2008. Október Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

10 pont

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket:

a

$ (x-2) \cdot \lg(x^2-8) = 0 $

5 pont

b

$ x^2 - |x| = 6 $

5 pont

a) A logaritmus értelmezése alapján: $ x^2 - 8 > 0 $, azaz $ x < -2\sqrt{2} $ vagy $ x > 2\sqrt{2} $.

Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0, így két esetet vizsgálunk:

1. eset: $ x - 2 = 0 \implies x = 2 $. Ez azonban nem eleme az értelmezési tartománynak (hamis gyök).
2. eset: $ \lg(x^2-8) = 0 \implies x^2 - 8 = 1 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 $ vagy $ x = -3 $.

Mivel a 3 és a $-3$ is eleme az értelmezési tartománynak, a megoldáshalmaz: $ M = \{-3; 3\} $.

b) Vegyük észre, hogy $ x^2 = |x|^2 $ minden valós számra. Így az egyenlet $ |x| $-ben másodfokú egyenletként is felírható:

$$ |x|^2 - |x| - 6 = 0 $$

A másodfokú megoldóképletet alkalmazva az $ |x| $-re:

$$ |x| = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$

Ebből $ |x| = 3 $ vagy $ |x| = -2 $. Mivel az abszolút érték nem lehet negatív, csak az $ |x| = 3 $ ad megoldást. Ebből következik, hogy $ x = 3 $ vagy $ x = -3 $. A megoldáshalmaz tehát: $ M = \{-3; 3\} $.

2

14 pont

A mosogatógépünkön háromféle program van. Egy mosogatáshoz az A program 20%-kal több elektromos energiát, viszont 10%-kal kevesebb vizet használ, mint a B program.
A B program 30%-kal kevesebb elektromos energiát és 25%-kal több vizet használ egy mosogatáshoz, mint a C program.
Mindhárom program futtatásakor 40 Ft-ba kerül az alkalmazott mosogatószer.
Egy mosogatás az A programmal 151 Ft-ba, a B programmal 140 Ft-ba kerül.

Mennyibe kerül a C programmal egy mosogatás?

Jelölje a B program által egy mosogatás alatt felhasznált elektromos energia árát $ x $, a felhasznált víz árát pedig $ y $ (Ft-ban).

Ekkor a B program költsége: $ x + y + 40 = 140 $.

Az A program költsége a feltételek alapján ($ 1,2x $ az energia, $ 0,9y $ a víz):
$ 1,2x + 0,9y + 40 = 151 $.

A következő kétismeretlenes egyenletrendszert kapjuk:

$ (1) \quad x + y = 100 $
$ (2) \quad 1,2x + 0,9y = 111 $

Az (1) egyenletből $ y = 100 - x $, ezt behelyettesítve a (2)-be:

$$ 1,2x + 0,9(100 - x) = 111 $$

$$ 0,3x + 90 = 111 \implies 0,3x = 21 \implies x = 70 \text{ Ft} $$

Ebből $ y = 100 - 70 = 30 \text{ Ft} $.

A C program költségeinek kiszámítása a B programhoz képesti megadott arányok alapján történik. Ha a C program energia ára $ E_C $ és víz ára $ V_C $, akkor:

Az energia: $ x = 0,7 \cdot E_C \implies 70 = 0,7 \cdot E_C \implies E_C = 100 \text{ Ft} $
A víz: $ y = 1,25 \cdot V_C \implies 30 = 1,25 \cdot V_C \implies V_C = 24 \text{ Ft} $

A mosogatószer árát is figyelembe véve, a C programmal egy mosogatás teljes ára: $ 100 + 24 + 40 = $ 164 Ft.

3

13 pont

Jelölje $ H $ a $ [0; 2\pi[ $ intervallumot. Legyen $ A $ a $ H $ azon $ x $ elemeinek halmaza, amelyekre teljesül a $ 2^{\sin x} > 1 $ egyenlőtlenség, és $ B $ a $ H $ halmaz azon részhalmaza, amelynek $ x $ elemeire teljesül a $ 2^{\cos x} < 1 $ egyenlőtlenség.

Adja meg az $ A $ halmazt, a $ B $ halmazt és az $ A \setminus B $ halmazt!

A megoldandó egyenlőtlenségeket átírhatjuk $ 2^{\sin x} > 2^0 $, illetve $ 2^{\cos x} < 2^0 $ alakra.

