2008. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

13 pont

Anett és Berta egy írott szöveget figyelmesen átolvasott. Anett 24 hibát talált benne, Berta 30-at. Ezek között 12 hiba volt csak, amit mindketten észrevettek. Később Réka is átnézte ugyanazt a – javítatlan – szöveget, és ő is 30 hibát talált. Réka az Anett által megtalált hibákból 8-at vett észre, a Berta által észleltekből 11-et. Mindössze 5 olyan hiba volt, amit mind a hárman észrevettek.

a

Együtt összesen a szöveg hány hibáját fedezték fel?

9 pont

b

A megtalált hibák hány százalékát vették észre legalább ketten?

4 pont

a) Jelöljük a lányok nevének kezdőbetűjével az egyes lányok által megtalált hibák halmazát. A szöveg alapján az elemszámok:
$ |A| = 24 $, $ |B| = 30 $, $ |R| = 30 $
$ |A \cap B| = 12 $, $ |A \cap R| = 8 $, $ |B \cap R| = 11 $, és $ |A \cap B \cap R| = 5 $.

A három lány által megtalált hibák száma az $ A \cup B \cup R $ halmaz elemszáma. A logikai szita formulát alkalmazva: $$ |A \cup B \cup R| = |A| + |B| + |R| - |A \cap B| - |A \cap R| - |B \cap R| + |A \cap B \cap R| $$ $$ |A \cup B \cup R| = 24 + 30 + 30 - 12 - 8 - 11 + 5 = \mathbf{58} $$ A három lány összesen 58 hibát észlelt.

b) Azokat a hibákat vették észre legalább ketten, amelyek pontosan két, vagy pontosan három halmaz metszetében vannak. Ezen hibák száma: $$ |A \cap B| + |A \cap R| + |B \cap R| - 2 \cdot |A \cap B \cap R| $$ $$ 12 + 8 + 11 - 2 \cdot 5 = 21 $$ A keresett százalék tehát: $ \frac{21}{58} \cdot 100 \approx \mathbf{36,2\%} $.

2

10 pont

Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! $$ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 3} = 2 $$

Elegáns megoldás a kifejezések becslésével:

Az egyenlet értelmezési tartománya miatt a gyök alatti kifejezések nem lehetnek negatívak. Ezért $ x^2 - 3 \ge 0 $, azaz $ x^2 \ge 3 $ kell, hogy teljesüljön.

Mivel $ x^2 \ge 3 $, a másik gyök alatti kifejezésre igaz, hogy $ x^2 + 1 \ge 4 $.
Ebből következik, hogy a négyzetgyökfüggvény szigorú monotonitása miatt $ \sqrt{x^2 + 1} \ge 2 $.

Tudjuk továbbá, hogy a második tag $ \sqrt{x^2 - 3} \ge 0 $.

A bal oldali összeg tehát: $ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 3} \ge 2 + 0 = 2 $.
Az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha mindkét tag felveszi a minimumát, ami pontosan akkor történik meg, ha $ x^2 = 3 $.

Ennek alapján a megoldás: $ x = \pm\sqrt{3} $.

3

14 pont

Egy utazási iroda az országos hálózatának 55 értékesítő helyén kétféle utat szervez Párizsba. Az egyiket autóbusszal (A), a másikat repülővel (R). Egy adott turnusra nézve összesítették az egyes irodákban eladott utak számát. Az alábbi táblázatból az összesített adatok olvashatók ki. Pl. az (1;2) „koordinátájú” 5-ös szám azt jelöli, hogy 5 olyan fiókiroda volt, amelyik az adott turnusra 1 db autóbuszos és 2 db repülős utat adott el.

		A típusú eladott utak száma
		0	1	2	3	4
R típusú eladott utak száma	0	1	1	0	1	2
	1	1	2	2	3	1
	2	1	5	2	4	3
	3	0	3	1	9	2
	4	1	3	3	2	2

a

Összesen hány autóbuszos és hány repülős utat adtak el a vizsgált turnusra az 55 fiókban?

