2007. Májusi Emelt Szintű Matek Érettségi

Alakítsuk szorzattá a tört számlálóját és nevezőjét: $$ x^2 - 10x - 24 = (x+2)(x-12) $$ $$ x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3) $$ A tört értelmezési tartománya: \( x \neq -2 \) és \( x \neq 3 \).

Egyszerűsítés után az egyenlet bal oldala: \( \frac{x-12}{x-3} \).

Számítsuk ki a jobb oldal tagjait: \( \sin\frac{\pi}{2} = 1 \),
\( \lg 1 = 0 \),
\( 2^{\log_2 9} = 9 \).

Az egyenlet egyszerűsített alakja: $$ \frac{x-12}{x-3} = 1 - 0 + 9 $$ $$ \frac{x-12}{x-3} = 10 $$

Rendezve az egyenletet: $$ x - 12 = 10(x - 3) $$ $$ x - 12 = 10x - 30 $$ $$ 18 = 9x \implies \mathbf{x = 2} $$

Az ellenőrzés alapján az \( x = 2 \) gyök eleme az értelmezési tartománynak, így ez a helyes megoldás.

a) Legyen \( \beta \) a \( B \) csúcsnál lévő szög. A tangens szögfüggvény alapján: $$ \operatorname{tg} \beta = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $$ Ebből \( \beta \approx \mathbf{18,43^\circ} \).
A másik hegyesszög: \( \alpha = 90^\circ - \beta \approx \mathbf{71,57^\circ} \).

b) Jelöljük a keresett szakaszt \( x \)-szel: \( PB = PA = x \).
Ekkor a \( PCA \) derékszögű háromszög befogói \( CA = 6 \) és \( PC = 18 - x \), átfogója \( PA = x \).
Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: $$ 6^2 + (18 - x)^2 = x^2 $$ $$ 36 + 324 - 36x + x^2 = x^2 $$ $$ 360 = 36x \implies \mathbf{x = 10} $$ Tehát a \( PB \) szakasz hossza \( \mathbf{10\text{ cm}} \).

c) A tetraéder alaplapjának tekinthetjük az \( ABC \) háromszöget, ekkor a test magassága éppen a \( CD = 15\text{ cm} \) szakasz lesz.
Az alaplap területe: $$ T_{ABC} = \frac{18 \cdot 6}{2} = 54\text{ cm}^2 $$ A tetraéder térfogata: $$ V = \frac{T_{ABC} \cdot m}{3} = \frac{54 \cdot 15}{3} = \mathbf{270\text{ cm}^3} $$

Jelöljük a mértani sorozat első három tagját: \( a, aq, aq^2 \).
Tudjuk, hogy: $$ (1) \quad a + aq + aq^2 = 26 $$

A számtani sorozat tagjai: \( a+1, \quad aq+6, \quad aq^2+3 \).
A számtani sorozat tulajdonsága (a középső tag a két szélső számtani közepe) miatt: $$ 2(aq + 6) = (a + 1) + (aq^2 + 3) $$ $$ (2) \quad 2aq + 12 = a + aq^2 + 4 \implies a - 2aq + aq^2 = 8 $$

Vonjuk ki az (1)-es egyenletből a (2)-es átrendezett alakját: $$ (a + aq + aq^2) - (a - 2aq + aq^2) = 26 - 8 $$ $$ 3aq = 18 \implies aq = 6 \implies a = \frac{6}{q} $$

Helyettesítsük ezt vissza az (1) egyenletbe: $$ \frac{6}{q} + 6 + 6q = 26 $$ $$ \frac{6}{q} - 20 + 6q = 0 $$ Szorozzuk be az egyenletet \( q \)-val és osszunk 2-vel: $$ 3q^2 - 10q + 3 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: \( q_1 = \frac{1}{3} \) és \( q_2 = 3 \).

1. eset: Ha \( q = \frac{1}{3} \), akkor \( a = 18 \).
A mértani sorozat tagjai: 18, 6, 2.
A számtani sorozat tagjai: 19, 12, 5.

2. eset: Ha \( q = 3 \), akkor \( a = 2 \).
A mértani sorozat tagjai: 2, 6, 18.
A számtani sorozat tagjai: 3, 12, 21.

Mindkét eset megfelel a feladat feltételeinek.

a) A parabola egyenletének teljes négyzetté alakítása: $$ y = (x - 4)^2 - 5 $$ A függvény grafikonja egy felfelé nyíló parabola, melynek csúcspontja \( C(4; -5) \).
Néhány fontosabb pont a \([0; 6]\) intervallumon, amelyek alapján a görbe ábrázolható: \( (0; 11), (2; -1), (4; -5), (6; -1) \).

b) Az érintő meredekségét a függvény első deriváltja adja meg az érintési pontban. $$ y' = 2x - 8 $$ Helyettesítsük be a \( P(5; -4) \) pont \( x \) koordinátáját: $$ m = y'(5) = 2 \cdot 5 - 8 = 2 $$ Az érintő egyenletének felírása (\( y - y_0 = m(x - x_0) \)): $$ y - (-4) = 2(x - 5) $$ $$ y + 4 = 2x - 10 $$ $$ \mathbf{y = 2x - 14} $$

a) Alakítsuk teljes négyzetté a gyök alatti kifejezést: $$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $$ Mivel a négyzet minden valós \( x \) értékre nemnegatív, ezért a legbővebb részhalmaz a valós számok halmaza (\(\mathbb{R}\)).