Mivel az exponenciális függvény 2-es alappal szigorúan monoton növekvő, ezért:

$ 2^{\sin x} > 2^0 $ pontosan akkor teljesül, ha $ \sin x > 0 $.
$ 2^{\cos x} < 2^0 $ pontosan akkor teljesül, ha $ \cos x < 0 $.

Az alaphalmazon ($ [0; 2\pi[ $) a trigonometrikus függvények előjele alapján:

A $ \sin x > 0 $ egyenlőtlenség megoldása: $ 0 < x < \pi $. Tehát $ A = ]0; \pi[ $.

A $ \cos x < 0 $ egyenlőtlenség megoldása: $ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} $. Tehát $ B = \left]\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right[ $.

A két halmaz különbsége (azok az elemek, amelyek benne vannak $ A $-ban, de nincsenek $ B $-ben):

$ A \setminus B = \left]0; \frac{\pi}{2}\right] $.

4

14 pont

Az $ ABC $ háromszögben $ AB = 2 $, $ AC = 1 $, a $ BC $ oldal hossza pedig megegyezik az $ A $ csúcsból induló súlyvonal hosszával.

a

Mekkora a $ BC $ oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg!

9 pont

b

Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg!

5 pont

a) Legyen az $ A $ csúcsból induló súlyvonal $ AD = x $. A feltétel szerint $ BC = x $ is teljesül. Mivel $ D $ a $ BC $ oldal felezőpontja, így $ BD = DC = \frac{x}{2} $.

Írjuk fel a koszinusztételt az $ ADC $ és az $ ABD $ háromszögekre! Legyen az $ ADC\angle = \delta $, ekkor az $ ADB\angle = 180^\circ - \delta $.

Az $ ADC $ háromszögben az $ AC $ oldalra: $$ 1^2 = x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{x}{2} \cdot \cos\delta $$

Az $ ABD $ háromszögben az $ AB $ oldalra: $$ 2^2 = x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{x}{2} \cdot \cos(180^\circ - \delta) $$

Mivel $ \cos(180^\circ - \delta) = -\cos\delta $, a két egyenletet összeadva a koszinuszos tagok kiesnek:

$$ 1 + 4 = 2x^2 + 2\left(\frac{x^2}{4}\right) $$ $$ 5 = 2x^2 + \frac{x^2}{2} = 2,5x^2 $$ $$ x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} $$

Tehát a $ BC $ oldal hossza pontosan $ \sqrt{2} $.

b) A terület kiszámításához határozzuk meg az $ A $ csúcsnál lévő szöget ($ \alpha $) az $ ABC $ háromszögben a koszinusztétellel:

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\alpha $$ $$ (\sqrt{2})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos\alpha $$ $$ 2 = 5 - 4\cos\alpha \implies 4\cos\alpha = 3 \implies \cos\alpha = \frac{3}{4} $$

Ebből meghatározzuk a szög szinuszát (mivel a szög a háromszög belső szöge, a szinusza pozitív): $$ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} $$

A háromszög területe a trigonometrikus területképlettel: $$ T = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin\alpha}{2} = \frac{2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{2} = \mathbf{\frac{\sqrt{7}}{4}} $$

5

16 pont

Egy urnában 5 azonos méretű golyó van, 2 piros és 3 fehér. Egyesével, és mindegyik golyót azonos eséllyel húzzuk ki az urnából a bent levők közül.

a

Hány különböző sorrendben húzhatjuk ki az 5 golyót, ha a kihúzott golyót nem tesszük vissza, és az azonos színű golyók nem különböztethetők meg egymástól?

4 pont

b

Mennyi annak a valószínűsége, hogy az utolsó (ötödik) húzás előtt az urnában egy darab fehér golyó marad?

4 pont

Az eredeti golyókat tartalmazó urnából hatszor húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót minden húzás után visszatesszük.

c

Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hat húzásból legfeljebb kétszer húzunk piros golyót? (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekített értékkel adja meg!)