7 pont

b

Mekkora a valószínűsége annak, hogy 55 fiókiroda közül véletlenszerűen választva egyet, ebben az irodában 5-nél több párizsi utat adtak el?

7 pont

a) Az autóbuszos utak (A) összesített számát úgy kapjuk, ha az oszlopok elemeinek összegét megszorozzuk az adott oszlophoz tartozó autóbuszos utak számával: $$ A_{\text{össz}} = 0\cdot(1+1+1+0+1) + 1\cdot(1+2+5+3+3) + 2\cdot(0+2+2+1+3) + 3\cdot(1+3+4+9+2) + 4\cdot(2+1+3+2+2) $$ $$ A_{\text{össz}} = 0\cdot 4 + 1\cdot 14 + 2\cdot 8 + 3\cdot 19 + 4\cdot 10 = 0 + 14 + 16 + 57 + 40 = \mathbf{127} $$ A repülős utak (R) számát hasonlóan a sorösszegek és a megfelelő repülős eladások szorzataként számoljuk: $$ R_{\text{össz}} = 0\cdot 5 + 1\cdot 9 + 2\cdot 15 + 3\cdot 15 + 4\cdot 11 = 0 + 9 + 30 + 45 + 44 = \mathbf{128} $$

b) Azokat az irodákat keressük, ahol $ A + R > 5 $. A táblázatban ezen cellák tartalmát (irodák számát) kell összegeznünk:
- 6 út (például 2+4, 3+3, 4+2): a megfelelő cellákban lévő irodák száma $ 3 + 9 + 3 = 15 $.
- 7 út (például 3+4, 4+3): a megfelelő irodák száma $ 2 + 2 = 4 $.
- 8 út (4+4): a megfelelő irodák száma $ 2 $.
A kedvező esetek száma összesen: $ 15 + 4 + 2 = 21 $.
A keresett valószínűség: $$ P = \frac{21}{55} \approx \mathbf{0,3818} $$

4

14 pont

Egy urnában csak piros, zöld és kék golyók vannak. A piros golyók száma 18.
Egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót (azaz zöldet vagy kéket) húzunk $ \frac{1}{15} $-del kisebb, mint azé, hogy zöld vagy piros golyót húzunk.
Annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk $ \frac{11}{10} $-szer nagyobb, mint annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk.
Hány zöld és hány kék golyó van az urnában?

Jelölje $ z $ a zöld, $ k $ pedig a kék golyók számát. Az összes golyó száma így $ 18 + z + k $.

A feladat szövege alapján két egyenletet írhatunk fel a klasszikus valószínűségi modell szerint:

1. egyenlet:
$ P(\text{zöld vagy kék}) = P(\text{zöld vagy piros}) - \frac{1}{15} $
$$ \frac{z + k}{18 + z + k} = \frac{18 + z}{18 + z + k} - \frac{1}{15} $$

2. egyenlet:
$ P(\text{kék vagy piros}) = \frac{11}{10} \cdot P(\text{zöld vagy piros}) $
$$ \frac{18 + k}{18 + z + k} = 1,1 \cdot \frac{18 + z}{18 + z + k} $$

A második egyenletből egyszerűsítve a nevezőkkel kapjuk, hogy:
$$ 18 + k = 1,1(18 + z) \implies k = 1,1z + 1,8 $$

Az első egyenletet rendezve, megszorozva a közös nevezővel:
$$ z + k = 18 + z - \frac{18 + z + k}{15} \implies k = 18 - \frac{18 + z + k}{15} $$ Beszorozva 15-tel és átrendezve: $$ 15k = 270 - 18 - z - k \implies 16k + z = 252 $$

Most helyettesítsük be $ k $-t az első egyenlet egyszerűsített alakjába: $$ 16(1,1z + 1,8) + z = 252 $$ $$ 17,6z + 28,8 + z = 252 $$ $$ 18,6z = 223,2 \implies \mathbf{z = 12} $$

Visszahelyettesítve $ z $-t $ k $ kifejezésébe: $$ k = 1,1 \cdot 12 + 1,8 = 13,2 + 1,8 = \mathbf{15} $$

Az urnában tehát 12 darab zöld és 15 darab kék golyó van.

