, hogy az alaplap átlójának hossza ennek a sorozatnak második tagja!

4 pont

a) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyet a testátló, az alaplap átlója és a hasáb magassága alkot. Az alaplap átlója egy 18 egység oldalú négyzet átlója, azaz $ d = 18\sqrt{2} $.

A keresett $ \alpha $ szög a testátló és az alaplap átlója által bezárt szög. Felírhatjuk a szög koszinuszát: $$ \cos \alpha = \frac{18\sqrt{2}}{36\sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$ Ebből adódik, hogy $ \mathbf{\alpha = 60^\circ} $.

b) A hasáb magasságát ($ m $) kiszámíthatjuk a derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel vagy trigonometriával: $$ m = 36\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ = 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{6} $$ A hasáb felszíne a két alaplap és a négy oldallap területének összege: $$ A = 2a^2 + 4am = 2 \cdot 18^2 + 4 \cdot 18 \cdot 18\sqrt{6} $$ $$ A = 648 + 1296\sqrt{6} \approx \mathbf{3822,5 \text{ területegység}} $$

c) A mértani sorozat első tagja $ a_1 = 18 $, negyedik tagja $ a_4 = 36\sqrt{2} $. A kvócienst ($ q $) a következő összefüggésből kapjuk: $$ a_4 = a_1 \cdot q^3 \implies 36\sqrt{2} = 18 \cdot q^3 $$ $$ q^3 = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 \implies q = \sqrt{2} $$ A sorozat második tagja tehát: $$ a_2 = a_1 \cdot q = \mathbf{18\sqrt{2}} $$ Ez pedig pontosan a 18 egység oldalú négyzet (az alaplap) átlójának hossza.

2

12 pont

Egy gimnázium egyik érettségiző osztályába 30 tanuló jár, közülük 16 lány. A lányok testmagassága centiméterben mérve az osztályozó naplóbeli sorrend szerint: 166, 175, 156, 161, 159, 171, 167, 169, 160, 159, 168, 161, 165, 158, 170, 159.

a

Számítsa ki a lányok testmagasságának átlagát! Mekkora az osztály tanulóinak centiméterben mért átlagmagassága egy tizedesjegyre kerekítve, ha a fiúk átlagmagassága 172,5 cm?

5 pont

b

Ebben a 30 fős osztályban a tanulók három idegen nyelv közül választhattak, ezek az angol, a német és a francia. Hányan tanulják mindhárom nyelvet, és hányan nem tanulnak franciát, ha tudjuk a következőket:

Minden diák tanul legalább két idegen nyelvet.
Az angolt is és németet is tanuló diákok száma megegyezik a franciát tanulók számával.
Angolul 27-en tanulnak.
A németet is és franciát is tanulók száma 15.

7 pont

a) A lányok magasságának összege: 2624 cm. Az átlag: $$ \bar{x}_{\text{lány}} = \frac{2624}{16} = \mathbf{164 \text{ cm}} $$ Az egész osztály átlagmagasságát a lányok és a fiúk (14 fő) súlyozott átlagaként kapjuk meg: $$ \bar{x}_{\text{osztály}} = \frac{16 \cdot 164 + 14 \cdot 172,5}{30} = \frac{2624 + 2415}{30} = \frac{5039}{30} \approx \mathbf{168,0 \text{ cm}} $$

b) Jelöljük a halmazokat változókkal. Mivel mindenki legalább két nyelvet tanul, a halmazok külső részei és a csak egy nyelvet tanulók halmazai üresek. Legyenek:

$ x $: csak angolt és németet tanulók
$ y $: csak angolt és franciát tanulók
$ z $: csak németet és franciát tanulók
$ t $: mindhárom nyelvet tanulók

A megadott feltételek alapján a következő egyenletrendszert írhatjuk fel:

Összes diák: $ x + y + z + t = 30 $
Angol és német ($ x + t $) = francia ($ y + z + t $): $ x + t = y + z + t \implies x = y + z $
Angol: $ x + y + t = 27 $
Német és francia: $ z + t = 15 $

Mivel $ x + y + t = 27 $ és az osztály 30 fős, adódik, hogy akik nem tanulnak angolul (ők csak a $ z $ csoporthoz tartozhatnak), azok száma $ z = 30 - 27 = 3 $.
A (4) egyenletből: $ 3 + t = 15 \implies \mathbf{t = 12} $. (Tehát 12-en tanulják mindhárom nyelvet.)
A (2) egyenletbe behelyettesítve: $ x = y + 3 \implies x - y = 3 $.
Tudjuk, hogy $ x + y + z + t = 30 \implies x + y + 3 + 12 = 30 \implies x + y = 15 $.
A két egyenletből ($ x - y = 3 $ és $ x + y = 15 $) összeadással kapjuk: $ 2x = 18 \implies x = 9 $.
A franciát nem tanulók pontosan az angolt és németet tanulók ($ x $ csoport), ami tehát 9 fő.

3

14 pont

a

Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete $ 2x + y = 10 $, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? Adja meg a hiányzó csúcsok koordinátáit!

6 pont

b

Jelölje $ e $ azokat az egyeneseket, amelyeknek egyenlete $ 2x + y = b $, ahol $ b $ valós paraméter. Mekkora lehet $ b $ értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott $ e $ egyenesnek és az origó középpontú, 4 egység sugarú körnek?

8 pont

a) A megadott $ 2x + y = 10 $ egyenletű egyenes a tengelyeket az $ A(5; 0) $ és a $ B(0; 10) $ pontokban metszi. Az origó $ O(0; 0) $.
Az origóból a megadott egyenesre bocsátott merőleges egyenes egyenlete $ x - 2y = 0 $. A két egyenes metszéspontját ($ D $) az egyenletrendszer megoldása adja: $ D(4; 2) $.
Összesen három ilyen derékszögű háromszög van:

$ AOB $ háromszög: csúcsai az $ A(5; 0) $, $ O(0; 0) $ és $ B(0; 10) $
$ ADO $ háromszög: csúcsai az $ A(5; 0) $, $ D(4; 2) $ és $ O(0; 0) $
$ BDO $ háromszög: csúcsai az $ B(0; 10) $, $ D(4; 2) $ és $ O(0; 0) $

b) Az $ e $ egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az origótól mért távolsága legfeljebb 4 egység (a kör sugara).
Az egyenes és a pont távolságképlete alapján: $$ d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - b|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-b|}{\sqrt{5}} \le 4 $$ Ebből kapjuk: $$ |b| \le 4\sqrt{5} = \sqrt{80} $$ Tehát $ b $ lehetséges értékei: $ -\sqrt{80} \le b \le \sqrt{80} $ (vagy $ [-4\sqrt{5}; 4\sqrt{5}] $).

4

14 pont

Legyen $ f $ és $ g $ is a valós számok halmazán értelmezett függvény: $$ f(x) = \begin{cases} -1, & \text{ha } x \le -1 \\ 2x+1, & \text{ha } -1 < x < 0 \\ 1, & \text{ha } x \ge 0 \end{cases} \quad \text{és} \quad g(x) = x^2 - 2 $$

a

Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét függvényt! Adja meg az $ f(x) = g(x) $ egyenlet valós megoldásait!

6 pont

b

Számítsa ki a két függvény grafikonja által közrefogott zárt síkidom területét!