8 pont

a) A lehetséges húzási sorrendek száma megegyezik 2 piros és 3 fehér golyó ismétléses permutációinak számával (vagy egyszerűen 5 helyből 2 hely kiválasztása a piros golyók számára): $$ \frac{5!}{2!3!} = \binom{5}{2} = \mathbf{10} $$

b) "Az utolsó húzás előtt egy darab fehér golyó marad" megfogalmazás pontosan azt jelenti, hogy az utolsó (ötödik) kihúzott golyó fehér. Mivel a kihúzott golyók sorrendjében nincs kitüntetve egyetlen golyó sem, bármelyik golyó ugyanakkora valószínűséggel kerül az 5. (utolsó) helyre.
Az urnában 5 golyó van, melyből 3 fehér. Így annak a valószínűsége, hogy az utolsóként kihúzott golyó fehér: $$ P = \mathbf{\frac{3}{5} = 0,6} $$

c) Mivel visszatevéssel húzunk, minden húzásnál a piros golyó húzásának valószínűsége független, és értéke $ p = \frac{2}{5} $, a fehér golyó húzásának valószínűsége pedig $ q = \frac{3}{5} $.
A "legfeljebb kétszer húzunk pirosat" esemény bekövetkezhet 0, 1 vagy 2 piros golyó húzásával. Ez binomiális eloszlás ($ n = 6 $): $$ P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $$ Kiszámítva az egyes tagokat: $$ P(X = 0) = \binom{6}{0} \left(\frac{3}{5}\right)^6 = 1 \cdot \frac{729}{15625} \approx 0,0467 $$ $$ P(X = 1) = \binom{6}{1} \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{3}{5}\right)^5 = 6 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{243}{3125} = \frac{2916}{15625} \approx 0,1866 $$ $$ P(X = 2) = \binom{6}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{3}{5}\right)^4 = 15 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{81}{625} = \frac{4860}{15625} \approx 0,3110 $$ A keresett valószínűség ezek összege: $$ P(X \le 2) = \frac{729 + 2916 + 4860}{15625} = \frac{8505}{15625} \approx \mathbf{0,544} $$

6

16 pont

Egy középiskola 12. osztályának egyik csoportjában minden tanuló olyan matematika dolgozatot írt, amelyben 100 pont volt az elérhető maximális pontszám. A csoport eredményéről a következőket tudjuk: 5 tanuló maximális pontot kapott a dolgozatára, minden tanuló elért legalább 60 pontot, és a dolgozatok pontátlaga 76 pont volt. Minden tanuló egész pontszámmal értékelt dolgozatot írt.

a

Legalább hányan lehettek a csoportban?

5 pont

b

Legfeljebb hány diák dolgozata lehetett 60 pontos, ha a csoport létszáma 14?

4 pont

A 14 fős csoportból Annának, Balázsnak, Csabának, Dorkának és Editnek lett 100 pontos a dolgozata. Pontosan hatan írtak 60 pontos dolgozatot, és csak egy olyan tanuló volt, akinek a pontszáma megegyezett az átlagpontszámmal.

c

Hányféleképpen valósulhatott ez meg? (A csoport két eredményét akkor tekintjük különbözőnek, ha a csoport legalább egy tanulójának különböző a dolgozatra kapott pontszáma a két esetben.)

7 pont

a) Jelölje $ n $ a csoportba járó diákok számát. Az átlag miatt a dolgozatok összpontszáma $ 76n $.

Tudjuk, hogy 5 tanuló kapott 100 pontot, a maradék $ (n-5) $ tanuló pedig legalább 60 pontot ért el. Így az összpontszámra a következő egyenlőtlenséget írhatjuk fel: $$ 76n \ge 500 + (n-5) \cdot 60 $$ $$ 76n \ge 500 + 60n - 300 $$ $$ 16n \ge 200 \implies n \ge 12,5 $$ Mivel a diákok száma csak egész szám lehet, a csoportnak legalább 13 tanulója volt.

b) Ha $ n = 14 $, akkor az összpontszám: $ 14 \cdot 76 = 1064 $.
Ebből 5 tanuló pontja kiad összesen 500-at, így a maradék 9 tanuló pontszámának összege: $ 1064 - 500 = 564 $ pont.
Ha 9 diák lenne 60 pontos, az $ 9 \cdot 60 = 540 $ pontot eredményezne, ami kevesebb, mint a rendelkezésre álló 564 pont, így ez nem lehetséges.
Ha nyolc tanuló dolgozata lett 60 pontos, a kilencedik tanuló pontszáma: $ 564 - 8 \cdot 60 = 564 - 480 = 84 $. Mivel 84 pont kevesebb a maximálisnál (és legalább 60), ez egy érvényes eset. Legfeljebb tehát 8 diák dolgozata lehetett 60 pontos.

c) A csoport létszáma 14. Az 5 maximális pontot elért diák adott (név szerint), itt nincs választási lehetőség. A maradék 9 diák eredményeit kell szétosztanunk.