5

16 pont

Egy háromszög két oldalegyenese: az $ x $ tengely, valamint az $ y = \frac{4}{3}x $ egyenletű egyenes. Ismerjük a háromszög beírt körének egyenletét is: $ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 4 $.
Írja fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét, ha a háromszög egyenlő szárú, és

a

az alapja az $ x $ tengelyre illeszkedik;

7 pont

b

az adott oldalegyenesek a háromszög száregyenesei!

9 pont

a) A keresett háromszög egyik csúcsa a koordinátarendszer origója, mivel az $ x $ tengely és az $ y = \frac{4}{3}x $ egyenes itt metszik egymást. Legyen ez az $ A(0;0) $ csúcs.
A beírt kör középpontja $ K(4; 2) $. Az egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye áthalad a $ K $ ponton és merőleges az alapra. Mivel az alap az $ x $ tengelyen ($ y=0 $) van, a szimmetriatengely egyenlete $ x = 4 $.
A háromszög alapjának másik végpontja, a $ B $ csúcs az $ A $ pont $ x=4 $-re vett tükörképe, tehát $ B(8; 0) $.
A $ C $ csúcs az $ y = \frac{4}{3}x $ egyenes és a szimmetriatengely metszéspontja: $ C(4; \frac{16}{3}) $.
A harmadik oldalegyenes a $ B $ és $ C $ pontokon megy keresztül. Ennek irányvektora $ \vec{v_{BC}} = (-4; \frac{16}{3}) $, így a meredeksége $ m = -\frac{4}{3} $.
Az egyenes egyenlete: $ y - 0 = -\frac{4}{3}(x - 8) $, azaz rendezve: $ 4x + 3y = 32 $.

b) Ha az adott egyenesek a szárak, akkor az origó $ P(0;0) $ a háromszög csúcsával egyezik meg, amelyből a két szár indul. A szimmetriatengely átmegy a $ P $ origón és a $ K(4; 2) $ beírt kör középpontján, így az egyenlete $ y = \frac{1}{2}x $.
A harmadik oldalegyenes az alap, amely merőleges a szimmetriatengelyre. Az alap normálvektora megegyezik a szimmetriatengely irányvektorával, így az a $ \vec{n} = (4; 2) $ vagy egyszerűsítve $ (2; 1) $.
Az alap egyenletének általános alakja $ 2x + y = c $.
Az alapnak érintenie kell a beírt kört, ezért az egyenlet és a kör metszete pontosan egy pontból kell, hogy álljon. Fejezzük ki $ y $-t: $ y = c - 2x $, és helyettesítsük a kör egyenletébe:
$$ (x - 4)^2 + (c - 2x - 2)^2 = 4 $$ Négyzetre emelés és rendezés után egy másodfokú egyenletet kapunk: $$ 5x^2 - 4cx + c^2 - 4c + 16 = 0 $$ Hogy érintő legyen, a diszkriminánsának nullának kell lennie: $$ D = (-4c)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (c^2 - 4c + 16) = 0 $$ $$ 16c^2 - 20c^2 + 80c - 320 = 0 \implies -4c^2 + 80c - 320 = 0 \implies c^2 - 20c + 80 = 0 $$ Ennek megoldásai: $ c_{1,2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{2} = 10 \pm \sqrt{20} $.
A $ 10 - \sqrt{20} $ értékhez tartozó egyenes a háromszögön kívülről érintené a kört (hozzáírt kör lenne), így az alapegyenes megoldása: $ 2x + y = 10 + \sqrt{20} $.

6

16 pont

a

Értelmezzük a valós számok halmazán az $ f $ függvényt az $ f(x) = x^3 + kx^2 + 9x $ képlettel! (A $ k $ paraméter valós számot jelöl.)
Számítsa ki, hogy $ k $ mely értéke esetén lesz $ x = 1 $ lokális szélsőérték-helye a függvénynek!
Állapítsa meg, hogy az így kapott $ k $ esetén $ x = 1 $ a függvénynek lokális maximumhelye, vagy lokális minimumhelye!
Igazolja, hogy a $ k $ ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőérték-helye is!