8 pont

a) (Az ábrázolást mellőzzük.) Az egyenlet megoldásához mindhárom intervallumon meg kell vizsgálni a metszéspontokat.
Ha $ x \le -1 $, akkor $ -1 = x^2 - 2 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 $.
Ha $ -1 < x < 0 $, akkor $ 2x + 1 = x^2 - 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 $. A gyökök 3 és -1, amelyek nem esnek a vizsgált nyílt intervallumba.
Ha $ x \ge 0 $, akkor $ 1 = x^2 - 2 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} $.
Az egyenletnek két megoldása van: $ x_1 = -1 $ és $ x_2 = \sqrt{3} $.

b) A síkidom területét két határozott integrál összegeként kapjuk meg, felbontva az integrálást az $ y $-tengely mentén: $$ T = \int_{-1}^{0} \left( (2x+1) - (x^2-2) \right) dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} \left( 1 - (x^2-2) \right) dx $$ $$ T = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 2x + 3) dx + \int_{0}^{\sqrt{3}} (-x^2 + 3) dx $$ Az integrálok elvégzése után: $$ T = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^0 + \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x \right]_{0}^{\sqrt{3}} $$ Behelyettesítve a határokat: $$ T = \left( 0 - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) \right) + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - 0 \right) $$ $$ T = \frac{5}{3} + 2\sqrt{3} \approx \mathbf{5,13 \text{ területegység}} $$

5

16 pont

Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán!

a

$$ \frac{2x^2+x-10}{2^{x-1}-2} = 0 $$

4 pont

b

$$ \sqrt{x+16} + \sqrt{x-9} = 5 $$

4 pont

c

$$ \lg(x^2+x-6) = \lg(1-x^2) $$

4 pont

d

$$ \sin x - 1 = \sqrt{\lg(\cos^2 x - 1,5\cos x)} $$

4 pont

a) A tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevezője nem nulla.
A számláló gyökei: $ 2x^2 + x - 10 = 0 \implies x_1 = 2 \text{ és } x_2 = -2,5 $.
A nevező nem lehet nulla: $ 2^{x-1} - 2 \neq 0 \implies x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2 $.
Így az $ x=2 $ hamis gyök, az egyetlen valós megoldás az $ x = -2,5 $.

b) Az értelmezési tartomány: $ x+16 \ge 0 $ és $ x-9 \ge 0 \implies x \ge 9 $.
A $ [9; +\infty[ $ halmazon a bal oldali függvény (mint szigorúan monoton növekvő függvények összege) szigorúan monoton növekvő. Minimumértékét az $ x=9 $ helyen veszi fel, ami éppen $ \sqrt{25} + 0 = 5 $. Emiatt az egyetlen megoldás az $ x = 9 $.

c) Vizsgáljuk meg a logaritmusok értelmezési tartományát!
Az első feltétel: $ x^2 + x - 6 > 0 \implies x < -3 \text{ vagy } x > 2 $.
A második feltétel: $ 1 - x^2 > 0 \implies -1 < x < 1 $.
A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása.

d) A bal oldali kifejezés ($ \sin x - 1 $) értéke legfeljebb 0, míg a jobb oldali (négyzetgyökös) kifejezés értéke csak nemnegatív lehet. Az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha mindkét oldal pontosan 0.
Bal oldal: $ \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 $. Ha $ \sin x = 1 $, akkor $ \cos x = 0 $.
Ekkor a jobb oldal argumentuma: $ \cos^2 x - 1,5\cos x = 0 - 0 = 0 $. De a logaritmus 0-ra nincs értelmezve! Így az egyenlet nem értelmezhető ott, ahol egyenlőség lehetne, tehát nincs megoldása.

6

16 pont

Egy nagyvárosban a helyi járatokon olyan buszjegyet kell érvényesíteni, amelyen egy 3x3-as négyzetben 1–9-ig szerepelnek a számok. A jegy érvényesítésekor a jegykezelő automata a kilenc mezőből mindig pontosan hármat lyukaszt ki.

a

Sorolja fel / jelölje az összes olyan lyukasztást, amelyben minden sorban és minden oszlopban pontosan egy kilyukasztott mező van! Indokolja, hogy miért ezek és csak ezek a lehetséges lyukasztások!