Tudjuk, hogy az ismert $ 5 + 6 + 1 = 12 $ diák pontszámainak összege: $$ 5 \cdot 100 + 6 \cdot 60 + 1 \cdot 76 = 936 \text{ pont.} $$ A fennmaradó 2 tanuló összesen $ 1064 - 936 = 128 $ ponton osztozott. Ezek a pontszámok (mivel a 60 pontot elérők száma pontosan hat, és a 76 pontot elérők száma egy) legalább 61 és legfeljebb 67 (és egyike sem lehet 76) pontot jelentenek. A lehetséges összetételek, amelyek 128-at adnak ki:

61 és 67 (2 különböző pontszám)
62 és 66 (2 különböző pontszám)
63 és 65 (2 különböző pontszám)
64 és 64 (megegyező pontszám)

Ez összesen 7 féle pontelosztást jelent a két diák között (az első három esetben számít a sorrend: például az "egyik kap 61-et, a másik 67-et" kétféle kiosztás, tehát $ 3 \cdot 2 = 6 $ plusz az 1 egyforma pontszám, összesen $ 6 + 1 = 7 $).

Most számoljuk ki, hogy az 5 darab 100 pontos tanulón kívüli 9 diák közül hogyan választhatjuk ki a megfelelőeket:

A 60 pontot elérő 6 tanulót kiválaszthatjuk a 9-ből: $ \binom{9}{6} = 84 $ féleképpen.
A 76 pontot elérő 1 tanulót kiválaszthatjuk a maradék 3-ból: 3 féleképpen.
A fennmaradó 2 diák megkapja a 7 lehetséges kiosztás egyikét.

Az összes lehetőségek száma: $ 84 \cdot 3 \cdot 7 = $ 1764.

7

16 pont

Adott a $ K(t) = t^2 + 6t + 5 $ polinom. Jelölje $ H $ a koordinátasík azon $ P(x; y) $ pontjainak halmazát, amelyekre $ K(x) + K(y) \le 0 $.

a

A $ H $ halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a $ C(-3; -3) $ ponttól 2 egységnél nem nagyobb távolságra van?

9 pont

Az $ f $ függvényt a következőképpen definiáljuk: $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 6x + 5 $.

b

Számítsa ki az $ f $ függvény grafikonja és az $ x $ tengely által közbezárt síkidom területét!

7 pont

a) Az adott feltételt behelyettesítve: $$ (x^2 + 6x + 5) + (y^2 + 6y + 5) \le 0 $$ A kifejezéseket teljes négyzetté kiegészítve alakítsuk át az egyenlőtlenséget: $$ (x^2 + 6x + 9) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 4 \le 0 $$ $$ (x + 3)^2 + (y + 3)^2 \le 8 $$ A $ H $ halmaz egy körlap a koordinátasíkon, melynek középpontja éppen $ C(-3; -3) $, sugara pedig $ R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $.

A kérdéses esemény egy mértani valószínűségi probléma. A "kedvező" tartomány azok a pontok a körlapon, melyek $ C(-3; -3) $-tól legfeljebb $ r = 2 $ távolságra vannak. Ez egy $ 2 $ sugarú koncentrikus körlap területe.

A kedvező tartomány területe: $ T_{\text{kedvező}} = 2^2\pi = 4\pi $.

A teljes ($ H $) tartomány területe: $ T_{\text{összes}} = (\sqrt{8})^2\pi = 8\pi $.