b) A kifejezést átalakítva: $$ \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3| $$ A grafikon egy V alakú görbe (abszolútérték függvény eltolva 3 egységgel jobbra), amelynek csúcsa a \( (3; 0) \) pontban van. A \([-5; 8]\) intervallumon a kezdőpontja \( (-5; 8) \), végpontja \( (8; 5) \).

c) A felrajzolt (vagy elképzelt) grafikon alapján:
A: Hamis (Az értékkészlet a megadott intervallumon \([0; 8]\)).
B: Hamis (A minimumot az \( x = 3 \) helyen veszi fel).
C: Igaz (A \([4; 8]\) intervallum a csúcsponttól jobbra esik, ahol a függvény növekvő).

d) Az integrál számítása a határozatlan integrál (primitív függvény) felírásával és a Newton-Leibniz szabállyal történik. A legcélszerűbb az \( (x-3)^2 \) alakot integrálni: $$ \int_{-3}^{3} (x - 3)^2 \,dx = \left[ \frac{(x - 3)^3}{3} \right]_{-3}^{3} $$ $$ = \frac{(3 - 3)^3}{3} - \frac{(-3 - 3)^3}{3} = 0 - \frac{(-6)^3}{3} = 0 - \frac{-216}{3} = \mathbf{72} $$

a) \( 10\text{ kg} \) leszedett szilvából kimagozás után \( 9,5\text{ kg} \) szilva lesz. A \( 9,5\text{ kg} \) kimagozott szilvában a szárazanyag-tartalom 10%, ami \( 0,95\text{ kg} \).
A víz elvonása (aszalás) során a szárazanyag tömege nem változik. Az aszalt szilvában 5% a víz, így a fennmaradó 95% a szárazanyag.
Tudjuk, hogy a keresett \( x \) tömeg 95%-a éppen a \( 0,95\text{ kg} \)-os szárazanyag: $$ 0,95 \cdot x = 0,95\text{ kg} \implies \mathbf{x = 1\text{ kg}} $$ Tehát valóban \( 1\text{ kg} \) aszalt szilva állítható elő.

b) Legyen Kovács úr teljes termése \( x\text{ kg} \).
A termés egyik fele (\( \frac{x}{2}\text{ kg} \)) nyersen lett eladva 120 Ft-os kilónkénti áron.
A termés másik feléből (\( \frac{x}{2}\text{ kg} \)) aszalt szilvát készített. Mivel 10 kg nyersből lesz 1 kg aszalt, az aszalt szilva mennyisége \( \frac{x}{20}\text{ kg} \). Ezt 1400 Ft-ért adta el kilónként.
Az egyenlet a bevételekre: $$ 120 \cdot \frac{x}{2} + 1400 \cdot \frac{x}{20} = 286\,000 $$ $$ 60x + 70x = 286\,000 \implies 130x = 286\,000 \implies \mathbf{x = 2200} $$ Kovács úr szilvatermése 2200 kg volt.

c) Kiszámítjuk az egyes fajtákból eladott mennyiségeket a szögek arányában (a teljes kör 360°).
A: \( \frac{150^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{5}{12} \cdot 720 = 300\text{ kg} \)
B: \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{1}{4} \cdot 720 = 180\text{ kg} \)
C: \( \frac{18^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{1}{20} \cdot 720 = 36\text{ kg} \)
D: \( \frac{102^\circ}{360^\circ} \cdot 720\text{ kg} = \frac{17}{60} \cdot 720 = 204\text{ kg} \)
Az átlagárat súlyozott számtani középpel számoljuk ki: $$ \frac{300 \cdot 120 + 180 \cdot 200 + 36 \cdot 230 + 204 \cdot 260}{720} = \frac{36\,000 + 36\,000 + 8\,280 + 53\,040}{720} $$ $$ = \frac{133\,320}{720} = 185,166... $$ Az átlagár kerekítve 185 Ft/kg volt.

a) Az \( A \) halmaz elemeinek száma 6. A háromelemű részhalmazok száma: $$ \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{20} $$

b) Egy szám akkor osztható öttel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.
1. eset: A szám nullára végződik.
A fennmaradó 5 helyre a maradék 5 számjegyet bármilyen sorrendben letehetjük (mivel a 0 már nem lehet az első helyen, nincs gond az első számjeggyel). Lehetőségek száma: \( 5! = 120 \).
2. eset: A szám ötre végződik.
Az első számjegy nem lehet 0 (és 5 sem, mert az a végén van), így ide 4 féle számjegy kerülhet. A maradék 4 helyre a maradék 4 számjegyet (köztük a nullát) tehetjük, ami \( 4! \) lehetőség. Összesen: \( 4 \cdot 4! = 4 \cdot 24 = 96 \).
A két eset összege adja a megoldást: $$ 120 + 96 = \mathbf{216} $$