11 pont

b

Határozza meg a valós számok halmazán a $ g(x) = x^3 - 9x^2 $ képlettel értelmezett $ g $ függvény inflexiós pontját!

5 pont

a) A differenciálható $ f $ függvénynek az $ x = 1 $ akkor lehet szélsőérték-helye, ha itt az első deriváltja nulla.
$ f'(x) = 3x^2 + 2kx + 9 $. Ebből a feltétel: $$ f'(1) = 3 + 2k + 9 = 0 \implies 2k = -12 \implies \mathbf{k = -6} $$ Ezzel a $ k $ értékkel a derivált függvény: $ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $.
A másodfokú polinom szorzatalakja: $ f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) $.
- Az $ x = 1 $ helyen a derivált pozitívból negatívba vált, ezért itt az $ f $ függvénynek lokális maximuma van.
- Mivel a deriváltnak van egy másik zérushelye az $ x = 3 $ helyen, és itt negatívból pozitívba vált az előjele, az $ f $ függvénynek az $ x = 3 $ pontban lokális minimuma van, amivel az állítást igazoltuk.

b) Az inflexiós pont megtalálásához a $ g(x) $ függvény második deriváltjának zérushelyét és előjelváltását vizsgáljuk.
Az első derivált: $ g'(x) = 3x^2 - 18x $.
A második derivált: $ g''(x) = 6x - 18 $.
A zérushely: $ 6x - 18 = 0 \implies x = 3 $.
Mivel itt a második derivált előjelet vált (negatívból pozitívba), a $ g $ függvény inflexiós pontja az $ x = 3 $ helyen található.
A pont $ y $-koordinátája: $ g(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 = 27 - 81 = -54 $.
Az inflexiós pont koordinátái: $ (3; -54) $.

7

16 pont

Annának az IWIW-en 40 ismerőse van. (Az IWIW weboldalon lehetőség van az egymást ismerő emberek kapcsolatfelvételére. Ebben a feladatban minden ismeretséget kölcsönösnek tekintünk.)
Anna ismerőseinek mindegyike Anna többi ismerőse közül pontosan egyet nem ismer.

a

A szóba került 41 ember között összesen hány ismeretség áll fenn?

5 pont

b

Mekkora annak a valószínűsége, hogy Anna 40 ismerőse közül véletlenszerűen választva kettőt, ők ismerik egymást?

5 pont

c

Válasszunk most a 41 személy közül véletlenszerűen kettőt! Mennyi a valószínűsége, hogy nem ismerik egymást?

6 pont

a) Jelöljük egy gráffal az ismeretségeket! Egy 41 pontú gráfunk lesz, ahol minden pont fokszámát ismerjük, hiszen Anna mind a 40-et ismeri (az ő fokszáma 40). A többi 40 ember pontosan egy embert nem ismer a másik 39 közül, és Annát mind ismeri, ezért az ő fokszámuk egységesen 39.
A fokszámtétel (a fokszámok összege az élek számának duplája) alapján: $$ 2e = 40 + 40 \cdot 39 = 1600 $$ Tehát összesen 800 ismeretség (él) van köztük.

b) Ha Anna 40 ismerőse mindegyike ismerné az összes többi 39 embert, akkor a 40 pontú (rész)gráf éleinek száma $ \frac{40 \cdot 39}{2} = 780 $ lenne. (Ezek az összes esetek).
Mivel mindenki pontosan egyet nem ismer ebből a körből, a hiányzó élek száma $ \frac{40 \cdot 1}{2} = 20 $. (Ezek a kettesével párbarendezett nem-ismerősök).
A fennálló ismeretségek (kedvező esetek) száma a 40 ember között: $ 780 - 20 = 760 $.
A keresett valószínűség: $$ P = \frac{760}{780} = \mathbf{\frac{38}{39} \approx 0,974} $$