A keresett valószínűség a területek aránya: $$ P = \frac{4\pi}{8\pi} = \mathbf{\frac{1}{2}} $$

b) Először határozzuk meg az $ f(x) = x^2 + 6x + 5 $ függvény zérushelyeit, hogy megkapjuk a határozott integrál határait: $$ x^2 + 6x + 5 = 0 \implies (x + 1)(x + 5) = 0 \implies x_1 = -1, \; x_2 = -5 $$ Mivel a másodfokú függvény főegyütthatója pozitív, a két zérushely között negatív értékeket vesz fel (a grafikon az x-tengely alatt fut). A közbezárt terület az integrál ellentettje lesz: $$ T = -\int_{-5}^{-1} (x^2 + 6x + 5) dx $$ A primitív függvény: $$ F(x) = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 5x \right]_{-5}^{-1} $$ A határok behelyettesítésével: $$ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + 3(-1)^2 + 5(-1) = -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -\frac{7}{3} $$ $$ F(-5) = \frac{(-5)^3}{3} + 3(-5)^2 + 5(-5) = -\frac{125}{3} + 75 - 25 = \frac{25}{3} $$ Az integrál értéke: $ F(-1) - F(-5) = -\frac{7}{3} - \frac{25}{3} = -\frac{32}{3} $.

A keresett terület nagysága az integrál abszolútértéke: $ \frac{32}{3} $ (kb. 10,67) területegység.

8

16 pont

Az $ ABCDE $ szabályos négyoldalú gúla alaplapja az $ ABCD $ négyzet. A gúla alapéle 28 egység hosszú. Legyen $ F $ a $ CE $ oldalélnek, $ G $ pedig a $ DE $ oldalélnek a felezőpontja. Az $ ABFG $ négyszög területe 504 területegység. Milyen hosszú a gúla oldaléle?

1. Az $ ABFG $ négyszög elemzése
Mivel $ F $ és $ G $ a $ CE $, illetve a $ DE $ oldalélek felezőpontjai, ezért az $ FG $ szakasz a $ CDE $ lapon lévő háromszög középvonala. Ebből következik, hogy $ FG \parallel CD $ és $ FG = \frac{CD}{2} $.

Tudjuk, hogy az alaplap négyzet, így $ CD \parallel AB $ és $ CD = AB = 28 $.
Így $ FG \parallel AB $ is teljesül, továbbá $ FG = \frac{28}{2} = 14 $.

Mivel $ FG \parallel AB $, az $ ABFG $ négyszög egy húrtrapéz. A trapéz párhuzamos oldalainak hossza: $ a = 28 $ és $ c = 14 $.

2. A trapéz magasságának kiszámítása
A trapéz területképlete: $ T = \frac{a+c}{2} \cdot m $.

Behelyettesítve az ismert adatokat ($ T=504 $): $$ 504 = \frac{28 + 14}{2} \cdot m_{\text{trapéz}} $$ $$ 504 = 21 \cdot m_{\text{trapéz}} $$ $$ m_{\text{trapéz}} = 24 $$ A metszősíkban lévő trapéz magassága tehát 24 egység (ezt jelöli az $ MN $ szakasz az ábrán).

3. A gúla magasságának meghatározása
Helyezzük el a gúlát egy térbeli koordináta-rendszerben úgy, hogy az alaplap középpontja az origó $ O(0; 0; 0) $ legyen. Az alapélek a tengelyekkel párhuzamosak, így a csúcsok: $ A(-14; 14; 0) $, $ B(14; 14; 0) $.

Jelöljük a gúla magasságát $ h $-val. Ekkor a gúla csúcsa $ E(0; 0; h) $.

Vegyük fel az $ AB $ oldal felezőpontját: $ M(0; 14; 0) $, és a $ CD $ oldal felezőpontját: $ N'(0; -14; 0) $.
Mivel $ FG $ a $ CDE $ lapon futó $ EN' $ magasságvonal felezőpontján megy át, az $ FG $ szakasz felezőpontja $ N $, melynek koordinátái: $ N\left(0; -7; \frac{h}{2}\right) $.

A trapéz magassága éppen az $ MN $ szakasz hossza, amelyet felírhatunk a térbeli távolságképlettel: $$ MN = \sqrt{(0-0)^2 + (-7 - 14)^2 + \left(\frac{h}{2} - 0\right)^2} $$ $$ 24 = \sqrt{(-21)^2 + \frac{h^2}{4}} $$ $$ 576 = 441 + \frac{h^2}{4} $$ $$ 135 = \frac{h^2}{4} \implies h^2 = 540 $$ A gúla magassága tehát $ h = \sqrt{540} $.