c) A feladatot a komplementer esemény segítségével érdemes megoldani (Összes lehetséges hatjegyű szám mínusz azok a hatjegyű számok, melyekben nincs egyes).
Az összes hatjegyű szám száma:
Az első helyre 5 féle szám kerülhet (0 nem lehet), a többi 5 helyre egyaránt 6 féle. $$ 5 \cdot 6^5 = 38\,880 $$ Azok a hatjegyű számok, amelyekben nincs 1-es (azaz csak a {0, 2, 3, 4, 5} elemekből állnak):
Az első helyre 4 féle szám kerülhet (0 nem lehet), a többi 5 helyre egyaránt 5 féle. $$ 4 \cdot 5^5 = 12\,500 $$ A kettő különbsége adja a keresett eredményt: $$ 38\,880 - 12\,500 = \mathbf{26\,380} $$

a) A dohányosok relatív gyakorisága a kedvező és az összes esetek hányadosa: Az első cégnél: $$ \frac{255}{800} \approx \mathbf{0,32} \text{ (vagy } 31,875\%) $$ A második cégnél: $$ \frac{680}{2000} = \mathbf{0,34} \text{ (vagy } 34\%) $$

b) Ez egy hipergeometriai eloszlás problémája, klasszikus valószínűségi modellel (kedvező esetek / összes eset) is számolható.
Az összes lehetséges kiválasztások száma 2000 főből 3 fő: \( \binom{2000}{3} \).
A kedvező esetek: 1 főt választunk a 680 dohányos közül, és 2 főt választunk az 1320 (2000-680) nem dohányos közül: $$ \binom{680}{1} \cdot \binom{1320}{2} $$ A keresett valószínűség: $$ P = \frac{\binom{680}{1} \cdot \binom{1320}{2}}{\binom{2000}{3}} \approx \mathbf{0,44} $$

c) Itt a független kísérletek sorozata (binomiális eloszlás) a megfelelő modell, mivel a populáció nagyon nagy. Egy személy pontosan \( 1 - 0,34 = 0,66 \) valószínűséggel nem dohányos.
Annak a valószínűsége, hogy 10 kiválasztott közül egy sem dohányos: $$ P(0) = \binom{10}{0} \cdot 0,34^0 \cdot 0,66^{10} = 0,66^{10} \approx \mathbf{0,016} \text{ (vagy } 1,6\%) $$

a) A keresett szöget egy padlássíkra és tetősíkra egyaránt merőleges síkmetszeten vizsgálhatjuk (a gúla alapjának középvonala mentén vett metszet).
Ez a metszet egy egyenlő szárú háromszög, melynek alapja 6 méter, magassága 5 méter. A keresett \( \alpha \) szög a derékszögű féltriangulumból számítható (befogók: 3 m és 5 m): $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{3} \implies \alpha \approx \mathbf{59^\circ} $$

b) Az 1,9 méteres magasságnál a tetősíkok által bezárt négyzet (hasznos alapterület) meghatározásához használjuk a hasonló háromszögeket.
A teljes gúla magassága 5 m, alapjának "fél-szélessége" 3 m. Az 1,9 m magasságból levágott felső kis gúla magassága \( 5 - 1,9 = 3,1 \) m.
Legyen a hasznos alapterület fél-szélessége \( s \). A hasonlóság miatt: $$ \frac{s}{3} = \frac{3,1}{5} \implies s = \frac{9,3}{5} = 1,86\text{ m} $$ A teljes szélesség így \( 2s = 3,72 \) m. A hasznos alapterület: $$ T = (3,72)^2 \approx \mathbf{13,84\text{ m}^2} $$

c) A koszorú magassága \( x \). Ha a koszorú legalább 1,9 m (\( x \ge 1,9 \)), akkor a teljes \( 6 \times 6 \) méteres alapterület hasznosnak minősül, azaz \( T = 36\text{ m}^2 \). A lehetséges koszorúmagasság felső korlátja az 5 m-es csúcsmagasság.
Vizsgáljuk a \( 0 \le x < 1,9 \) esetet. Ekkor a szükséges hiányzó hasznos magasság a koszorú fölött \( 1,9 - x \).
A felső kis gúla (ami az egyenes falak vége felett kezdődik) teljes magassága \( 5 - x \). A hasznos rész feletti maradvány gúla magassága \( (5 - x) - (1,9 - x) = 3,1 \) m.
A hasznos terület fél-szélességét jelöljük \( y \)-nal. A hasonló háromszögeket felírva: $$ \frac{y}{3} = \frac{3,1}{5 - x} \implies y = \frac{9,3}{5 - x} $$ A négyzet oldala \( 2y = \frac{18,6}{5 - x} \). A terület függvény tehát: $$ T(x) = \begin{cases} \left( \frac{18,6}{5 - x} \right)^2, & \text{ha } 0 \le x < 1,9 \\ 36, & \text{ha } 1,9 \le x \le 5 \end{cases} $$