c) A kiválasztott két személy a 41-ből kerül ki. Az összes lehetséges kiválasztások száma: $ \binom{41}{2} = \frac{41 \cdot 40}{2} = 820 $.
A feltétel szerint a két kiválasztott személy NEM ismeri egymást. Mivel Anna mindenkit ismer, Anna nem lehet ezen párosítások egyike sem. Így a "nem ismerősök" csak Anna 40 barátja közül kerülhetnek ki.
Ahogy a b) részben megállapítottuk, pontosan 20 olyan pár van a barátok között, akik nem ismerik egymást (mivel a 40 ember pontosan egy embert nem ismer, egyértelműen kettesével párba állíthatók).
Így a kedvező esetek száma 20. A keresett valószínűség: $$ P = \frac{20}{820} = \mathbf{\frac{1}{41} \approx 0,0244} $$

8

16 pont

Legyen $ n $ pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok:
$ a_n = (-2)^n + 2^n $
$ b_n = |n - 23| - |n - 10| $
$ c_n = \left( \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot n\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot n\right) \right)^2 $

Vizsgálja meg mindhárom sorozatot korlátosság és monotonitás szempontjából! Válaszoljon mindhárom esetben, hogy a sorozat korlátos vagy nem, illetve monoton vagy nem! (Válaszait indokolja!) Korlátos sorozat esetében adjon meg egy alsó és egy felső korlátot!

Az $ a_n $ sorozat elemzése:
Ha $ n $ páratlan, akkor $ a_n = -2^n + 2^n = 0 $.
Ha $ n $ páros, akkor $ a_n = 2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} $.
A sorozat értékei így váltakoznak (0, 8, 0, 32, ...), ezért a sorozat nem monoton. Mivel az értékek a végtelenbe tartanak a páros indexek mentén, a sorozat nem korlátos (felülről).
A $ b_n $ sorozat elemzése:
Az abszolútértékeket értelmezési tartományok szerint vizsgáljuk:
- Ha $ n \le 10 $, akkor $ b_n = (23 - n) - (10 - n) = 13 $.
- Ha $ 10 < n < 23 $, akkor $ b_n = (23 - n) - (n - 10) = 33 - 2n $.
- Ha $ 23 \le n $, akkor $ b_n = (n - 23) - (n - 10) = -13 $.
A sorozat először állandó (13), majd folyamatosan csökken, majd ismét állandó (-13). Ebből látszik, hogy a sorozat monoton csökkenő. Mivel minden eleme a $[-13; 13]$ intervallumba esik, a sorozat korlátos. Alsó korlát: $ -13 $, felső korlát: $ 13 $.
A $ c_n $ sorozat elemzése:
Használjuk az $\alpha = \frac{\pi}{2} \cdot n$ jelölést, és bontsuk fel a négyzetet a Pitagorasz-féle összefüggés, valamint a kétszeres szög függvényének segítségével: $$ c_n = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + \sin(2\alpha) $$ Visszahelyettesítve $ \alpha $-t: $$ c_n = 1 + \sin(\pi \cdot n) $$ Mivel $ n $ egész szám, a $ \sin(\pi \cdot n) $ értéke minden esetben 0. Tehát $ c_n = 1 $ minden pozitív egész $ n $-re.
Mivel a sorozat konstans, így monoton (nem szigorúan) és egyúttal korlátos is. Alsó korlát: $ 1 $ (vagy bármely kisebb szám), felső korlát: $ 1 $ (vagy bármely nagyobb szám).

9

16 pont

Klári teasüteményt sütött. A meggyúrt tésztát olyan „téglatest” alakúra nyújtotta ki, amelynek a felülről látható lapja 30 cm × 60 cm méretű téglalap.
Majd egy henger alakú szaggatóval (határoló körének sugara 3 cm) „körlapokat” vágott ki a tésztából.
Ezután a körlapokból először „holdacskákat” vágott le úgy, hogy a szaggató határoló körének középpontját a már kivágott körlap középpontjától 2 cm távolságra helyezte el, és így vágott bele a körlapba. (Minden bevágásnál csakis egy körlapot vágott ketté.)
Miután minden körlapból levágott egy „holdacskát”, a körlapokból visszamaradt részek mindegyikéből – egy másik szaggatóval – kivágott egy-egy lehető legnagyobb körlap alakú süteményt.

a

Hány cm² területű egy „holdacska” felülről látható felülete? (Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!)