4 pont

b

Készítsen egy olyan lyukasztást, amelyen a ki nem lyukasztott hat kis négyzetlap olyan tartományt fed le, amelynek pontosan egy szimmetriatengelye van! (A mezőkre nyomtatott számoktól most eltekintünk.)

3 pont

c

Két kisiskolás a buszra várakozva beszélget. Áron azt mondja, hogy szeretné, ha a buszjegyen kilyukasztott három szám mindegyike prím lenne. Zita pedig azt reméli, hogy a számok összege 13 lesz. Mekkora valószínűséggel teljesül Áron, illetve Zita kívánsága?

9 pont

a) Minden sorban kell lyukasztásnak lenni. Az első sorban 3 lehetőségünk van a lyuk kiválasztására, a második sorban már csak 2 (hogy ne legyen azonos oszlopban), a harmadik sorbeli lyukat pedig az előző kettő egyértelműen meghatározza. Így a megfelelő lyukasztások száma: $ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $. Ezen elrendezések az alábbiak (a lyukasztott számokat vastagon szedtük):

[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9] [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9] [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9] [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9] [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9] [1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]

b) (Ábra megrajzolását kihagyjuk) Számos helyes megoldás létezik, például az 1-es, 3-as és 5-ös mezők lyukasztása, amely egy „V” alakú maradékot hagy, melynek pontosan a függőleges középvonal az egyetlen szimmetriatengelye.

c) Az összes lehetséges lyukasztások száma (kombináció): $ \binom{9}{3} = 84 $.
Áron esete: Az első kilenc pozitív egész között 4 prímszám van (2, 3, 5, 7). Hogy mindhárom lyukasztott szám prím legyen, 4-ből 3-at kell választani: $ \binom{4}{3} = 4 $ kedvező eset. A valószínűség: $ P_{\text{Áron}} = \frac{4}{84} \approx \mathbf{0,048} $.
Zita esete: Szisztematikusan felírjuk a 13-at adó számhármasokat: (1,3,9), (1,4,8), (1,5,7), (2,3,8), (2,4,7), (2,5,6), (3,4,6). Összesen 7 kedvező eset van. A valószínűség: $ P_{\text{Zita}} = \frac{7}{84} \approx \mathbf{0,083} $.

7

16 pont

András edzőtáborban készül egy úszóversenyre, 20 napon át. Azt tervezte, hogy naponta 10 000 métert úszik. De az első napon a tervezettnél 10%-kal többet, a második napon pedig az előző napinál 10%-kal kevesebbet teljesített. A 3. napon ismét 10%-kal növelte az előző napi adagját, a 4. napon 10%-kal kevesebbet edzett, mint az előző napon, és így folytatta, páratlan sorszámú napon 10%-kal többet, pároson 10%-kal kevesebbet teljesített, mint a megelőző napon.

a

Hány métert úszott le András a 6. napon?

4 pont

b

Hány métert úszott le összesen a 20 nap alatt?

6 pont

c

Az edzőtáborozás 20 napjából véletlenszerűen választunk két szomszédos napot. Mekkora a valószínűsége, hogy András e két napon együttesen legalább 20 000 métert teljesített?

6 pont

a) Jelölje $ a_n $ az $ n $-edik napon leúszott hosszat.
$ a_1 = 10000 \cdot 1,1 = 11000 $.
$ a_2 = a_1 \cdot 0,9 = 11000 \cdot 0,9 = 9900 $.
Látható, hogy két nap alatt a távolság mindig $ 1,1 \cdot 0,9 = 0,99 $-szeresére változik.
A 6. napi táv megkapható így: $$ a_6 = a_2 \cdot 0,99^2 = 9900 \cdot 0,9801 \approx \mathbf{9703 \text{ méter}} $$

b) A páratlan és a páros sorszámú napokon leúszott hosszak egy-egy mértani sorozatot alkotnak, mindkettő kvóciense 0,99 és 10 tagból állnak.
Páratlan napok összege ($ a_1 = 11000 $): $$ S_{\text{páratlan}} = 11000 \frac{1 - 0,99^{10}}{1 - 0,99} \approx 105 179,7 $$ Páros napok összege ($ a_2 = 9900 $): $$ S_{\text{páros}} = 9900 \frac{1 - 0,99^{10}}{1 - 0,99} \approx 94 661,7 $$ Az összesen leúszott távolság a kettő összege: kb. 199 841 méter.