4. Az oldalél hosszának kiszámítása
A keresett oldalél $ AE $. Felírhatjuk az $ A(-14; 14; 0) $ és $ E(0; 0; \sqrt{540}) $ pontok távolságát: $$ AE^2 = (0 - (-14))^2 + (0 - 14)^2 + (\sqrt{540} - 0)^2 $$ $$ AE^2 = 14^2 + (-14)^2 + 540 $$ $$ AE^2 = 196 + 196 + 540 = 932 $$ $$ AE = \sqrt{932} = \mathbf{2\sqrt{233} \approx 30,53 \text{ egység}} $$

9

16 pont

Egy bank a „Gondoskodás” nevű megtakarítási formáját ajánlja újszülöttek családjának. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első banki napján számlát nyithatnak 100 000 forint összeggel. Minden következő év első banki napján szintén 100 000 forintot kell befizetniük a számlára. Az utolsó befizetés annak az évnek az első banki napján történhet, amely évben a gyermekük betölti a 18. életévét.
A bank év végén a számlán lévő összeg után évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első banki napjára ír jóvá.
A gyermek a 18. születésnapját követő év első banki napján férhet hozzá a számlához.

a

Mekkora összeg van ekkor a számlán? A válaszát egész forintra kerekítse!

8 pont

A gyermek a 18. születésnapját követő év első banki napján felveheti a számláján lévő teljes összeget. Ha nem veszi fel, akkor választhatja a következő lehetőséget is:
Hat éven keresztül minden év első banki napján azonos összeget vehet fel. Az első részletet a 18. születésnapját követő év első banki napján veheti fel. A hatodik pénzfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bank – az első pénzfelvételtől számítva – minden év végén a számlán lévő összeg után évi 5%-os kamatot garantál, amit a következő év első banki napjára ír jóvá.

b

Ebben az esetben mekkora összeget vehet fel alkalmanként? A válaszát egész forintra kerekítse!

8 pont

a) A feltételekből következik, hogy összesen 18 alkalommal történik befizetés (a születést követő év az 1., és a 18. életév betöltésének évében van az utolsó). A kamatláb 8%, azaz a szorzótényező 1,08.
Az utolsó, 18. befizetés még pontosan egy évig kamatozik, mire a gyermek felveheti. A felhalmozott összeg egy mértani sorozat összegeként írható fel:

$$ S = 100\,000 \cdot 1,08^{18} + 100\,000 \cdot 1,08^{17} + \dots + 100\,000 \cdot 1,08 $$

A mértani sorozat összegképlete alapján (ahol $ a_1 = 100\,000 \cdot 1,08 $, $ q = 1,08 $, $ n = 18 $): $$ S = 100\,000 \cdot 1,08 \cdot \frac{1,08^{18} - 1}{1,08 - 1} $$ Kiszámolva az értéket: $$ S \approx 108\,000 \cdot \frac{2,9960 - 1}{0,08} \approx \mathbf{4\,044\,626 \text{ Ft}} $$

b) Jelölje a számlán lévő teljes összeget $ c = 4\,044\,626 $ Ft, az évente felvehető egyforma összeget pedig $ y $. A kamat itt már csak 5% (szorzó: 1,05).
Évről évre a számla egyenlege a felvétel után kamatozik:
Az 1. felvétel után maradt pénz: $ c - y $
A 2. felvétel után: $ (c - y) \cdot 1,05 - y = c \cdot 1,05 - y \cdot 1,05 - y $
Végigvezetve a logikát a 6. felvételig (amikor a számla kiürül): $$ c \cdot 1,05^5 - y \cdot 1,05^5 - y \cdot 1,05^4 - \dots - y \cdot 1,05 - y = 0 $$ Ebből $ y $-t kiemelve egy újabb mértani sorozatot ismerhetünk fel: $$ c \cdot 1,05^5 = y(1,05^5 + 1,05^4 + \dots + 1) $$ A zárójeles kifejezést összegezve: $$ y \cdot \frac{1,05^6 - 1}{1,05 - 1} = c \cdot 1,05^5 $$ Ebből az annuitás $ y $ értéke kifejezve: $$ y = c \cdot \frac{1,05^5}{\frac{1,05^6 - 1}{1,05 - 1}} = 4\,044\,626 \cdot \frac{1,27628}{\frac{1,34009 - 1}{0,05}} $$ Kiszámítva és kerekítve az eredmény: 758 916 Ft.