11 pont

b

Klári a „holdacskák” és a kis körlapok elkészítése után visszamaradt tésztát ismét összegyúrta, majd ugyanolyan vastagságúra nyújtotta ki, mint az első esetben, de most négyzet alakú lett a kinyújtott tészta.
Hány cm hosszú ennek a négyzetnek az oldala, ha Klári a 30 cm × 60 cm-es téglalapból eredetileg 50 darab 3 cm sugarú körlapot szaggatott ki? (Az eredményt egészre kerekítve adja meg!)

5 pont

a) A holdacska egy 3 cm sugarú körlapból jön létre úgy, hogy kivágunk belőle egy ugyanolyan sugarú kört, amelynek középpontja 2 cm-re van eltolva. A holdacska területe megkapható az eredeti kör területének és a két kör közös lencse alakú metszetének különbségeként.
A lencse alakú metszet két egybevágó körszeletből áll. Kiszámoljuk az egyik körszelet területét:
A körszelet egy $ r=3 $ sugarú körcikkből és a hozzátartozó egyenlő szárú háromszögből áll. A körök középpontjait és a metszéspontokat összekötve egy derékszögű háromszöget kapunk, amelyből a körcikk fél nyílásszöge ($ \alpha $) meghatározható: $$ \cos \alpha = \frac{1}{3} \implies \alpha \approx 70,53^\circ \text{ (vagy } 1,23 \text{ radián)} $$ A teljes körcikk középponti szöge $ 2\alpha $. Ennek a körcikknek a területe: $$ T_{\text{körcikk}} = \frac{2\alpha}{2\pi} \cdot r^2 \pi \approx \frac{141,06^\circ}{360^\circ} \cdot 9\pi \approx 11,07 \text{ cm}^2 $$ A belőle kivágandó háromszög területe: $$ T_{\text{háromszög}} = \frac{r^2 \sin(2\alpha)}{2} = \frac{9 \cdot \sin(141,06^\circ)}{2} \approx 2,83 \text{ cm}^2 $$ A körszelet területe: $ T_{\text{körszelet}} = 11,07 - 2,83 = 8,24 \text{ cm}^2 $.
A holdacska területe tehát az eredeti körlap és a lencse (2 db körszelet) különbsége: $$ T_{\text{holdacska}} = T_{\text{kör}} - 2 \cdot T_{\text{körszelet}} \approx 9\pi - 2 \cdot 8,24 \approx 28,27 - 16,48 = \mathbf{11,8 \text{ cm}^2} $$

b) A felhasznált (megsütött) sütemények alapterületének összegeit levonjuk az eredeti tészta területéből. Klári 50 darab holdacskát és 50 darab kis körlapot vágott ki.
A kis körlap a lencse formából kivágható lehető legnagyobb körlap. Mivel a lencse a két eltolt kör metszete, a lencse közepén a szélesség az eredeti körök átmérője mínusz a 2 cm eltolás, azaz $ 3 + 3 - 2 = 4 \text{ cm} $. Így a legnagyobb beleírható körlap sugara 2 cm.
A kivágott sütemények összes alapterülete: $$ T_{\text{használt}} = 50 \cdot T_{\text{holdacska}} + 50 \cdot T_{\text{kiskör}} \approx 50 \cdot 11,78 + 50 \cdot (2^2\pi) \approx 589 + 628 = 1217 \text{ cm}^2 $$ Az eredeti téglalap területe: $ 30 \cdot 60 = 1800 \text{ cm}^2 $.
A visszamaradt, négyzet alakúra kinyújtott tészta területe: $$ T_{\text{maradék}} = 1800 - 1217 = 583 \text{ cm}^2 $$ A kapott négyzet oldalának hossza: $$ a = \sqrt{583} \approx \mathbf{24 \text{ cm}} $$