c) A 20 napból két szomszédos nap 19-féleképpen választható ki (összes eset).
Vizsgáljuk a szomszédos napi összegeket ($ b_n = a_n + a_{n+1} $):

1. és 2. nap: 11000 + 9900 = 20900
2. és 3. nap: 9900 + 10890 = 20790
... a sorozat szigorúan monoton csökken, mert a kétnapi teljesítmény is $ 0,99 $-es szorzóval zsugorodik.

Kiszámítva az értékeket, megállapítható, hogy a 9. és 10. nap összege $ 10566 + 9510 = 20076 $, míg a 10. és 11. napé $ 9510 + 10461 = 19971 $. Tehát pontosan az első 9 szomszédos pár összege éri el vagy haladja meg a 20 000 métert.
A valószínűség: $ P = \frac{9}{19} \approx \mathbf{0,474} $.

8

16 pont

A $ K $ középpontú és $ R $ sugarú kört kívülről érinti az $ O $ középpontú és $ r $ sugarú kör ($ R > r $). A $ KO $ egyenes a nagy kört $ A $ és $ E $, a kis kört $ E $ és $ D $ pontokban metszi. Forgassuk el a $ KO $ egyenest az $ E $ pont körül $ \alpha $ hegyesszöggel! Az elforgatott egyenes a nagy kört az $ E $-től különböző $ B $ pontban, a kis kört $ C $ pontban metszi.

a

Igazolja, hogy az $ ABDC $ négyszög trapéz!

5 pont

b

Igazolja, hogy az $ ABC $ háromszög területe $ t = R \cdot (R + r) \cdot \sin 2\alpha $!

7 pont

c

Mekkora $ \alpha $ szögnél lesz az $ ABC $ háromszög területe maximális, adott $ R $ és $ r $ esetén?

4 pont

a) Mivel $ A, E $ a nagy kör átmérőjének végpontjai, Thalész tétele miatt az $ \angle ABE = 90^\circ $. Ugyanígy $ E, D $ a kis kör átmérőjének végpontjai, így $ \angle CDE = 90^\circ $. Ebből következik, hogy az $ AB $ és $ CD $ szakaszok is merőlegesek a $ BC $ egyenesre, tehát $ AB \parallel CD $. Mivel a négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, a négyszög trapéz.

b) Az $ ABE $ derékszögű háromszögben felírható: $$ BE = 2R\cos\alpha \quad \text{és} \quad AB = 2R\sin\alpha $$ A $ CDE $ derékszögű háromszögben felírható: $$ CE = 2r\cos\alpha $$ Így az $ ABC $ háromszög $ BC $ alapja: $$ BC = BE + CE = 2R\cos\alpha + 2r\cos\alpha = 2(R+r)\cos\alpha $$ Mivel az $ \angle ABC $ derékszög (a nagy körben Thalész tétel miatt), a háromszög területe: $$ T_{ABC} = \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{2R\sin\alpha \cdot 2(R+r)\cos\alpha}{2} $$ Egyszerűsítve és a kétszeres szög szinuszának azonosságát ($ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha $) felhasználva: $$ T_{ABC} = 2R(R+r)\sin\alpha\cos\alpha = \mathbf{R(R+r)\sin 2\alpha} $$ Ezzel az állítást igazoltuk.

c) A területfüggvény egyetlen változója a hegyesszögű $ \alpha $. A $ \sin 2\alpha $ kifejezés maximális értéke 1, amit a $ 2\alpha = 90^\circ $ helyen vesz fel.
Ebből következik, hogy a terület $ \mathbf{\alpha = 45^\circ} $ esetén lesz maximális.

9

16 pont

Öt egyetemista: Bence, Kati, Márti, Pali és Zoli nyáron munkát szeretne vállalni egy üdülőhelyen. A helyi újságban több megfelelőnek látszó munkahelyet is találtak, mégpedig a következőket: három éttermet, amelyekbe csak fiúkat, két fodrászatot, amelyekbe csak lányokat vesznek fel és két fagyizót, amelyekbe viszont alkalmaznak fiúkat és lányokat is. (Egyik munkahelyen sincs létszámkorlátozás.)

a

Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha mind az öten egymástól függetlenül döntenek az állásokról, és minden fiatal csak egy állást vállal? (Az azonos típusú munkahelyeket is megkülönböztetjük.)

7 pont

b

Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha a 2 lány nem akar ugyanazon a munkahelyen dolgozni, és a 3 fiú közül is bármelyik kettő különböző munkahelyre szeretne menni?

4 pont

Bence, Kati, Pali és Zoli asztaliteniszben körmérkőzést akarnak játszani. (A körmérkőzés azt jelenti, hogy mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést játszik.) Az első este csak három mérkőzést játszanak le.

c

Hányféle lehet a három mérkőzésben a játékosok párosítása, ha tudjuk, hogy négyük közül pontosan két játékos két-két mérkőzést játszott?

5 pont

a) Minden fiú (3 fő) 5 lehetőség közül választhat (3 étterem + 2 fagyizó). Így ez együtt $ 5^3 $ lehetőség.
Minden lány (2 fő) 4 lehetőség közül választhat (2 fodrászat + 2 fagyizó). Ez együtt $ 4^2 $ lehetőség.
Mivel a döntéseik függetlenek, az elhelyezkedések száma összesen: $ 5^3 \cdot 4^2 = 125 \cdot 16 = \mathbf{2000} $.

b) Mivel a 3 fiú különböző munkahelyekre akar menni, a számukra rendelkezésre álló 5 hely közül kell 3-at választani, sorrenddel (ismétlés nélküli variáció): $ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $-féleképpen helyezkedhetnek el.
A 2 lány a számukra lehetséges 4 helyre ugyanezen elv alapján $ 4 \cdot 3 = 12 $-féleképpen mehet.
Az összes eset e kettő szorzata: $ 60 \cdot 12 = \mathbf{720} $.

c) A körmérkőzésen egy 4 pontból álló teljes gráf éleit választjuk ki (összesen 6 mérkőzés lehetséges). Most ebből 3 élt (mérkőzést) játszanak le.
A feltétel szerint 2 játékos játszott 2-2 mérkőzést, azaz a gráfban pontosan két csúcs foka 2. A fokszámok összege $ 2 \cdot \text{élek száma} = 2 \cdot 3 = 6 $. Tehát a fokszámok csak a (2, 2, 1, 1) sorozatot alkothatják (ez egy 4 hosszú utat jelent).
A legegyszerűbb, ha kiválasztjuk a 6 lehetséges mérkőzésből (élből) a 3 lejátszottat, ami $ \binom{6}{3} = 20 $ lehetséges kiválasztás.
Megszámoljuk, hány olyan gráf van, ami NEM felel meg:

Amikor egy játékos mindhárom meccset lejátssza (csillaggráf, fokszámok: 3, 1, 1, 1). Ez 4-féleképpen lehetséges.
Amikor három játékos játszik egymással egy háromszöget, egy pedig egyet sem (fokszámok: 2, 2, 2, 0). Ez is 4-féleképpen lehetséges.

Így a feltételeknek megfelelő párosítások száma: $ 20 - 4 - 4 = \mathbf{12} $.